Limit Alma Örnekleri

Tek-taraflı Limitler (One-sided Limits)

Bölüm 'de incelediğimiz son iki örnekte de limit yoktu. Birincisi örnekte limit yoktu, çünkü fonksiyona farklı taraflardan yaklaştığımızda farklı değerler elde ettik (2 farklı değer!). Son örnekte limit yoktu, çünkü fonksiyon $x=0$ noktasına sağdan veya soldan yaklaşıldığında herhangi bir değere sabitlenemiyordu. Biz $x=0$'a yaklaştıkça her seferinde fonksiyon farklı değerler alıyordu. Bu bölümde bu iki örnek arasında bir ayırım yapacağız, ve bunu da tek-taraflı limitlerle göstereceğiz.

Sağdan Limit

---

$$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\color{red}+}}f(x) ={\color{green}L} \hspace2em $$

Sağdan-limit için $x\rightarrow a^\color{red}+$: $\bbox[yellow]{x \gt a}$

Soldan Limit

---

$$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\mathbf{\color{red}-}}}f(x) ={\color{green}L} \hspace2em $$

Soldan-limit için $x\rightarrow a^\mathbf{\color{red}-}$: $\bbox[yellow]{x \lt a}$

Bir fonksiyonun normal limiti ile ilgileniyorsak bizim tek bir değere sahip olmamız gerekir. Yani sağdan ve soldan limitlerin aynı değere yaklaşmaları gerekir. Eğer bu şartı sağlarsak limit var diyebiliriz. Ama sağlayamazsak limit yok'tur deriz. Ancak fonksiyonun normal limitinin olmaması Sağdan-limitinin veya Soldan-limitinin olmadığı anlamına gelmez. Bu nedenle Limit problemlerini çözerken ne tür limitle ilgilendiğimize dikkat etmemiz gerekir: normal limitle mi yoksa tek-taraflı limitle mi?

Tek-taraflı limitler de normal limitte olduğu gibi $x=a$ noktasının yakınında olup bitenle ilgileniyor, bu bağlamda normal limitten hiçbir farkı yok. Tek fark, tek-taraflı limitlerde istenilen bölgenin limitini buluyoruz. Eğer bu bölgede limit var ise ($x=a$ noktasına sağdan veya soldan yaklaştığınızda bir değer elde edebiliyorsanız), fonksiyonun o bölgede limit vardır deriz (sağdan veya soldan limit). Tabii ki bu o fonksiyonun normal limitinin de olduğunu göstermez. Bunun için diğer bölgenin limiti de kontrol edilir ve eğer aynı değer bulunursa, fonksiyonun normal limitinin olduğunu söyleyebiliriz. Aksi takdirde normal limiti yoktur. Aşağıdaki 2 örnekte bu tartıştığımız durumları inceleyeceğiz. Not: Çözümlerde $\color{red}{\Rightarrow}$ ile gösterilenler normal limitlerdir.

$\color{red}{\underline{{Örnek. }}} \color{red}: \hspace2em \color{black}{a) f(-1)} \hspace5em \color{black}{b) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{-1}^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)} \hspace5em \color{black}{c) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)} $

$ \hspace8em \color{black}{d) f(1)} \hspace6em \color{black}{e) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)} \hspace5em \color{black}{f) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)}$

$ \hspace8em \color{black}{g) f(2)} \hspace6em \color{black}{h) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}2^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)} \hspace5em \color{black}{i) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}2^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)}$

$\color{black}{a) f(-1)=tanımsız} \hspace4em \color{black}{b) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{-1}^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)=-2} \hspace4em \color{black}{c) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)=-2} \hspace4em \color{red}{\Rightarrow} \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}{-1}}}f(x)=-2}$

$\color{black}{d) f(1)=1} \hspace8em \color{black}{e) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)=4} \hspace5em \color{black}{f) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)=1} \hspace5em \color{red}{\Rightarrow} \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}1}}f(x)= YOK}$

$\color{black}{g) f(2)=3} \hspace8em \color{black}{h) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}2^\mathbf{\color{red}-}}}f(x)=4} \hspace5em \color{black}{i) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}2^\mathbf{\color{red}+}}}f(x)=4} \hspace5em \color{red}{\Rightarrow} \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}2}}f(x)= 4}$

$\color{red}{\underline{{Örnek. }}} \color{red}: \hspace2em \color{black}{a) f(0)} \hspace5em \color{black}{b) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0^\mathbf{\color{red}-}}}sin\frac{\pi}{x}} \hspace5em \color{black}{c) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0^\mathbf{\color{red}+}}}sin\frac{\pi}{x}} $

$\color{black}{a) f(0)=tanımsız} \hspace5em \color{black}{b) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0^\mathbf{\color{red}-}}}sin\frac{\pi}{x}}=? \hspace5em \color{black}{c) \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0^\mathbf{\color{red}+}}}sin\frac{\pi}{x}}=? \hspace5em \color{red}{\Rightarrow} \color{black}{ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}0}}sin\frac{\pi}{x}} = YOK $

Bu örnekte görüldüğü gibi, fonksiyonun limiti ne sağdan ne de soldan yaklaşıldığında mevcut. Bu nedenle burada ne tek-taraflı limitten ne de normal limitten bahsedebiliriz. Dikkat ederseniz, bir önceki problemde böyle bir sorun yaşamadık: belirtilen nokta için fonksiyonun hem sağdan hem de soldan limiti vardı. Başka bir deyişle; noktaya sağdan veya soldan yaklaştığınızda bir değer görebiliyordunuz.

Bu açıklamalar ve örneklerden sonra, artık tek-taraflı limitler ile normal limit arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:

Tek-taraflı Limitler & Normal Limit

---

Eğer bir fonksiyonun sağdan ve soldan limiti birbirine eşit ve değeri $\color{green}L$ ise, normal limitinin değeri de $\color{green}L$'dir

$$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\color{red}+}}f(x)=\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\color{red}-}}f(x) ={\color{green}L} \hspace2em $$ $\hspace2em \color{fuchsia}{\Downarrow} \hspace2em \tag{}$ $$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a}}f(x)={\color{green}L} \hspace2em $$

Aynı şekilde, bir fonksiyonun normal limiti var ve değeri $\color{green}L$ ise, fonksiyonun sağdan ve soldan limitleri birbirine eşit ve değeri $\color{green}L$'dir.

$$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a}}f(x)={\color{green}L} \hspace2em $$ $\hspace2em \color{fuchsia}{\Downarrow} \hspace2em \tag{}$ $$ \lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\color{red}+}}f(x)=\lim\limits_{{\color{blue}x}\to {\color{red}a^\color{red}-}}f(x) ={\color{green}L} \hspace2em $$

Umarız bu birkaç bölüm boyunca, limit kavramının nasıl çalıştığını ve bize fonksiyonlar hakkında neler söyleyebilecekleri konusunda bir fikir edinmişsinizdir. Bu bilgilerin bir kısmı daha sonraki bölümler için önemlidir, bu nedenle bu noktaya kadar işlediğimiz temel kavramları iyi anladığınızdan emin olun.

 

LİMİT VE SÜREKLİLİK

 

 

 

 

ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :                Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :              Çözüm :

Soru :              Çözüm :

 
  

Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir.

Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik (Resmi Gazete Kabul Tarihi : ) ile

kanunun maddesinin ek 4. maddesine göre
hakkı ihlal edilen öncelikleüç gün içindeihlalin durulmasını istemek zorundadır.

Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.