Geometri sınavlarda başarı sağlamak açısından bilinmesi gereken derslerden biridir. Bunun yanında günlük yaşamda da sıklıkla geometri terimlerinden faydalanılmaktadır. Geometrinin iyi bir şekilde öğrenilmesi için temel konulardan biri olan tümler açının da bilinmesi gerekir.
Tümler açı, iki açının toplamının 90 derece olmasına verilen isimdir. Geometri terimlerinden biri olarak karşımıza çıkar. İki tümler açı birbirine komşu ve köşeleri ile bir kolları ortak ise o zaman bu açının dik açı olduğu söylenebilmektedir.
Öklid teoremine göre bir üçgenin iki dar açısı her zaman tümler açıdır. Bunun sebebi de üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. Dik bir üçgende bir açı 90 derece olduğu için diğer iki açının toplamının da 90 derece olması gerekmektedir.
İki açının toplamı 90 derece ise bu açılara tümler açı ismi verilmektedir. Tümler olan açılar komşu açılar ise o zaman komşu tümler açı ismini almaktadır. Bir açı 20 derece ise bu açının tümleri 70 derece olur. Bir açı 30 derece ise tümleri 60 derece olur. Yani tümler açılar birbirini 90 dereceye tamamlamaktadır.
Matematikte öğrenmemiz gereken birçok farklı geometrik açığı bulunmaktadır. Aynı zamanda bu açıların farklı özellikleri vardır ve işlem yaparken bize büyük kolaylık sağlar. Şimdi bu açıların neler olduğuna bakalım ve sırasıyla inceleyerek anlamaya çalışalım.
Komşu Tümler Bütünler ve Ters Açılar
Öğrenmemiz gereken birçok değişik açığı bulunuyor. Bu açılar kendi özellikleri ile beraber farklı tanımlamalara sahiplerdir. İlk olarak öğrenmemiz gereken komşu açılardır.
Komşu açı: Köşesi ile beraber birer kenarları ortak olan açılarak komşu açı denmektedir. Mesela birleştirilmiş olan iki farklı doğru düşünelim. Bu doğrunun orta noktasında bir doğru çıkarın. O zaman ortaya çıkan iki tane açı komşu açı olarak bilinmektedir.
Tümler açı: Ölçüleri toplamı 90 derece olan iki açıya tümler açı denmektedir. Tümler açı sayesinde toplamı 90 derece olan açılar üzerinden, geometrik işlemleri çok daha kolay bir şekilde yapmak mümkün. Tabii burada iki ayrı açı vardır ve her bir açıyı oluşturan yatay doğrular yere paraleldir. O yüzden bu iki açıdan birinin örneğin açısı 50 derece ise, o zaman diğer açının derecesi ise 40 derece olarak öne çıkıyor.
- 75 derece ve 15 derece tümler açıdır.
- 89 derece ve 1 derece tümler açıdır.
- 70 derece ile 20 derece tümler açıdır.
- 50 derece ile 40 derece tümler açıdır.
Bu şekilde toplamı 90 derece olan iki farklı dereceleri oluşturan doğrular üzerinden tümler açıyı bulmak mümkün.
Bütünler açı: Ölçüleri toplamı 180 derece olan açılara bütünler açı denmektedir. Bu da aynı şekilde aslında yapı olarak tümler açıya benzer. Yani yere paralel olan doğru üzerinden 2 tane açının toplamı 180 derece olmalıdır. Şimdi aynı şekilde bunlara da örnek verelim ve hangi açıların bütünler açı olabileceğini öğrenelim.
- 135 derece ile 45 derece bütünler açıdır.
- 189 derece ile 1 derece bütünler açıdır.
- 170 derece ile 10 derece bütünler açıdır.
- 90 derece ile 90 derece bütünler açıdır.
Böyle daha birçok değişik bütünler açı yazmak mümkün. Önemli olan ortak şekilde her iki açının toplamı 180 derece olmalıdır. Böylece bu açılar bütünler açı olarak bilinir.
Ters açılar: Kesişen iki doğruda oluşmuş olan açılarda komşu olmayan açılara ters açı denmektedir. Yani diğer bir deyişle birbirine zıt olan açılar şeklinde de ifade etmek mümkün. Bu doğrultuda ters açıların ölçüleri her zaman birbirine eşittir. Çünkü iki tane doğru birbiri üzerinden geçerek kesişme yarattığı zaman, karşılıklı zıt açılar aynı dereceye sahip olur.
Not: Burada tekrar etmek gerekirse yan yana olan açılar için komşu açı denebilir. İki farklı açının toplamının 90 derece olması ise tümler açı olarak bilinmektedir. Aynı şekilde iki farklı açının toplamı 180 derece ise o zaman bütünler açı ortaya çıkıyor. İki doğru birbiriyle kesiştiği zaman yine birbirine zıt olan açılar ise ters açı olarak tabir edilmektedir. Bu açıları iyi bilirsek karşımıza çıkacak olan soruları daha kolay bir şekilde çözebiliriz.
