Üslü Denklemler Tyt

İfadelerdeki sayılar içinde, 9'un 3'ün bir kuvveti, 'in de 5'in bir kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için tüm sayıları asal tabanlara çevirelim.

\( 3^x = 5 \)

\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)

İki ifadeyi eşitleyebilmek için birinci ifadenin 3. kuvvetini alalım.

\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)

Bu durumda \( x \) ve \( y \)'li ifadeleri birbirine eşitleyebiliriz.

\( 3^{3x} = 3^{2y} \)

Tabanları -1, 0 ve 1'den farklı ve eşit olan üslü ifadelerin üsleri eşittir.

\( 3x = 2y \)

Sorulan oranda \( y \) yerine \( x \) yazalım.

\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)

\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} = \dfrac{5x}{-x} = -5 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Eşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer tek sayı olduğu için, tabanlar eşit olmak zorundadır.

\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \)

\( x + 5 = 2x - 1 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 6 \} \)

Bu değerin eşitliği sağladığını kontrol edelim.

\( (6 + 5)^3 = (2 \cdot 6 - 1)^3 \)

\( 11^3 = 11^3 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Eşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer çift sayı olduğu için, tabanların mutlak değerleri eşit olmak zorundadır.

\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \)

\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)

Durum 1: \( x + 1 = 3x - 13 \)

\( \quad 2x = 14 \)

\( \quad x = 7 \)

Durum 2: \( x + 1 = -(3x - 13) \)

\( \quad 4x = 12 \)

\( \quad x = 3 \)

Bu değerlerin eşitliği sağladığını kontrol edelim.

\( x = 3 \)

\( \quad (3 + 1)^8 = (3 \cdot 3 - 13)^8 \)

\( \quad 4^8 = (-4)^8 \)

\( x = 7 \)

\( \quad (7 + 1)^8 = (3 \cdot 7 - 13)^8 \)

\( \quad 8^8 = 8^8 \)

Değerler eşitliği sağladığı için her ikisini de çözüm kümesine dahil edebiliriz.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 3, 7 \} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Yukarıda bahsettiğimiz 3 durumu da olası çözümler olarak inceleyelim.

Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır. (\( x^0 = 1 \))

\( \quad x + 3 \ne 0 \Longrightarrow x \ne -3 \)

\( \quad x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)

\( \quad \) Buna göre, \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.

Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir rasyonel sayıdır. (\( 1^a = 1 \))

\( \quad x + 3 = 1 \Longrightarrow x = -2 \)

\( \quad \) Buna göre, \( x = -2 \) geçerli bir çözümdür.

Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır. (\( (-1)^a = 1 \))

\( \quad x + 3 = -1 \Longrightarrow x = -4 \)

\( \quad x = -4 \) için ifadenin üssü bir çift sayı olduğu için (\( x - 2 = -4 - 2 = -6 \)), \( x = -4 \) geçerli bir çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -4, -2, 2 \} \)

Her bir ifadeyi verilen denklemde yerine koyarsak, eşitliğin üç değer için de sağlandığını görebiliriz.

\( (-4 + 3)^{-4 - 2} = (-1)^{-6} = 1\)

\( (-2 + 3)^{-2 - 2} = 1^{-4} = 1\)

\( (2 + 3)^{2 - 2} = 5^0 = 1\)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a^{16} = (a^4)^4 = 16 = 2^4 \)

Üsler eşit olduğu için tabanlar da eşittir.

\( a^4 = 2 \)

İki tarafın küpünü alalım.

\( (a^4)^3 = 2^3 \)

\( a^{12} = 8 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadelerin tabanlarını eşitleyelim.

\( 2^{x + 5} = (2^3)^{2x - 20} \)

\( 2^{x + 5} = 2^{6x - 60} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( x + 5 = 6x - 60 \)

\( x = 13 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Eşitliğin sol tarafını kesirli ifadeye çevirelim.

