Sonsuz Bölü Sonsuz Limit

funduszeue.info 3 2 x 2 5x 5x lim limitini hesaplayınız.  2x 13x   3 3 3 2 x 2 x x 2 Çözüm: 5 5 x 5 x 5 x 5x 5x x lim lim lim 2x 13x 13 x 2 x                       0 2 13 x 2 x          0 x 5 lim x buluruz.  2             4 funduszeue.info ln(2x 1) x 12 lim e ifadesinin değeri kaçtır? x A) 24 B) 16 C) 12 D) 6 E) 3          lnx ln(2x 1) ln(2x 1) x x x x Çözüm: Not : e x tir. Buna göre; 12 e lim e lim x x (2x 1) 24x 12 lim lim x x x&#;in katsayıları arasındaki oran bize limiti verir. 24 24 buluruz. 1                     7   2 2 2 2 x lim log ( 8x x 1) log ( 2x x 3) limitinin değeri kaçtır?         funduszeue.info   2 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 Çözüm: lim log ( 8x x 1) log ( 2x x 3) 8x x 1 lim log 2x x 3 8x x 1 lim log 2x x 3 En yüksek dereceli terimlerin oranlarıyla çözüme gidebiliriz. 8 log log 4 log 2 1 buluruz. 2                                     16 x x 1 x x 1 x 3 lim limitinin değeri kaçtır? 3 1 5 3 5 A) B) C) D) E) 2 6 6 2 3        x x 1 x x x x 1 x x x x Çözüm: 3 3 lim lim dir. (Tabanı 2 büyük olan üslü ifadelerin katsayıları oranıdır.)            38 2 x x 1 lim ax b 3 olduğuna göre, a b toplamı x 4 kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9              funduszeue.info 2 x 2 2 x 0 olmalı 3 olmalı 2 x Çözüm: x 1 lim ax b 3 x 4 x 1 ax bx 4ax 4b lim 3 x 4 x (a 1) (b 4a)x 4b 1 lim 3 x 4 a 1 0 a 1 b 4a 3 b 3 b 7 dir. a b 1 7 6 buluruz.                                                               39 2 x x 1 lim ax b 3 x 2 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır?              2 x 2 x (x 2) (x 2) 2 2 x 2 2 x 0 olmalı 3 olmalı 2 x Çözüm: x 1 lim ax b 3 x 2 x 1 ax b lim 3 x 2 1 1 x 1 ax 2ax bx 2b lim 3 x 2 x 2 x 2 x 1 ax 2ax bx b lim 3 x 2 x (1 a) x( 2a b) b 1 lim                                                                  3 x 2 1 a 0 a 1 2a b 3 2 b 3 b 5 tir. a b 1 5 6 buluruz.                              funduszeue.info 57 x 1 Yukarıda, doğrusal f(x) fonksiyonun grafiği verilmiş &#; tir. f(x) Buna göre, lim limitinin değeri kaçtır? f (x) 4 2 1 2 4 A) B) C) D) E) 25 25 25 25 25     1 Çözüm: Doğrunun denklemini bulalım. x y 2x 5y 1 1 2x 5y 10 5 2 10 2x 10 5y 10 2x y tir. 5 ax b dx b Not : tersi dir. cx d cx a 2x 10 5x 10 y ise tersi f (x) dir. 5 2 Buna göre; lim                              x 1 x 2x 10 2 f(x) 5 5 2 2 4 lim buluruz. f (x) 5x 10 5 5 5 25 2 2                 funduszeue.info 58 x f(x), üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu olmak üzere, f(2x 1) lim f(3 x) limitinin değeri kaçtır? A) 8 B) 7 C) 2 D) 2 E) 8        3 x x Çözüm: f(x) ax şeklinde bir fonksiyon olsun. Sonsuzda Limite bakarken küçük dereceli terimlerin önemi olmadığından böyle bir var sayım yapmamızda sakınca yok. Buna göre; f(2x 1) a lim lim  f(3 x)       3 (2x 1) a  3 3 x 3 8x &#; 8 lim (3 x) x &#; 1 8 buluruz.           59 funduszeue.info n Yukarıda, merkezi M olan n kenarlı düzgün bir çok &#; gen verilmiştir. MK 4 br olduğuna göre, lim Alan(PTLKRF&#;) limitinin değeri kaçtır? A) 16 B) 16 2 C) 16e D) 16 E) 64    2 Çözüm: Düzgün çokgenin kenar sayısını sonsuzlaştırırsak, bu bir çember olur. Yarıçapı 4 br olan bir çemberin alanı: 4 16 buluruz. 68 8 x 5 5 8 log x lim limitinin değeri kaçtır? log x A) log 8 B) 1 C) 0 D) log 5 E)    funduszeue.info 8 x x 5 Çözüm: log x log x lim lim  log x   log8 log x 8 8 x x log5 lim limlog 5 log 5 log8 log5      73 2 x 2 3x x 7x 1 lim limitinin değeri kaçtır? x x x 4        2 2 x 2 x Çözüm: 7 3x x 1 x 3x x 7x 1 lim lim x x x 4            0 2 1 x  0 2 1 x x 1 x           0 2 4 x  0 2 x 2 3x x 3x x 4x lim 2 bulunur. x x x x 2x                 74   x lim x sinx ?        x x x 1&#;den 1&#;e Çözüm: sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi 1,1 dir. lim x sinx limx limsinx dan &#;a               80 1 x x x lim 9 7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 3 C) 1 D) 0 E) 5             1 1 x x x 0 Çözüm: lim 9 7 2 9 7 2 1 9 2 7 1 0 2 1 buluruz.                             funduszeue.info 22

\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,

\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,

bu limit için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.

\( x \) pozitif sonsuza giderken \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarının da pozitif sonsuza gittiklerini varsayalım.

\( f(x) \) \( g(x) \)'ten daha hızlı büyüyorsa limit sonsuzdur.

\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty \)

\( f(x) \) \( g(x) \)'ten daha yavaş büyüyorsa limit sıfırdır.

\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \)

\( f(x) \) ve \( g(x) \) aynı hızla büyüyorsa limit sıfırdan farklı bir reel sayıdır.

\( \quad \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L \ne 0 \)

\( a \in \mathbb{Z^+}, \quad a \gt 1 \) olmak üzere,

\( \text{Sabit} \lt \text{Logaritma} \) \( \lt \text{Kök} \) \( \lt \text{Kuvvet} \) \( \lt \text{Üstel} \) \( \lt \text{Faktöriyel} \) \( \lt x^x \)

\( a \lt \log_a{x} \lt \sqrt[a]{x} \lt x^a \lt a^x \lt x! \lt x^x \)

Üstel: \( 2^x \lt 3^x \lt \ldots \lt a^x \)

Kuvvet: \( x^2 \lt x^3 \lt \ldots \lt x^a \)

Kök: \( \sqrt[a]{x} \lt \ldots \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt[2]{x} \)

Logaritma: \( \log_a{x} \lt \ldots \lt \log_3{x} \lt \log_2{x} \)

ÖRNEK 1:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{}}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.

\( x \)'e çok büyük değerler verdiğimizde payın ve paydanın sonsuza gittiğini, dolayısıyla \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği oluştuğunu görebiliriz.

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{}}{e^x} = \dfrac{\lim_{x \to \infty} x^{}}{\lim_{x \to \infty} e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \)

Bu durumda pay ve paydadaki ifadelerden hangisinin daha hızlı büyüdüğü fonksiyonun sonsuzdaki davranışı açısından belirleyici olacaktır. Yukarıda bahsettiğimiz hiyerarşiye göre bir üstel fonksiyon olan \( e^x \) bir kuvvet fonksiyonu olan \( x^{} \)'den daha hızlı büyür, dolayısıyla fonksiyonun pozitif sonsuzdaki değeri sıfıra yaklaşacaktır.

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{}}{e^x} = 0 \)

İkinci bir çözüm olarak, bu limitte \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için L'Hospital kuralı da uygulayabiliriz.

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^{})'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \cdot x^{99}}{e^x} \)

\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği hala devam ettiği için paydaki ifadeden kurtulana kadar fonksiyonun türevini almaya devam edelim.

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \cdot 99 \cdot x^{98}}{e^x} \)

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{!}{e^x} \)

Elde ettiğimiz limitte payın sabit bir sayı olduğunu görüyoruz. Her ne kadar bu büyük bir sayı olsa da \( x \) sonsuza giderken paydanın büyüme hızı ile karşılaştırılamayacak kadar küçük bir sayı olacaktır, dolayısıyla bu limitin değerinin 0 olduğu sonucuna varabiliriz.

SORU 1:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x!}{5^x} \) limitinin değerini bulalım.

ÖRNEK 2:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.

Bu limiti fonksiyonların büyüme hızları ile hızlıca bulabilecek olsak da L'Hospital kuralını kullanalım.

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} \)

\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın türevini alalım.

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^3)'}{(e^x)'} \)

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{e^x} \)

Hala \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın tekrar türevini alalım.

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x^2)'}{(e^x)'} \)

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6x}{e^x} \)

Hala \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği olduğu için payın ve paydanın tekrar türevini alalım.

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(6x)'}{(e^x)'} \)

\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{6}{e^x} \)

\( x \) sonsuza giderken bu ifadenin limiti 0'dır.

\( = 0 \)