Sayıların Toplamı Formülü
Başlıklar
Ardışık sayılar, genellikle ardışık sayılar toplamı konusunda MEB&#;in ve ÖSYM&#;nin yaptığı bütün sınavlarda sorulan sorulardandır. Ardışık sayıları toplama soruları oldukça basit sorulardır. Fakat bu soruları çözebilmek değil, daha hızlı çözmek önemlidir. Ardışık Sayıların Toplamı Formülü arayışında olanlar için basit formülü bu haberimizde.
Ardışık Sayı Nedir?
Ardışık sayılar kısaca açıklanacak olursa, belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılardır. Bu sayılar arasındaki fark her daim aynıdır. Örneğin &#; 1, 2, 3, 4 ardışık sayılardır. 2, 4, 6 da ardışık çift sayılardır.
- Ardışık Sayılar : Bir soru içerisinde ardışık sayı dendiğinde, rakamlar arasındaki fark 1 &#;dir (birdir).
Örneğin: a, b, c, d, e ve f ardışık sayılardır gibi sorular görebilirsiniz. Bu şekildeki sorularda rakamlar arasındaki fark yalnızca birdir.
3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 rakamları örnek gösterilebilir.
- Ardışık Çift Sayılar : Ardışık çift sayılarda ise rakamlar arasındaki fark her zaman 2&#;dir. Aynı zamanda bütün sayılar çift sayıdır.
Örneğin: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 rakamları örnek verilebilir.
- Ardışık Tek Sayılar : Rakamlar arasında olan fark her zaman 2&#;dir. Fakat bu tip sorulardaki bütün rakamlar tekil rakamlardır.
Örnek : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 rakamları örnek olarak gösterilebilir.
- Diğer Ardışık Sayılar : Örnek: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
Bu rakamlar arasındaki fark ise 4&#;tür.
Ardışık Sayılar Toplamı Formülü
Matematik sınavlarda en çok puan veren konulardan biridir. Hızlı bir şekilde matematik sorularını çözebilmek için formülleri aklınızda tutabilirsiniz.
Ardışık Sayıların Toplama Formülü (1+2+3+ …n=?)
Ardışık sayılarda daha hızlı olabilmek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Sınavlarda zamandan tasarruf etmek için basit ve hızlı sonuç veren formüller oldukça önemlidir.
1&#;den başlayarak devam eden normal ardışık sayılarda toplama formülü aşağıdaki şekildedir.
1 + 2 + 3 + 4 + &#;&#;&#;&#;&#;&#;&#;.n = n . (n + 1) / 2 formülünü uygulayın. Son terim ile Son terimin bir fazlasını çarpın. Daha sonrasında ise bu rakamı 2&#;ye bölün.
- Örnek : 1+2+3+4+&#;..+10 = ?
Son sayı 10 ve son sayının bir fazlası 11&#;dir. 10 x 11 = sonucu elde edilir. Bu rakamı 2&#;ye böldüğümüzde 55 eder.
Sağlamasını yapacak olursak: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 eder.
- Örnek : 1+2+3+&#;&#;&#;&#; =?
x = / 2 = sonucunu elde ederiz.
Ardışık Tek Sayıların Toplamı Formülü
Yukarıdaki başlıkta olan formül ardışık sayıların tamamında geçerli bir formüldür. Fakat 1&#;den başlayan tekil ardışık sayılarda sonucu daha hızlı bulmanız için farklı bir formül vardır.
1+3+5+&#;&#;&#;. 2n &#; 1 = n²
Açıklaması : 1+3+5+&#;&#;.9 =?
9 sayısını n olarak açıklaması şu şekildedir: 2n &#; 1 = 9 ise n = 5 eder. Böylece n² = 5 x 5 = 25 eder.
Sağlaması: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 eder.
Zor Soru : 1+ 3 + 5 + &#;&#;&#;. + = ?
- &#;un n cinsinden değerini bulmalıyız.
- = 2n &#; 1
- = 2n
- = 2
- Yukarıda ki sorunun cevabı bu durumda = ² = x yani
- sonucunu elde ederiz.
Ardışık Çift Sayıların Toplamı Formülü İspatı
Yukarıda yer alan formüllerde genel formüllere yer verdir. Fakat 2&#;den başlayan çift ardışık sayıların toplamı için aşağıdaki basit formülü kullanabilirsiniz.
2 + 4 + 6 + &#;&#;&#;.2n = n x (n +1)
- 2n sayısı bu işlemde son rakamın 2n şeklinde gösterilmesidir. Örnek verecek olursak son sayı 10 ise n = 5&#;tir.
- 2 + 4 + + &#;&#;+ 10 = ?
- 10 = 2n
- n =5 eder.
- Formülü uygulanırsa: 5 x (5 +1) = 30 olur.
Sağlaması : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 olur.
Ardışık Sayıların Toplamı formülü matematik sınavına girecekler ve ÖSYM sınavlarına girecek kişiler tarafından sıklıkla araştırılmaktadır. Okullarda ve özel kurslarda da Ardışık Sayıların Toplamı Formülü konusu yer almaktadır.