\( (\dfrac{25}{10})^a = \dfrac{8}{} \)

\( (\dfrac{5}{2})^a = \dfrac{8}{} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki tabanları 2 ve 5'e çevirelim.

\( (\dfrac{5}{2})^a = \dfrac{2^3}{5^3} \)

\( (\dfrac{5}{2})^a = (\dfrac{2}{5})^3 \)

Tabanı kesirli olan üslü bir ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.

\( (\dfrac{a}{b})^{-1} = \dfrac{b}{a} \)

\( (\dfrac{5}{2})^a = (\dfrac{5}{2})^{-3} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( a = -3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parantez içerisindeki terimleri toplayalım.

\( 5x^2 \cdot x^3 \cdot 5^4 = \)

\( x \) ve \( 5 \) tabanındaki ifadeleri birleştirelim.

\( x^{2 + 3} \cdot 5^{1 + 4} = \)

\( x^5 \cdot 5^5 = \)

\( (5x)^5 = 3^5 \)

Bir denklemde üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar birbirine eşittir.

\( 5x = 3 \)

\( x = \dfrac{3}{5} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir denklemde üsler eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı ise tabanların mutlak değeri birbirine eşittir.

\( \abs{2a - 7} = \abs{a + 13} \)

1. durum:

\( 2a - 7 = a + 13 \)

\( a = 20 \)

2. durum:

\( 2a - 7 = -(a + 13) \)

\( a = -2 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 20 + ( -2 ) = 18 \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a^b = 1 \) biçimindeki bir eşitlik üç durumda sağlanır.

1. durum: \( a \ne 0 \) ve \( b = 0 \) olabilir.

\( x - 5 \ne 0, \quad x \in \{-3, 3\} \)

2. durum: \( a = 1 \) ve \( b \) herhangi bir sayı olabilir.

\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)

3. durum: \( a = -1 \) ve \( b \) çift sayı olabilir.

\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)

\( x = 4 \) olduğunda üs çift sayı olmadığı için bu değer denklemin bir çözümü olmaz.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 6\} \)

Buna göre denklemi sağlayan değerler toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Eşitliklerdeki tabanları asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)

\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)

Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)

\( 4x \cdot y = 12 \)

\( x \cdot y = 3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 64^x = \Longrightarrow 2^{6x} = 3^5 \)

\( 81^y = \Longrightarrow 3^{4y} = 2^7 \)

Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.

\( \dfrac{5}{4y} = \dfrac{6x}{7} \)

\( 24x \cdot y = 35 \)

\( x \cdot y = \dfrac{35}{24} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)

\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( 2(x - y) = 2 \)

\( x - y = 1 \)

\( x^2 - y^2 = 7 \)

\( (x - y)(x + y) = 7 \)

\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)

\( x + y = 7 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözersek aşağıdaki değerleri elde ederiz.

\( x = 4, \quad y = 3 \)

Buna göre \( x \cdot y = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 5^{2x} = \cdot 5^x - \)

\( (5^x)^2 = \cdot 5^x - \)

\( 5^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.

\( t^2 = t - \)

\( t^2 - t + = 0 \)

\( (t - 5)(t - ) = 0 \)

\( t - 5 = 0 \) veya \( t - = 0 \)

\( t = 5 \) veya \( t = \)

\( t = 5^x = 5 \Longrightarrow x = 1 \)

\( t = 5^x = \Longrightarrow x = 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 3\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)

\( 3^{4a} \) ifadesi önce eşitliğin sol tarafının paydasına, oradan da eşitliğin diğer tarafına negatif üslü olarak geçer.

\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b} \cdot 3^{-4a} \)

\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)

Tabanları ve üsleri doğal sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.

\( 5^0 = 3^0 = 1 \)

\( 3a + 4b = 0 \)

\( 7 - 3b - 4a \)

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözersek aşağıdaki değerleri elde ederiz.

\( a = 4, \quad b = -3 \)

Buna göre \( a \cdot b = 4 \cdot (-3) = \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Ondalık gösterimdeki sayıyı kesre çevirelim.

\( \dfrac{25}{} = \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \)

\( (2^{-2})^{a + 4} = (2^5)^{a + 4} \)

\( 2^{-2(a + 4)} = 2^{5(a + 4)} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( -2(a + 4) = 5(a + 4) \)

\( -2a - 8 = 5a + 20 \)

\( a = -4 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Payı \( 2^a \), paydayı \( 3^a \) parantezine alalım.

\( \dfrac{2^a \cdot (2 + 2^4 - 2^3)}{3^a \cdot (3^2 + 3^3 + 3^4)} \)

\( = \dfrac{2^a \cdot (2 + 16 - 8)}{3^a \cdot (9 + 27 + 81)} \)

\( = \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot } = \dfrac{20}{} \)

Sadeleştirmeleri yapalım.

\( \dfrac{2^{a}}{3^{a}} = \dfrac{2}{3} \)

\( (\dfrac{2}{3})^a = \dfrac{2}{3} \)

\( a = 1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 2^x + 7 \cdot 7^y = \)

\( 2 \cdot 2^x - 7^y = 79 \)

\( 2^x \) ve \( 7^y \) ifadelerini birer değişken olarak düşünüp iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim.

İkinci eşitliği 7 ile çarpıp birinci eşitlikle ile toplayalım.

\( 15 \cdot 2^x = + 7 \cdot 79 = \)

\( 2^x = 64 \Longrightarrow x = 6 \)

Bulduğumuz değeri birinci eşitlikte yerine yazalım.

\( 2^6 + 7 \cdot 7^y = \)

\( 7^y \cdot 7 = \)

\( 7^y = 49 \Longrightarrow y = 2 \)

\( x \cdot y = 6 \cdot 2 = 12 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.

\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)

\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)

\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)

\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( -a - 4 = 7 \)

\( a = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadeyi düzenleyelim.

\( 3^{a - b + 2} = 5^{-a - b} \)

Tabanları ve üsleri doğal sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.

\( 3^0 = 5^0 = 1 \)

\( a - b + 2 = 0 \)

\( -a - b = 0 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözelim.

\( a = -1, \quad b = 1 \)

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{-1}{1} = -1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Paydaki terimleri \( 3^a \), paydadaki terimleri \( 5^a \) parantezine alalım.

\( \dfrac{3^a \cdot 5^a + 3^a \cdot 7^a - 3^a \cdot 4^a}{5^a \cdot 5^a + 5^a \cdot 7^a - 5^a \cdot 4^a} = \dfrac{5^3}{3^3} \)

\( \dfrac{3^a \cdot (5^a + 7^a - 4^a)}{5^a \cdot (5^a + 7^a - 4^a)} = \dfrac{3^{-3}}{5^{-3}} \)

\( (\dfrac{3}{5})^a = (\dfrac{3}{5})^{-3} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.

\( a = -3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayarak ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)

Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görüyoruz. Buna göre ifadede \( (x \pm y)^2 \) biçiminde terim bulunmayacağını anlayabiliriz.

Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) biçiminde yazılabilecek şekilde gruplayalım.

\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)

Eksik sabit terimler için \( 20 = 16 + 4 \) şeklinde yazalım.

\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)

\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)

Bir reel sayı ifadenin karesi negatif olamayacağı için toplamı alınan iki ifadenin de 0 olması gerekir.

\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)

\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)

Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerini istenen ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{y - x}{x + y} = \dfrac{2 - (-4)}{-4 + 2} \)

\( = \dfrac{6}{-2} = -3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki tam kare ifade elde etmek için verilen denklemde 41 sayısını 16 + 25 şeklinde ikiye ayıralım.

\( x^2 - 8x + y^2 + 10y + 16 + 25 = 0 \)

\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 0 \)

İki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için ifadeler ayrı ayrı sıfır olmalıdır.

\( x - 4 = 0 \) ve \( y + 5 = 0 \)

\( x = 4 \) ve \( y = -5 \)

Çözüm kümesi: \( (x, y) = (4, -5) \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.

\( 2y^2 \)'li terimi ikiye ayıralım.

\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)

\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)

Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) olarak yazalım.

\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)

\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)

\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.

\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)

2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.

\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)

Bir reel sayı ifadenin karesi negatif olamayacağı için toplamı alınan iki ifadenin de 0 olması gerekir.

\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)

\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)

Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerini istenen ifadede yerine koyalım.

\( x^3 + y^{13} = 2^3 + (-1)^{13} = 8 - 1 = 7 \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Taban ve üssün tam sayı olduğu durumda denklem 3 şekilde sağlanır.

Durum 1: Taban 1, üs herhangi bir değer olur.

\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)

\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)

Bu denklemin deltası pozitif olsa da tam kare bir sayı olmadığı için kökleri irrasyoneldir.

\( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot () = \)

Durum 2: Taban -1, üs çift sayı olur.

\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)

\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)

\( (x - 7)(x + 3) = 0 \)

\( x = 7 \) ya da \( x = -3 \)

Bu iki değeri üste yerine koyarak çift sayı sonuç verip vermediğini kontrol edelim.

\( x = 7 \) için:

\( 7^2 - 5 \cdot 7 - 36 = \)

\( x = -3 \) için:

\( (-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 36 = \)

Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.

Durum 3: Üs 0, taban 0'dan farklı olur.

\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)

\( (x - 9)(x + 4) = 0 \)

\( x = 9 \) ya da \( x = -4 \)

Bu iki değerin tabanı 0 yapmadığını kontrol edelim.

\( x = 9 \) için:

\( 9^2 - 4 \cdot 9 - 22 = 23 \)

\( x = -4 \) için:

\( (-4)^2 - 4 \cdot (-4) - 22 = 10 \)

Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -3, 7, 9\} \)

Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen ilk eşitliği düzenleyelim.

\( (\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}})^{7x - y} = \dfrac{81}{} = \dfrac{3^4}{4^4} \)

\( (\dfrac{4}{3})^{\frac{7x - y}{3}} = (\dfrac{3}{4})^4 = (\dfrac{4}{3})^{-4} \)

İki üslü ifadenin eşitliğinde tabanlar eşit ve üsler -1, 0, 1'den farklı ise üsler eşittir.

\( \dfrac{7x - y}{3} = -4 \)

\( 7x - y = \)

Verilen ikinci eşitliği düzenleyelim.

\( (\dfrac{13m}{5n})^{y - 9x} = (\dfrac{28m}{5n})^{9x - y} \)

\( (\dfrac{13m}{5n})^{y - 9x} = (\dfrac{5n}{28m})^{9x - y} \)

Üsleri aynı tabanları farklı olan bu iki ifadenin birbirine eşit olabilmesi için ya üsler (taban sıfır olmadan) sıfır olmalıdır ya da tabanlar -1, 0 ya da 1 olmalıdır.

\( m \ne 0, n \ne 0 \) verildiği için tabanlar sıfır olamaz.

Tabanlar ayrı ayrı -1 ve 1'e eşitlendiğinde geçerli birer çözüm bulunmadığı görülebilir.

Buna göre üsler sıfır olmalıdır.

\( y - 9x = 0 \Longrightarrow y = 9x \)

\( y \)'nin \( x \) cinsinden değerini yukarıda bulduğumuz ilk eşitlikte yerine koyalım.

\( 7x - y = \)

\( 7x - 9x = \Longrightarrow x = 6 \)

\( y = 9 \cdot 6 \Longrightarrow y = 54 \)

\( \abs{x - y} = \abs{6 - 54} = 48 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin