Sıfır Faktöriyel Kaç

Özyinelemenin ilk örneği olarak, faktöriyel fonksiyonunu nasıl hesaplayacağımıza bakalım. nnnin faktöriyelini n!n, ! şeklinde gösteririz. Bu, sadece 1'den nn'ye tam sayıların çarpımıdır. Örneğin 5!, 1⋅2⋅3⋅4⋅51, dot, 2, dot, 3, dot, 4, dot, 5 veya 'ye eşittir. (Not: Faktöriyel fonksiyonundan bahsederken, ünlem işaretleri vurgu için değildir, faktöriyel fonksiyonuyla ilgilidir.)

Faktöriyel fonksiyonunun neden önemli olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Bazı şeyleri sıralamak için veya birleştirmek için kaç yol olduğunu saymaya çalışırken çok faydalıdır. Örneğin, nn şeyi kaç değişik şekilde sıralayabiliriz? Birinci şey için nn seçeneğimiz var. Bu nn seçeneğin her biri için, ikinci şeye n−1n, minus, 1seçenek kalır; yani sırasıyla, ilk iki şey için n⋅(n−1)n, dot, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis seçenek olur. Şimdi, bu ilk iki seçeneğin her biri için, üçüncü şeye n−2n, minus, 2 seçenek kalır, böylece, ilk üç şey için sırasıyla n⋅(n−1)⋅(n−2)n, dot, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, dot, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis seçenek olur. Sadece iki şey ve sonra da bir şey kalana kadar böyle devam ederiz. Hepsi birlikte, n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1n, dot, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, dot, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis, \@cdots, 2, dot, 1 yolla nn şeyi sıralayabiliriz. Bu çarpım, n!n, ! (nn faktöriyeldir), ama çarpım 1'den nn'ye gitmek yerine, nn'den 1'e gider.

Faktöriyel fonksiyonunun başka bir kullanımı, bir şeylerin oluşturduğu gruptan bazı şeyleri kaç şekilde seçebileceğinizi saymaktır. Örneğin, bir yolculuğa gittiğinizi ve yanınızda hangi tişörtleri götüreceğinizi seçmek istediğinizi düşünün. Diyelim ki, nn tişörtünüz var, ama bunların sadece kk tanesi için bavulunuzda yer var. nn tişörtlük bir gruptan, kk tişörtü kaç değişik şekilde seçebiliriz? (Burada ispatlamaya çalışmasak da) cevap n!/(k!⋅(n−k)!)n, !, slash, left parenthesis, k, !, dot, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, right parenthesis olur. Bu yüzden, faktöriyel fonksiyonu çok faydalı olabilir. Burada permütasyon ve kombinasyonla ilgili daha fazla bilgi alabilirsiniz, ama faktöriyel algoritmasını uygulamak için bunları anlamak zorunda değilsiniz.

Faktöriyel fonksiyonu, 0 ile birlikte, tüm pozitif tam sayılar için tanımlıdır. 0! hangi değere sahip olmalıdır? Bu, 1'den büyük veya eşit ve 0'dan küçük veya eşit tüm tam sayıların çarpımıdır. Ama böyle bir tam sayı yoktur. Dolayısıyla, 0! 'i çarpmanın birim elemanı yani 1 olarak tanımlarız. (0! = 1 tanımı, nn şeyden kk şey seçme formülüyle iyi uyuşur. Diyelim ki, nn şeyden nn şeyi nasıl seçebileceğimizi bilmek istiyoruz. Bu kolay, çünkü sadece bir yol vardır: nn şeyin hepsini seçmek. Artık formülümüzü kullandığımızda, n!/(n!⋅(n−n)!)n, !, slash, left parenthesis, n, !, dot, left parenthesis, n, minus, n, right parenthesis, !, right parenthesis 'in 1'e eşit olması gerektiğini biliyoruz. Ancak (n−n)!left parenthesis, n, minus, n, right parenthesis, ! 0!'dir, dolayısıyla artık n!/(n!⋅0!)n, !, slash, left parenthesis, n, !, dot, 0, !, right parenthesis 'in 1'e eşit olması gerektiğini biliyoruz. Pay ve paydada n!n, !'i sadeleştirirsek, 1/(0!)1, slash, left parenthesis, 0, !, right parenthesis 'in 1'e eşit olması gerektiğini biliyoruz, ve öyledir çünkü 0! 1'e eşittir.)

Artık n!n, !'i düşünmek için bir yolumuz var. n=0n, equals, 0 olduğunda 1'e eşit olur, ve nn pozitif olduğunda 1⋅2⋯(n−1)⋅n1, dot, 2, \@cdots, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, dot, n'e eşit olur.