Paydalı Sayılarda Toplama

paydalı sayılarda toplama

Kesirlerle İşlemler

Payda Eşitleme

İki ya da daha fazla kesri, paydaları aynı ortak sayıda buluşacak şekilde genişletme ya da sadeleştirme işlemine payda eşitleme denir. Payda eşitleme kesirlerin toplama ve çıkarma işlemlerinde sıklıkla kullanılır.

İki ya da daha fazla kesrin paydalarının eşitlenebileceği en küçük sayı, paydaların ortak katlarının en küçüğüdür (EKOK). Alternatif olarak, paydalar çarpımları olan sayıda da eşitlenebilir.

ÖRNEK:

$ \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{3}{8} $

Paydaları EKOK'larında eşitleme ($ EKOK(6, 8) = 24 $):

$ \dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \dfrac{20}{24}, \quad \dfrac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{9}{24} $

Paydaları çarpımlarında eşitleme ($ 6 \cdot 8 = 48 $):

$ \dfrac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \dfrac{40}{48}, \quad \dfrac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \dfrac{18}{48} $

ÖRNEK:

$ \dfrac{3}{5}, \quad \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{7}{10} $

Paydaları EKOK'larında eşitleme ($ EKOK(5, 6, 10) = 30 $):

$ \dfrac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{18}{30}, \quad \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{25}{30}, $ $ \quad \dfrac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \dfrac{21}{30} $

Kesirlerle Toplama

İki kesri toplarken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının toplamı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirlerin tam sayı kısımları kendi aralarında toplanarak sonucun tam sayı kısmına yazılır. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Kesirlerle Çıkarma

İki kesri birbirinden çıkarırken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının farkı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirleri önce bileşik kesre çevirerek çıkarma işlemini yapabiliriz.

Kesirlerle Çarpma

İki ya da daha fazla sayıda kesri birbiriyle çarparken, kesirlerin payları kendi aralarında çarpılır ve sonucun payına yazılır, paydaları da kendi aralarında çarpılır ve sonucun paydasına yazılır.

Birbiriyle çarpılacak kesirlerin pay ve paydalarındaki sayılar çarpma işlemi öncesinde ya da sonrasında birbirleriyle sadeleştirilebilirler.

Kesirlerin çarpma işleminde sadeleştirme

Kesirlerden biri ya da birkaçı tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Çarpma işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek çarpma işlemine dahil edilebilir.

$ 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} $

$ \dfrac{1}{8} \cdot 3 = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{8} $

Kesirlerle çarpma işlemi anlam olarak tam sayılarla çarpma işlemi ile aynıdır ve tekrarlı toplamaya karşılık gelir.

$ 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \quad \Longrightarrow $ 2 tane 1/4 (çeyrek) ekmek 1/2 (yarım) ekmek eder ya da 2 ekmeğin dörtte biri 1/2 (yarım) ekmek eder.

$ \dfrac{1}{4} \cdot 8 = 2 \quad \Longrightarrow $ 8 karpuzun dörtte biri 2 karpuz eder ya da 8 tane 1/4 (çeyrek) karpuz 2 karpuz eder.

$ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow $ 1/2 (yarım) pastanın 1/2'si (yarısı) 1/4 (çeyrek) pasta eder.

Kesirlerle Bölme

Bir kesri diğer bir kesre bölerken, ikinci terimin pay ve paydası aralarında yer değiştirir ve terimlerin arasındaki bölme işareti çarpma işaretine çevrilir. Sonrasında terimler arasında yukarıda gördüğümüz çarpma işlemi yapılır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Bölme işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek bölme işlemine dahil edilebilir.

$ 2 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \div \dfrac{2}{3} = 3 $

$ \dfrac{3}{8} \div 3 = \dfrac{3}{8} \div \dfrac{3}{1} = \dfrac{1}{8} $

Kesirlerle bölme işlemi anlam olarak tam sayılarla bölme işlemi ile aynıdır ve bölüştürme/paylaştırma işlemine karşılık gelir.

$ 2 \div \dfrac{1}{4} = 8 \quad \Longrightarrow $ 2 ekmeği 1/4'erli dilimlere bölersek 8 dilim elde ederiz.

$ \dfrac{3}{4} \div 3 = \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow $ 3/4 pastayı 3 kişiye paylaştırırsak herkese 1/4 pasta düşer.

Kesirlerde Üs Alma

Bir kesrin üssü alınırken, üs işlemi pay ve paydaya ayrı ayrı yansıtılır ve payın ve paydanın ayrı ayrı üssü alınır.

İSPATI GÖSTER

$ \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \cdot \dfrac{a}{b}}_\text{n adet} $

Payları ve paydaları kendi aralarında çarpalım.

$ = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \cdot a}^\text{n adet}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \cdot b}_\text{n adet}} $

$ = \dfrac{a^n}{b^n} $

İspatta hata bildirin

SORU 1:

$ \dfrac{0,8}{0,16} + \dfrac{0,54}{0,09} - \dfrac{5,5}{0,10} $ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Üç terimin pay ve paydasını ile genişletelim.

$ \dfrac{80}{16} + \dfrac{54}{9} - \dfrac{}{10} $

$ 5 + 6 - 55 $

$ = $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

$ \dfrac{9 + \frac{96}{7}}{8 - \frac{23}{7}} $ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Paydaları eşitleyerek işlemleri uygulayalım.

$ \dfrac{\frac{9 \cdot 7 + 96}{7}}{\frac{8 \cdot 7 - 23}{7}} $

$ = \dfrac{\frac{63 + 96}{7}}{\frac{56 - 23}{7}} $

Paydalar sadeleşir.

$ = \dfrac{}{33} = \dfrac{53}{11} $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

$ \dfrac{3^{-2}}{6^{-2}} - (-2) \cdot (-5) $ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Sırasıyla üs, çarpma ve çıkarma işlemlerini yapalım.

Üssü negatif olan paydaki bir sayı paydaya pozitif üslü geçirilebilir.

$ \dfrac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{6^2}} - 10 = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{36}} - 10 $

Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.

$ = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{36}{1} - 10 $

$ = 4 - 10 = -6 $ olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

$ x = \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{7} $

$ y = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} $ olduğuna göre,

$ \dfrac{x}{y} + 5y $ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

$ x $ ve $ y $ için verilen eşitlikleri düzenleyelim.

$ x = \dfrac{3}{10} $

$ y = \dfrac{1}{15} $

$ x $ ve $ y $'yi ifadede yerlerine yazalım.

$ \dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}} + 5 \cdot \dfrac{1}{15} $

Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.

$ \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{15}{1} + \dfrac{1}{3} $

$ = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{3} $

Paydaları eşitleyerek toplama işlemi yapalım.

$ = \dfrac{27}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{29}{6} $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

$ \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{\frac{4}{13} + \frac{4}{3} + 4} $

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Paydadaki terimlerin her birinin payını ve paydasını 10 ile genişletelim.

$ \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30}+ \frac{5}{10}}{\frac{40}{} + \frac{40}{30} + \frac{40}{10}} $

Paydayı 8 parantezine alalım.

$ = \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{8 \cdot (\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10})} $

Kesirli terimler bütün olarak sadeleşir.

$ = \dfrac{1}{8} $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

$ \dfrac{(2\frac{1}{3} - 1) - (\frac{7}{5} - 3\frac{2}{5})}{1 + \frac{2}{3} + \frac{5}{1 - \frac{3}{4}}} $ işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Hatırlatma: $ 2 \dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} $

İfadeyi düzenleyelim.

$ \dfrac{(\frac{7}{3} - 1) - (\frac{7}{5}- \frac{17}{5})}{\frac{5}{3} + \frac{5}{\frac{1}{4}}} $

$ = \dfrac{\frac{4}{3} - (-\frac{10}{5})}{\frac{5}{3} + 5 \cdot 4} $

$ = \dfrac{\frac{4}{3} + 2}{\frac{5}{3} + 20} = \dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{65}{3}} $

Pay ve paydadaki kesirlerin paydaları sadeleşir.

$ = \dfrac{10}{65} = \dfrac{2}{13} $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

$ \dfrac{3a}{5} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{a}{2} = $ olduğuna göre, $ a $ kaçtır?

Çözümü Göster

Eşitliğin sol tarafını $ a $ parantezine alalım.

$ a \cdot (\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2}) = $

Kesirli ifadelerin paydalarının EKOK'u 90'dır.

$ a \cdot (\dfrac{3 \cdot 18 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 45}{90}) = $

$ a \cdot \dfrac{}{90} = $

$ a = 90 $ olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

$ \dfrac{3}{4} $ ile $ \dfrac{12}{5} $'in çarpmaya göre terslerinin toplanması sonucu elde edilen sayının çarpmaya göre tersi nedir?

Çözümü Göster

Bir kesrin çarpmaya göre tersi, kesir ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır.

Buna göre $ \frac{3}{4} $'ün çarpmaya göre tersi $ \frac{4}{3} $, $ \frac{12}{5} $'in çarpmaya göre tersi $ \frac{5}{12} $'dir.

$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{16 + 5}{12} = \dfrac{7}{4} $

$ \frac{7}{4} $'ün çarpmaya göre tersi $ \frac{4}{7} $'dir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

$ \dfrac{3}{3,41} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{7}{8,4} + \dfrac{41}{} $

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

$ \dfrac{3}{\frac{}{}} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{7}{\frac{84}{10}} + \dfrac{41}{} $

$ = \dfrac{}{} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{70}{84} + \dfrac{41}{} $

Paydaları eşit olan terimleri kendi aralarında toplayalım.

$ = \dfrac{ + 41}{} + \dfrac{14 + 70}{84} + 3 $

$ = \dfrac{}{} + \dfrac{84}{84} + 3 $

$ = 1 + 1 + 3 = 5 $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konumuzda rasyonel sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini göreceğseafoodplus.infoel sayılar konusunun devamı niteliğinde olan bu konumuzdan kpss de yine çok sayıda soru gelmiştir. Konuyu tamamladıktan sonra bol soru çözmeniz faydalı olacaktır. Önceki konumuzda Rasyonel Sayıları inceledik. Sıradaki konumuz ise Rasyonel Sayılarda Dört İşlem olacak.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konumuzun başlıklarını hep birlikte inceleyelim.

1. Toplama- Çıkarma İşlemleri

Paydaları aynı olan rasyonel sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken paylar toplanır veya çıkartılarak yazılır, payda ise aynen yazılır.

$ \displaystyle \frac{a}{b}$±$ \displaystyle \frac{a}{b}$=$ \displaystyle \frac{a\pm c}{b}$

Eğer toplama veya çıkarma yapacağımız kesirlerin paydaları birbirinden farklı ise önce paydaları eşitlememiz gerekmektedir. Paydaları eşitlemek için ortak payda sağlayacak sayılarla her iki kesrin pay ve paydaları çarpılır. Paydaları eşitlenen kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleri yine aynı şekilde yapılır.

Örnek:$ \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}=\frac{}{}+\frac{}{}=\frac{3+10}{6}=\frac{13}{6}$

Örneğimizde de görüldüğü gibi birbirine eşit olmayan 2 ve 3 paydalarının eşit hale gelmesi için paydalar en küçük ortak katta eşitlendi.

2. Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılır iken iki kesrin payları çarpılıp paya, yine iki kesrin paydaları çarpılıp paydaya yazılır.

$ \displaystyle \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$

Eğer doğal bir sayı ile kesrimiz çarpılıyorsa bu doğal sayının payda kısmına bir yazılarak çarpma işlemi aynı biçimde yapılır.

$ \displaystyle a.\frac{c}{d}=\frac{a}{1}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{d}$

Örnek;

$ \displaystyle \frac{1}{2}$.$ \displaystyle \frac{14}{6}$=$ \displaystyle \frac{}{}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

Genel olarak tam sayılı kesir ile bir kesrin tam sayı ile çarpılması birbiriyle karıştırılır.

Örneğin;

$ \displaystyle a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c}=\frac{a.c+b}{c}$

$ \displaystyle a.\frac{b}{c}=\frac{a}{1}.\frac{b}{c}=\frac{a.b}{c}$

3. Bölme

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken ilk kesir aynen yazılır ve ikinci kesir ters çevrilip yani pay paydanın yerine, payda ise payın yerine yazılır. Ve bu iki kesir bu biçimde iken çarpılır.

$ \displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ şeklinde işlem yapılır.

$ \displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ şeklinde işlem yapılır.

Kesirlerin Genişletilmesi İşlemi

Bir rasyonel sayı yani kesir genişletilirken aynı anda hem pay hem de payda genişletilir. Kesrin payı ve paydası genişletilmek istenen sayı ile çarpılır.

Örnek;

$ \displaystyle \frac{1}{2}$ kesrini 10 ile genişletelim.

$ \displaystyle \frac{}{}=\frac{10}{20}$

Kesirlerin Sadeleştirilmesi

Bir kesir sadeleştirilirken aynı anda hem pay hem de payda sadeleştirme işlemi yapılacak bu sayıya bölünür.

Örnek;

$ \displaystyle \frac{18}{24}$ kesrini 3 ile sadeleştirelim.

$ \displaystyle \frac{}{}=\frac{6}{8}$

Bu sayıyı bir de 2 ile sadeleştirelim.

$ \displaystyle \frac{}{}=\frac{3}{4}$ e kadar sadeleştirebiliyoruz.

Kpss genel yetenek matematik dersine ait Rasyonel Sayılarda Dört İşlem konusunu tamamladık. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz ise Ondalıklı Sayılar olacaktır.

5. Sınıf Matematik Kesirlerle Toplama Ve &#;ıkarma İşlemi konu anlatımı

Haberin Devamı

2/6 + 1/6= 3/6 sonucu elde edilir. 3/6 kesrinin sadeleştirilmesi sonucunda ise 1/2 sonucu elde edilir.

Örnek: 3/4 - 2/4=? Sonucunu bulunuz.

Bu işlemde de payda kısmı eşit kesirler vardır. Bu nedenle sadece pay kısmını çıkartarak, sadeleştirme işlemi yapabiliriz.

3/4+2/4= 1/4 sonucu elde edilir.

Toplama veya çıkartma işlemi yapılacak olan kesirler eğer ki tam sayılı kesir durumunda ise tam kısımlar kendi aralarında toplanıp çıkartılabilir. Farklı bir işlem içinse öncelikle bileşik kesre çevrilerek daha sonra da toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir. Konuyla ilgili bir örnek vermek gerekirse;

Örnek: /7+/7 işleminin sonucunu bulalım.

İşlemin çözümü için ilk yol: Tam olan kısımlar öncelikle kendi arasında kesir kısımları toplanarak çözülür.

/7 + /7 = /7 sonucu elde edilir.

İşlemin çözümü için ikinci yol: .Verilen kesirler öncelikle bileşik kesre çevrilir ve toplama işlemi yapılabilir.

/7 + /7 =

İlk kesir için işlem: 2x7= 14 + 3= 17 payda kısmı aynen yazılır. 17/7 sonucu elde edilir.

İkinci kesir için işlem: 1x7 = 7+2 = 9 payda kısmı aynen yazılır. 9/7 sonucu elde edilir.

Bu iki kesir toplandığında da; 17/7 + 9/7 = 26/7 sonucu elde edilmektedir.

Haberin Devamı

Paydaları eşit olmayan kesirlerde işlem yapılmak istenirse öncelikle kesirlerin aynı birimlerde olması gerekir. Yani öncelikle paydalar eşitlenmelidir. Bu işlemi yapılması için de kesirler arasında genişletme ya da sadeleştirme işlemi yapılması gerekir. Eşitleme işleminden sonra paylar işleme göre toplanır ya da çıkartılır. Sonuç pay kısmına yazılır, payda ise doğrudan payda kısmına yazılır. Konuyla ilgili bir örnek vermek gerekirse;

Örnek: 5/6+1/3 işleminin sonucunu bulalım.

İlk kesrin paydası 6, diğerinin ise 3’tür. Bu nedenle kesirler arasında genişletme işlemi yaparak paydaları eşitlememiz gerekir. Ardından ise toplama işlemi yapmak gerekir.

Haberin Devamı

5/6 kesri ile 1/3 kesrini eşitlemek için ikinci kesrin paydasını 2 ile çarparak ilk payda ile eşitleriz.

5/6 + /3= 5/6 + 2/6 sonucu elde edilir. Bu toplama işlemine göre de 7/6 sonucu elde edilir.

Bir doğal sayı ile bir kesri toplama ve çıkarma işlemi yapacaksak öncelikle doğal sayının payda kısmına 1 yazılır ve böylece diğer payda ile eşitleme işlemi yapılır. Konuyla ilgili bir örnek vermek gerekirse;

Örnek: 3+1/5 işleminin sonucunu bulalı.

Burada 3, bir doğal sayıdır. Bu nedenle payda kısmına 1 yazılır ve diğer kesrin paydası ile eşitleme yapılır. Payda kısmı 1 ise diğer payda ile eşitlemek için 5 ile çarpılır.

/1 + 1/5 = 15/5 + 1/5= 16/5 sonucu elde edilir.