Siz de yukarıdaki tanımlamalar üzerinden farklı problemler çözebilir ve konuyu daha iyi bir biçimde anlamaya çalışabilirsiniz. Bu açılar geometrik işlemler içerisinde çok büyük kolaylık sağlamaktadırlar.
Açılar ölçülerine ve birbirlerine göre durumlarına göre aşağıdaki şekilde tanımlanırlar.
Açılar ölçülerine göre aşağıdaki şekilde adlandırılırlar.
Ölçüsü \( (0°, 90°) \) aralığında olan açılara dar açı denir.
Ölçüsü \( 90° \) olan açılara dik açı denir.
Birbirini dik kesen iki doğru ya da doğru parçası \( \perp \) sembolü ile gösterilir.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine dik ise,
\( d_1 \perp d_2 \)
Ölçüsü \( (90°, 180°) \) aralığında olan açılara geniş açı denir.
Ölçüsü \( 180° \) olan açılara doğru açı denir.
Ölçüsü \( 360° \) olan açılara tam açı denir.
Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açılara tümler açılar denir.
Birbirini \( 180° \)'ye tamamlayan açılara bütünler açılar denir.
Köşeleri ve bir kenarları ortak, diğer kenarları ortak kenarın farklı taraflarında bulunan açılara komşu açı denir.
Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açılar komşu açılardır:
\( \widehat{AOC} \) ve \( \widehat{COD} \): \( [OC \) kenarı ortak.
\( \widehat{AOD} \) ve \( \widehat{DOB} \): \( [OD \) kenarı ortak.
Yukarıdaki şekle göre aşağıdaki açılar komşu olmayan açılardır:
\( \widehat{AOC} \) ve \( \widehat{DOB} \): Ortak kenar yok.
\( \widehat{AOD} \) ve \( \widehat{COD} \): \( [OD \) kenarı ortak, ama diğer kenarlar ortak kenarın farklı taraflarında değil.
Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan komşu açılara komşu tümler açılar, birbirini \( 180° \)'ye tamamlayan komşu açılara komşu bütünler açılar denir.
Bir geometrik şeklin iç bölgesinde bulunan açılara iç açı, bir iç açının komşu bütünleri olan açılara dış açı denir.
Tanımda belirttiğimiz gibi, bir iç açı ve bu iç açıya komşu olan dış açı bütünler açılardır ve toplamları \( 180° \)'dir.
SORU 1:
\( m(\widehat{ABC}) = 3x + 30 \)
\( \widehat{ABC} \) dar açı olduğuna göre, \( x \) değerinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster\( m(\widehat{ABC}) \) dar açıdır.
\( 0° \lt m(\widehat{ABC}) \lt 90° \)
\( 0 \lt 3x + 30 \lt 90 \)
\( -30 \lt 3x \lt 60 \)
\( -10 \lt x \lt 20 \)
Buna göre \( x \)'in -9 ve 19 aralığında alabileceği \( 19 - (-9) + 1 = 29 \) farklı tam sayı değer vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( [FB] \perp [AC] \)
\( m(\widehat{ABD}) = 25° \)
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBE}\))
\( m(\widehat{EBF}) = m(\widehat{FBG}\))
\( m(\widehat{GBH}) = m(\widehat{HBC}\))
olduğuna göre, \( m(\widehat{HBE}\)) kaç derecedir?
Çözümü Göster\( m(\widehat{ABD}) = a = 25° \)
\( m(\widehat{EBF}) = b \)
\( m(\widehat{GBH}) = c \) diyelim.
\( \widehat{ABC} \) doğru açıdır.
\( 2a + 2b + 2c = 180° \)
\( 2 \cdot 25 + 2b + 2c = 180° \)
\( b + c = 65° \)
\( \widehat{FBC} \) dik açıdır.
\( b + 2c = 90° \)
İki denklemi ortak çözelim.
\( c = 25°, \quad b = 40° \)
\( m(\widehat{HBE}) = 2b + c = 105° \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( [EF] \parallel [AD], [EF] \perp [BF] \)
\( m(\widehat{DBC}) = x \)
\( m(\widehat{ADB}) = 2x + 40 \)
olduğuna göre, \( \widehat{ADB} \) açısının ölçüsü nedir?
Çözümü Göster\( D \) noktasıdan \( [BF] \) doğru parçasına bir dik indirelim.
Oluşan üçgende \( \widehat{ADB} \) açısının bütünler açısına \( y \) diyelim.
\( y = 180 - (2x + 40) \)
\( y = 140 - 2x \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) dik üçgen olduğu için \( x \) ve \( y \) tümler açılardır.
\( x + y = 90 \)
İki denklemi ortak çözelim.
\( x = 50°, \quad y = 40° \)
\( m(\widehat{ADB}) = 2x + 40 = 140° \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası