P Ise Q Açılımı

Örnek:
p : "İstanbul marmara denizi kıyısındadır."
q : "İstanbul Marmara bölgesindedir."
şeklinde verilen p ile q önermelerini "ise" bağlacını kullanarak yazıp doğruluk değerini bulalım:
Çözüm:
p ⇒ q : "İstanbul Marmara denizi kıyısında ise İstanbul marmara bölgesindedir." olarak yazılır.
p nin doğruluk değeri 1, q nun doğruluk değeri 1 dir. Dolayısıyla doğruluk değeri,
p ⇒ q denktir 1 ⇒ 1 denktir 1 olur.
p ile q önermesinden oluşan p ⇒ q önermesi; p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer tüm durumlar için doğrudur.
Örnek: "1 = 2 ise bir gün 24 saattir." bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım:
Çözüm: p : "1 = 2" olduğuna göre, p denktir 0 dır.
q : "bir gün 24 saattir" olduğuna göre, q denktir 1 dir.
Buna göre,
p ⇒ q denktir 0 ise 1 denktir 1 olur.
Örnek: "Kar yağıyorsa hava soğuktur." koşullu önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini bulalım
Çözüm
p : "Kar yağıyor."
q : "Hava soğuktur.
Tersi (p' ⇒ q') : "Kar yağmıyorsa hava soğuk değildir."
Karşıtı (q ⇒ p) : "Hava soğuksa kar yağıyordur."
Karşıt tersi (q' ⇒ p') : "Hava soğuk değilse kar yağmıyordur."

9. sınıf programının başlangıcı olan Önermeler Mantığı (Boole Cebiri) ve bunlar üzerinde tanımlanmış ise bağlacı gibi bağlaçlarla (işlemler) ilk karşılaştığımda adeta büyülenmiştim. İnsan mantığının böylesine güzel, basit ve tutarlı bir şekilde formüle edilmesi büyük bir zekânın eseriydi muhakkak.

Üstelik Boole Cebiri, bilgisayar denen olağanüstü makinenin de temelini oluşturuyordu. Bunu düşündükçe daha da mest oluyordum. Çünkü o yıllarda (80’ler) kişisel bilgisayarlarla yeni tanışmaktaydık ve bu makineler beni büyülüyordu. Kendi kendime programcılık öğreniyordum.

Bilgisayarları o kadar seviyordum ki sabırsızlığım yüzünden kablolarını yanlış bağladığım Atari XL marka bir oyun bilgisayarını alındıktan bir gün sonra bozmayı başarmıştım. Üstelik bilgisayar bana bile ait değildi. (Neyse ki firma biraz naz yaptıktan sonra yenisini verdi.) Önermeler mantığında konular genel olarak basitti. Bütün bağlaçların doğruluk tablosunun nasıl yapılacağını çabucak öğrenmiştim. Ama bütün bu karmaşa içinde anlayamadığım bir şey kalmıştı.

0  ⇒  1 önermesi neden doğruydu?

Uzun süre buna kafa yorduğumu hatırlıyorum. “Ve/veya” bağlaçlarını anlayabiliyordum, onları günlük hayatta da kullanıyorduk zaten. Ama “ise” bağlacı biraz şüpheliydi. Onda tam anlayamadığım bir şeyler vardı. Tabi ki 1  ⇒ 1’in doğru; 1 ⇒ 0’ın yanlış olmasını anlayabiliyordum. Doğru bir öncülden doğru bir sonuç çıkması gayet mantıklıydı (1  ⇒ 1 = 1). Ayrıca doğru bir öncülden yanlış bir sonuç da çıkamazdı. Yanlış bir öncülden yanlış bir sonuç çıkması da gayet mümkündü (0  ⇒ 0 = 1).

Benim anlayamadığım 0  ⇒  1 önermesinin doğru olmasıydı. Bu ne anlama geliyordu? Yanlış bir şeyden doğru sonuç nasıl çıkabilirdi? Bunun üzerine çok düşündüm. Bulabildiğim en iyi açıklama şuydu: “Başlangıç önermesi yanlış bile olsa, yine de doğru doğrudur. Yani insan yanlış bir noktadan başlasa bile doğru bir noktaya ulaşabilir. Sonuçta önemli olan, varılan noktanın doğru olmasıdır.”

Örneğin, bir hırsız arada bir doğru bir iş yapabilir, bulduğu bir cüzdanı polise teslim edebilir. Bunu yaparsa yanlış yapmış olmaz. Kimse ona: “Sen bir hırsız olduğun için, bu cüzdanı karakola teslim etmen yanlıştır” diyemez. Eh, böyle düşününce mantıklı gelmişti. Ancak bu yanıt beni tam olarak tatmin etmiyordu. Çünkü, matematiğin buna izin vermemesi gerektiğini düşünüyordum. Yani, yanlış bir bilgiden doğru bir sonuç çıkmamalıydı. (Bakınız: Şekil 1)

İse Bağlacı İle İlgili Bir Önermeler Tablosu

Örneğin, Ali adlı bir öğrenci “2=5” yanlış önermesinden yola çıkarak eşitliğin her iki tarafına 1 eklesin. Böyle yaptığında yine yanlış olan 3=6 sonucunu bulur. Yani yanlıştan yanlış çıkabilir, ama yanlıştan doğru nasıl çıkacak? Ali, işlem yaparken tesadüfen doğru bir sonuca ulaşmış olabilir. Ulaştığı sonuç doğru olduğu için, bu sonuca nasıl vardığı önemli değildir. Böyle mi düşünmeliydik?

Ne de olsa, bir testte kafadan atarak doğru cevabı bulan bir öğrencinin cevabını doğru kabul ediyorduk. Çocuğun belki de saçma bir yolla bulduğu sonuç, tesadüfen doğru olabilirdi. Yani yanlıştan doğru çıkabilirdi.

Ama hayır, böyle düşünemezdik. Çünkü o zaman Ali’nin doğru bir öncülden işlem hatası yaparak yanlış bir sonuca varmasını da kabul etmemiz gerekirdi ki bazı öğretmenler öyle yaparlar, yani öğrencinin gidiş yoluna puan verirler. Bazı öğretmenler ise “sonucun yanlış ise gidiş yolun doğru bile olsa puan alamazsın” diye tuttururlar.

Kısaca, işlem hatalarını mantığın bir parçası haline getiremeyiz. Mantıkta işlemlerin hatasız yapıldığını kabul etmeliyiz. O halde, yanlış bir öncülden doğru bir sonuca nasıl varıldığını açıklamak zorundayız. Şimdi okuyuculara soruyorum: Yanlış bir sonuçtan, işlem hatası yapmaksızın, mantık kurallarına uygun olarak doğru bir sonuca varmak mümkün müdür? Böyle bir örnek biliyor musunuz?

Bir başka örnek verelim:

P: “Araba kaza yapar.” ve Q: “Sigorta şirketi para öder.” Şeklinde iki önerme verilsin.

• “Araba kaza yapar ise sigorta şirketi para öder” önermesi doğrudur. (1 ⇒1 = 1)
• “Araba kaza yapar ise sigorta şirketi para ödemez” önermesi yanlıştır. (1⇒0 = 0)
• “Araba kaza yapmaz ise sigorta şirketi para ödemez” önermesi de doğrudur. (0⇒0 = 1)

Ancak “araba kaza yapmaz ise sigorta şirketi para öder” önermesinin neden doğru olduğu pek açık değildir. (0⇒1 = 1) Günlük hayatımızda böyle yapmayız, hak edilmeyen bir parayı ödemeyiz. O halde bu önerme neden Boole Cebirinde doğru kabul ediliyor?

Çözüm

Elbette kaza yapmayan arabanın sigortasının ödenmesi beklenen bir davranış değildir ama sigorta şirketi ile müşteri arasında imzalanan kontrata da aykırı değildir. Şirket kazasız arabaya ödeme yaparsa kontratın şartlarını ihlal etmiş olmaz. Böyle gereksiz bir ödeme ile karşılaşırsak “üzümünü ye bağını sorma” der parayı cebe atarız.

Ya da dürüst davranıp “yanlış ödeme yapıldı” diye parayı iade ederiz. Ama kesinlikle şirketi dava etmeyiz. O halde şirketin bu davranışı “yanlış” değildir; yani kontrata aykırı değildir. Yanlış olmayan şeye Önermeler Mantığı’nda “doğru” denir. (Üçüncü durumun imkansızlığı ilkesi.) O halde 0⇒1 önermesi de doğru olmalıdır. (Çünkü yanlış değil.)

İse Bağlacı Nasıl Okunmalıdır?

Evet, baştan beri bilmiyormuş gibi yaptım ama bir cevabım vardı tabi ki. İşin sırrı ⇒ sembolünün okunuşuyla ilgili. Bu sembolün Türkçedeki yaygın okunuş biçimi “gerektirir” ya da “sonucu çıkar” şeklindedir. “P ⇒ Q” ifadesini “P, Q’yu gerektirir” şeklinde okuyabiliriz. Ya da: “P’den Q çıkar.” ; “P’nin sonucu Q’dur.”; “Madem P, o halde Q.” (Madem ekmek o halde köfte!!!)

Bütün bu okunuşlar doğrudur ve kullanılabilir. Ancak, bu okunuşlardan hiç biri “yanlıştan doğru çıkar” mantığını açıklamıyor. Düşünsenize: “Arabanın kaza yapmaması, sigorta şirketinin para ödemesini gerektirir.” Olmadı değil mi? Ya da: “Arabanın kaza yapmamasından sigorta şirketinin para ödediği sonucu çıkar.”

Yine mantıklı gelmiyor. O halde okuma biçimini değiştirelim. P⇒ Q önermesini “P, Q’ya engel değildir” diye okuyalım.  “Arabanın kaza yapmaması, sigorta şirketinin para ödemesine engel değildir.” Eh, kulağa daha kabul edilebilir geliyor. Sigorta şirketi yanlışlıkla veya iyilik olsun diye para ödemiş olabilir, ağanın eli tutulmaz. Daha güzel bir örnek verelim:

P: “2=3” ve Q: “ABD’nin eski bir başkanı Trump’tır.” Önermeleri verilsin. (P’nin yanlış, Q’nın doğru olduğunu görünüz.) Şimdi: “2=3 ise ABD’nin eski bir Başkanı Trump’tır” önermesine ne dersiniz? Doğru mudur yanlış mı?

Günlük hayatta kulağa yanlış gibi geliyor, ama önermeler mantığında doğrudur. Ama yine de doğru değil gibi sanki. Hatta saçma bir laf gibi geliyor kulağa. “Gerektirir” diye okumak da çare değil. “2=3 olması Trump’ın ABD başkanı olmasını gerektirir.”

Hayır, çok saçma. Ama şu okunuş kabul edilebilir: “2=3 olması, Trump’ın ABD başkanı olmasına engel değildir.” Artık kulağa mantıklı gelmeye başladı. Sonuç: Yeri geldiğinde ‘ise’ bağlacı ‘engel değildir’ şeklinde okunabilir. Yazının devamında okumaya devam etmek isterseniz: Mantık Sorularını Çözerken Doğruluk Tablosu Yapmanın Kısa Yolu

Matematiksel

ÖRNEK 5:

(p &#; q&#;) V r&#; &#; 0 olduğuna göre, (q &#; r) &#; p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.


ÇÖZÜM 5:

(p &#; q&#;) V r&#; &#; 0 ise p &#; q&#; &#; 0 ve r&#; &#; 0 olmalıdır.
p &#; q&#; &#; 0 ise p &#;1 ve q&#; &#; 0 olur.
Buradan, p &#;1, q &#; 1 ve r &#; 1 elde edilir.
Bu doğruluk değeri, istenen bileşik önermede uygularsak,
(q &#; r) &#; p; (1&#;1) &#; 1; 1 &#; 1 &#; 1 olur.
O halde, bu bileşik önerme doğrudur.



ÖRNEK 6:

“ x bir çift sayı ise x² çift bir sayıdır.” bileşik önermesi veriliyor. Bu bileşik önermenin karşıt, ters ve karşıt ters koşullu önermeleri nedir?


ÇÖZÜM 6:

Verilen bileşik önermede;
hipotez: “x bir çift sayıdır.”
hüküm: “x² çift bir sayıdır.”
Karşıt: “x² çift bir sayı ise x bir çift sayıdır.”
Tersi : “x bir çift sayı değil ise x² çift bir sayı değildir.”
Karşıt tersi: “x² çift bir sayı değil ise x bir çift sayı değildir.”