SORU 1:
\( 3^x = 5, \quad 9^y = \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x + y}{x - y} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Gösterİfadelerdeki sayılar içinde, 9'un 3'ün bir kuvveti, 'in de 5'in bir kuvveti olduğunu görebiliriz. \( x \) ve \( y \) arasında bir bağıntı kurabilmek için tüm sayıları asal tabanlara çevirelim.
\( 3^x = 5 \)
\( 9^y = 3^{2y} = 5^3 \)
İki ifadeyi eşitleyebilmek için birinci ifadenin 3. kuvvetini alalım.
\( (3^x)^3 = 3^{3x} = 5^3 \)
Bu durumda \( x \) ve \( y \)'li ifadeleri birbirine eşitleyebiliriz.
\( 3^{3x} = 3^{2y} \)
Tabanları -1, 0 ve 1'den farklı ve eşit olan üslü ifadelerin üsleri eşittir.
\( 3x = 2y \)
Sorulan oranda \( y \) yerine \( x \) yazalım.
\( \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{2x + 2y}{2x - 2y} \)
\( = \dfrac{2x + 3x}{2x - 3x} = \dfrac{5x}{-x} = -5 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer tek sayı olduğu için, tabanlar eşit olmak zorundadır.
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \)
\( x + 5 = 2x - 1 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 6 \} \)
Bu değerin eşitliği sağladığını kontrol edelim.
\( (6 + 5)^3 = (2 \cdot 6 - 1)^3 \)
\( 11^3 = 11^3 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafındaki ifadelerin üsleri eşit ve birer çift sayı olduğu için, tabanların mutlak değerleri eşit olmak zorundadır.
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \)
\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)
Durum 1: \( x + 1 = 3x - 13 \)
\( \quad 2x = 14 \)
\( \quad x = 7 \)
Durum 2: \( x + 1 = -(3x - 13) \)
\( \quad 4x = 12 \)
\( \quad x = 3 \)
Bu değerlerin eşitliği sağladığını kontrol edelim.
\( x = 3 \)
\( \quad (3 + 1)^8 = (3 \cdot 3 - 13)^8 \)
\( \quad 4^8 = (-4)^8 \)
\( x = 7 \)
\( \quad (7 + 1)^8 = (3 \cdot 7 - 13)^8 \)
\( \quad 8^8 = 8^8 \)
Değerler eşitliği sağladığı için her ikisini de çözüm kümesine dahil edebiliriz.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 3, 7 \} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( (x + 3)^{x - 2} = 1\) ise \( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü GösterYukarıda bahsettiğimiz 3 durumu da olası çözümler olarak inceleyelim.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır. (\( x^0 = 1 \))
\( \quad x + 3 \ne 0 \Longrightarrow x \ne -3 \)
\( \quad x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
\( \quad \) Buna göre, \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir rasyonel sayıdır. (\( 1^a = 1 \))
\( \quad x + 3 = 1 \Longrightarrow x = -2 \)
\( \quad \) Buna göre, \( x = -2 \) geçerli bir çözümdür.
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır. (\( (-1)^a = 1 \))
\( \quad x + 3 = -1 \Longrightarrow x = -4 \)
\( \quad x = -4 \) için ifadenin üssü bir çift sayı olduğu için (\( x - 2 = -4 - 2 = -6 \)), \( x = -4 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -4, -2, 2 \} \)
Her bir ifadeyi verilen denklemde yerine koyarsak, eşitliğin üç değer için de sağlandığını görebiliriz.
\( (-4 + 3)^{-4 - 2} = (-1)^{-6} = 1\)
\( (-2 + 3)^{-2 - 2} = 1^{-4} = 1\)
\( (2 + 3)^{2 - 2} = 5^0 = 1\)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a^{16} = 16 \) ise \( a^{12} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a^{16} = (a^4)^4 = 16 = 2^4 \)
Üsler eşit olduğu için tabanlar da eşittir.
\( a^4 = 2 \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( (a^4)^3 = 2^3 \)
\( a^{12} = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 2^{x + 5} = 8^{2x - 20} \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadelerin tabanlarını eşitleyelim.
\( 2^{x + 5} = (2^3)^{2x - 20} \)
\( 2^{x + 5} = 2^{6x - 60} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( x + 5 = 6x - 60 \)
\( x = 13 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (2,5)^{a} = \dfrac{8}{} \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını kesirli ifadeye çevirelim.
\( (\dfrac{25}{10})^a = \dfrac{8}{} \)
\( (\dfrac{5}{2})^a = \dfrac{8}{} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki tabanları 2 ve 5'e çevirelim.
\( (\dfrac{5}{2})^a = \dfrac{2^3}{5^3} \)
\( (\dfrac{5}{2})^a = (\dfrac{2}{5})^3 \)
Tabanı kesirli olan üslü bir ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.
\( (\dfrac{a}{b})^{-1} = \dfrac{b}{a} \)
\( (\dfrac{5}{2})^a = (\dfrac{5}{2})^{-3} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( a = -3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( ( 2x^2 + 3x^2 ) \cdot x^3 \cdot 5^4 = \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterParantez içerisindeki terimleri toplayalım.
\( 5x^2 \cdot x^3 \cdot 5^4 = \)
\( x \) ve \( 5 \) tabanındaki ifadeleri birleştirelim.
\( x^{2 + 3} \cdot 5^{1 + 4} = \)
\( x^5 \cdot 5^5 = \)
\( (5x)^5 = 3^5 \)
Bir denklemde üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar birbirine eşittir.
\( 5x = 3 \)
\( x = \dfrac{3}{5} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( (2a - 7)^{22} = (a + 13)^{22} \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir denklemde üsler eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı ise tabanların mutlak değeri birbirine eşittir.
\( \abs{2a - 7} = \abs{a + 13} \)
1. durum:
\( 2a - 7 = a + 13 \)
\( a = 20 \)
2. durum:
\( 2a - 7 = -(a + 13) \)
\( a = -2 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 20 + ( -2 ) = 18 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (x - 5)^{9 - x^2} = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( a^b = 1 \) biçimindeki bir eşitlik üç durumda sağlanır.
1. durum: \( a \ne 0 \) ve \( b = 0 \) olabilir.
\( x - 5 \ne 0, \quad x \in \{-3, 3\} \)
2. durum: \( a = 1 \) ve \( b \) herhangi bir sayı olabilir.
\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)
3. durum: \( a = -1 \) ve \( b \) çift sayı olabilir.
\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)
\( x = 4 \) olduğunda üs çift sayı olmadığı için bu değer denklemin bir çözümü olmaz.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 6\} \)
Buna göre denklemi sağlayan değerler toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 7^x = 64, \quad 16^y = 49 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliklerdeki tabanları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)
\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)
Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.
\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)
\( 4x \cdot y = 12 \)
\( x \cdot y = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 64^x - 3 = \)
\( 81^y - 8 = \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 64^x = \Longrightarrow 2^{6x} = 3^5 \)
\( 81^y = \Longrightarrow 3^{4y} = 2^7 \)
Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.
\( \dfrac{5}{4y} = \dfrac{6x}{7} \)
\( 24x \cdot y = 35 \)
\( x \cdot y = \dfrac{35}{24} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 - y^2 = 7, \quad \dfrac{16^{x - y}}{16^{y - x}} = \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)
\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( 2(x - y) = 2 \)
\( x - y = 1 \)
\( x^2 - y^2 = 7 \)
\( (x - y)(x + y) = 7 \)
\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)
\( x + y = 7 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözersek aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( x = 4, \quad y = 3 \)
Buna göre \( x \cdot y = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 25^x = \cdot 5^x - \) denklemini sağlayan \( x \) reel sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 5^{2x} = \cdot 5^x - \)
\( (5^x)^2 = \cdot 5^x - \)
\( 5^x = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( t^2 = t - \)
\( t^2 - t + = 0 \)
\( (t - 5)(t - ) = 0 \)
\( t - 5 = 0 \) veya \( t - = 0 \)
\( t = 5 \) veya \( t = \)
\( t = 5^x = 5 \Longrightarrow x = 1 \)
\( t = 5^x = \Longrightarrow x = 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 3\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5^{3a + 4b} \cdot 81^a = 3^{7 - 3b} \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)
\( 3^{4a} \) ifadesi önce eşitliğin sol tarafının paydasına, oradan da eşitliğin diğer tarafına negatif üslü olarak geçer.
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b} \cdot 3^{-4a} \)
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)
Tabanları ve üsleri doğal sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.
\( 5^0 = 3^0 = 1 \)
\( 3a + 4b = 0 \)
\( 7 - 3b - 4a \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözersek aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( a = 4, \quad b = -3 \)
Buna göre \( a \cdot b = 4 \cdot (-3) = \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (0,25)^{a + 4} = 32^{a + 4} \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıyı kesre çevirelim.
\( \dfrac{25}{} = \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \)
\( (2^{-2})^{a + 4} = (2^5)^{a + 4} \)
\( 2^{-2(a + 4)} = 2^{5(a + 4)} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -2(a + 4) = 5(a + 4) \)
\( -2a - 8 = 5a + 20 \)
\( a = -4 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{2^{a + 1} + 2^{a + 4} - 2^{a + 3}}{3^{a + 2} + 3^{a + 3} + 3^{a + 4}} = \dfrac{20}{} \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterPayı \( 2^a \), paydayı \( 3^a \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^a \cdot (2 + 2^4 - 2^3)}{3^a \cdot (3^2 + 3^3 + 3^4)} \)
\( = \dfrac{2^a \cdot (2 + 16 - 8)}{3^a \cdot (9 + 27 + 81)} \)
\( = \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot } = \dfrac{20}{} \)
Sadeleştirmeleri yapalım.
\( \dfrac{2^{a}}{3^{a}} = \dfrac{2}{3} \)
\( (\dfrac{2}{3})^a = \dfrac{2}{3} \)
\( a = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 2^x + 7^{y + 1} = \)
\( 2^{x + 1} - 7^y = 79 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 2^x + 7 \cdot 7^y = \)
\( 2 \cdot 2^x - 7^y = 79 \)
\( 2^x \) ve \( 7^y \) ifadelerini birer değişken olarak düşünüp iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim.
İkinci eşitliği 7 ile çarpıp birinci eşitlikle ile toplayalım.
\( 15 \cdot 2^x = + 7 \cdot 79 = \)
\( 2^x = 64 \Longrightarrow x = 6 \)
Bulduğumuz değeri birinci eşitlikte yerine yazalım.
\( 2^6 + 7 \cdot 7^y = \)
\( 7^y \cdot 7 = \)
\( 7^y = 49 \Longrightarrow y = 2 \)
\( x \cdot y = 6 \cdot 2 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{2^a}{4^{a + 2}} + 2^{2a} - \dfrac{4^{a + 2}}{16} = \) olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterTüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)
\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -a - 4 = 7 \)
\( a = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a, b \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \dfrac{3^a}{3^b} \cdot 9 = \dfrac{5^{-a}}{5^b} \) olduğuna göre, \( \dfrac{a}{b} \) kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( 3^{a - b + 2} = 5^{-a - b} \)
Tabanları ve üsleri doğal sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.
\( 3^0 = 5^0 = 1 \)
\( a - b + 2 = 0 \)
\( -a - b = 0 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözelim.
\( a = -1, \quad b = 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{-1}{1} = -1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{15^a + 21^a - 12^a}{25^a + 35^a - 20^a} = \dfrac{}{27} \)
olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterPaydaki terimleri \( 3^a \), paydadaki terimleri \( 5^a \) parantezine alalım.
\( \dfrac{3^a \cdot 5^a + 3^a \cdot 7^a - 3^a \cdot 4^a}{5^a \cdot 5^a + 5^a \cdot 7^a - 5^a \cdot 4^a} = \dfrac{5^3}{3^3} \)
\( \dfrac{3^a \cdot (5^a + 7^a - 4^a)}{5^a \cdot (5^a + 7^a - 4^a)} = \dfrac{3^{-3}}{5^{-3}} \)
\( (\dfrac{3}{5})^a = (\dfrac{3}{5})^{-3} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( a = -3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + y^2 = 4y - 8x - 20 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( \dfrac{y - x}{x + y} \) kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayarak ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)
Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görüyoruz. Buna göre ifadede \( (x \pm y)^2 \) biçiminde terim bulunmayacağını anlayabiliriz.
Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) biçiminde yazılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)
Eksik sabit terimler için \( 20 = 16 + 4 \) şeklinde yazalım.
\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)
Bir reel sayı ifadenin karesi negatif olamayacağı için toplamı alınan iki ifadenin de 0 olması gerekir.
\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)
Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerini istenen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{y - x}{x + y} = \dfrac{2 - (-4)}{-4 + 2} \)
\( = \dfrac{6}{-2} = -3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 + y^2 - 8x + 10y + 41 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİki tam kare ifade elde etmek için verilen denklemde 41 sayısını 16 + 25 şeklinde ikiye ayıralım.
\( x^2 - 8x + y^2 + 10y + 16 + 25 = 0 \)
\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 0 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 0 \)
İki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için ifadeler ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
\( x - 4 = 0 \) ve \( y + 5 = 0 \)
\( x = 4 \) ve \( y = -5 \)
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (4, -5) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x + 2 = 0 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre \( x^3 + y^{13} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.
\( 2y^2 \)'li terimi ikiye ayıralım.
\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) olarak yazalım.
\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)
2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.
\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)
Bir reel sayı ifadenin karesi negatif olamayacağı için toplamı alınan iki ifadenin de 0 olması gerekir.
\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)
\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerini istenen ifadede yerine koyalım.
\( x^3 + y^{13} = 2^3 + (-1)^{13} = 8 - 1 = 7 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (x^2 - 4x - 22)^{x^2 - 5x - 36} = 1 \) denkleminin çözüm kümesinde kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterTaban ve üssün tam sayı olduğu durumda denklem 3 şekilde sağlanır.
Durum 1: Taban 1, üs herhangi bir değer olur.
\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)
\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)
Bu denklemin deltası pozitif olsa da tam kare bir sayı olmadığı için kökleri irrasyoneldir.
\( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot () = \)
Durum 2: Taban -1, üs çift sayı olur.
\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)
\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
\( (x - 7)(x + 3) = 0 \)
\( x = 7 \) ya da \( x = -3 \)
Bu iki değeri üste yerine koyarak çift sayı sonuç verip vermediğini kontrol edelim.
\( x = 7 \) için:
\( 7^2 - 5 \cdot 7 - 36 = \)
\( x = -3 \) için:
\( (-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 36 = \)
Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Durum 3: Üs 0, taban 0'dan farklı olur.
\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)
\( (x - 9)(x + 4) = 0 \)
\( x = 9 \) ya da \( x = -4 \)
Bu iki değerin tabanı 0 yapmadığını kontrol edelim.
\( x = 9 \) için:
\( 9^2 - 4 \cdot 9 - 22 = 23 \)
\( x = -4 \) için:
\( (-4)^2 - 4 \cdot (-4) - 22 = 10 \)
Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -3, 7, 9\} \)
Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( m \ne 0, n \ne 0 \) olmak üzere,
\( (\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}})^{7x - y} = \dfrac{}{} \)
\( (\dfrac{13m}{5n})^{y - 9x} = (\dfrac{28m}{5n})^{9x - y} \)
Yukarıdaki verilenlere göre \( \abs{x - y} \) değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen ilk eşitliği düzenleyelim.
\( (\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}})^{7x - y} = \dfrac{81}{} = \dfrac{3^4}{4^4} \)
\( (\dfrac{4}{3})^{\frac{7x - y}{3}} = (\dfrac{3}{4})^4 = (\dfrac{4}{3})^{-4} \)
İki üslü ifadenin eşitliğinde tabanlar eşit ve üsler -1, 0, 1'den farklı ise üsler eşittir.
\( \dfrac{7x - y}{3} = -4 \)
\( 7x - y = \)
Verilen ikinci eşitliği düzenleyelim.
\( (\dfrac{13m}{5n})^{y - 9x} = (\dfrac{28m}{5n})^{9x - y} \)
\( (\dfrac{13m}{5n})^{y - 9x} = (\dfrac{5n}{28m})^{9x - y} \)
Üsleri aynı tabanları farklı olan bu iki ifadenin birbirine eşit olabilmesi için ya üsler (taban sıfır olmadan) sıfır olmalıdır ya da tabanlar -1, 0 ya da 1 olmalıdır.
\( m \ne 0, n \ne 0 \) verildiği için tabanlar sıfır olamaz.
Tabanlar ayrı ayrı -1 ve 1'e eşitlendiğinde geçerli birer çözüm bulunmadığı görülebilir.
Buna göre üsler sıfır olmalıdır.
\( y - 9x = 0 \Longrightarrow y = 9x \)
\( y \)'nin \( x \) cinsinden değerini yukarıda bulduğumuz ilk eşitlikte yerine koyalım.
\( 7x - y = \)
\( 7x - 9x = \Longrightarrow x = 6 \)
\( y = 9 \cdot 6 \Longrightarrow y = 54 \)
\( \abs{x - y} = \abs{6 - 54} = 48 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Üslü ifade içeren denklem sistemlerine denir.
olmak üzere an ifadesine üslü ifade adı verilir. an ifadesinde a sayısına taban, n sayısına ise üs veya kuvvet denir.
olarak hesaplanır.
Aşağıda örnek olarak bir üslü ifade verilmiştir.
olmak üzere olur. olur.
Hem tabanı hem üssü aynı olan üslü sayılar ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir. olmak üzere olur.
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılabilir. olmak üzere olur.
olmak üzere olur.
Üslü sayı içeren denklemlere denir ve bazı özellikler sayesinde bu denklemler kolaylıkla çözülebilir. Bu özellikler aşağıdaki gibidir.
üsleri aynı olan iki üslü ifade eşit ise üs tek olduğunda tabanlar eşittir. Eğer üsleri aynı ve çift ise tabanlar mutlak değerce eşittir.
şeklinde üç farklı durum vardır.
ilk koşul sağlanır.
Üslü İfadenin Tanımı: n pozitif tam sayı ve a gerçek sayı olmak üzere, a sayısının kendisiyle n defa çarpılmasına a nın n inci kuvveti denir ve an biçiminde yazılır.
an ifadesine üslü sayı, a ya taban, n ye de üs veya kuvvet denir.
Üslü Sayılar Çözümlü Sorular ve Testler için bağlantıya tıklayın.
Üslü İfadeler ve Üslü Sayıların Özellikleri 1. bölüm İsabet Akademi Video
Üslü İfadeler ve Üslü Sayıların Özellikleri 2. bölüm İsabet Akademi Video
Üslü Denklemler ve Üslü Eşitsizlikler İsabet Akademi Video
Üslü İfadeler 1. bölüm Şenol Hoca Video
Üslü İfadeler 2. bölüm Şenol Hoca Video
Üslü Denklemler 1. Bölüm Şenol Hoca Video
Üslü Denklemler 2. Bölüm Şenol Hoca Video
Üslü Eşitsizlikler ve Sıralama Şenol Hoca Video
Üslü İfadeler Soru Çözümleri Şenol Hoca Video
Üslü İfadeler Çıkmış Sorular Video
Üslü İfadeler Konu Anlatımı Tonguç Akademi Video
Üslü Sayılarda Dört İşlem Tonguç Akademi Video
Üslü Sayılar Konu Anlatımı Hocalara Geldik Video
Üslü Denklemler Soru Çözümleri Hocalara Geldik Video
Üslü İfadeler Bilimsel Gösterim Hocalara Geldik Video
Üslü Sayılarda Sıralama Hocalara Geldik Video
Üslü İfadeler Çözümlü Sorular Tonguç Akademi Video
Üslü İfadeler 1. Bölüm İlyas Güneş Benim Hocam Video
Üslü İfadeler 2. Bölüm İlyas Güneş Benim Hocam Video
Üslü İfadeler 1. Bölüm Teknofem Video
Üslü İfadeler Konu 2. Bölüm Teknofem Video
Üslü İfadeler 3. Bölüm Teknofem Video
Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler>Konu Anlatımlı Dersler >Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar
ÜSLÜ SAYILAR, ÜSLÜ İFADELER, ÜSLÜ DENKLEMLER, ÖZELLİKLERİ (1) (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
a bir reel sayı, n bir pozitif tamsayı olmak üzere, n tane a sayısının çarpımı an dir.
(a ya taban, n ye kuvvet denir.)
Örnek
= 34 = 81
(-3). (-3). (-3) = (-3)3 =
x ¹ 0 olmak üzere x = 1 dir.
Örnek
Negatif Kuvvet:
Bir reel sayının negatif kuvveti alındığında o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersi elde edilir.
Örnek
Bir Reel Sayının Üssü
1) Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
2) Negatif (bilgi funduszeue.info) sayıların ise tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir
Örnek
Yani bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1, birinci kuvveti kendisidir.
"1" in bütün kuvvetleri 1 dir. (-1) in çift kuvveti 1, tek kuvveti ise -1 dir.
Yani (1) n = 1
(-1) 2n = 1 , (-1) 2"-1 = -1 dir.
Örnek
(-1) = -1 ( tek kuvvet)
(-1) = 1 ( çift kuvvet)
Üslü İfadelerde Dört İşlem
1) Toplama - Çıkarma
Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Örnek
2) Çarpma
Çarpma işlemi için 2 durum vardır.
a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.
x Î R , n, m Î Z için xm . xn = xn dir.
b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.
x, y Î R , n Î Z için xn . yn = (x . y) n dir.
Örnek
299 . 599 = () 99 = 1099
27 . 37 . 57 = (S) 7 = 307 dir.
(a + b) 3 . (a - b) 3 = [ (a+b) (a-b) ] 3 = (a2 - b2) 3 Başka bir örnekte tersten de düşünürsek
42 X = () X = 2 X . 3 X . 7 X olur.
Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.
x Î R , m, n Î Z için (xn)m = (xm) n = xm.n dir.
Örnek
(53) 2x = 56x dir.
Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.
(53) 2x = (5 X)6 = (52) 3x = (56) X = (52X) 3 = (56x) gibi.
3. Bölme:
Bölmede iki durum vardır:
a) Tabanları aynı üsleri farklı olan ifadelerde ortak taban aynı yazılır, payın kuvvetinden paydanın kuvveti çıkartılarak üs olarak yazılır. Yani;
Örnek
b) Tabanları farklı, üsleri aynı olan ifadeler bölünürken tabanlar bölüm olarak alınır, ortak kuvvet üs olarak yazılır. Yani;
Örnek
Üslü Denklemler
Çözüm
Örnek
73x = 1 ise x nedir?
Çözüm
73x = 1 = 7
3x = 0
3x= 15
x = 5 olur.
2)
a) m tek ise; .x = y
b) m çift ise; x = + y dır.
Örnek
Örnek
10un Kuvvetleri
a) n Î N+ olmak üzere
10 n = 1 0dır.
10 n sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.
b) n Î N olmak üzere
10-n sayısında (bilgi funduszeue.info) virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.
Örnek
= 8 = 7 = 6 gibi değişik şekillerde yazılabilir.
0,=-5=1,-4=0,-3=-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.
Çözümlü Test
1. 3 X+1 - X + X + 3 X = 54 ise x kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
Çözüm
3 X. 3 - X + X + 3 X = 54
( + 7 + 1).3 X = 54
X = 54
3 X = 9 = 32
x - 2 dir.
Cevap : A
Çözüm
3.
işleminin sonucu nedir?
A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) 5
Çözüm
Cevap : C
4.
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
olur.
Cevap : E
5. x+z + x = 8 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2 B)1 C) O D)-1 E)-2
(ÖSS)
Çözüm
Cevap: D
6. a = , ab = 224 olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60
(ÖSS)
Çözüm
Cevap : D
7. (2-1 + 2°)-2. 32 işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
(ÖSS)
Çözüm
Cevap: C
8. = (27) 1-a olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm
Cevap : C (ÖSS)
|
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası