Matematik 10 Sınıf Ikinci Dereceden Denklemler

Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak  bilgi sahibi olabilirsiniz. İkinci Dereceden Denklemler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor…

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0 şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

* Denklemi sağlayan x gerçek (reel) sayılarına denklemin kökleri denir.
*Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir.
*Kökler denklemi sağlar.

Çarpanlara Ayırma Yöntemi İle Kök Bulma

Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 şeklinde yazılabiliyorsa f(x) = 0 veya g(x) = 0 dır.

Δ (Delta) ile Kök Bulma

denkleminin diskriminantı (delta) ‘dir.

Δ> 0 ise denklemin farklı iki gerçek (reel) kökü vardır.

Bu kökler  x₁= x2= dır.

Δ= 0 ise denklemin birbirine eşit (çakışık , çift katlı) iki gerçek (reel) kökü vardır.

Bu kökler dır.

Δ< 0 ise denklemin gerçek(reel) kökü yoktur.

Karmaşık Sayılar

Karmaşık Sayı Tanımı

a, b birer gerçel(reel) sayı olmak üzere z= a+bi biçimindeki bir sayıya karmaşık sayı denir.

z  = a  + bi karmaşık  sayısında a’ya z karmaşık sayısının  reel kısmı  denir  ve Re(z)  ile  gösterilir, b’ye de z karmaşık sayısının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im(z) ile gösterilir.

a, b, c, d birer reel sayı olmak üzere; z1 = a + bi ve z2 = c + di iken z1 = z2 ise a = c ve b = d’dir.

a ve b reel sayılar olmak üzere, a + bi şeklindeki bir karmaşık sayının eşleniği a – bi’dir.

Kökleri Karmaşık Olan Denklemler

Δ≠ 0 ise denklemin farklı iki gerçek (reel) kökü vardır.

denkleminin diskriminantı sıfırdan küçük olduğunda (Δ< 0) karmaşık (sanal) kökleri vardır.

Bu kökler  x₁= x2= dır.

Karmaşık Sayılarda i’nin Kuvvetleri

i⁴ⁿ=(i⁴)ⁿ=1ⁿ=1                 i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ.i¹=1 .i=i

i⁴ⁿ⁺²=i⁴ⁿ.i²=1.-1=-1        i⁴ⁿ⁺³=i⁴ⁿ.i³=(-1).(-1)=1

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarmada bir zorluk yok, reel kısımları ayrı, sanal kısımları ayrı topluyoruz ya da çıkarıyoruz.

Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma yapılırken dağılma özelliği kullanılır.

Örnek 1:

karmaşık sayısının sonucunu bulalım.

Çözüm: 

Örnek 2:

sayılarının çarpımı nedir?

Çözüm:

Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi

Karmaşık sayılarla bölme işlemi yapılırken, iki karmaşık sayının birbirine bölümü elde edilmeye çalışılmaktadır. Bölme işlemi yapılırken ters elemandan yardım alınmaktadır. İki karmaşık sayının bölümü, bölenin tersi ile bölünenin çarpımına eşit olduğu bilinmektedir.

Örnek 1:

Örnek 2:

10. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız

10. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0

şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

• Denklemi sağlayan x gerçek (reel) sayılarına denklemin kökleri denir.
• Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir.
• Kökler denklemi sağlar.

Çözümlü Sorular

Çarpanlara Ayırma Yöntemi İle Kök Bulma

Çözümlü Sorular

Δ (Delta) ile Kök Bulma

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılar

Karmaşık Sayı Tanımı

• ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel (gerçek) kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz.
  Örneğin x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
  Çünkü x² + 1 = 0 ise x² = -1 dir. Karesi -1 olan reel sayı yoktur.
• Şimdi bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
  a ve b reel sayı, i² = -1 olmak üzere
  z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
  C = {z: z = a+bi; a,b ∈ R ve i² =-1} dir.
• z = a + bi şeklindeki yazılışına z karmaşık sayısının standart biçimi denir.
• z = a + bi karmaşık sayısında a ya reel kısım, b ye imajiner (sanal) kısım denir ve Re(z) = a, im(z) = b şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki sayıları inceleyiniz.
z = 2 + 5i ise Re(z) = 2, im(z) = 3
z = 4i – 5 ise Re(z) = -5, im(z) = 4
z = 6i ise Re(z) = 0, im(z) = 6
z = 7 ise Re(z) = 7, im(z) = 0 dir.

Çözümlü Sorular

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Çözümlü Sorular

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

Çözümlü Sorular

Kökleri Karmaşık Olan Denklemler

Not: Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a + b.i ise diğer kök bunun eşleniği olan a – b.i dir.

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılarda i nin Kuvvetleri (Fen Liseleri)

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem (Fen Liseleri)

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Çarpma İşlemi

Bölme İşlemi

Çözümlü Sorular

Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişki

Simetrik Kök: ax² + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa b = 0 dır.
Simetrik kökler toplama işlemine göre birbirinin tersidir. (x₁ = -x₂)

Çözümlü Sorular

Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Yazılması

Çözümlü Sorular

2. Dereceden Denklemler 1 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 2 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 3 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 4 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 5 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 6 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler Soru Çözümü Rehber Matematik