Aritmetik Dizinin Genel Terimi

\( a_1 = \log_3{2} \)

\( d = 2a_1 = 2\log_3{2} \)

Dizinin 5. terimini 1. terim cinsinden yazalım.

\( a_5 = a_1 + 4d \)

\( = \log_3{2} + 4 \cdot 2\log_3{2} \)

\( = 9\log_3{2} = \log_3{2^9} \)

\( = \log_3{} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( f(x) \) bir çift fonksiyon olduğu için kökleri \( y \) eksenine göre simetriktir. Kökler arası ortak fark eşit olacağı için, bu kökleri aritmetik dizinin ortak farkı \( d \) cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \quad (a_n) = (-\frac{3d}{2}, -\frac{d}{2}, \frac{d}{2}, \frac{3d}{2}, ) \)

Dizinin genel terimi aşağıdaki şekilde olacaktır.

\( \quad (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)

\( \quad (a_n) = -\dfrac{3d}{2} + (n - 1)d \)

\( a_{10} = 30 \) değerini kullanarak ortak farkı bulalım.

\( \quad a_{10} = -\dfrac{3d}{2} + (10 - 1)d = 30 \)

\( \quad d = 4 \)

\( \quad a_1 = -\dfrac{3d}{2} = -6 \)

\( \quad (a_n) = -6 + (n - 1)d \)

\( a_{30} \)'u bulmak için genel terimi kullanalım.

\( \quad a_{30} = -6 + (30 - 1)4 = \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir dizinin ilk \( n \) terim toplamının formülü verildiyse, herhangi bir terimi bu formülü kullanarak bulabiliriz.

\( a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \)

\( S_{20} = 20^2 + 3 \cdot 20 \)

\( S_{19} = 19^2 + 3 \cdot 19 \)

\( a_{20} = S_{20} - S_{19} \)

\( a_{20} = 20^2 - 19^2 + 3(20 - 19) \)

\( a_{20} = (20 - 19)(20 + 19) + 3 = 42 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a_n \) aritmetik dizi ise,

\( S_{46} = S_{35} + a_{36} + \ldots + a_{46} = S_{35} \)

\( a_{36} + \ldots + a_{46} = 0 \)

Bir aritmetik dizinin belirli sayıda teriminin toplamı terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. \( a_{36} \) ve \( a_{46} \) arası terimlerin ortanca terimi \( a_{41} \)'dir

\( 11 \cdot a_{41} = 0 \Longrightarrow a_{41} = 0 \). I. öncül daima doğrudur.

Dizi aritmetik dizi de olabileceği için II. öncül daima doğru değildir.

III. öncül aritmetik ya da sabit dizi için doğrudur ama dizi farklı türde olabileceği için daima doğru diyemeyiz.

Buna göre sadece I. öncül daima doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( d \) aritmetik dizinin ortak farkı olmak üzere,

\( a_{x + y} = a_x + dy = 2y + dy \)

\( a_{x + y} = a_y + dx = 2x + dx \)

Alttaki denklemi üstteki denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( 0 = 2y - 2x + d(y - x)\)

\( -2(y - x) = d(y - x) \)

\( d = -2 \)

\( a_{x + y} = 2y - 2y = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen eşitlikteki terimleri 1. terim cinsinden yazalım.

\( 4(a_1 + 2d) = 5(a_1 + 6d) \)

\( 4a_1 + 8d = 5a_1 + 30d \)

\( a_1 + 22d = 0 \)

Eşitliğin sol tarafı dizinin terimine eşittir.

\( a_{23} = 0 \)

Buna göre dizinin terimi 0'dır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen eşitliklerdeki tüm terimleri \( a_1 \) cinsinden yazalım.

\( x = 3a_1 - 4(a_1 + 2d) \)

\( = 3a_1 - 4a_1 - 8d \)

\( = -a_1 - 8d \)

\( y = 3(a_1 + 4d) - 2(a_1 + 2d) \)

\( = 3a_1 + 12d - 2a_1 - 4d \)

\( = a_1 + 8d \)

2 ifadenin toplamını alalım.

\( x + y = -a_1 - 8d + a_1 + 8d \)

\( = 0 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

9 ile tam bölünen dört basamaklı doğal sayılardan oluşan bir aritmetik dizi tanımlayalım.

Bu dizinin en küçük terimi olur.

\( a_1 = \)

\( d = 9 \)

Bu dizinin en büyük terimi olur.

\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \)

\( = + (n - 1) \cdot 9 \)

\( 9(n - 1) = \)

\( n = \)

Buna göre 9 ile tam bölünen dört basamaklı doğal sayı vardır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a_9 \)'u \( a_3 \) cinsinden yazalım.

\( a_9 = a_3 + 6d \)

\( 4x + 15 = \dfrac{7x + 5}{2} + 6d \)

\( 8x + 30 = 7x + 5 + 12d \)

\( x + 25 = 12d \)

\( a_{12} \)'yi \( a_3 \) cinsinden yazalım.

\( a_{12} = a_3 + 9d \)

\( 8x + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7x + 5}{2} + 9d \)

\( 16x + 5 = 7x + 5 + 18d \)

\( 9x = 18d \)

\( x = 2d \)

Elde ettiğimiz iki denklemi ortak çözelim.

\( 2d + 25 = 12d \)

\( d = \dfrac{5}{2} \)

\( x = 5 \)

\( a_1 \) değerini bulalım.

\( a_3 = a_1 + 2d \)

\( \dfrac{7 \cdot 5 + 5 }{2} = a_1 + 2 \cdot \dfrac{5}{2} \)

\( a_1 = 15 \)

\( a_7 \) değerini bulalım.

\( a_7 = a_3 + 4d \)

\( a_7 = \dfrac{7 \cdot 5 + 5}{2} + 4 \cdot \dfrac{5}{2} \)

\( a_7 = 30 \)

\( a_1 + a_7 \) toplamını bulalım.

\( a_1 + a_7 = 15 + 30 = 45 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \)

\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_1 + a_{17}) \)

Bir aritmetik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin toplamları birbirine eşittir.

\( 5 + 13 = 1 + 17 = 18 \) olduğu için,

\( a_5 + a_{13} = a_1 + a_{17} = 22 \)

Buna göre ilk 17 terimin toplamını aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

\( S_{17} = \dfrac{17}{2}(a_5 + a_{13}) \)

\( = \dfrac{17}{2}(22) = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen toplam sembolü dizinin ilk 10 teriminin toplamını ifade etmektedir.

Aritmetik dizinin ilk \( n \) teriminin toplamı formülünü yazalım.

\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1) \cdot d] \)

\( S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot (2 \cdot 8 + 9d) = \)

\( 5(16 + 9d) = \)

\( 16 + 9d = 43 \)

\( d = 3 \)

2. ve 7. terimlerin farkı 5 ortak fark kadardır.

\( a_7 - a_2 = (7 - 2)d = 15 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Ortak terimlerin indislerine \( i \) ve \( j \) diyelim.

\( a_i = b_j = A \)

\( 7i + 25 = 10j + 13 = A \)

Eşitliğin taraflarını aralarında asal 7 ve 10 parantezine alabilecek şekilde eşitliğin taraflarına 17 ekleyelim.

\( 7i + 42 = 10j + 30 = A + 17 \)

\( 7 \cdot (i + 6) = 10 \cdot (j + 3) = A + 17 \)

Buna göre dizilerin her bir ortak teriminin 17 fazlası 7 ve 10'un bir ortak katıdır.

\( EKOK(7, 10) = 70 \)

\( A + 17 \in \{70, , , \ldots\} \)

\( A \in \{53, , , \ldots\} \)

Buna göre dizilerin ortak terimlerinden en küçük üçünün toplamı \( 53 + + = \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a_2 \), \( a_4 \) ve \( a_6 \) terimlerini \( a_1 \), \( a_3 \) ve \( a_5 \) cinsinden yazalım.

\( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = a_1 + d + a_3 + d + a_5 + d + 4 \)

\( a_7 = 3d + 4 \)

\( a_8 \) ve \( a_{10} \) terimlerini \( a_7 \) cinsinden yazalım.

\( a_7 + 3d = 4(a_7 + d) \)

\( a_7 + 3d = 4a_7 + 4d \)

\( 3a_7 = -d \)

\( a_7 = -\dfrac{d}{3} \)

\( a_7 \) ve \( d \) ile bulduğumuz iki eşitliği ortak çözelim.

\( 3d + 4 = -\dfrac{d}{3} \)

\( d = -\dfrac{6}{5} \)

\( a_7 = 3d + 4 = 3 \cdot (-\dfrac{6}{5}) + 4 \)

\( a_7 = \dfrac{2}{5} \)

\( a_7 \) terimini kullanarak \( a_1 \) terimini bulalım.

\( a_7 = a_1 + 6d \)

\( \dfrac{2}{5} = a_1 + 6 \cdot (-\dfrac{6}{5}) \)

\( a_1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{36}{5} \)

\( = \dfrac{38}{5} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Üç sayı arasında aritmetik ilişki olduğuna göre bu sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( (b - x), b, (b + x) \)

Üç sayının toplamını yazalım.

\( b - x + b + b + x = 33 \)

\( 3b = 33 \)

\( b = 11 \)

Buna göre sayılar aşağıdaki gibi olur.

\( (11 - x), b, (11 + x) \)

Üç sayının çarpımını yazalım.

\( (11 - x) \cdot 11 \cdot (11 + x) = \)

\( - x^2 = 40 \)

\( 81 = x^2 \)

\( x = \pm 9 \)

Aritmetik dizinin artan ya da azalan olduğu bilgisi verilmemiş olsa da her iki durumda da sayılardan en büyük olanı aynı olacaktır.

\( x = -9 \) olduğunda sayılar aşağıdaki gibi olur.

\( 20, 11, 2 \)

\( x = 9 \) olduğunda sayılar aşağıdaki gibi olur.

\( 2, 11, 20 \)

Her iki durumda da sayıların en büyüğü 20 olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Dizinin genel terimini bulalım.

\( (a_n) = a_1 + (n - 1)d \)

Dizinin ilk terimi \( a_1 = 37 \) ve ortak farkı \( d = 61 - 37 = 24 \)'tür.

\( (a_n) = 37 + (n - 1) \cdot 24 \)

\( (a_n) = 24n + 13 \)

3 basamaklı terimler aşağıdaki aralıkta bulunur.

\( \le 24n + 13 \le \)

\( 87 \le 24n \le \)

\( \dfrac{87}{24} \le n \le \dfrac{}{24} \)

Eşitsizliğin sınır değerlerinin yaklaşık değerlerini yazalım.

\( 3,6 \le n \le 41,08 \)

\( n \) tam sayı olduğu için aralığı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( 4 \le n \le 41 \)

Aritmetik dizilerin toplam formülü aşağıdaki gibidir.

\( S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

4. terimden terime kadar olan terimlerin toplamını bulmak için \( a_4 \)'ü birinci terim olarak düşünebiliriz.

\( a_4 = 24 \cdot 4 + 13 = \)

\( a_{41} = 24 \cdot 41 + 13 = \)

\( a_4 \)'ten \( a_{41} \)'e \( 41 - 4 + 1 = 38 \) terim vardır.

\( S_{41} = \dfrac{38}{2} \cdot ( + ) \)

\( = 19 \cdot = \)

3 basamaklı terimlerin ortalaması \( = \dfrac{}{38} = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Örnek olarak 12,8,4,0,-4,-8,… biçimindeki dizinin genel terimini bulalım.

Diziyi incelediğimizde her terimin bir önceki terimden 4 daha azdır. Bu nedenle ortak fark d=-4 olur. Dizinin ilk terimi de 8 olduğuna göre bu bilgileri genel terim formülünde yerine koyarak dizinin genel terimini bulabiliriz.

Örnek 1

olan aritmetik dizinin terimini bulalım.

bağıntısını kullanarak ilk olarak aritmetik dizinin ortak farkını buluruz. Yine aynı bağıntıyla bildiğimiz bu iki terimden birini ve ortak farkı yerine koyarak istediğimiz terime ulaşabiliriz.

Buradan

Örnek olarak bir aritmetik dizide ise ilk 9 terimin toplamını bulalım.

Yukarıda herhangi iki terimin toplamının yarısının tam ortalarında bulunan terime eşit olduğunu öğrendik. Bu kuralı kullanarak 5. terimi buluruz. Aynı kuralı tersten işlediğimizde diğer terimlerin toplamını da buluruz.

Örnek olarak 50 ile arasındaki 3 ile bölünebilen tam sayıların toplamını bulalım.

50 ile arasında 51,54,57,…,99 sayıları 3 ile bölünebilmektedir. Bu sayılar aritmetik dizimizin terimleri olacaktır. Aritmetik dizinin ortak farkı ise d=3 olur. Dizinin terim sayısını da bulduktan sonra terimlerin toplamını veren bağıntıya tüm bilgileri koyarak sonuca ulaşırız.