Matematik Tümevarım Örnekleri

Tümevarım, felsefe ve mantığa dayanan bilgileri alır ve onlardan sonuç çıkarır. Tümdengelimin zıttı olarak da bilinmektedir. Günümüzde felsefe ve matematik derslerinde sıkça gördüğümüz tümevarım kavramının sonuçları hiçbir zaman kesin değildir. Bu yöntemi kullanırken çelişkiye düşme ihtimalimiz de bir hayli çoktur. Bu yazıda felsefe tümevarım örneklerine de yer verdik. Hadi gelin tümevarım prensibi nedir ve tümevarım nedir adlı yazımıza geçelim.

Tümevarım Nedir?

Halk arasında bilinen adıyla olan tümevarım, indüksiyon olarak da adlandırılma yapılmaktadır. Bu akıl yürütme yöntemi, var olan konular veyahut da olaylar üzerinden bilinmeyene yani yeni olan bilgilere ulaşım sağlamak için kullanılmakta olan akıl yürütme yöntemleri arasındandır.

Tümdengelimin zıttı olarak da bilinen tümevarım kavramı, özel olan bilgiler tarafından genel bilgilere ulaşım sağlamaktadır. Tümevarımın sergilediği sonuçlar bu neden dolayı kesin değildir. Gözlemlenen konular ve olaylar üzerine tümevarım yöntemi ile beyin fırtınası yapılarak doğru sonuçlara ulaşmak mümkün olabilir fakat gözlenmemiş konular ve olaylar üzerinden düşünüldüğü için de çelişme yaşanması bir hayli yüksektir.

Tümevarım Özellikleri

• Tümevarım da tüm olgular ve kavramlar tek bir özelliği konu olarak ele alınır. Örneğin "bitkiler konuşamaz" veya "insanlar uçamaz" gibi, insanlar ve bitkiler sadece bir özelliği ile değerlendirilmeye alınır.
• Bu yöntemde olguların nedenselliği gibi ortaya atılan yargılayıcı düşünce tek yönlüdür.
• Tümevarım yöntemini uyguladıktan sonra ortaya çıkan bilgiler gerçeği yansıtsa da bu gerçeklik zorunu olmaz. Bu nedenden dolayı söz konusu olan tümevarım tekniği ile ortaya çıkarılan sonuçların bilimsel bir gerçeği yoktur.
• Endüksiyon adıyla da bilinen tümevarım akıl yürütme yönteminde kullanılan en az iki öncül vardır.
• Tez – antitez – sentez yönteminden farklı bir şekilde, endüksiyon yönteminde kullanılan tüm tikel öncüler birbirlerini destekler niteliktedir.

Akıl Yürütme Yöntemlerinden Tümevarım Örnekleri

• Serçe, güvercin ve karga uçar. Serçe, güvercin ve karga kuştur. Öyleyse kuşlar uçar.
• Bebekler yürüyemez. Ahmet bir bebektir. Öyleyse Ahmet yürüyemez.
• Boncuk siyah bir kedidir. Boncuk balık yer. Öyleyse tüm siyah kediler balık yer.
• Günler 24 saat sürer. Salı bir gündür. Öyleyse salı günü de 24 saattir.

Akıl Yürütme Yöntemlerinden Tümevarım Çeşitleri

Akıl yürütme yöntemlerinden Tümevarım uygulama esnasında eksik ve tam olarak iki şekilde olmak üzere ayrılır. Eksik tümevarım yöntemi, bir kavramın veya olayın tamamını değil sadece ufak bir kısmını ele alarak düzenler. Tam tümevarım ise kavramın genelini kapsar ve bu yöntemin dayandığı ilkeler daha tutarlı bir şekildedir.

T&#;mdengelim-T&#;mevar&#;m

Tümdengelim; genelden özele ya da yasalardan olaylara geçi&#; &#;eklindeki ak&#;l yürütmedir.
Örn: “Bütün bal&#;klar denizde ya&#;ar.”, “Kefal bal&#;kt&#;r. O halde, kefal de denizde ya&#;ar” ç&#;kar&#;m&#;, tümdengelim türü bir ak&#;l yürütmedir. K&#;yas, tümdengelimin en mükemmel &#;ekli olarak kabul edilir. Bu nedenle, klasik mant&#;k ak&#;l yürütmede esas olarak k&#;yas&#; alm&#;&#;t&#;r.
Tümelden tikeli ve genelden özeli ç&#;karan uslamlama yöntemi Tümdengelim, do&#;ru olan ya da do&#;ru oldu&#;u san&#;lan önermelerden zorunlu olarak ç&#;kan yeni önermeler türetir. Öncüller do&#;ruysa sonuç da mant&#;ksal bir zorunlulukla do&#;rudur. “Örne&#;in: insan ölümlüdür , Ahmet insand&#;r öyleyse Ahmet de ölümlüdür” tas&#;m&#;, tümden gelen bir tas&#;md&#;r. Bütün insanlar&#;n ölümlü olduklar&#; do&#;ruysa Ahmet de bir insan oldu&#;una göre Ahmet’in de ölümlü olmas&#; zorunludur, ba&#;ka türlü olamaz.
Deneysel bilimin , tümevar&#;mc&#; bilgi yönteminin kurucusu Francis Bacon deneye ba&#;vurmad&#;&#;&#;, salt dü&#;ünsel bir uslamlama oldu&#;u için tümdengelimi yads&#;m&#;&#;t&#;r. Buna kar&#;&#;t Hegel , tersine, ancak tümdengelenin gerçek oldu&#;unu, bireyselden yola ç&#;k&#;larak tüme var&#;lamayaca&#;&#;n&#; savunmu&#;tur. Ona göre idealizm için tek geçerli yöntem, tümdengelim yöntemidir.
Tümdengelim ve tümevar&#;m yöntemleri, tümelle tikel (genelle özel) aras&#;nda s&#;k&#; bir ili&#;ki gören ve bu ili&#;kiyi en do&#;ru &#;ekilde ortaya koyman&#;n yollar&#;n&#; ara&#;t&#;ran Aristoteles’in bulu&#;udur. Genelden özele inen tümdengelim yöntemiyle özelden genele ç&#;kan tümevar&#;m yöntemi yüzy&#;ldan itibaren bir hayli geli&#;mi&#;tir. Özellikle bu iki yöntem aras&#;ndaki ba&#;l&#;l&#;k, ikisinin birlikte kullan&#;lmas&#; diyalektik mant&#;kta gerçekle&#;mi&#;tir


Kesin sonuç veren ak&#;l yürütmeye ç&#;kar&#;m, tümdengelim (dedüksiyon) denir. Bu yönteme göre, do&#;an&#;n ara&#;t&#;r&#;lmas&#; önce gözlemlerden genel prensiplerin ç&#;kar&#;lmas&#; (tümevar&#;m) ve daha sonra genel prensiplere dayanarak gözlemlerin aç&#;klanmas&#; (tümdengelim) a&#;amalar&#;n&#; içermektedir.
Tümdengelim; tümelden tikeli ve genelden özeli ç&#;karan uslamlama yöntemidir. Tümdengelim, do&#;ru olan ya da do&#;ru oldu&#;u san&#;lan önermelerden zorunlu olarak ç&#;kan yeni önermeler türetir. Öncüller do&#;ruysa sonuç da mant&#;ksal bir zorunlulukla do&#;rudur.
Zihnin kanunlardan, kurallara örneklere, olaylara inerek yeni bir yarg&#;da bulunmas&#;d&#;r. Tümevar&#;m&#;n tersine, genel ilkelerden özel durumlara inen bir ak&#;l yürütme &#;eklidir. Burada herhangi bir genelleme (kanun, kural) ele al&#;n&#;r, sonra bundan yola ç&#;karak özele (olaya, örne&#;e) inilerek, yeni bir yarg&#;ya var&#;l&#;r.
Tümdengelim, bir ya da birden çok öncülden mant&#;k kanunlar&#;na göre, bir sonuçlama (netice) ispatlay&#;&#; ya da ç&#;karsay&#;&#; i&#;lemidir.
Tümdengelimle var&#;lan bir sonuç, bir önermeler zinciridir ki, burada, önermelerin mant&#;k kanunlar&#;yla do&#;rudan do&#;ruya ç&#;kar&#;lan bir öncül ya da bir önermedir. Tümdengelimle var&#;lan bir sonuçlamada, neticeler öncüllerde sakl&#;d&#;r, mant&#;ksal analiz metotlar&#;yle ç&#;karsanmalar&#; icap eder. Tümdengelimin temelinde “bütün için do&#;ru olan, parçalar&#; için de do&#;rudur” ilkesi yatar.


Tümevar&#;m; özelden genele ya da olaylardan yasalara geçi&#; &#;eklindeki, ak&#;l yürütmedir. Örn: “Gözledi&#;im bütün kargalar siyaht&#;. O halde bütün kargalar siyaht&#;r “ ç&#;kar&#;m&#;, tümevar&#;m &#;eklinde bir ç&#;karmad&#;r. Özel gözlemlerden genel bir sonuca ula&#;&#;lm&#;&#;t&#;r.
Genelden özele, tümelden tekele giden genel yasadan örnek ya da özel bir uygulamas&#;n&#; ç&#;karsayan tümdengelime kar&#;&#;t olarak, özelden genele tek tek olgulardan genel yasalara ula&#;an tekil gözlem önermelerinden s&#;n&#;rlanmam&#;&#; genellemelere yükselen ak&#;l yürütme türü, genelleme.
Tekil ve tikelden tümeli, özelden geneli ç&#;karan uslamlama yöntemi Francis Bacon, bilimsel ara&#;t&#;rma yönteminin felsefesel içeri&#;ini saptayarak tümevar&#;m&#; &#;öyle tan&#;mlam&#;&#;t&#;r: “bilmek için s&#;namak, gözlemlemek, olaylar&#; çözümlemek ve sonra ayr&#; olaylardan genellemeler yapmak ve sonuçlar ç&#;karma yöntemi” . tümevar&#;m yöntemi , bilimsel önemini ve yüzy&#;llarda kazanm&#;&#; ve Francis Bacon, Galile , Newton ve John Stuart Mill’in katk&#;lar&#;yla bir hayli geli&#;mi&#;tir. Bugün iki türlü tümevar&#;m ay&#;rt edilmektedir: Bir s&#;n&#;fa giren bütün ö&#;elerin incelenmesi sonucu olan tam tümevar&#;m, bütün ö&#;elerin incelenemeyece&#;i durumlarda zorunlu olarak ba&#;vurulan ve çok say&#;da ö&#;enin incelenmesiyle yetinen eksik tümevar&#;m. Eksik tümevar&#;mlarda var&#;lan sonuç belkili bir sonuçtur. Örne&#;in birçok kedinin kuyruklu oldu&#;una bakarak bütün kedilerin kuyruklu oldu&#;u yolunda tümevar&#;msal bir sonuç ç&#;kar&#;r&#;z, ne var ki Man adalar&#;nda ya&#;ayan kediler kuyruksuzdur. Bu yüzden “bütün kediler kuyrukludur” dememiz daha do&#;ru olurdu.
Deneysel bilimler, olaylardan yasalara götüren bir yöntem olan tümevar&#;m yöntemini kullan&#;rlar, tümdengelimi kullan&#;rlar . örne&#;in bir buz parças&#;n&#;n ate&#; üstünde eridi&#;ini birçok kez görsek “ate&#; buzu eritir” tümevar&#;m&#;n&#; uslamlar&#;z. Bilim, &#;öyle bir tas&#;mlama yaparak bunu yasala&#;t&#;r&#;r: birinci öncüle nedensellik ilkesini koyar ve “ ayn&#; nedenler ayn&#; ko&#;ullarda ayn&#; sonuçlar verir” der. &#;kinci öncüle deneylerimizin sonuçlar&#;n&#; yerle&#;tirir ve “ate&#; buzu eritir” der. Sonra bu sonucu tümelleyip bilimsel bir yasa haline getirir ve “&#;s&#; her zaman buzu suya dönü&#;türür” der. Bu yasay&#; bilimsel olarak ortaya koyan , görüldü&#;ü gibi, nedensellik ilkesidir, sadece gözlemlerimiz ve deneylerimiz de&#;ildir
Diyalektik materyalizm, tümevar&#;mla tümdengelimi, bilgi sürecinin, birbirlerini belirleyen ve kopmaz bir ba&#;&#;ml&#;l&#;k içinde bulunan yanlar&#; olarak görür; ayr&#; ayr&#; yeterli bulmaz ve bunlardan birinin salt&#;kla&#;t&#;r&#;lmas&#;na kar&#;&#;d&#;r. Tümevar&#;mla tümdengelimin ba&#;&#;ml&#;l&#;&#;&#;, kuramla k&#;lg&#;n&#;n ba&#;&#;ml&#;l&#;&#;&#; gibidir. Deneysel verilerden kuramsal sonuçlar ç&#;kar&#;l&#;rken (tümevar&#;m) o kuramsal sonuçlar&#; deneyleyerek (tümdengelim) do&#;rulamak gerekir.




Tümdengelim yöntemi mant&#;kta bir ya da daha fazla öncülden zorunlu olarak sonucun ç&#;kar&#;lmas&#;d&#;r ve tümelle tikel (genelle özel) aras&#;nda s&#;k&#; bir ili&#;ki gören ve bu ili&#;kiyi en do&#;ru olarak ortaya koyman&#;n yollar&#;n&#; ara&#;t&#;ran Aristotoles’in bulu&#;udur.
Aristotales, antikça&#; Yunan dü&#;üncesinde ça&#;da&#; anlam&#;yla ilk bilgindir. Kendisinden önce bütün bilgileri toplam&#;&#;, iç içe geçmi&#; olanlar&#; birbirinden ay&#;rm&#;&#;, s&#;n&#;fland&#;rm&#;&#;, ele&#;tirmi&#; ve bütünlemeye çal&#;&#;m&#;&#;t&#;r. Özellikle sonradan ****fizik ad&#; verilen Prote Filosofia (&#;lk felsefe) adl&#; yap&#;t&#; Thales'den kendisine kadar gelen felsefe tarihinin çok ba&#;ar&#;l&#; bir özetidir ve en güvenilir kayna&#;&#;d&#;r. Toplad&#;&#;&#; bilgilerin do&#;ruluklar&#;n&#; ölçmek için bilimsel bir dü&#;ünme yöntemi aram&#;&#; ve do&#;ru dü&#;ünmenin kurallar&#;n&#; bütün ayr&#;nt&#;lar&#;yla saptamaya çal&#;&#;arak bunlara do&#;ru dü&#;ünmenin aletleri anlam&#;na gelen organon ad&#;n&#; vermi&#;tir. Aristotalesin bu do&#;ru dü&#;ünme kurallar&#;na sonradan mant&#;k ad&#; verilmi&#;tir.
Genç Aristotales henüz Akedemia'da bir Platon ö&#;rencisi iken kendisine kadar gelen dü&#;ünmede üç bak&#;&#; bulunuyordu: &#;nsan&#;n görünene bak&#;&#;&#; (do&#;a), insan&#;n kendisine bak&#;&#;&#; (insan) ve insan&#;n görünmeyene bak&#;&#;&#; (do&#;a üstü) Dü&#;ünür Aristotales yöntemsel aletler bularak bu ilkel bak&#;&#;&#; do&#;ru bak&#;&#;a çevirmek istedi: Görünmeyenden görünene bakmak (tümdengelim "do&#;rulama") görünenden görünmeyene bakmak (tümevar&#;m "ara&#;t&#;rma")
Ne varki bu do&#;ru bak&#;&#;&#; gerçekle&#;tirmek için dü&#;ünmenin bilimden yararlanmas&#;, e&#;deyi&#;le dü&#;ünce-do&#;abilim diyalekti&#;i gerekiyordu. O ça&#;&#;n bilimleriyse dü&#;ünmenin pek gerisindeydiler. Bu yüzdendir ki dü&#;ünür Aristotales, dü&#;ünmesine kar&#;&#;l&#;k verecek bilimi de kendisi yapmak zorundayd&#;. Çe&#;itli bilim alanlar&#;ndaki, ça&#;&#;n&#;n ölçülerine göre pek geni&#;, bilimsel çabalar&#;n&#;n nedeni budur. Bu bilimsel çal&#;&#;malardan ve bu çal&#;&#;malar s&#;ras&#;nda ilk felsefe (prote filosofia) do&#;du. Art&#;k ça&#;&#;yla zorunlu imkanlar içinde, geleneksel büyük soruya kar&#;&#;l&#;k aranacakt&#;r: &#;lkneden nedir? &#;lkneden en son ve en geli&#;mi&#;, Platon'un ideas&#; olamaz. Çünkü idea görünen say&#;s&#;z gerçek biçimlerinin içindedir ve o biçimlerden soyularak, e&#;deyi&#;le içlerinden ç&#;kar&#;larak elde edilmi&#;tir. Kald&#; ki Platon, bu idealara nesnelere özü demektedir, öyleyse öz nas&#;l biçimsel nesneden ayr&#; ve onun d&#;&#;&#;nda olabilir? Öz'süz biçim ve biçim'siz öz olamaz.
Öyleyse görünenden görünmeyene bak&#;p ara&#;t&#;rmal&#;y&#;z ama buldu&#;umuzu da görünmeyenden görünene bak&#;p (tümdengelim) do&#;rulamal&#;y&#;z. Tümevar&#;mla ara&#;t&#;r&#;p ideay&#; buluyoruz, &#;imdi onu tümdengelimle do&#;ru yerine oturtmal&#;y&#;z.
Genelden özele inen tümdengelim yöntemi ile özelden genele ç&#;kan tümevar&#;m yöntemi Yüzy&#;ldan itibaren bir hayli geli&#;tirilmi&#;tir. Özellikle bu iki yöntem aras&#;ndaki ba&#;l&#;l&#;k, ikisinin birlikte kullan&#;lmas&#; diyalektik mant&#;kla gerçekle&#;mi&#;tir.
ve yüzy&#;llarda matematiksel mant&#;&#;&#;n problemlerine ili&#;kin ara&#;t&#;rmalar tümdengelimle ba&#;&#;nt&#;l&#; nosyonlara aç&#;kl&#;k kazand&#;rm&#;&#; ve genelden özele bir dedüksiyon, olarak tümdengelim kavram&#;n&#;n yetersizli&#;ini göstermi&#;tir. Modern tümevar&#;m kavram&#; Aristotoles’çi sillojistik tümdengelim (genelden özele) yorumunun geni&#; çapl&#; bir genelle&#;tirilmesidir. Dar olarak, tümdengelim, herhangi bir tümdengelimi veya ç&#;karsamay&#; belirtir.
Tümdengelimsel Metot Tümdengelimsel Metot, yaln&#;zca tümdengelimsel tekniklere dayanan bir bilimsel ç&#;karsama metodudur. Felsefede tümdengelimsel metot ve di&#;er metotlar aras&#;nda ay&#;r&#;c&#; bir çizgi çizme ve tümdengelimsel muhakemeyi tecrübenin d&#;&#;lanmas&#; ve bilimde tümdengelime a&#;&#;r&#; önem verilmesi olarak tan&#;mlama hususunda giri&#;imlerde bulunulmu&#;tur. Fakat tümdengelim ve tümevar&#;m aras&#;nda kar&#;&#;l&#;kl&#; ba&#;&#;nt&#; vard&#;r ve tümevar&#;msal muhakeme insano&#;lunun yüzy&#;llarca süren pratiksel ve bilgisel çabas&#;na dayal&#;d&#;r. Tümdengelimsel metot, genel olarak ampirik verilerin, bunlar&#;n biriki&#;inden ve teorik biçimde yorumlan&#;&#;&#;ndan sonra, uygun bütün sonuçlar&#; daha tam ve daha tutarl&#; biçimde ç&#;karsamak amac&#;yla sistemle&#;tirilmesinde kullan&#;lan geçerli bilimsel ç&#;karsama metotlar&#;ndan birisidir. Bu metot yeni bilgiyi, di&#;er &#;eyler aras&#;nda, dedüktif bir tarzda formüle edilmi&#; olan bir teorinin mümkün yorumlar&#;n&#;n bir toplam&#; kabul eder.
Tümdengelim Teoremi Mant&#;k ötesi anahtar bir terim ki &#;u demektir: e&#;er B önermesi, A öncülünün de do&#;ru oldu&#;u varsay&#;m&#; (assumption) üzerinde ç&#;karsanm&#;&#;sa, o takdirde, (A muteberdir) varsay&#;m&#; olmaks&#;z&#;n, belirli say&#;da öncüllerden, mademki A vard&#;r, öyleyse B'de vard&#;r sonucu ç&#;kar&#;labilir. Tümdengelim Teoremi önemli muhtelif mant&#;ksal sistemlere uygulanmaktad&#;r, klasik ve konstrüktif önermeler ve yüklemler hesab&#;, formel aritmetik vb. Tümdengelim teoremi, baz&#; sistemler için, örne&#;in belirli modal mant&#;k sistemleri için geçerli de&#;ildir. Tümdengelim teoremi formalize edilmi&#;-olmayan muhakemede geni&#; biçimde kullan&#;l&#;r. Tümdengelim teoremi ispat sürecini basitle&#;tirir. O, ilk olarak tek bir sistem için, Jacques Herbrand taraf&#;ndan tan&#;mlanm&#;&#; ve ispat edilmi&#; ve genel bir metodolojik ilke olarak 'de Tarski taraf&#;ndan formüllendirilmi&#;tir