Kartezyen Permütasyon Kombinasyon Pdf

1 PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler ile eşleştirilir. Örneğin; 5 tane üçgen alalım. s s s s s Görüldüğü gibi üçgenler sayma sayıları kümesinin ilk 5 elemanı ile eşleştirilip üçgenlerin sayısı bulundu. Toplama yoluyla sayma; A ve B sonlu ayrık işlemler (Kesişimleri boş küme) olsun. A işlemi n farklı yoldan, B işlemi m farklı yoldan yapılabiliyorsa A veya B işlemi n+m farklı yoldan yapılabilir. Saymanın Temel İlkesi (Genel Çarpım Kuralı): A ve B sonlu ayrık işlemler olsun. A işlemi n farklı yoldan, B işlemi m farklı yoldan yapılabiliyorsa A ve B işlemleri sırasıyla n.m farklı yoldan gerçekleşebilir. Yiğit in dolabında 4 kazak, 5 pantolon vardır. Yiğit, 1 kazak veya 1 pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir? Yiğit, 4 farklı kazak giyebilir. 5 farklı pantolon giyebilir. Yiğit, 1 kazak veya 1 pantolonu 4+5=9 farklı şekilde giyebilir. Cevap: 9 A şehrinden B şehrine, 4 farklı kara yolu, 2 farklı deniz yolu kara yolları vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? A B deniz yolları 4 farklı kara yolu veya 2 farklı deniz yolu ile gidilebileceğinden, A dan B ye 4+2=6 farklı yolla gidilebilir. Cevap: 6 Bir sınıfta 3 kız ve 5 erkek öğrenci vardır. Bu sınıftan, a) 1 kız veya 1 erkek öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir? b) 1 kız ve 1 erkek öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir? a) 1 kız öğrenci 3 farklı şekilde seçilebilir. 1 erkek öğrenci 5 farklı şekilde seçilebilir. 1 kız veya 1 erkek öğrenci, 3+5=8 farklı yoldan seçilebilir. (Toplama yolu ile sayma) b) 1 kız öğrenci 3 farklı şekilde seçilebilir. 1 erkek öğrenci 5 farklı şekilde seçilebilir. 1 kız ve 1 erkek öğrenci, =15 farklı yoldan seçilebilir. (Genel çarpım kuralı) 10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç farklı yoldan seçilebilir? 10 kişilik bir sınıftan önce başkan 10 farklı yoldan seçilebilir. Kalan 9 kişiden başkan yardımcısı 9 farklı yoldan seçilebilir. 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı, =90 farklı yoldan seçilebilir. Cevap: 90 4

2 soru 1 soru 5 Serkan ın dolabında 3 gömlek, 4 ceket vardır. Serkan, 1 gömlek veya 1 ceketi kaç farklı şekilde giyebilir? Bir çiftlikteki 4 tavuk ve 5 horoz arasından 1 tavuk veya 1 horoz kaç farklı yoldan seçilebilir? A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 15 A) 9 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 soru 2 soru 6 Eray ın dolabında 5 tişört, 4 pantolon ve 6 ayakkabı vardır. Eray, 1 tişört veya 1 pantolon veya 1 ayakkabıyı kaç farklı şekilde giyebilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 11 E) 15 3 basketbolcu ve 5 futbolcunun yer aldığı bir kafileden 1 basketbolcu ve 1 futbolcu kaç farklı yoldan seçilebilir? A) 3 B) 5 C) 8 D) 15 E) 18 soru 3 A şehrinden B şehrine, 2 farklı kara yolu, 3 farklı hava yolu vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 soru 4 A şehrinden B şehrine, 3 farklı kara yolu, 2 farklı deniz yolu, 3 farklı demir yolu vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 A sınıfında 5 öğrenci, B sınıfında 6 öğrenci ve C sınıfında 10 öğrenci vardır. Bu üç sınıftan birer temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 21 B) 50 C) 60 D) E) soru 8 Bir yarışmaya katılan 11 sporcu arasından 1. ve 2. sporcu kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 21 B) C) D) E) C 2 E 3 C 4 B 5 A 6 D 7 E 8 C

3 A şehrinden B şehrine 2 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre, A şehrinden C şehrine kaç farklı yol olduğunu bulunuz. A B C A şehrinden B şehrine kırmızı yoldan giden birisinin B den C ye gitmek için 3 farklı seçeneği vardır. A B C A dan B ye 2. kırmızı yoldan giden bir kişi için B den C ye yine 3 farklı seçeneği vardır. 1. durum için 3, 2. durum için 3 Toplam 3+3=6 farklı seçenek vardır. Soruyu genel çarpım kuralı ile daha kolay bir biçimde çözebiliriz. A B C 2. 3 =6 farklı yol Cevap: 6 A şehrinden B şehrine 3 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 4 farklı yol vardır. a) A B C Buna göre, a) A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidilebileceğini, bulunuz. b) A şehrinden C ye giden birisinin kaç farklı dönüş yolu olduğunu, bulunuz. c) A şehrinden C ye gidip gelecek olan birisi için kaç farklı yol seçeneği olduğunu bulunuz =12 A dan C ye 12 farklı yol vardır. b) A B C 3. 4 =12 C den A ya aynı şekilde 12 farklı dönüş yolu vardır. c) A dan C ye gidip geri dönecek olan bir kişinin = farklı yol seçeneği vardır. A şehrinden B şehrine 3 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. a) A B C Buna göre, a) A dan C ye giden bir kişi için, giderken kullandığı yolları dönüşte kullanmamak şartı ile dönüş için kaç farklı yol seçeneği olduğunu bulunuz. b) A dan C ye giden bir kişi için, giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kullanmamak şartı ile dönüşte kaç farklı yol seçeneği olduğunu bulunuz. Giderken kırmızı yolları kullanan bir kişinin dönüşte C den B ye 4 seçeneği, B den A ya ise 2 seçeneği kalmıştır. Dönüşte kullanılabilecek yol sayısı =8 b) Giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kullanmamak demek A B C kırmızı yollardan gitti ise dönüşte =15 seçenekten birini gelirken kullanmış olduğunu düşünerek 15 1=14 farklı yol olduğunu buluruz. 6

4 soru 1 soru 5 A dan B ye 2 ve B den C ye 3 farklı yol vardır. A dan C ye kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12 A dan B ye 2 ve B den C ye 4 farklı yol vardır. A dan C ye giden bir kişinin giderken kullandığı yolları dönüşte kullanmamak şartı ile kaç farklı dönüş yolu vardır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18 soru 2 soru 6 A dan B ye 3 ve B den C ye 6 farklı yol vardır. A dan C ye kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18 P den R ye 3 ve R den S ye 7 farklı yol vardır. P den S ye giden bir kişinin giderken kullandığı yolları dönüşte kullanmamak şartı ile kaç farklı dönüş yolu vardır? A) 2 B) 6 C) 7 D) 12 E) 18 soru 3 A dan B ye 3 ve B den C ye 5 farklı yol vardır. A dan C ye giden birisi için kaç farklı dönüş yolu vardır? A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 45 soru 4 K dan L ye 2 ve L den M ye 3 farklı yol vardır. K dan M ye gidip gelecek birisi için kaç farklı yol seçeneği vardır? A) 36 B) 30 C) 24 D) 18 E) 12 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 A dan B ye 5, B den C ye 6 farklı yol vardır. A dan C ye giden bir kişinin giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kullanmamak şartıyla, kaç farklı dönüş yolu vardır? A) 20 B) 24 C) 27 D) 29 E) 30 soru 8 K dan L ye 3, L den M ye 4 farklı yol vardır. K dan M ye giden bir kişinin giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kullanmak şartıyla kaç farklı dönüş yolu vardır? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1 C 2 E 3 B 4 A 5 A 6 D 7 D 8 B

5 Sıralama veya diziliş sorularında çarpım yolu ile sayma yöntemi kullanılabilir. Hatta bu yöntemle soruları çözmek size permütasyon formülleri ile (ileride göreceksiniz!) soruları çözmekten daha kolay gelebilir. 4 öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir, bulunuz. funduszeue.infoım: Düz sıra olan sorularda öğrenci sayısı kadar koltuk olduğunu düşünebiliriz. funduszeue.infoım: koltuk 1. öğrenci için 4 koltuk seçeneği vardır. funduszeue.infoım: X 1. öğrenci koltuklardan birine oturduğunu düşünelim 2. öğrenci için 3 koltuk seçeneği kaldı. funduszeue.infoım: X X 2. öğrenci de koltuklardan birine oturdu. 3. öğrenci için 2 koltuk seçeneği kaldı. funduszeue.infoım: X X X 3. öğrencide koltuklardan birine oturdu. Geriye 4. öğrenci için 1 koltuk kaldı. Sonuç: =24 farklı şekilde öğrenciler düz sıraya oturabilirler. Cevap: 24 3 öğrenci, 5 boş koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir, bulunuz. funduszeue.infoım: boş koltuk 1. öğrenci için 5 farklı seçenek vardır. funduszeue.infoım: X 1. öğrenci oturdu. 2. öğrenci için 4 seçenek var. funduszeue.infoım: X X 2. öğrenci oturdu. 3. öğrenci için 3 seçenek var. Sonuç: =60 farklı şekilde öğrenciler oturabilirler. Cevap: 60 6 öğrenci 2 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir, bulunuz. Bu soruda boş koltuk sayısı öğrenci sayısından az olduğundan daha farklı bir yöntem izleyeceğiz. funduszeue.infoım: boş koltuk 1. koltuğa 6 öğrenciden biri oturabilir, 6 farklı seçenek var. funduszeue.infoım: X Öğrencilerden biri oturdu. 2. koltuğa 5 öğrenciden biri oturabilir, 5 farklı seçenek var. Sonuç: =30 farklı şekilde oturabilirler. Cevap: 30 8

6 soru 1 soru 5 3 öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturur? 4 kişi, 5 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 A) 12 B) 24 C) 48 D) 60 E) soru 2 soru 6 5 öğrenci, 5 koltuğa kaç farklı şekilde oturur? 3 öğrenci, 6 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 6 B) 12 C) 24 D) E) A) B) C) D) E) soru 3 x tane öğrenci düz bir sıraya 24 farklı şekilde oturabildiğine göre, x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 2 öğrenci, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5 öğrenci, 3 koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir? A) 30 B) 40 C) 60 D) 80 E) soru 8 8 öğrenci 2 koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir? A) 28 B) 56 C) 70 D) 98 E) B 2 D 3 C 4 D 5 E 6 A 7 C 8 B

7 10 kişilik bir gruptan başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir, bulunuz. Yapılacak seçimde bir göreve seçilen öğrencinin başka bir göreve seçilemeyeceğine dikkat edelim. funduszeue.infoçim: Başkan seçimi için 10 farklı seçenek vardır. funduszeue.infoçim: Başkan seçildiği için başkan yardımcısı olarak 9 farklı seçenek vardır. funduszeue.infoçim: Başkan ve başkan yardımcısı seçildiğinden sekreter için 8 farklı seçenek vardır. Sonuç olarak = farklı seçim yapılabilir. Cevap: farklı mektup, 3 farklı posta kutusuna, a) Kaç farklı şekilde atılabilir, bulunuz. b) Her mektup farklı posta kutusuna atılmak şartı ile 3 mektup posta kutularına kaç farklı şekilde atılabilir, bulunuz. a) funduszeue.infoım: posta kutusu 1. mektup için 3 farklı seçenek vardır. funduszeue.infoım: 1. mektup posta kutusuna atıldı. Bu posta kutusuna birden fazla mektup atılabileceği için 2. mektup içinde 3 seçenek var. funduszeue.infoım: 2. mektup da posta kutusuna atıldı. 3. mektup içinde 3 seçenek var. Sonuç: =27 farklı seçenek. b) funduszeue.infoım: posta kutusu 1. mektup 3 posta kutusundan birine atıldı. funduszeue.infoım: 2. mektup için 2 seçenek var. funduszeue.infoım: 3. mektup için 1 seçenek var. Sonuç: =6 farklı seçenek. Hafta sonu oynanan 5 futbol maçı ev sahibi takımın galibiyeti, takımların berabere kalması ve misafir takımın galibiyeti olarak kaç farklı şekilde sonuçlanabilir, bulunuz. Galibiyet, Mağlubiyet ve Beraberlik 3 farklı sonuçtur. Her maç içinde bu üç sonuç olabileceğinden 1. maç 2 maç 3. maç 4 maç 5. maç = farklı sonuç elde edilebilir. Cevap:

8 soru 1 soru 5 6 kişilik bir gruptan başkan kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 6 B) 12 C) 15 D) 24 E) 30 5 farklı para, 5 farklı kumbaraya her kumbarada bir para olacak şekilde, kaç değişik biçimde atılabilir? A) 5 B) 25 C) D) E) soru 2 soru 6 8 kişilik bir gruptan başkan ve başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? 4 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir? A) 8 B) 40 C) 48 D) 56 E) 64 A) 1 B) 2 C) 2 2 D) 2 3 E) 2 4 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5 kişilik bir sınıftan 3 farklı görev için öğrenciler seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 3 farklı madeni para havaya atıldığında kaç farklı sonuç oluşur? A) 5 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60 A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24 soru 4 soru 8 4 farklı para, 4 farklı kumbaraya değişik biçimde atılabilir? A) 4 B) 4 2 C) 4 3 D) 4 4 E) 4 5 Ligde oynanan 3 maçın, galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sonuçlarına göre, kaç farklı sonuç olabilir? A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) A 2 D 3 E 4 D 5 C 6 E 7 B 8 C 11

9 Şifresi 4 basamaktan oluşan şifreli bir çantayı açmak için, a) en fazla kaç deneme yapılabilir, bulunuz. b) Şifrenin rakamları farklı olduğu bilinirse en fazla kaç deneme yapılabilir, bulunuz. a) haneli şifre 10 Şifrenin 1. basamağı için {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olacak şekilde 10 farklı seçenek vardır. Şifrenin 2. basamağı için yine {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} olacak şekilde 10 farklı seçenek vardır. Şifrenin 3. basamağı için 10 farklı seçenek vardır. Şifrenin 4. basamağı için 10 farklı seçenek vardır = farklı şifre olabileceğinden, 10 4 deneme yapılabilir. b) Şifrenin rakamları farklı olduğundan bir kez kullanılan rakam bir daha kullanılamaz = basamak için 10 seçenek var 2. basamak için 9 seçenek var 3. basamak için 8 seçenek var En fazla denemede çanta açılır. 4. basamak için 7 seçenek var Bir şehire tahsis edilen telefon numaraları 7 haneli olup, numaralar sıfır ile başlamamaktadır. a) Kaç farklı telefon numarası üretilebilir? b) Telefon numaraları 58 ile başlayacağına göre, kaç farklı numara üretilebilir? c) Telefon numaraları 58 ile başlayacak ve numaraların rakamları farklı olacak şekilde kaç farklı numara üretilebilir? a) haneli numara Telefon numarası 0 ile başlayamayacağından ilk hane için 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 seçenekleri vardır. Diğer hanelerde ise 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarının hepsi kullanılabilir = numara üretilebilir. b) Telefonun ilk iki hanesi 58 olacağından 1. ve 2. haneler için yalnız 1 seçeneğimiz vardır. Diğer hanelerin her biri için 10 rakamda kullanılabilir =10 5 Sadece 5 olabilir. Sadece 8 olabilir farklı numara üretilebilir. c) İlk iki hane 58 olacağından 5 ve 8 rakamları bir daha kullanılamaz = Sadece 5 olabilir. Sadece 8 olabilir. Geri kalan 8 rakam kullanılabilir farklı numara üretilebilir. 12

10 soru 1 soru 5 Şifresi 3 basamaklı olan bir çantayı açmak için en fazla kaç deneme yapılabilir? A) B) C) D) E) Bir kasabaya 5 haneli telefon numarası atanmıştır. Bu kasabada oturan en fazla kaç kişiye farklı telefon numarası verilebilir? A) 10 3 B) 10 4 C) 10 5 D) 10 6 E) 10 7 soru 2 soru 6 Telefonunun pin koduna şifre belirleyecek bir kişi 5 haneli şifreyi kaç değişik biçimde belirleyebilir? A) B) C) D) E) Uğurcan arkadaşından telefon numarasını alıyor. Telefon numarasının yazılı olduğu kağıdı açınca 7 haneli numaranın son iki basamağının silindiğini görüyor. Uğurcan, en fazla kaç arama sonucunda arkadaşına telefonla ulaşabilir? soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A) 99 B) C) D) E) soru 7 3 haneden oluşan bir şifre rakamları farklı olacak şekilde kaç farklı şekilde üretilebilir? A) B) C) D) E) Elektronik posta hesabının şifresini belirleyen Işıl, 6 haneden oluşan şifrenin 3 tanesini Türkçe harflerden, geri kalanını rakamlardan belirleyecektir. Buna göre, Işıl kaç farklı şifre üretebilir? A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 Banka kartının şifresini unutan bir kişi yalnızca şifrenin 0 ile başlamadığını ve rakamları farklı olduğunu hatırlıyor. Buna göre, kartın 4 haneli şifresi için kaç farklı seçenek vardır? A) B) C) D) E) haneli bir telefon numarasının rakamlarının farklı olduğu ve 1. ve 7. haneleri bilindiğine göre, telefon numarasının kaç farklı değeri vardır? A) B) C) D) 9 5 E) E 2 E 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 A 13

11 A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak; a) 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? b) 3 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c) 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? d) 3 basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? e) 3 basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? Uyarı Bu tarz sorularda; I) Herhangi bir basamağı ilgilendiren sınırlama yoksa incelemeye 1. basamaktan başlarız. II) Herhangi bir basamağı ilgilendiren sınırlama varsa, sınırlamanın olduğu basamaktan başlarız. III) Rakamların farklı olma veya olmaması durumuna dikkat etmelisiniz! İstenen sayının rakamları farklı ise bir rakamı sadece bir yerde kullanabilirsiniz, rakamları farklı istenmemişse bir rakam tüm basamaklarda kullanılabilir. a) Bu tarz sorularda başka basamakları ilgilendiren bir özellik yok ise incelemeye 1. basamaktan başlayabiliriz. 5 {1, 2, 3, 4, 5} 1. basamağa 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarının tümü yazılabilir, 5 seçeneğimiz var. Kullandığımız rakamı tekrar kullanabileceğimiz için diğer basamaklar içinde 5 er seçeneğimiz var = farklı sayı b) 1. basamak için 5 seçeneğimiz var. Ancak kullandığımız rakamı bir daha kullanamayacağımız için 2. basamaktaki seçenek sayımız 4, üçüncü basamaktaki seçenek sayımız 3 olur = 60 farklı sayı c) Tek sayı olma son basamağı ilgilendirdiği için üçüncü basamaktan incelemeye başlarız. 3 {1, 3, 5} Sayının tek olması için son basamağa 1, 3 veya 5 rakamları gelebilir 3 seçeneğimiz vardır. Diğer basamaklar için bir kısıtlama olmadığı için bir ve ikinci basamaklarda 5 er seçeneğimiz vardır = 75 farklı sayı {1, 3, 5} d) Tek sayı olmasından dolayı yine son basamakta 1, 3 veya 5 olabilir. Bir rakamı sadece bir kez kullanabileceğimiz için diğer basamaklara 4 ve 3 seçenek kalır = 36 rakamları farklı tek sayı {1, 3, 5} e) 1.yöntem: Rakamları farklı 3 basamaklı 60 farklı sayı yazılabiliyordu. Bunlardan tek olanların sayısı 36 çıkartıldığında, rakamları farklı çift sayıların adedini bulmuş oluruz =24 tane veya diğer yöntemle, 2.yöntem: Çift sayı olma son basamağı ilgilendirdiği için üçüncü basamaktan incelemeye başlarız. 2 = {2, 4} sayının çift olabilmesi için son basamağa 2 veya 4 rakamları gelebilir. 2 seçeneğimiz vardır. Diğer basamaklarda bir rakam bir kez kullanılabileceği i- çin diğer basamaklara 4 ve 3 seçenek kalır =24 {2, 4} 14

12 soru 1 soru 5 A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak kaç farklı iki basamaklı sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24 A) 48 B) 60 C) 72 D) 80 E) 96 soru 2 soru 6 A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak iki basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25 A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 3 soru 7 A={1, 3, 5, 7} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı iki basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 A) 72 B) C) D) E) soru 4 soru 8 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) B) C) D) E) A) 45 B) 60 C) 72 D) 96 E) C 2 E 3 D 4 A 5 A 6 D 7 E 8 B 15

13 A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? b) Üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c) Üç basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? d) Üç basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? e) Üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? Uyarı Bu tarz sorularda; I) İlk basamağa sıfır (0) yazılamayacağına dikkat ediniz. II) c şıkkında olduğu gibi farklı iki basamakta sınırlama varsa (sıfırın ilk basamakta yazılamamasından ötürü ilk basamakta, Tek sayı olmasından ötürü son basamakta sınırlama var) her iki sınırlamaya dikkat ederek yapmalısınız. III) e şıkkında olduğu gibi farklı iki basamakta sınırlama varsa, buna ek olarak istenen sayının rakamları farklı ise sınırlamaya sebep olan sayılar göz önünde bulundurarak iki adımda e gitmelisiniz. İçinde sıfırın bulunduğu rakamlarla sayı üretirken ilk basamağa sıfırın gelemeyeceğine dikkat etmeliyiz. a) = farklı sayı {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4} 4 seçenek var 5 seçenek var 5 seçenek var b) {1, 2, 3, 4} 4 seçenek 4 seçenek 3 seçenek Birinci basamakta kullandığımız rakamı bir daha kullanamayacağımız için, ikinci basamağa 4 seçenek ve üçüncü basamağa 3 seçenek kalır =48 rakamları farklı sayı c) Tek sayı olması için son basamağa 1 veya 3 rakamları gelmelidir =40 farklı tek sayı {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4} {1, 3} 4 seçenek 5 seçenek 2 seçenek d) Rakamlardan 1 veya 3 ü son basamakta kullandığımız i- çin seçenek sayısı 1 azalır. 0 rakamını birinci basamağa koyamayacağımız için birinci basamakta seçenek sayısı 2 azaldı =18 rakamları farklı tek sayı {1, 3} e) 0 rakamı çift sayı istendiğinden dolayı üçüncü basamağı ve yer alamayacağı için birinci basamağı ilgilendiriyor. Bu tarz her iki basamağı ilgilendiren (ve rakamları farklı olan sorularda) rakamları ayrı incelememiz gerekir. funduszeue.info: Sıfırı ayrı inceleyelim. 0 son basamakta olabilir =12 {1, 2, 3, 4} {0} 4 seçenek 3 seçenek 1 seçenek funduszeue.info: Son basamakta 2 veya 4 olabilir =18 {2, 4} Sıfır rakamını kullanamıyoruz! 1. durum+2. durum=12+18=30 rakamları farklı çift sayı yazılabilir. veya Rakamları farklı 3 basamaklı sayılar Rakamları farklı 3 basamaklı tek sayılar 48 18=30 sonucunu verir. 16

14 soru 1 soru 5 A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak iki basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 16 B) 12 C) 9 D) 8 E) 6 A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 30 soru 2 soru 6 A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 18 B) 24 C) 36 D) 72 E) 96 A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 3 soru 7 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) B) C) D) E) A) 60 B) 72 C) 90 D) E) soru 4 soru 8 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) B 2 A 3 E 4 A 5 D 6 B 7 C 8 E 17

15 A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak; a) den küçük üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? b) den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? c) den küçük üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? d) den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? a) Sayının den küçük olması için ilk basamağın 1 veya 2 olması gerekir =50 tane {1, 2} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} 2 seçenek 5 seçenek 5 seçenek b) {1, 2} 2 seçenek 4 seçenek 3 seçenek =24 tane c) =20 tane {1, 2} {2, 4} 2 seçenek 5 seçenek 2 seçenek d) den küçük olması için ilk basamak 1 veya 2 olmalı. Sayının çift olması için son basamağının 2 veya 4 olması gerekir. 2 rakamı hem birinci hem üçüncü basamağı ilgilendirdiğinden ve rakamlar farklı olduğundan ayrı incelenmelidir. funduszeue.info: 2 rakamı son basamakta olabilir = 3 {1} {3, 4, 5} {2} funduszeue.infoım: Son basamakta 4 olabilir = 6 {1, 2} {4} 3 seçenek kaldı 1. durum+2. durum=3+6=9 çift sayı A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak, rakamları farklı üç basamaklı den küçük kaç farklı tek sayı yazılabilir? Sayının den küçük olması için ilk basamağı 1, 2, 3, 4 veya 5 rakamı ile başlamalı. Sayının tek olması için son basamağının 1, 3 veya 5 olması gerekir. 1, 3 ve 5 rakamları hem ilk hemde son basamağı ilgilendirdiği için ayrı incelenmeli. Son basamakta 1 olabilir, = 20 {2, 3, 4, 5} {1} Son basamakta 3 olabilir, = 20 {1, 2, 4, 5} {3} Son basamakta 5 olabilir, = 20 {1, 2, 3, 4} {5} =60 tek sayı. 18

16 soru 1 soru 5 A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak 30 dan küçük iki basamaklı kaç sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak den küçük üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 A) 18 B) 24 C) 27 D) 30 E) 36 soru 2 soru 6 A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak 30 dan küçük kaç doğal sayı yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak den küçük üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) B) C) D) E) A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 soru 4 soru 8 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak, den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 80 B) 90 C) D) E) A) 50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 80 1 C 2 D 3 B 4 A 5 E 6 C 7 D 8 A 19

17 A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Üç basamaklı den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? b) Üç basamaklı den küçük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c) Üç basamaklı den küçük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? d) Üç basamaklı den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? a) Sayı den küçük olması gerektiğinden ilk basamakta 1, 2, 3 veya 4 rakamları kullanılabilir = tane {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 4 seçenek 7 seçenek 7 seçenek b) Sayı den küçük olması gerektiğinden ilk basamakta 1 veya 2 rakamı kullanılabilir =60 tane {1, 2} 6 seçenek kalır 5 seçenek kalır c) Burada iki durum vardır. Birincisi ilk basamağın 1 veya 2 rakamı ile başlaması ikinci durumda ise ilk basamak 3 ile başlarsa, ikinci basamak 0, 1, 2, 4 değerlerini alabilir. funduszeue.info: İlk basamağın 1 veya 2 ile başlama durumu, =60 {1, 2} 6 seçenek kalır 5 seçenek kalır funduszeue.info: İlk basamağın 3 ile başlama durumu, =20 {3} {0, 1, 2, 4} 1. durum+2. durum=60+20=80 tane d) {1, 2, 3} {0, 2, 4, 6} 2 rakamı hem ilk basamağı hemde son basamağı ilgilendirdiğinden ayrı incelenmeli. funduszeue.info: =40 {1, 3} {0, 2, 4, 6} 5 seçenek kalır funduszeue.info: =15 {2} {0, 4, 6} 5 seçenek kalır 1. durum+2. durum=40+15=55 tane 20

18 soru 1 soru 5 A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak iki basamaklı 30 dan küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 42 soru 2 soru 6 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A) 64 B) 72 C) 80 D) 96 E) A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı dan küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A) 60 B) 72 C) 96 D) E) soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı den küçük kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 42 soru 4 soru 8 A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı den büyük kaç farklı sayı yazılabilir? A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı den küçük kaç farklı tek sayı yazılabilir? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 38 B) 40 C) 44 D) 48 E) 50 1 A 2 E 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 E 21

19 Faktöriyel n pozitif doğal sayı olmak üzere, 1 den n&#;ye kadar olan doğal sayıların çarpımına "n" sayısının faktöriyeli denir ve "n!" biçiminde gösterilir. n!= n 1!=1 2!= 3!= != (n 1)!= (n 1) n!= (n 1).n Özel olarak, 0!=1 dir. 4! ifadesinin değerini hesaplayınız. 4!= =24 Cevap: 24 5! sayısını 5 den küçük doğal sayıların faktöriyelleri türünden ifade ediniz. 5!= =! 4! 5!= =! 3! 5!= = ! 2! 5!= ! 5! ifadesinin sonucunu bulunuz. Faktöriyelli işlemlerde, genellikle büyük olan faktöriyelli sayı, küçük olana çevrilerek sadeleştirmeler yapılır. 7! ! 5! = ==42 5! Cevap: 42 7!.x=9! olduğuna göre, x kaçtır, bulunuz. 7!.x=9! 9! ! x= 7! = ==72 7! Cevap: 72 22

20 soru 1 5! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 24 B) 48 C) 50 D) 70 E) soru 5 5! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3! A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 soru 2 6! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) soru 6 7! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 4! A) B) C) D) E) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 3 9! sayısı aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? soru 7 !.x=8! olduğuna göre, x kaçtır? A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru 4 soru 8 12! sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? (x 1)!= 5! 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 1 E 2 E 3 D 4 C 5 A 6 D 7 D 8 B 23

21 9! + 8! 8! ifadesinin sonucunu bulunuz. İfadedeki küçük olan sayı 8! olduğundan 9! sayısını 8! cinsinden yazalım. ! + 8! 8! (9 + 1) = = 9 + 1= 10 8! 8! Cevap: 10 9! + 8! 9! - 8! ifadesinin sonucunu bulunuz. 9! sayısını 8! cinsinden yazalım. ! + 8! (9 + 1).8! = = = = ! - 8! (). 8! Cevap: 5 4 (n + 1)! = 13 n! olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n+1)! ifadesini n! cinsinden yazalım. (n + 1)! (n + 1). n! = =n+1=13 n! n! n=12 Cevap: 12 n! (n - 1)! 9. = (n - 2)! (n + 1)! 11 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n+1)!=(n+1).n! (n 1)!=(n 1).(n 2)! n! (n - 1)! n! (n -1). (n - 2 )! 9. =. = (n - 2)! (n + 1)! (n - 2)! (n + 1). n! n- 1 9 = n n 11=9n+9 2n=20 n=10 Cevap: 10

22 soru 1 5! + 4! 4! ifadesinin sonucu kaçtır? soru 5 (n - 1)! = 5 (n - 2)! olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 soru 2 9! + 8! 7! ifadesinin sonucu kaçtır? soru 6 (2n + 1)! = 11 (2n)! olduğuna göre, n kaçtır? A) 72 B) 80 C) 90 D) 96 E) 99 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 6! + 5! 6! - 5! ifadesinin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) (n + 2)! (n 2)! 8. - = (n - 1)! (n + 1)! 5 olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 soru ! + 9! 10! ! ifadesinin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) soru 8 (n -1)! (2n)!. (2n -1)! n! ifadesinin sonucu kaçtır? A) 2 B) 3 C) D) E) B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 B 8 A 25

23 4!=x olduğuna göre, 5!+6! toplamının x cinsinden değerini bulunuz. 5! ve 6! sayılarını 4! cinsinden yazalım. 5!=! 6!=! 5!+6!=!+! =4!(5+) =! =35x Cevap: 35x 3!+4!+5!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden değerini bulunuz. x=3!+4!+5!=3!+!+! x=3!( ) x=3! ise 3!= x 25 dir. != ! x = =x =x Cevap: x n! + (n + 1)! 9 = (n + 1)! -n! 7 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n+1)!=(n+1).n! n! + (n + 1)! n! + (n + 1).n! n! (1 + n + 1) = = (n + 1)! - n! (n + 1).n! -n! n! (n + ) n = n 7 7n+14=9n 2n=14 n=7 Cevap: 7 (2n + 1)! - 36(2n - 1)! 1 (2n+1)!=(2n+1).(2n).(2n 1)! = olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. 2n! (2n + 1)! (2n - 1)! (2n + 1).(2n).(2n -1)! (2n -1)! = 2n! (2n).(2n -1)! (2n 1)! - ( (2n + 1).(2n) ) (2n).(2n -1)! 2 4n + 2n = 1 2n 4n 2 +2n 36=2n 4n 2 = 36 n 2 =9 ve n=3 Cevap: n=3 26

24 soru 1 3!=x olduğuna göre, 3!+4! toplamının x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x B) 3x C) 4x D) 5x E) 6x soru 5 (n + 2)! - (n + 1)! = 16 olduğuna göre, n kaçtır? n! A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 2 9!=x olduğuna göre, 9!+10!+11! toplamının x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x C) x D) x E) x soru 6 (n - 1)! + n! 5 = olduğuna göre, n kaçtır? n! -(n -1)! 4 A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 3 2!+3!+4!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x B) 6x C) 8x D) 10x E) 12x soru 7 (n + 2)! - n! = 11 olduğuna göre, n kaçtır? n! A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 6!+7!+8!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 63x B) 70x C) 72x D) 81x E) 84x soru 8 (2n)!(2n -2)! = 8 olduğuna göre, n kaçtır? (2n -1)! A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1 D 2 E 3 E 4 A 5 B 6 B 7 A 8 B 27

25 Permütasyon: n ve r birer doğal sayı ve r n olmak üzere, n tane elemanın r li sıralanışlarının sayısına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. n! P(n, r) = dir. (n - r)! P(5, 2) ve P(6, 3) ifadelerinin sonuçlarını bulunuz. P(n, r)= n! olduğundan, (n - r)! 5! 5! ! P(5, 2)= = = ==20 ()! 3! 3! 6! 6! ! P(6, 3)= = = = ()! 3! 3! Cevap: 20 ve P(n, 0), P(n, 1), P(n, n) ve P(n, n 1) ifadelerinin sonuçlarını bulunuz. P(n, 0)= n! = n! = 1 (n - 0)! n! n! n. (n -1)! P(n, 1)= = = n (n - 1)! (n -1)! P(n, n)= n! = n! = n! = n! (n - n)! 0! 1 n! n! n! P(n, n 1)= = = = n! ( n -(n -1) )! (n - n + 1)! 1! P(n, 2)=42 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. P(n, 2)= n! n.(n - 1).(n - = 2)! = n.(n -1) =n.(n 1) (n -2)! (n -2)! P(n, 2)=42 olduğundan, n.(n 1)=42 n 2 n=42 n 2 n 42=0 7 6 (n 7).(n+6)=0 n=7 veya n= 6 6 doğal sayı olmadığından n=7 Cevap: 7 28

26 soru 1 soru 5 P(4, 2) ifadesinin sonucu kaçtır? P(8, 8) ifadesinin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 A) 1 B) 8 C) 8! D) 9! E) 10! soru 2 soru 6 P(10, 2) ifadesinin sonucu kaçtır? P(15, 14) ifadesinin sonucu kaçtır? A) 10 B) 90 C) D) E) A) 14! B) 15! C) 14 D) 15 E) 1 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 P(7, 1) ifadesinin sonucu kaçtır? P(n, n)= olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 10 D) 14 E) 21 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 P(10, 0) ifadesinin sonucu kaçtır? P(n, 2)=90 olduğuna göre, n kaçtır? A) 1 B) 10 C) 20 D) 90 E) A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 1 E 2 B 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 D 29

27 P(n 1, 2)=30 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n -1)! (n -1)! P(n 1, 2)= = (n )! (n -3)! (n 1).(n 2).(n 3)! = (n - 3)! =(n 1).(n 2) P(n 1, 2)=30 olduğundan, (n 1).(n 2)=30 n 2 3n+2=30 n 2 3n 28=0 7 4 n=7 ve n= 4 4 N olduğundan n=7 Cevap: 7 P(n+3, n+1)=12 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n + 3)! (n + 3)! P(n+3, n+1)= = ( n + 3 -(n + 1) )! (n + 3 -n -1)! (n + 3)! (n + 3)! = = 2! 2 P(n+3, n+1)=12 olduğundan, (n + 3)! =12 2 (n+3)!=24 (n+3)!=4! ise n+3=4 ve n=1 dir. Cevap: 1 n.p(n, 1) n.p(2, 0) 2.P(3, 1)=0 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. P(n, 1)= = =n n! n. (n -1)! (n - 1)! (n -1)! 2! 2! P(2, 0)= = =1 ()! 2! 3! 3! ! P(3, 1)= = = =3 ()! 2! 2! n.p(n, 1) n.p(2, 0) 2.P(3, 1)= n 1 3 n.n n.1 =0 30 n 2 n 6=0 3 2 (n 3).(n+2)=0 n=3 veya n= 2 2 N olduğundan n=3 Cevap: 3

28 soru 1 soru 5 P(n+1, 1)=8 olduğuna göre, n kaçtır? P(n, n 2)=60 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 2 soru 6 P(n 3, 1)=7 olduğuna göre, n kaçtır? P(n+1, n 2)=4 olduğuna göre, n kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 P(n 2, 2)=12 olduğuna göre, n kaçtır? n.p(n, 1)=P(9, 1) olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 soru 4 soru 8 P(n+5, 2)= olduğuna göre, n kaçtır? n.p(2n, 1)+P(2n, 1)=2.P(3, 3) olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 B 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 E 8 A 31

29 Daha önceki sayfalarda permütasyon formülü ile hesaplamalar yapmayı öğrendik. Permütasyonun tanımında, n tane elemanın r li sıralanışlarının sayısından bahsedilmektedir. Örneğin; 5 öğrenci 2 kişilik bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir sorusunu, 5. 4 = 20 şeklinde genel çarpım kuralı ile çözebiliriz. Bu soruyu, 5 tane elemanın 2 li sıralanışlarını sorduğu için permütasyon formülü ilede çözebiliriz. 5! 5! ! P(5, 2)= = = =20 ()! 3! 3! Görüldüğü gibi genel çarpım kuralı ile çözülebilen soru permütasyon formülü ile de çözülebiliyor. Permütasyon sorularının tümü genel çarpım kuralı kullanılarak çözülebilir. Permütasyonda dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta; n tane elemandan r tane eleman önce seçiliyor daha sonra seçilen bu r tane elemanlar sıralanıyor. Yani, permütasyonda hem seçim hem de sıralama vardır. 10 kişilik bir öğrenci grubundan 3 kişilik gruplar seçilerek yanyana fotoğraf çektireceklerdir. Kaç farklı poz fotoğraf çekilebileceğini bulunuz. 3 kişilik gruba seçilen öğrenciler kendi aralarında yer değiştirip poz vereceklerinden sıralama önemlidir. Bu yüzden permütasyonlarını almalıyız. 10! ! P(10, 3)= ()! = == 7! Cevap: A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir, bulunuz. Bu sorunun benzerlerini daha önce genel çarpım kuralı ile çözmüştük. 6 eleman arasında 3 tane eleman seçilip sıralanacağından, 6! 6! ! P(6, 3)= = = = tane ()! 3! 3! Cevap: Bir binada yanyana 5 tane boş dükkan vardır. Dükkan satın olmak için gelen 3 müşteri kaç farklı seçim yapabilir, bulunuz. Soruda seçim ve sıralama olduğundan permütasyon ile yapılabilir. 5! ! P(5, 3)= ()! = =20 tane 2! Cevap: 20 8 kişilik bir öğrenci grubunda bir kutlama için hediye çekilişi yapılıp herkesin hediye alacağı kişiler belirlenecektir. Bu çekiliş sonucu kaç farklı durum ortaya çıkar bulunuz. Soruda sıralama önemlidir. Örneğin, grup içerisindeki Sinan&#;ın, Kardelen&#;e hediye alma durumu ile Kardelen&#;in, Sinan&#;a hediye alma durumu farklı durumlardır. Bu sebeple soruyu permütasyon kullanarak çözebiliriz. 8! ! P(8, 2)= ()! = ==56 6! Cevap: 56 32

30 soru 1 soru 5 "20 çeşit bordürden 5 bordür seçilerek desen oluşturulacaktır. Bu desen kaç farklı şekilde olabilir?" sorusunun cevabı aşağıdaki ifadelerden hangisiyle bulunur? A) P(20, 20) B) P(5, 5) C) P(5, 20) D) P(20, 5) E) (20, 15) A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) 60 B) 75 C) 90 D) E) soru 2 soru 6 "6 tane öğrenci yanyana 3 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?" sorusunun cevabı aşağıdaki ifadelerden hangisiyle bulunur? A) P(6, 6) B) P(3, 3) C) P(6, 3) D) P(3, 6) E) P(9, 3) A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) B) C) D) E) soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 8 tane öğrenci 4 kişilik bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir? 18 takımlı bir ligde birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü kaç farklı biçimde seçilebilir? A) B) C) D) E) A) 17! B) 18! C) D) E) soru 4 soru 8 10 kişinin katıldığı bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncü kaç değişik biçimde seçilebilir? A) B) C) D) E) farklı ülkeden 6 farklı takımın katılacağı bir turnuvada maçlar ikili eşleşmelerde ilk seçilen takımın sahasında yapılmaktadır. Çekilen ilk tur kurası sonucunda maçların oynanacağı ülkeler açısından kaç farklı durum ortaya çıkabilir? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 42 1 D 2 C 3 E 4 E 5 A 6 A 7 E 8 B 33

31 A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunmaz? a elemanının 3 lü permütasyonlarda bulunması istenmediğinden kümeden çıkartınız. A={a, b, c, d, e, f} Kalan 5 elemanın 3 lü permütasyonlarında a bulunmaz. 5! ! P(5, 3)= ()! = ==60 Cevap: 60 2! A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunur? Bu tarz soruların ünde A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısından a elemanının bulunmadığı 3 lü permütasyonlarının sayısını çıkarmak daha kolaydır. A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunur, b elemanı bulunmaz? A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısı, 6! ! P(6, 3)= ()! = = tane 3! A kümesinin a elemanı bulunmayan 3 lü permütasyonlarının sayısı, A={a, b, c, d, e, f} P(5, 3)= 5! =60 ()! A kümesinin a elemanı bulunan 3 lü permütasyonlarının sayısı, P(6, 3) P(5, 3)= 60=60 tanedir. Cevap: 60 b elemanı bulunmayacağı için kümeden çıkaralım. A={a, b, c, d, e, f} Soruyu kalan A={a, c, d, e, f} kümesinde a elemanının bulunduğu 3 lü permütasyonların sayısı olarak düşünelim. Yani A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısı; P(5, 3)= 5! ==60 tane ()! A kümesinin a elemanı bulunmayan 3 lü permütasyonlarının sayısı; A={a, c, d, e, f} 4! 4! P(4, 3)= = = =24 ()! 1! A kümesinin a elemanı bulunan, b elemanı bulunmayan 3 lü permütasyonlarının sayısı; P(5, 3) P(4, 3)=60 24=36 tane Cevap: 36 A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı veya b elemanı bulunur? "a veya b elemanı bulunur" ifadesindeki kasıt, a bulunur, b bulunmaz. a bulunmaz, b bulunur. a bulunur, b bulunur durumlarıdır. İstenmeyen durum a ve b nin ikisinin birden bulunmamasıdır. Tüm durumların sayısından istenmeyen durum sayısını çıkardığımızda istenilen durum sayısını buluruz. A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısı; P(6, 3)= 6! == ()! A kümesinin 3 lü permütasyonlarında a ve b elemanın her ikisininde bulunmama sayısı; A={a, b, c, d, e, f} P(4, 3)= 4! ==24 ()! A kümesinin a veya b elemanı bulunan 3 lü permütasyonlarının sayısı; P(6, 3) P(4, 3)= 24=96 tane Cevap: 96 34

32 soru 1 soru 5 A={a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde b elemanı bulunmaz? A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde b elemanı bulunur, c elemanı bulunmaz? A) B) C) D) E) A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 soru 2 soru 6 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde "1" elemanı bulunmaz? A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde e elemanı bulunur, f elemanı bulunmaz? A) 96 B) C) D) E) A) 80 B) 84 C) 90 D) 92 E) 96 soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunur? A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde b veya c elemanı bulunur? A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 42 A) 36 B) 54 C) 60 D) 72 E) 84 soru 4 soru 8 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde "5" elemanı bulunur? A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde d veya e elemanı bulunur? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) A 2 B 3 D 4 E 5 C 6 E 7 B 8 C 35

33 Permütasyon - Kombinasyon Bir grup insanın bir sıraya kaç farklı şekilde oturabileceği, kaç farklı şekilde yanyana fotoğraf çektirebileceği veya bir grup nesnenin kaç farklı şekilde sıralanabileceği biçimindeki soruların genel çarpım kuralı ile veya permütasyon formülü ile çözülebileceğini öğrendik. Sıralanacak nesnelerin belli bir kısmının yanyana olması şartı getirildiğinde yanyana olması istenen nesneler tek bir nesne olarak kabul edilip yine genel çarpım kuralı veya permütasyon formülleri ile yapılır. Bu tarz sorular için aşağıdaki kavrama sorularının ünü dikkatle inceleyiniz. n tane nesnenin hiç bir şart yoksa yanyana farklı sıralanış sayısı n! dir. 4 erkek, 3 kız öğrenci düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanabilir? Öğrencilerin sıralanmasında hiç bir koşul vermediği için; 4 erkek+3 kız=7 öğrenci 7 öğrencinin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bularak e ulaşırız. 7 öğrenci 7! farklı şekilde sıralanabilir. Cevap: 7! 4 erkek, 3 kız öğrenci, kız öğrenciler yanyana olmak şartı ile düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanabilir? Erkek öğrencileri E harfiyle, kız öğrencileri K harfiyle gösterelim. Toplam 7 kişi E E E E K K K Kız öğrencilerin yanyana olması istendiğinden kız öğrencileri 1 kişi alıyoruz. 1 kişi gibi düşünülür E E E E K K K Toplam 5 kişi 5 kişinin sıralanma sayısı 5! dir. Ancak 3 kız öğrencide kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabileceğinden sonuç olarak, 5!.3! farklı sıralanış vardır. Cevap: 5!.3! 4 erkek, 3 kız öğrenci, kız öğrenciler yanyana, erkek öğrenciler yanyana olmak şartı ile düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde oturabilirler. E E E E K K K Erkek öğrenciler Kız öğrenciler Erkek öğrencilerin yanyana, kız öğrencilerinde kendi aralarında yanyana olması istendiğinden erkekleri 1 kişi, kızları 1 kişi olarak alırız. 1 kişi E E E E K K K 1 kişi kişi 2 kişinin sıralanma sayısı 2!. Ancak erkekler kendi aralarında 4! kızlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanabileceğinden sonuç olarak, 2!.4!.3! farklı sıralanış vardır. Cevap: 2!.4!.3! 4 farklı Fizik, 5 farklı Kimya ve 3 farklı Matematik kitabı, Kimya kitapları yanyana, Fizik kitapları yanyana olma şartı ile bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? F F F F K K K K K M M M Fizik kitapları Kimya kitapları Matematik kitapları Yanyana olanları 1 kitap alırız. F F F F K K K K K M M M fizik 1 kimya 3 matematik Toplam 5 kitap 5! sıralamadır. Fizikler kendi aralarında 4! Kimyalar kendi aralarında 5! Toplam 12 kitap; 5!.5!.4! farklı şekilde rafa dizilebilir. Cevap: 5!.5!.4! 36

34 soru 1 soru 5 3 kız, 3 erkek öğrenci düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 3!.3! B) 3! C) 4! D) 5! E) 6! 2 kız ve 4 erkek öğrenci, kızlar kendi aralarında yanyana, erkekler kendi aralarında yanyana olma şartıyla düz bir sırada kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 2!2!4! B) 3!4! C) 2!5! D) 2!4! E) 6! soru 2 soru 6 4 farklı Tarih, 5 farklı Coğrafya kitabı bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 9! B) 4!5! C) 7! D) 5! E) 4! 4 farklı tişört, 3 farklı pantolon, 2 farklı gömlek vitrinde yanyana sıralanacaktır. Aynı cins giysiler kendi aralarında yanyana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 4!.3!.2! B) 3!.3!.3!.2! C) 4!.3!.3!2! D) 3!.2!.2! E) 4!.3!.3!.3! soru 3 3 farklı Matematik ve 5 farklı Kimya kitabı, Matematik kitapları yanyana olmak şartıyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 8! B) 4!6! C) 3!5! D) 3!6! E) 4!5! KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 2 Edebiyat, 3 Tarih ve 4 Coğrafya kitabı bir rafa dizilecektir. Edebiyat kitapları yanyana, Tarih kitapları yanyana olma şartıyla bu 9 kitap rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 2!.3!.4! B) 2!.3!.6! C) 2!.2!.6! D) 2!.3!.5! E) 3!.4!.5! soru 4 soru 8 6 farklı koltuk ve 5 farklı kanepe, koltuklar yanyana olmak şartı ile düz bir sıra halinde kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 7!5! B) 6!6! C) 6!7! D) 6!5! E) 11! 4 farklı buzdolabı, 4 farklı çamaşır makinesi ve 4 farklı bulaşık makinesi mağaza vitrinine düz bir şekilde sıralanacaktır. Çamaşır makineleri yanyana, bulaşık makineleride yanyana olma şartıyla vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 3!.4!.4! B) 4!.4!.4! C) 4!.4!.5! D) 4!.4!.6! E) 4!.4!.7! 1 E 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 B 8 D 37

35 A, B, C, D, E, F harfleri kullanılarak oluşturulan 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerden kaç tanesinde A ile B yanyana gelmez? A ile B nin yanyana olma durumu istenmeyen durumdur. Tüm sıralamaların sayısından A ile B nin yanyana olduğu sıralamaları çıkarırsak A ile B nin yanyana olmadığı durumları buluruz. A, B, C, D, E, F toplam 6 harf olduğundan, sıralanma sayısı 6! dir. A B C D E F !.2! (A ile B nin yanyana olduğu sıralanmalar) 6! 5!.2!=! 5!.2!=5!(6 2)=! ! sıralamada A ile B yanyana olmaz. Cevap: ! 4 erkek, 3 kız öğrenci, a) İki erkek arasına bir kız öğrenci gelecek şekilde, b) Kız öğrencilerin hiç biri yanyana olmayacak şekilde düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanırlar? a) İki erkek arasına bir kız öğrenci geleceğinden E K E K E K E biçiminde bir sıralama olur. Kızlar kendi aralarında 3! kadar yer değiştirebilir, erkekler kendi aralarında 4! kadar yer değiştirebilir. Hepsi sonuçta; 3!.4! kadar sıralanır. b) E E E E Kız öğrencilerin her biri yukarıdaki boşluklara yerleşebilir. 5 boşluk ve 3 kız öğrenci olduğundan kızlar P(5, 3) sayıda sıralanır. Erkekler kendi aralarında 4! sayıda sıralanır. Hepsi sonuçta; P(5, 3).4!= ! sayıda sıralanır. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamları kullanılarak oluşturulan 7 basamaklı sayıların; a) Kaç tanesi 1 ile başlar? b) Kaç tanesi 1 ile başlayıp 5 ile biter? c) Kaç tanesinin başında ve sonunda 1 ile 5 bulunur? a) Sayı 1 ile başlayacağı için 1 rakamını ilk haneye yazarız Kalan 6 rakam 6! sayıda sıralanır. 1 ile başlayan 6! sayıda 7 basamaklı sayı vardır. b) 1 ile başlayıp 5 ile biteceğinden 1 rakamını ilk basamağa, 5 rakamını son basamağa yazarız Kalan 5 rakam 5! sayıda sıralanır. 1 ile başlayıp 5 ile biten 5! sayıda 7 basamaklı sayı vardır. c) 1 başta 5 sonda olabileceği gibi 5 başta 1 sonda da olabilir. 2! ! Başında ve sonunda 1 ile 5 bulunan 2!.5! sayıda 7 basamaklı sayı vardır. 38

36 soru 1 soru 5 1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile oluşturulacak 5 basamaklı rakamları tekrarsız sayıların kaç tanesinde 1 ile 2 yanyana gelmez? A, B, C, D, E harfleri kullanılarak yazılacak olan anlamlı yada anlamsız 5 harfli kelimelerin kaç tanesi E harfi ile başlar? A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) ! B) 3! C) 4! D) 5! E) ! soru 2 soru 6 7 kişilik bir öğrenci grubu düz bir sıraya sıralanacaktır. Sıralamaların kaç tanesinde öğrencilerden Ahmet ile Mahmut yan yana gelmez? Aralarında Yusuf ve Gürkan&#;ında bulunduğu 8 kişilik bir öğrenci grubu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. Sıranın başında Gürkan, sonunda Yusuf&#;un olduğu sıralama sayısı kaçtır? A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) 3!.5! B) 5! C) ! D) 6! E) ! soru 3 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5 farklı Matematik kitabı ile 4 farklı Fizik kitabı bir rafa dizilecektir. Bu dizilişlerin kaç tanesinde iki matematik kitabı arasına bir fizik kitabı gelir? A) ! B) ! C) 4!.5! D) 4!.6! E) 9! İçinde 2 sesli harfin bulunduğu 10 farklı harfin tamamı kullanılarak anlamlı yada anlamsız kelimeler türetilecektir. Bu kelimelerin kaç tanesi sesli harf ile başlayıp sesli harf ile biter? A) 4!.4! B) 7! C) 3!.7! D) 8! E) 2!.8! soru 4 soru 8 3 futbolcu, 5 basketbolcu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. Bu sıralanışların kaç tanesinde hiç bir futbolcu yanyana gelmez? A) P(5, 5).6! B) P(6, 5).3! C) P(6, 5).5! D) P(5, 3).6! E) P(6, 3).5! İçinde Erhan ile Dilara&#;nın bulunduğu 7 kişilik bir öğretmen grubu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. Erhan&#;ın sıranın bir ucunda Dilara&#;nın diğer ucunda bulunduğu sıralamaların sayısı kaçtır? A) 2!.4! B) 2!.5! C) 3!.5! D) 4!.6! E) 6! 1 A 2 D 3 C 4 E 5 C 6 D 7 E 8 B 39

Daha göster

Sayma Yöntemleri
Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları
kümesinin elemanları sayılacak nesneler ile eşleştirilir. Örneğin; 5 tane üçgen alalım.

s s s s s Görüldüğü gibi üçgenler sayma sayıları kümesinin ilk 5 elemanı ile eşleştirilip üçgenle-
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 2 3 4 5 6 7 rin sayısı bulundu.

Toplama yoluyla sayma; A ve B sonlu ayrık işlemler (Kesişimleri boş küme) olsun. A işlemi n farklı yoldan, B işlemi m farklı
yoldan yapılabiliyorsa A veya B işlemi n+m farklı yoldan yapılabilir.
Saymanın Temel İlkesi (Genel Çarpım Kuralı): A ve B sonlu ayrık işlemler olsun. A işlemi n farklı yoldan, B işlemi m farklı
yoldan yapılabiliyorsa A ve B işlemleri sırasıyla n.m farklı yoldan gerçekleşebilir.

kavrama sorusu çözüm

Yiğit in dolabında 4 kazak, 5 pantolon vardır. Yiğit, 4 farklı kazak giyebilir.

kavrama sorusu çözüm

A şehrinden B şehrine, 4 farklı kara yolu, 2 farklı deniz yolu kara yolları

vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? A B

4 farklı kara yolu veya 2 farklı deniz yolu ile gidilebileceğinden,

kavrama sorusu çözüm

Bir sınıfta 3 kız ve 5 erkek öğrenci vardır. a) 1 kız öğrenci 3 farklı şekilde seçilebilir.
Bu sınıftan, 1 erkek öğrenci 5 farklı şekilde seçilebilir.
a) 1 kız veya 1 erkek öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir? 1 kız veya 1 erkek öğrenci,
b) 1 kız ve 1 erkek öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir? 3+5=8 farklı yoldan seçilebilir. (Toplama yolu ile sayma)
b) 1 kız öğrenci 3 farklı şekilde seçilebilir.
1 erkek öğrenci 5 farklı şekilde seçilebilir.
1 kız ve 1 erkek öğrenci,
=15 farklı yoldan seçilebilir. (Genel çarpım kuralı)

kavrama sorusu çözüm

10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve 1 başkan yardımcısı kaç 10 kişilik bir sınıftan önce başkan 10 farklı yoldan seçilebilir.
farklı yoldan seçilebilir? Kalan 9 kişiden başkan yardımcısı 9 farklı yoldan seçilebilir.
1 başkan ve 1 başkan yardımcısı,
=90 farklı yoldan seçilebilir.
Cevap: 90

4
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

Serkan ın dolabında 3 gömlek, 4 ceket vardır. Serkan, 1 göm- Bir çiftlikteki 4 tavuk ve 5 horoz arasından 1 tavuk veya 1
lek veya 1 ceketi kaç farklı şekilde giyebilir? horoz kaç farklı yoldan seçilebilir?

A) 3 B) 4 C) 7 D) 12 E) 15 A) 9 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

soru 2 soru 6

Eray ın dolabında 5 tişört, 4 pantolon ve 6 ayakkabı vardır. 3 basketbolcu ve 5 futbolcunun yer aldığı bir kafileden
Eray, 1 tişört veya 1 pantolon veya 1 ayakkabıyı kaç farklı 1 basketbolcu ve 1 futbolcu kaç farklı yoldan seçilebilir?
şekilde giyebilir?
A) 3 B) 5 C) 8 D) 15 E) 18
A) 4 B) 5 C) 6 D) 11 E) 15
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A şehrinden B şehrine, 2 farklı kara yolu, 3 farklı hava yolu A sınıfında 5 öğrenci, B sınıfında 6 öğrenci ve C sınıfında 10
vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir? öğrenci vardır. Bu üç sınıftan birer temsilci kaç farklı şekil-
de seçilebilir?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
A) 21 B) 50 C) 60 D)  E) 

soru 4 soru 8

A şehrinden B şehrine, 3 farklı kara yolu, 2 farklı deniz yolu, Bir yarışmaya katılan 11 sporcu arasından 1. ve 2. sporcu
3 farklı demir yolu vardır. A şehrinden B şehrine kaç farklı kaç farklı şekilde seçilebilir?
yoldan gidilebilir?
A) 21 B)  C)  D)  E) 
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

1 – C 2 – E 3 – C 4 – B 5 – A 6 – D 7 – E 8 – C

5
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A şehrinden B şehrine 2 farklı yol ve B şehrinden C şehrine A B C

A dan B ye 2. kırmızı yoldan giden bir kişi için B den C ye yine

2 . 3 =6 farklı yol
Cevap: 6

kavrama sorusu çözüm

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol ve B şehrinden C şehrine a)

Buna göre, 3 . 4 =12

kavrama sorusu çözüm

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol ve B şehrinden C şehrine a)

Buna göre, Giderken kırmızı yolları kullanan bir kişinin dönüşte C den
a) A dan C ye giden bir kişi için, giderken kullandığı yolları B ye 4 seçeneği, B den A ya ise 2 seçeneği kalmıştır.
dönüşte kullanmamak şartı ile dönüş için kaç farklı yol se- Dönüşte kullanılabilecek yol sayısı =8
çeneği olduğunu bulunuz. b) Giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dönüşte kul-
b) A dan C ye giden bir kişi için, giderken kullandığı yolun lanmamak demek
tamamen aynısını dönüşte kullanmamak şartı ile dönüşte
A B C
kaç farklı yol seçeneği olduğunu bulunuz.
kırmızı yollardan gitti ise dönüşte
=15 seçenekten birini gelirken kullanmış olduğunu dü-
şünerek
15 – 1=14 farklı yol olduğunu buluruz.

6
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A dan B ye 2 ve B den C ye 3 farklı yol vardır. A dan C ye kaç A dan B ye 2 ve B den C ye 4 farklı yol vardır. A dan C ye
farklı yoldan gidilebilir? giden bir kişinin giderken kullandığı yolları dönüşte kul-
lanmamak şartı ile kaç farklı dönüş yolu vardır?
A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18

soru 2 soru 6

A dan B ye 3 ve B den C ye 6 farklı yol vardır. A dan C ye kaç P den R ye 3 ve R den S ye 7 farklı yol vardır. P den S ye giden
farklı yoldan gidilebilir? bir kişinin giderken kullandığı yolları dönüşte kullanma-
mak şartı ile kaç farklı dönüş yolu vardır?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18
A) 2 B) 6 C) 7 D) 12 E) 18
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A dan B ye 3 ve B den C ye 5 farklı yol vardır. A dan C ye A dan B ye 5, B den C ye 6 farklı yol vardır. A dan C ye giden
giden birisi için kaç farklı dönüş yolu vardır? bir kişinin giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dö-
nüşte kullanmamak şartıyla, kaç farklı dönüş yolu vardır?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 45
A) 20 B) 24 C) 27 D) 29 E) 30

soru 4 soru 8

K dan L ye 2 ve L den M ye 3 farklı yol vardır. K dan M ye gidip K dan L ye 3, L den M ye 4 farklı yol vardır. K dan M ye giden
gelecek birisi için kaç farklı yol seçeneği vardır? bir kişinin giderken kullandığı yolun tamamen aynısını dö-
nüşte kullanmak şartıyla kaç farklı dönüş yolu vardır?
A) 36 B) 30 C) 24 D) 18 E) 12
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

1 – C 2 – E 3 – B 4 – A 5 – A 6 – D 7 – D 8 – B

7
Permütasyon - Kombinasyon

Sıralama veya diziliş sorularında çarpım yolu ile sayma yöntemi kullanılabilir. Hatta bu yöntemle soruları çözmek size permütas-
yon formülleri ile (ileride göreceksiniz!) soruları çözmekten daha kolay gelebilir.

kavrama sorusu çözüm

4 öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilir, bu- funduszeue.infoım: Düz sıra olan sorularda öğrenci sayısı kadar koltuk
lunuz. olduğunu düşünebiliriz.
funduszeue.infoım: ___ ___ ___ ___

4 koltuk

1. öğrenci için 4 koltuk seçeneği vardır.

1. öğrenci koltuklardan birine oturduğunu düşüne-

2. öğrenci de koltuklardan birine oturdu. 3. öğrenci

3. öğrencide koltuklardan birine oturdu. Geriye 4.

kavrama sorusu çözüm

3 öğrenci, 5 boş koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir, bu- funduszeue.infoım: ___ ___ ___ ___ ___

lunuz. 5 boş koltuk

1. öğrenci için 5 farklı seçenek vardır.

1. öğrenci oturdu. 2. öğrenci için 4 seçenek var.

2. öğrenci oturdu. 3. öğrenci için 3 seçenek var.

kavrama sorusu çözüm

6 öğrenci 2 boş koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir, bu- Bu soruda boş koltuk sayısı öğrenci sayısından az olduğun-
lunuz. dan daha farklı bir yöntem izleyeceğiz.
funduszeue.infoım: ____ ____

2 boş koltuk

1. koltuğa 6 öğrenciden biri oturabilir, 6 farklı seçe-

Öğrencilerden biri oturdu. 2. koltuğa 5 öğrenciden

8
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

3 öğrenci düz bir sıraya kaç farklı şekilde oturur? 4 kişi, 5 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 A) 12 B) 24 C) 48 D) 60 E) 

soru 2 soru 6

5 öğrenci, 5 koltuğa kaç farklı şekilde oturur? 3 öğrenci, 6 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?

A) 6 B) 12 C) 24 D)  E)  A)  B)  C)  D)  E) 
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

x tane öğrenci düz bir sıraya 24 farklı şekilde oturabildiğine 5 öğrenci, 3 koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir?
göre, x kaçtır?
A) 30 B) 40 C) 60 D) 80 E) 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

soru 4 soru 8

2 öğrenci, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? 8 öğrenci 2 koltuğa kaç farklı biçimde oturabilir?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18 A) 28 B) 56 C) 70 D) 98 E) 

1 – B 2 – D 3 – C 4 – D 5 – E 6 – A 7 – C 8 – B

9
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

10 kişilik bir gruptan başkan, başkan yardımcısı ve sekreter Yapılacak seçimde bir göreve seçilen öğrencinin başka bir gö-
seçilecektir. reve seçilemeyeceğine dikkat edelim.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir, bulunuz. funduszeue.infoçim: Başkan seçimi için 10 farklı seçenek vardır.
funduszeue.infoçim: Başkan seçildiği için başkan yardımcısı olarak
9 farklı seçenek vardır.
funduszeue.infoçim: Başkan ve başkan yardımcısı seçildiğinden sekreter
için 8 farklı seçenek vardır.
Sonuç olarak = farklı seçim yapılabilir.
Cevap:

kavrama sorusu çözüm

3 farklı mektup, 3 farklı posta kutusuna, a) funduszeue.infoım:   

1. mektup 3 posta kutusundan birine atıldı.

kavrama sorusu çözüm

Hafta sonu oynanan 5 futbol maçı ev sahibi takımın galibiyeti, Galibiyet, Mağlubiyet ve Beraberlik 3 farklı sonuçtur. Her maç
takımların berabere kalması ve misafir takımın galibiyeti olarak içinde bu üç sonuç olabileceğinden
kaç farklı şekilde sonuçlanabilir, bulunuz. 1. maç 2 maç 3. maç 4 maç 5. maç
3 . 3 . 3 . 3 . 3 =
farklı sonuç elde edilebilir.
Cevap:

10
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

6 kişilik bir gruptan başkan kaç farklı şekilde seçilebilir? 5 farklı para, 5 farklı kumbaraya her kumbarada bir para ola-
cak şekilde, kaç değişik biçimde atılabilir?
A) 6 B) 12 C) 15 D) 24 E) 30
A) 5 B) 25 C)  D)  E) 

soru 2 soru 6

8 kişilik bir gruptan başkan ve başkan yardımcısı kaç farklı 4 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı bi-
şekilde seçilebilir? çimde sonuçlanabilir?

2 3 4
A) 8 B) 40 C) 48 D) 56 E) 64 A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 E) 2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

5 kişilik bir sınıftan 3 farklı görev için öğrenciler seçilecektir. Bu 3 farklı madeni para havaya atıldığında kaç farklı sonuç
seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? oluşur?

A) 5 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60 A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 24

soru 4 soru 8

4 farklı para, 4 farklı kumbaraya değişik biçimde atılabilir? Ligde oynanan 3 maçın, galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik
sonuçlarına göre, kaç farklı sonuç olabilir?
2 3 4 5
A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4
A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) 

1 – A 2 – D 3 – E 4 – D 5 – C 6 – E 7 – B 8 – C

11
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

Şifresi 4 basamaktan oluşan şifreli bir çantayı açmak için, a) ___ ___ ___ ___

4 haneli şifre
a) en fazla kaç deneme yapılabilir, bulunuz.
___
10 ___ ___ ___
b) Şifrenin rakamları farklı olduğu bilinirse en fazla kaç dene- ↓
me yapılabilir, bulunuz. Şifrenin 1. basamağı için {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olacak
şekilde 10 farklı seçenek vardır.
Şifrenin 2. basamağı için yine {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
olacak şekilde 10 farklı seçenek vardır.
Şifrenin 3. basamağı için 10 farklı seçenek vardır.
Şifrenin 4. basamağı için 10 farklı seçenek vardır.
4
___
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10 = 10
4 4
10 farklı şifre olabileceğinden, 10 deneme yapılabilir.
b) Şifrenin rakamları farklı olduğundan bir kez kullanılan ra-
kam bir daha kullanılamaz.
___
10 . ___
9 . ___
8 . ___
7 =

↓
1. basamak için 2. basamak için 3. basamak için 4. basamak için
10 seçenek var 9 seçenek var 8 seçenek var 7 seçenek var

En fazla denemede çanta açılır.

kavrama sorusu çözüm

Bir şehire tahsis edilen telefon numaraları 7 haneli olup, nu- a) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

maralar sıfır ile başlamamaktadır. 7 haneli numara

a) Kaç farklı telefon numarası üretilebilir? Telefon numarası 0 ile başlayamayacağından ilk hane için
b) Telefon numaraları 58 ile başlayacağına göre, kaç fark- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 seçenekleri vardır. Diğer hanelerde
lı numara üretilebilir? ise 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarının hepsi kullanılabilir.
6
___
9 . ___
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10 . ___
10 =
c) Telefon numaraları 58 ile başlayacak ve numaraların 6
numara üretilebilir.
rakamları farklı olacak şekilde kaç farklı numara üreti-
lebilir? b) Telefonun ilk iki hanesi 58 olacağından 1. ve 2. haneler
için yalnız 1 seçeneğimiz vardır. Diğer hanelerin her biri
için 10 rakamda kullanılabilir.
5
___
1 . ___
1 . ___
10 . ___
10 . ___ ___ . ___
10 . 10 10 =10
↓
↓

Sadece 5 Sadece 8
olabilir. olabilir.
5
10 farklı numara üretilebilir.
c) İlk iki hane 58 olacağından 5 ve 8 rakamları bir daha kulla-
nılamaz.
___
1 . ___
1 . ___
8 . ___
7 . ___
6 . ___
5 . ___
4 =

Sadece 5 Sadece 8 Geri kalan

12
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

Şifresi 3 basamaklı olan bir çantayı açmak için en fazla kaç Bir kasabaya 5 haneli telefon numarası atanmıştır.
deneme yapılabilir? Bu kasabada oturan en fazla kaç kişiye farklı telefon nu-
marası verilebilir?
A)  B)  C)  D)  E) 
3 4 5 6 7
A) 10 B) 10 C) 10 D) 10 E) 10

soru 2 soru 6

Telefonunun pin koduna şifre belirleyecek bir kişi 5 haneli Uğurcan arkadaşından telefon numarasını alıyor. Telefon nu-
şifreyi kaç değişik biçimde belirleyebilir? marasının yazılı olduğu kağıdı açınca 7 haneli numaranın son
iki basamağının silindiğini görüyor.
A)  B)  C)  D)  E)  Uğurcan, en fazla kaç arama sonucunda arkadaşına tele-
fonla ulaşabilir?

A) 99 B)  C)  D)  E) 

soru 3 soru 7

3 haneden oluşan bir şifre rakamları farklı olacak şekilde Elektronik posta hesabının şifresini belirleyen Işıl, 6 haneden
kaç farklı şekilde üretilebilir? oluşan şifrenin 3 tanesini Türkçe harflerden, geri kalanını ra-
kamlardan belirleyecektir.
A)  B)  C)  D)  E)  Buna göre, Işıl kaç farklı şifre üretebilir?

5 2 4 3 3 3 5 3 2
A)  B) 29 C) 29 D) 27 E) 27

soru 4 soru 8

Banka kartının şifresini unutan bir kişi yalnızca şifrenin 0 ile 7 haneli bir telefon numarasının rakamlarının farklı olduğu ve
başlamadığını ve rakamları farklı olduğunu hatırlıyor. 1. ve 7. haneleri bilindiğine göre, telefon numarasının kaç
Buna göre, kartın 4 haneli şifresi için kaç farklı seçenek farklı değeri vardır?
vardır?
5 5
A)  B)  C)  D) 9 E) 10
A)  B)  C)  D)  E) 

1 – E 2 – E 3 – B 4 – A 5 – C 6 – B 7 – C 8 – A

13
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Bu tarz sorularda başka basamakları ilgilendiren bir özel-
a) 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? lik yok ise incelemeye 1. basamaktan başlayabiliriz.
5 ___ ___
___
b) 3 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? ↓
c) 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? {1, 2, 3, 4, 5}

d) 3 basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? 1. basamağa 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarının tümü yazılabilir,
5 seçeneğimiz var.
e) 3 basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Kullandığımız rakamı tekrar kullanabileceğimiz için diğer
basamaklar içinde 5 er seçeneğimiz var.
Uyarı
5 . ___
___ 5 . ___
5 = farklı sayı

Bu tarz sorularda;
I) Herhangi bir basamağı ilgilendiren sınırlama b) 1. basamak için 5 seçeneğimiz var. Ancak kullandığımız
yoksa incelemeye 1. basamaktan başlarız. rakamı bir daha kullanamayacağımız için 2. basamaktaki
seçenek sayımız 4, üçüncü basamaktaki seçenek sayımız
II) Herhangi bir basamağı ilgilendiren sınırlama
3 olur.
varsa, sınırlamanın olduğu basamaktan başla-
rız. 5 . ___
___ 4 . ___
3 = 60 farklı sayı

III) Rakamların farklı olma veya olmaması duru-

Sayının tek olması için son basamağa 1, 3 veya 5 rakam-

d) Tek sayı olmasından dolayı yine son basamakta 1, 3 veya

e) 1.yöntem: Rakamları farklı 3 basamaklı 60 farklı sayı yazı-

14
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak kaç farklı A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakam-
iki basamaklı sayı yazılabilir? ları farklı dört basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24 A) 48 B) 60 C) 72 D) 80 E) 96

soru 2 soru 6

A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak iki ba- A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak ra-
samaklı kaç farklı sayı yazılabilir? kamları farklı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25 A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A={1, 3, 5, 7} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak dört
farklı iki basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 A) 72 B)  C)  D)  E) 

soru 4 soru 8

A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak ra- A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak ra-
kamları farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? kamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?

A)  B)  C)  D)  E)  A) 45 B) 60 C) 72 D) 96 E) 

1 – C 2 – E 3 – D 4 – A 5 – A 6 – D 7 – E 8 – B

15
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak; İçinde sıfırın bulunduğu rakamlarla sayı üretirken ilk basama-
a) Üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? ğa sıfırın gelemeyeceğine dikkat etmeliyiz.

b) Üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? a) 4

Uyarı
↓
4 seçenek
↓
4 seçenek
↓
3 seçenek

Birinci basamakta kullandığımız rakamı bir daha kullana-

e) 0 rakamı çift sayı istendiğinden dolayı üçüncü basamağı

funduszeue.info: Sıfırı ayrı inceleyelim. 0 son basamakta olabilir.

funduszeue.info: Son basamakta 2 veya 4 olabilir.

1. durum+2. durum=12+18=30 rakamları farklı çift sayı

16
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak iki basa- A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak üç basa-
maklı kaç farklı sayı yazılabilir? maklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?

A) 16 B) 12 C) 9 D) 8 E) 6 A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 30

soru 2 soru 6

A={0, 1, 2, 3} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakam-
farklı üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? ları farklı üç basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?

A) 18 B) 24 C) 36 D) 72 E) 96 A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç

A)  B)  C)  D)  E)  A) 60 B) 72 C) 90 D)  E) 

soru 4 soru 8

A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak ra- A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak ra-
kamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? kamları farklı dört basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

A)  B)  C)  D)  E)  A)  B)  C)  D)  E) 

1 – B 2 – A 3 – E 4 – A 5 – D 6 – B 7 – C 8 – E

17
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Sayının den küçük olması için ilk basamağın 1 veya 2
a) den küçük üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? olması gerekir.

b) den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı 2

2
c) ___ . 5
___ . 2 =20 tane
___
{1, 2} {2, 4}
↓
2 seçenek
↓
5 seçenek
↓
2 seçenek

d) den küçük olması için ilk basamak 1 veya 2 olmalı.

funduszeue.info: 2 rakamı son basamakta olabilir.

funduszeue.infoım: Son basamakta 4 olabilir.

1. durum+2. durum=3+6=9 çift sayı

kavrama sorusu çözüm

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak, Sayının den küçük olması için ilk basamağı 1, 2, 3, 4 veya
rakamları farklı üç basamaklı den küçük kaç farklı tek 5 rakamı ile başlamalı.
sayı yazılabilir? Sayının tek olması için son basamağının 1, 3 veya 5 olması
gerekir.
1, 3 ve 5 rakamları hem ilk hemde son basamağı ilgilendirdiği
için ayrı incelenmeli.
Son basamakta 1 olabilir,
___
4 . ___
5 . ___
1 = 20
{2, 3, 4, 5} {1}

Son basamakta 3 olabilir,

Son basamakta 5 olabilir,

20+20+20=60 tek sayı.

18
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak 30 dan A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak
küçük iki basamaklı kaç sayı yazılabilir? den küçük üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 A) 18 B) 24 C) 27 D) 30 E) 36

soru 2 soru 6

A={1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak 30 dan A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak
küçük kaç doğal sayı yazılabilir? den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya-
zılabilir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak
den küçük üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı ya-
zılabilir?
A)  B)  C)  D)  E) 
A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

soru 4 soru 8

A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak, A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak

A) 80 B) 90 C)  D)  E)  A) 50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 80

1 – C 2 – D 3 – B 4 – A 5 – E 6 – C 7 – D 8 – A

19
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak; a) Sayı den küçük olması gerektiğinden ilk basamakta
a) Üç basamaklı den küçük kaç farklı sayı yazılabilir? 1, 2, 3 veya 4 rakamları kullanılabilir.

b) Üç basamaklı den küçük rakamları farklı kaç sayı 4

6 seçenek kalır
↓ ↓
5 seçenek kalır

c) Burada iki durum vardır. Birincisi ilk basamağın 1 veya 2

funduszeue.info: İlk basamağın 1 veya 2 ile başlama durumu,

↓
6 seçenek kalır
↓
5 seçenek kalır

funduszeue.info: İlk basamağın 3 ile başlama durumu,

1. durum+2. durum=60+20=80 tane

d) ___ ___ ___

2 rakamı hem ilk basamağı hemde son basamağı ilgilen-
dirdiğinden ayrı incelenmeli.

2
funduszeue.info: ___ . 5
___ . 4
___ =40
{1, 3} {0, 2, 4, 6}

↓
5 seçenek kalır

1
funduszeue.info: ___ . 5
___ . 3 =15
___
{2} {0, 4, 6}

↓
5 seçenek kalır

1. durum+2. durum=40+15=55 tane

20
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak iki ba- A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç
samaklı 30 dan küçük kaç farklı sayı yazılabilir? basamaklı rakamları farklı den küçük kaç farklı sayı
yazılabilir?
A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20
A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 42

soru 2 soru 6

A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları kullanılarak

soru 3 soru 7

A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 42

soru 4 soru 8

A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 38 B) 40 C) 44 D) 48 E) 50

1 – A 2 – E 3 – B 4 – A 5 – C 6 – D 7 – B 8 – E

21
Permütasyon - Kombinasyon

Faktöriyel
n pozitif doğal sayı olmak üzere, 1 den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına "n" sayısının faktöriyeli denir ve "n!" biçiminde
gösterilir.

n!=n

1!=1
2!=
3!=
4!=
.
.
.
.
(n – 1)!=(n – 1)
n!=(n – 1).n

Özel olarak, 0!=1 dir.

kavrama sorusu çözüm

4! ifadesinin değerini hesaplayınız. 4!==24

kavrama sorusu çözüm

5! sayısını 5 den küçük doğal sayıların faktöriyelleri türün- 5!==!

5!==!

3!

5!==!

2!

5!=

kavrama sorusu çözüm

7! Faktöriyelli işlemlerde, genellikle büyük olan faktöriyelli sayı,

kavrama sorusu çözüm

7!.x=9! olduğuna göre, x kaçtır, bulunuz. 7!.x=9!

22
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

5!
5! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
3!

A) 24 B) 48 C) 50 D) 70 E)  A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

soru 2 soru 6

7!
6! ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
4!

A)  B)  C)  D)  E)  A)  B)  C)  D)  E) 
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

9! sayısı aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? !.x=8! olduğuna göre, x kaçtır?

A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

soru 4 soru 8

5!
12! sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? (x – 1)!= olduğuna göre, x kaçtır?
5

A) ! B) ! C) ! A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

1 – E 2 – E 3 – D 4 – C 5 – A 6 – D 7 – D 8 – B

23
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

9!+ 8! İfadedeki küçük olan sayı 8! olduğundan 9! sayısını 8! cinsin-

kavrama sorusu çözüm

9!+ 8! 9! sayısını 8! cinsinden yazalım.

kavrama sorusu çözüm

(n + 1)! (n+1)! ifadesini n! cinsinden yazalım.

kavrama sorusu çözüm

n! (n - 1)! 9 (n+1)!=(n+1).n!
. =
(n - 2)! (n + 1)! 11 (n – 1)!=(n – 1).(n – 2)!
olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz.
n! (n - 1)! n! (n - 1). (n - 2)! 9
. = . =
(n - 2)! (n + 1)! (n - 2)! (n + 1).n! 11

n -1 9
=
n + 1 11
11n – 11=9n+9
2n=20
n=10
Cevap: 10
24
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

5!+ 4! (n - 1)!
=5
4! (n - 2)!
ifadesinin sonucu kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

soru 2 soru 6

9!+ 8! (2n + 1)!
= 11
7! (2n)!
ifadesinin sonucu kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır?

A) 72 B) 80 C) 90 D) 96 E) 99 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

6!+ 5! (n + 2)! (n - 2)! 8
. =
6!- 5! (n - 1)! (n + 1)! 5
ifadesinin sonucu kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır?

2 1 7 3 5 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

soru 4 soru 8

!+ 9! (n - 1)! (2n)!
.
10!- ! (2n - 1)! n!
ifadesinin sonucu kaçtır? ifadesinin sonucu kaçtır?

37 35 29 27 25 3 4 6
A) B) C) D) E) A) 2 B) 3 C) D) E)
3 3 3 2 2 2 3 5

1 – B 2 – B 3 – C 4 – A 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A

25
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

4!=x olduğuna göre, 5!+6! toplamının x cinsinden değerini 5! ve 6! sayılarını 4! cinsinden yazalım.
bulunuz. 5!=!
6!=!
5!+6!=!+!
=4!(5+)
=!
=35x Cevap: 35x

kavrama sorusu çözüm

3!+4!+5!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden de- x=3!+4!+5!=3!+!+!

kavrama sorusu çözüm

n!+ (n + 1)! 9 (n+1)!=(n+1).n!

kavrama sorusu çözüm

(2n + 1)!- 36(2n - 1)! (2n+1)!=(2n+1).(2n).(2n – 1)!

26
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

(n + 2)!- (n + 1)!
3!=x olduğuna göre, 3!+4! toplamının x cinsinden değeri = 16 olduğuna göre, n kaçtır?
n!
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
A) 2x B) 3x C) 4x D) 5x E) 6x

soru 2 soru 6

(n - 1)!+ n! 5
9!=x olduğuna göre, 9!+10!+11! toplamının x cinsinden = olduğuna göre, n kaçtır?
n!- (n - 1)! 4
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
A) x B) x C) x D) x E) x
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

(n + 2)!- n!
2!+3!+4!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden = 11 olduğuna göre, n kaçtır?
n!
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
A) 4x B) 6x C) 8x D) 10x E) 12x

soru 4 soru 8

(2n)!- 18(2n - 2)!
6!+7!+8!=x olduğuna göre, ! ifadesinin x cinsinden de- = 8 olduğuna göre, n kaçtır?
(2n - 1)!
ğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
A) 63x B) 70x C) 72x D) 81x E) 84x

1 – D 2 – E 3 – E 4 – A 5 – B 6 – B 7 – A 8 – B

27
Permütasyon - Kombinasyon

Permütasyon:
n ve r birer doğal sayı ve r≤n olmak üzere, n tane elemanın r li sıralanışlarının sayısına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile
gösterilir.

n!
P(n, r) = dir.
(n - r)!

kavrama sorusu çözüm

P(5, 2) ve P(6, 3) ifadelerinin sonuçlarını bulunuz. n!

Cevap: 20 ve

kavrama sorusu çözüm

P(n, 0), P(n, 1), P(n, n) ve P(n, n – 1) ifadelerinin sonuçla- n! n!

kavrama sorusu çözüm

P(n, 2)=42 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. n! n.(n - 1).(n - 2)!

(n – 7).(n+6)=0
n=7 veya n=– 6
– 6 doğal sayı olmadığından n=7
Cevap: 7

28
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

P(4, 2) ifadesinin sonucu kaçtır? P(8, 8) ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 A) 1 B) 8 C) 8! D) 9! E) 10!

soru 2 soru 6

P(10, 2) ifadesinin sonucu kaçtır? P(15, 14) ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 10 B) 90 C)  D)  E)  A) 14! B) 15! C) 14 D) 15 E) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

P(7, 1) ifadesinin sonucu kaçtır? P(n, n)= olduğuna göre, n kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 10 D) 14 E) 21 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

soru 4 soru 8

P(10, 0) ifadesinin sonucu kaçtır? P(n, 2)=90 olduğuna göre, n kaçtır?

A) 1 B) 10 C) 20 D) 90 E)  A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

1 – E 2 – B 3 – B 4 – A 5 – C 6 – B 7 – D 8 – D

29
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

P(n – 1, 2)=30 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n - 1)! (n - 1)!

n=7 ve n=– 4
– 4∉N olduğundan n=7
Cevap: 7

kavrama sorusu çözüm

P(n+3, n+1)=12 olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz. (n + 3)! (n + 3)!

kavrama sorusu çözüm

n.P(n, 1) – n.P(2, 0) – 2.P(3, 1)=0 olduğuna göre, n kaçtır, bu- n.(n - 1)!
n!
lunuz. P(n, 1)= = =n
(n - 1)! (n - 1)!
2! 2!
P(2, 0)= = =1
(2 - 0)! 2!
3! 3! 3. 2!
P(3, 1)= = = =3
(3 - 1)! 2! 2!
n.P(n, 1) – n.P(2, 0) – 2.P(3, 1)=0

n 1 3

n.n – n.1 – =0
2
n – n – 6=0
↓ ↓
– 3 2

(n – 3).(n+2)=0
n=3 veya n=– 2
– 2∉N olduğundan n=3 Cevap: 3

30
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

P(n+1, 1)=8 olduğuna göre, n kaçtır? P(n, n – 2)=60 olduğuna göre, n kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

soru 2 soru 6

P(n – 3, 1)=7 olduğuna göre, n kaçtır? P(n+1, n – 2)=4 olduğuna göre, n kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

P(n – 2, 2)=12 olduğuna göre, n kaçtır? n.P(n, 1)=P(9, 1) olduğuna göre, n kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

soru 4 soru 8

P(n+5, 2)= olduğuna göre, n kaçtır? n.P(2n, 1)+P(2n, 1)=2.P(3, 3) olduğuna göre, n kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

1 – B 2 – A 3 – D 4 – A 5 – D 6 – C 7 – E 8 – A

31
Permütasyon - Kombinasyon

Daha önceki sayfalarda permütasyon formülü ile hesaplamalar yapmayı öğrendik. Permütasyonun tanımında, n tane elemanın
r li sıralanışlarının sayısından bahsedilmektedir. Örneğin; 5 öğrenci 2 kişilik bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir sorusunu,
_____
5 . _____
4 = 20 şeklinde genel çarpım kuralı ile çözebiliriz.
Bu soruyu, 5 tane elemanın 2 li sıralanışlarını sorduğu için permütasyon formülü ilede çözebiliriz.
5! 5! !
P(5, 2)= = = =20
(5 - 2)! 3! 3!

Görüldüğü gibi genel çarpım kuralı ile çözülebilen soru permütasyon formülü ile de çözülebiliyor. Permütasyon sorularının tümü
genel çarpım kuralı kullanılarak çözülebilir.
Permütasyonda dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta; n tane elemandan r tane eleman önce seçiliyor daha sonra seçilen bu
r tane elemanlar sıralanıyor. Yani, permütasyonda hem seçim hem de sıralama vardır.

kavrama sorusu çözüm

10 kişilik bir öğrenci grubundan 3 kişilik gruplar seçilerek yan- 3 kişilik gruba seçilen öğrenciler kendi aralarında yer değişti-
yana fotoğraf çektireceklerdir. Kaç farklı poz fotoğraf çekile- rip poz vereceklerinden sıralama önemlidir. Bu yüzden permü-
bileceğini bulunuz. tasyonlarını almalıyız.
10! 7!
P(10, 3)= = ==
(10 - 3)! 7!
Cevap:

kavrama sorusu çözüm

A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak üç Bu sorunun benzerlerini daha önce genel çarpım kuralı ile
basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir, bulunuz. çözmüştük.
6 eleman arasında 3 tane eleman seçilip sıralanacağından,
6! 6! 3!
P(6, 3)= = = = tane
(6 - 3)! 3! 3!
Cevap:

kavrama sorusu çözüm

Bir binada yanyana 5 tane boş dükkan vardır. Dükkan satın Soruda seçim ve sıralama olduğundan permütasyon ile çö-
olmak için gelen 3 müşteri kaç farklı seçim yapabilir, bu- züm yapılabilir.
lunuz. 5! 2!
P(5, 3)= = =20 tane
(5 - 3)! 2!
Cevap: 20

kavrama sorusu çözüm

8 kişilik bir öğrenci grubunda bir kutlama için hediye çekilişi Soruda sıralama önemlidir. Örneğin, grup içerisindeki Si-
yapılıp herkesin hediye alacağı kişiler belirlenecektir. Bu çeki- nan'ın, Kardelen'e hediye alma durumu ile Kardelen'in, Sinan'a
liş sonucu kaç farklı durum ortaya çıkar bulunuz. hediye alma durumu farklı durumlardır. Bu sebeple soruyu
permütasyon kullanarak çözebiliriz.
8! 6!
P(8, 2)= = ==56
(8 - 2)! 6!
Cevap: 56

32
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

"20 çeşit bordürden 5 bordür seçilerek desen oluşturulacaktır. A={1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak üç ba-
Bu desen kaç farklı şekilde olabilir?" sorusunun cevabı aşa- samaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
ğıdaki ifadelerden hangisiyle bulunur?
A) 60 B) 75 C) 90 D)  E) 
A) P(20, 20) B) P(5, 5) C) P(5, 20)
D) P(20, 5) E) (20, 15)

soru 2 soru 6

"6 tane öğrenci yanyana 3 koltuğa kaç farklı şekilde oturabi- A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak dört
lir?" sorusunun cevabı aşağıdaki ifadelerden hangisiyle basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
bulunur?
A)  B)  C) 
A) P(6, 6) B) P(3, 3) C) P(6, 3) D)  E) 
D) P(3, 6) E) P(9, 3)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

8 tane öğrenci 4 kişilik bir sıraya kaç farklı şekilde otura- 18 takımlı bir ligde birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü kaç
bilir? farklı biçimde seçilebilir?

A)  B)  C)  A) 17! B) 18! C) 

soru 4 soru 8

10 kişinin katıldığı bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncü 6 farklı ülkeden 6 farklı takımın katılacağı bir turnuvada maçlar
kaç değişik biçimde seçilebilir? ikili eşleşmelerde ilk seçilen takımın sahasında yapılmaktadır.
Çekilen ilk tur kurası sonucunda maçların oynanacağı ül-
A)  B)  C)  keler açısından kaç farklı durum ortaya çıkabilir?
D)  E) 
A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 42

1 – D 2 – C 3 – E 4 – E 5 – A 6 – A 7 – E 8 – B

33
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç a elemanının 3 lü permütasyonlarda bulunması istenmediğin-

kavrama sorusu çözüm

A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısı,

kavrama sorusu çözüm

A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç b elemanı bulunmayacağı için kümeden çıkaralım.

kavrama sorusu çözüm

A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç İstenmeyen durum a ve b nin ikisinin birden bulunmamasıdır.
tanesinde a elemanı veya b elemanı bulunur? Tüm durumların sayısından istenmeyen durum sayısını çıkar-
dığımızda istenilen durum sayısını buluruz.
"a veya b elemanı bulunur" ifadesindeki kasıt,
A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısı;
a bulunur, b bulunmaz.
6!
a bulunmaz, b bulunur. P(6, 3)= ==
(6 - 3)!
a bulunur, b bulunur durumlarıdır. A kümesinin 3 lü permütasyonlarında a ve b elemanın her iki-
sininde bulunmama sayısı; A={a , b , c, d, e, f}
4!
P(4, 3)= ==24
(4 - 3)!
A kümesinin a veya b elemanı bulunan 3 lü permütasyonları-
nın sayısı; P(6, 3) – P(4, 3)= – 24=96 tane Cevap: 96

34
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

A={a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 3 lü permütasyonlarının A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç

A)  B)  C)  D)  E)  A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24

soru 2 soru 6

A={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç

A) 96 B)  C)  D)  E)  A) 80 B) 84 C) 90 D) 92 E) 96
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç A={a, b, c, d, e} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç

A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 42 A) 36 B) 54 C) 60 D) 72 E) 84

soru 4 soru 8

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 4 lü permütasyonlarının A={a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç

A)  B)  C)  D)  E)  A)  B)  C)  D)  E) 

1 – A 2 – B 3 – D 4 – E 5 – C 6 – E 7 – B 8 – C

35
Permütasyon - Kombinasyon

Bir grup insanın bir sıraya kaç farklı şekilde oturabileceği, kaç farklı şekilde yanyana fotoğraf çektirebileceği veya bir grup nesne-
nin kaç farklı şekilde sıralanabileceği biçimindeki soruların genel çarpım kuralı ile veya permütasyon formülü ile çözülebileceğini
öğrendik. Sıralanacak nesnelerin belli bir kısmının yanyana olması şartı getirildiğinde yanyana olması istenen nesneler tek bir
nesne olarak kabul edilip çözüm yine genel çarpım kuralı veya permütasyon formülleri ile yapılır. Bu tarz sorular için aşağıdaki
kavrama sorularının çözümünü dikkatle inceleyiniz.

n tane nesnenin hiç bir şart yoksa yanyana farklı sıralanış sayısı n! dir.

kavrama sorusu çözüm

4 erkek, 3 kız öğrenci düz bir sıra boyunca kaç farklı şekil- Öğrencilerin sıralanmasında hiç bir koşul vermediği için;
de sıralanabilir? 4 erkek+3 kız=7 öğrenci
7 öğrencinin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bularak çö-
züme ulaşırız.
7 öğrenci 7! farklı şekilde sıralanabilir. Cevap: 7!

kavrama sorusu çözüm

4 erkek, 3 kız öğrenci, kız öğrenciler yanyana olmak şartı Erkek öğrencileri E harfiyle, kız öğrencileri K harfiyle gösterelim.
ile düz bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanabilir? Toplam 7 kişi

E E E E K K K
Kız öğrencilerin yanyana olması istendiğinden kız öğrencileri
1 kişi alıyoruz. 1 kişi gibi düşünülür.

↓
E E E E K K K

Toplam 5 kişi

5 kişinin sıralanma sayısı 5! dir. Ancak 3 kız öğrencide kendi

kavrama sorusu çözüm

4 erkek, 3 kız öğrenci, kız öğrenciler yanyana, erkek öğren- E E E E K K K

2 kişi

2 kişinin sıralanma sayısı 2!. Ancak erkekler kendi aralarında

kavrama sorusu çözüm

4 farklı Fizik, 5 farklı Kimya ve 3 farklı Matematik kitabı, Kimya F F F F K K K K K M M M

Fizikler kendi aralarında 4!

5!.5!.4! farklı şekilde rafa dizilebilir. Cevap: 5!.5!.4!

soru 1 soru 5

3 kız, 3 erkek öğrenci düz bir sıra boyunca kaç farklı şekil- 2 kız ve 4 erkek öğrenci, kızlar kendi aralarında yanyana, er-
de sıralanabilir? kekler kendi aralarında yanyana olma şartıyla düz bir sırada
kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
A) 3!.3! B) 3! C) 4! D) 5! E) 6!
A) 2!2!4! B) 3!4! C) 2!5! D) 2!4! E) 6!

soru 2 soru 6

4 farklı Tarih, 5 farklı Coğrafya kitabı bir rafa kaç farklı şe- 4 farklı tişört, 3 farklı pantolon, 2 farklı gömlek vitrinde yanya-
kilde dizilebilir? na sıralanacaktır. Aynı cins giysiler kendi aralarında yanyana
olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
A) 9! B) 4!5! C) 7! D) 5! E) 4!
A) 4!.3!.2! B) 3!.3!.3!.2! C) 4!.3!.3!2!
D) 3!.2!.2! E) 4!.3!.3!.3!
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

3 farklı Matematik ve 5 farklı Kimya kitabı, Matematik kitapları 2 Edebiyat, 3 Tarih ve 4 Coğrafya kitabı bir rafa dizilecektir.
yanyana olmak şartıyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? Edebiyat kitapları yanyana, Tarih kitapları yanyana olma şartıy-
la bu 9 kitap rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
A) 8! B) 4!6! C) 3!5! D) 3!6! E) 4!5!
A) 2!.3!.4! B) 2!.3!.6! C) 2!.2!.6!
D) 2!.3!.5! E) 3!.4!.5!

soru 4 soru 8

6 farklı koltuk ve 5 farklı kanepe, koltuklar yanyana olmak şartı 4 farklı buzdolabı, 4 farklı çamaşır makinesi ve 4 farklı bulaşık
ile düz bir sıra halinde kaç farklı şekilde dizilebilir? makinesi mağaza vitrinine düz bir şekilde sıralanacaktır. Ça-
maşır makineleri yanyana, bulaşık makineleride yanyana olma
A) 7!5! B) 6!6! C) 6!7! D) 6!5! E) 11! şartıyla vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilirler?

A) 3!.4!.4! B) 4!.4!.4! C) 4!.4!.5!

1 – E 2 – A 3 – D 4 – B 5 – A 6 – C 7 – B 8 – D

37
Permütasyon - Kombinasyon

kavrama sorusu çözüm

A, B, C, D, E, F harfleri kullanılarak oluşturulan 7 harfli an- A ile B nin yanyana olma durumu istenmeyen durumdur. Tüm
lamlı yada anlamsız kelimelerden kaç tanesinde A ile B sıralamaların sayısından A ile B nin yanyana olduğu sıralama-
yanyana gelmez? ları çıkarırsak A ile B nin yanyana olmadığı durumları buluruz.
A, B, C, D, E, F toplam 6 harf olduğundan, sıralanma sayısı
6! dir.
A B C D E F

5!.2! (A ile B nin yanyana olduğu sıralanmalar)

6! – 5!.2!=! – 5!.2!=5!(6 – 2)=!
! sıralamada A ile B yanyana olmaz. Cevap: !

kavrama sorusu çözüm

4 erkek, 3 kız öğrenci, a) İki erkek arasına bir kız öğrenci geleceğinden
a) İki erkek arasına bir kız öğrenci gelecek şekilde, E K E K E K E
b) Kız öğrencilerin hiç biri yanyana olmayacak şekilde düz biçiminde bir sıralama olur. Kızlar kendi aralarında 3! ka-
bir sıra boyunca kaç farklı şekilde sıralanırlar? dar yer değiştirebilir, erkekler kendi aralarında 4! kadar yer
değiştirebilir. Hepsi sonuçta;
3!.4! kadar sıralanır.
b) __ E __ E __ E __ E __
Kız öğrencilerin her biri yukarıdaki boşluklara yerleşebilir.
5 boşluk ve 3 kız öğrenci olduğundan kızlar P(5, 3) sayıda
sıralanır. Erkekler kendi aralarında 4! sayıda sıralanır. Hep-
si sonuçta;
P(5, 3).4!=! sayıda sıralanır.

kavrama sorusu çözüm

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamları kullanılarak oluşturulan 7 basamaklı a) Sayı 1 ile başlayacağı için 1 rakamını ilk haneye yazarız.
sayıların; 1 2 3 4 5 6 7

a) Kaç tanesi 1 ile başlar? Kalan 6 rakam 6! sayıda sıralanır.

b) Kaç tanesi 1 ile başlayıp 5 ile biter? 1 ile başlayan 6! sayıda 7 basamaklı sayı vardır.
c) Kaç tanesinin başında ve sonunda 1 ile 5 bulunur? b) 1 ile başlayıp 5 ile biteceğinden 1 rakamını ilk basamağa,
5 rakamını son basamağa yazarız.
1 2 3 4 6 7 5

Kalan 5 rakam 5! sayıda sıralanır.

1 ile başlayıp 5 ile biten 5! sayıda 7 basamaklı sayı vardır.

Başında ve sonunda 1 ile 5 bulunan 2!.5! sayıda 7 basa-

38
Permütasyon - Kombinasyon

soru 1 soru 5

1, 2, 3, 4, 5 rakamları ile oluşturulacak 5 basamaklı ra- A, B, C, D, E harfleri kullanılarak yazılacak olan anlamlı
kamları tekrarsız sayıların kaç tanesinde 1 ile 2 yanyana yada anlamsız 5 harfli kelimelerin kaç tanesi E harfi ile
gelmez? başlar?

A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) ! B) 3! C) 4! D) 5! E) !

soru 2 soru 6

7 kişilik bir öğrenci grubu düz bir sıraya sıralanacaktır. Sı- Aralarında Yusuf ve Gürkan'ında bulunduğu 8 kişilik bir öğren-
ralamaların kaç tanesinde öğrencilerden Ahmet ile Mah- ci grubu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. Sıranın başında
mut yan yana gelmez? Gürkan, sonunda Yusuf'un olduğu sıralama sayısı kaçtır?

A) ! B) ! C) ! D) ! E) ! A) 3!.5! B) 5! C) ! D) 6! E) !
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

soru 3 soru 7

5 farklı Matematik kitabı ile 4 farklı Fizik kitabı bir rafa dizilecek- İçinde 2 sesli harfin bulunduğu 10 farklı harfin tamamı kul-
tir. Bu dizilişlerin kaç tanesinde iki matematik kitabı arası- lanılarak anlamlı yada anlamsız kelimeler türetilecektir. Bu
na bir fizik kitabı gelir? kelimelerin kaç tanesi sesli harf ile başlayıp sesli harf ile
biter?
A) ! B) ! C) 4!.5! D) 4!.6! E) 9!
A) 4!.4! B) 7! C) 3!.7! D) 8! E) 2!.8!

soru 4 soru 8

3 futbolcu, 5 basketbolcu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. İçinde Erhan ile Dilara'nın bulunduğu 7 kişilik bir öğretmen
Bu sıralanışların kaç tanesinde hiç bir futbolcu yanyana grubu düz bir sıra boyunca sıralanacaktır. Erhan'ın sıranın bir
gelmez? ucunda Dilara'nın diğer ucunda bulunduğu sıralamaların
sayısı kaçtır?
A) P(5, 5).6! B) P(6, 5).3! C) P(6, 5).5!
D) P(5, 3).6! E) P(6, 3).5! A) 2!.4! B) 2!.5! C) 3!.5! D) 4!.6! E) 6!

1 – A 2 – D 3 – C 4 – E 5 – C 6 – D 7 – E 8 – B

39
Permütasyon - Kombinasyon

Dönel (Dairesel) Permütasyon:

kavrama sorusu çözüm

5 kişi yuvarlık bir masa etrafında kaç farklı şekilde otura- herhangi birini sabitliyoruz.
X →
bilir? X
X
X
X
(5 – 1)!=4!=24 Cevap: 24

kavrama sorusu çözüm

4 kişi kare şeklinde bir masa etrafında kaç farklı şekilde X herhangi birini sabitliyoruz.
oturabilir? →
X X
X
(4 – 1)!=3!=6 Cevap: 6

kavrama sorusu çözüm

Anne, Baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etra- a) A B Anne ile Baba yanyana oturdukların-
fına oturacaklardır. dan 1 kişi gibi düşünülür.
Ç1 Ç3
a) Anne ile Baba yanyana olmak şartıyla yuvarlak masa AB , Ç1, Ç2, Ç3 olarak 4 kişi olarak
Ç2
etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler? alırız. Yuvarlak masa olduğun için
b) Anne ile Baba yanyana olmamak şartıyla yuvarlak ma- (4 – 1)!=3! Anne ile Baba kendi aralarında 2! kadar yer de-
sa etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler? ğiştirebilir.

c) Çocuklar yan yana olmak şartıyla yuvarlak masa etra- Sonuçta: (4 – 1)!.2!=3!.2! sayıda yuvarlak masa etrafında sı-
fında kaç farklı şekilde oturabilirler? ralanırlar.
b) Tüm durumlardan, Anne ile Babanın yanyana oturduğu
durumları çıkardığımızda sonucu buluruz. Anne, Baba
ve 3 çocuk hiçbir koşul yokken yuvarlak masa etrafında,
(5 – 1)=4! kadar sıralanır.
4 ! – 3 ! . 2 ! =24 – =12

Tüm a şıkkında
durumlar bulunan sonuç

c) A B
A, B, Ç1, Ç2, Ç3
Ç1 Ç3
3 kişi kabul edilir.
Ç2
Yuvarlak masa olduğundan (3 – 1)!=2!
Çocuklar kendi aralarında 3! kadar yer değiştirir.
Sonuç: (3 – 1)!.3!=2!.3!==12