Turev Alma Kurallari

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

 fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f&#;(x₀), Df(x₀) ya da  ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

 1. f&#;(a⁺) = f'(a^–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır.

 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.

 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.

 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xn&#;nin Türevi

2. c Sabit Sayısının Türevi

3. c × f(x) in Türevi

4. Toplamın Türevi

5. Farkın Türevi

6. Çarpımın Türevi

7. Bölümün Türevi

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

 verilsin.  olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur.

Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

Bileşke Fonksiyonun Türevi

Uyarı

f&#;(2) gösterimi [f(2)]&#; gösterimi ile karıştırılmamalıdır.

f&#;(2) ¹ [f(2)]&#; dir.

Çünkü f&#;(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f&#;(x)  in x = 2 için değeridir.

[f(2)]&#; gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]&#; = 0 dır.

Kural

Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural

Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural

Üstel Fonksiyonun Türevi

Kural

Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

 fonksiyonu  şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi  olmak üzere,

f'(x) in türevi olan  ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde,  ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

İlgili Konular

Türev, öğrencilerin oldukça zorlandığı ve AYT Matematik testindeki en önemli konulardan biridir. Bu yazımızda ise bu türev konusunun temelini oluşturan türev alma kuralları hakkında siz değerli öğrencilere bilgi vereceğiz.

Türev Alma Kuralları

Öğrencileri en çok zorlandığı konulardan olan türevin, birçok kuralı bulunmaktadır. Bu kurallar türev alma kuralları ile ilgili soru çözerken kullanılır. Temelde oldukça anlaşılır olan bu kuralları öğrenciler iyi bildiği taktirde türev konusunda ve sonrasında görecekleri integral konusunda oldukça başarılı olmalarını sağlayacaktır.

1. Sabit Fonksiyonun Türevi

Sabit bir fonksiyonun türevi her zaman 0'dır.

Yani f(x)=y olsun. y ϵ R olmak üzere,

f'(x)=0'dır.

Örneğin;

f(x)=41 olsun. Bu durumda sabit fonksiyon olduğu için türevi "0" olacaktır.

f'(x)=0 şeklinde yazılır.

2. Üslü Fonksiyonların Türevi

Üslü bir fonksiyonda türev alınırken terimin kuvveti, terimin başına katsayı olarak gelir ve terimin kuvveti 1 azaltılır. Bu tanımı formüle dökecek olursak;

n ϵ R olmak üzere;

f(x)=aⁿ ise;

f'(x)=n*n.a^n-1 şeklinde çözümlenir.

3. İki Fonksiyonun Toplamının Türevi

[f(x)+ g(x)] şeklinde bir fonksiyonumuz olduğunu düşünelim.

Bu fonksiyonun türevi;

f'(x)+g'(x) şeklinde bulunabilir. İki fonksiyonun farkının türevi alınırken de türevler ayrı ayrı alınıp çıkarma işlemi yapılmalıdır.

4. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi

En çok karıştırılan türev kurallarından birisi olan çarpımın türevi aslında oldukça kolaydır.

f(x) ve g(x) iki fonksiyonumuz olsun. Bu fonksiyonların çarpımlarının türevi ise;

[f(x)*g(x)]'=[f'(x)*g(x)]+[f(x)*g'(x)] şeklindedir.

5. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

Öğrencileri en çok zorlayan kurallardan birisi olan bölme işleminin türevi oldukça kolay olan türev alma kurallarından bir tanesidir.

f(x) ve g(x) iki fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyonların bölüm türevi;

[f(x)/g(x)]'=f'(x).g(x)-g'(x).f(x) / [g(x)]2 g(x)≠0 şeklinde yazılmaktadır.

funduszeue.info Değer Fonksiyonunun Türevi

f:A R,y = f(x) verilsin. a ∈ A, f(a) ≠ 0 olmak üzere,

y=f(x)={-f(x),f(a)<0 ise f(x), f(a)>0 ise

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunun için foksiyonun soldan ve sağdan türevlerine bakılır.

7. İşaret Fonksiyonunun Türevi

8. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

Türev Alma İle İlgili Örnek Soru Çözümü

Türev alma ile ilgili hazırladığımız temel düzey örnek sorular ile anlattığımız konuları kolaylıkla pekiştirebilirsiniz. 

funduszeue.info

funduszeue.info

3. Soru

Öğretmen Tercihim ile matematik konusunda kendinizi geliştirmek isterseniz veya konu eksiklerinizi kapatmak istersiniz 36,'den fazla öğretmen arasından sana uygun olanı seçerek özel ders gerçekleştirebilirsiniz.