Ardışık Tek Sayıların Toplamı ve Örnek Soru Çözümleri
Ardışık Tek Sayıların Toplamı ilkokul dönemlerinden beri karşımıza gelen bir konudur. Lise döneminde veya sınavlara hazırlık dönemlerinde Temel Kavramlar bazı kitaplarda Sayılar olarak ele alınan konu içerisinde karşımıza gelmektedir. Ardışık Tek Sayıların Toplamı hesaplanırken hep aklımıza Ardışık Tek Sayıların Kısa Yoldan Toplamı ile alakalı bir formül var mıdır? diye aklımıza bir soru gelmiştir. Bu dersimizde Ardışık Tek Sayıların Toplamı Formülü ve bu formülün ispatını sizlere anlatmaya çalışacağız. Ardışık Çift Sayıların Toplamı formülünü de ek olarak öğrenmenizde fayda var.
Örnek #1:
1 + 3 + 5 + 7 &#; + 25 toplamı kaçtır?
Çözüm :
Sorular soruda ardışık tek sayılar toplanmıştır. Burada genel terim (2n &#; 1) = 25 olur.
Buradan da n = 13 olarak bulunduğundan dolayı sayı dizisindeki sayıların toplamı n2 = olacaktır.
Hemen aklımıza eğer sayılar 1&#;den başlamaz ise sorularda bu formülü nasıl kullanacağız? sorusu gelmiş olabilir. Korkmanıza gerek yok.
Eğer 1&#;den başlamayan ardışık tek sayılar toplamı şeklinde sorular karşımıza gelirse 1&#;den başlıyormuş gibi hesaplayıp aradaki farkı çıkararak cevabı elde edeceğiz.
Örnek #2:
9 + 11 + 13 + 15 + &#; + 49 toplamı kaçtır?
Çözüm :
9 + 11 + 13 + &#; + 49 toplamını elde etmek için;
İlk olarak 1&#;den 49&#;a kadar olan tek sayıların toplamını n2 formülüyle buluruz.
2n &#; 1 = 49 ⇒ n = 25 ⇒ n2 = olur.
Ardından 1&#;den 7&#;ye kadar olan sayıların toplamını n2 formülüyle buluruz.
1&#;den 49&#;a kadar olan tek sayıların toplamından, 1&#;den 7&#;ye kadar olan tek sayıların toplamını çıkarırız.
2n &#; 1 = 7 ⇒ n = 4 ⇒ n2 = 16 olur.
Sonuç olarak &#; 16 işleminden cevabı olarak elde ediyoruz.
Örnek #3:
1 + 3 + 5 + 7 &#; + 99 toplamı kaçtır?
Çözüm :
Dikkat edersek ardışık tek sayıların toplanması durumu vardır.
Burada genel terim (2n &#; 1) = 99 olur.
Denklem çözme gerçekleşirse n = 50 olarak bulunur.
Sayı dizisindeki sayıların toplamı n2 = olacaktır.
Sayılar Konusu Video Derslerini izleyerek eksikliklerinizi kapatabilirsiniz.
Ardışık &#;ift sayıların toplamı nasıl bulunur? Ardışık &#;ift sayıların form&#;l&#; ve &#;rnekleri ile konu anlatımı
Ardışık Çift Sayıların Örnekleri İle Konu Anlatımı
Ardışık sayı nedir? Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir.
Ardışık tam doğal sayılar; …,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7
Ardışık çift tam Sayılar : …,−6,−4,−2,0,2,4,6,8,10,12,……,−6,−4,−2,0,2,4,6,8,10,12,… gibi sayılar öbeğidir. Ardışık sayıların toplamı formülü: Soru, ikiden başlayarak ve ikişer ikişer artarak nn sayısına kadar gidiyorsa kullanılacak formül 2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6= n x (n + 1) olarak ifade edilmektedir.
Buradaki en önemli özellik Ardışık çift sayıları için Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. n ifadesi sorudaki çift ve tek sayı ifadesine göre değer alacaktır. Sorudaki verilen somut değer sonucu değiştirecektir.
Örnekler ile anlatılacak olursa ; 30 dan 36 ye kadar olan ardışık çift sayıların toplamı kaçtır?
Çözümüne bakılacak olursa 30 sayısı ile başlayacak 36 sayısında son bulacak yani
ardışık çift sayı 2 ile toplam olarak formülü mevcuttur. 30+2, 32+2, 34+2 yani 32+34+36= olarak sonuç bulunacaktır. Diğer bir örneğe bakılacak olursa 2 + 4 + 6 + 8 + … + 32 toplamı kaçtır?
sayı dizilimleri fazlalaştıkça mutlaka formülün kurulması hem kolay hem de sağlıklı olacaktır.
Ardışık çift sayılar toplanmıştır. Burada genel terim 2n = 32 olur.
Buradan da n = 16 olarak bulunduğundan dolayı sayı dizisindeki sayıların toplamı
n . ( n + 1 ) = 16 . 17 = olacaktır.
Önemli bir diğer kural İki ardışık çift sayının farkı + veya -2 olarak ifade edilmektedir.
Örnek soruya bakılacak olursa; 2 + 4 + 6+ … + 20 işleminin sonucu kaçtır? bu sorunun çözümüne bakılacak olursa Ardışık çift sayılar olduğu için son sayı 2n’dir. Dolayısıyla 2n = 20 ise n = 10 olur.
Formüle yerine konduğunda 2 + 4 + 6+ … + 20 = n . (n + 1) ise;
yanıt 10 . (10 + 1) = 10 . 11 = olur.