Lineer Homojen Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerden şimdi ikinci mertebeden diferansiyel denklemlere geçiyoruz. Evet, tekerleme gibi oldu değil mi? Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerden ikinci mertebeden diferansiyel denklemlere geçiyoruz. Peki ikinci mertebe ne demek? İkinci türevi de denkleme katıyoruz demek. Size göstereceğim ilk denklem grubu, ikinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler. Bu denklemler, fizik dersinde çok kullanılıyor. İkinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklem nedir? Başlangıç videosunda biraz değindiğimi hatırlıyorum. Şöyle bir şey olabilir. x veya x cinsinden bir fonksiyon çarpı y'nin x'e göre ikinci türevi artı artı b x çarpı y'nin x'e göre birinci türevi artı c x çarpı y. Denklemin ikinci mertebeden olmasının nedeni içindeki en yüksek mertebeden türevin ikinci türev olması. Peki doğrusal olmasının sebebi nedir? Katsayıları ile ilgili ama katsayı derken, dikkatli olalım, çünkü genelde katsayıları sabit olarak düşünürüz ama burada, katsayılar x cinsinden fonksiyonlar. Bunun doğrusal diferansiyel denklem olması için, a x, b x, c x ve d x'in sadece x cinsinden fonksiyon olması gerekiyor. Bunu genel olarak çözmeye başlamadan önce a b c'nin sabit ve d'nin 0 olduğu özel durumu yapalım. Bu durumda denklem neye benzer? Şunu A olarak yazayım. A bu arada fonksiyon değil, sayı. A çarpı y'nin x'e göre ikinci türevi artı B çarpı y'nin x'e göre birinci türevi artı C çarpı y. Dördüncü sabit yerine de 0 koyuyoruz. Burayı 0'a eşitleyerek, diğer tip homojen diferansiyel denklemleri size göstermiş oluyorum. Bu homojen denklem. Henüz ikinci mertebeden homojen diferansiyel denklemlerle birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemlerin arasındaki bağlantıyı kurmadım. Sanıyorum, aralarında fazla bir bağlantı olmamasına rağmen isimleri aynı. Buna homojen denmesinin sebebi, 0'a eşit olması. Denklemi homojen yapan bu. Daha önce homojenize süt diye bir hatırlarsanız, bir örnek vermiştim. Hatta demiştim ki o zaman aralarında pek bir bağlantı göremiyorum, homojen denklem ile homojenize süt. Ama şimdi biraz daha anlamaya başladım çünkü homojen denklemlerin hep 0'a eşit. Yani homojenize edilmiş. Aralarında böyle bir paralellik kuruyorum. Evet, neyse ne dedik. A, B ve C sabit. 0'a eşit olduğu için de, ikinci mertebeden homojen doğrusal diferansiyel denklem diyoruz. Çözmesi en eğlenceli diferansiyel denklemlerin bunlar olduğunu göreceksiniz. Mekanik problemlerinin çoğunda böyle bir denklemin çözümü yeterli olduğu için bu denklemlerin çok faydalı olduğunu göreceksiniz. Aynı zamanda çözmesi en eğlenceli denklemler dedik, çünkü bir cebir sorusuna dönüşüyorlar. Birazdan buna değineceğim. Ne demek istediğimi anlatacağım. Şimdi biraz düşünelim. Çözümlerin özellikleri hakkında düşünelim. Diyelim ki, g x bir çözüm. Yani A çarpı g'nin ikinci türevi artı B çarpı g üzeri artı C çarpı g eşittir 0. Öyle değil mi? Bu ikisi aynı şey. Şimdi sorum şu: Çözümüm bir sabit çarpı g olursa ne olur? Bu hala bir çözüm mü? Sorum şöyle: bir sabit c1 çarpı g x hala çözüm mü? Deneyelim. Bunu orijinal denkleme koyalım. A çarpı bunun ikinci türevi her türev aldığımızda, sabit yerinde kalır bu arada. A çarpı c1 çarpı g'nin ikinci türevi artı birinci türev için de aynı şey geçerli. B çarpı c1 çarpı g üzeri artı C çarpı c1 çarpı g. Bakalım, bu hala 0'a eşit mi. c1'i şimdi dışarı alalım. c1 çarpı A çarpı g'nin ikinci türevi artı B g üzeri artı C g. g x çözüm olduğu için, bunun 0 olduğunu zaten biliyoruz. Bu 0'a eşit. Çünkü g bir çözüm. Bu 0 ise c1 çarpı 0 yine 0 olur. Buna göre, bu ifade yine 0'a eşit. Şöyle de düşünebiliriz: Eğer g, bu ikinci mertebeden doğrusal homojen diferansiyel denklemin çözümü ise g çarpı bir sabit de çözümüdür. Bu da, diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Size göstereceğim diğer özellik ise. Merak etmeyin, bir yere bağlayacağım. Size soracağım bir sonraki soru ise, g x'in diferansiyel denklemin çözümü olduğunu biliyorum. Şimdi size soracağım bir sonraki soru da şu: size h x'in de çözüm olduğunu söylersem. Şimdi size sorum: g x artı h x bir çözüm mü? Eğer bu iki fonksiyon çözüm ise iki fonksiyonu topladığımızda yine bir çözüm mü elde ederiz? Bunun tamamını orijinal denkleme koyalım. Evet, A çarpı bunun ikinci türevi. Bu kolay. g'nin ikinci türevi artı h'nin türevi artı B çarpı bunun birinci türevi g üzeri artı h üssü artı C çarpı bu fonksiyon g artı h. Şimdi ne yapabiliriz? Bu sabitleri bir dağıtalım. A çarpı g'nin ikinci türevi artı A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı g üzeri artı B çarpı h üzeri artı C çarpı g artı C çarpı h. Şimdi bunları tekrardan düzenleyelim. Şimdi g'li terimleri alalım. A çarpı g'nin ikinci türevi artı B çarpı birinci türev artı C çarpı g yani, bu üç terim artı A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı h'nin birinci türevi artı C çarpı h. g ve h'nin şimdi orijinal diferansiyel denklemin çözümleri olduğunu biliyorum. Eğer g orijinal diferansiyel denklemin çözümü ise, bu, diferansiyel denklemin sol tarafıydı bu 0'a eşit olacak ve bu da 0'a eşit olacak. Yani, tüm ifadenin 0'a eşit olduğunu gösterdik. Eğer g, bu ikinci mertebeden diferansiyel denklemin çözümü ise ve h de bir çözüm ise, ikisini topladığınız zaman da bir çözüm elde etmiş olursunuz. Buna göre, genelde, g ve h çözüm ise onları toplayabilirsiniz. Ayrıca, çözümlerin sabit ile çarpımının da çözüm olduğunu göstermiştik. Yani, sabit çarpı g x artı sabit çarpı h x'in de çözüm olduğunu söyleyebiliriz. Sabitlerin biri 0 olabilir. Neyse, bu özellikler ikinci mertebeden homojen doğrusal diferansiyel denklemleri kavramakta önemli. Bir sonraki videoda, bu özellikleri kullanarak bu tip denklemleri çözeceğiz. Ve, denklemlerin kolayca çözüldüğünü göreceksiniz. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemlerden veya tam diferansiyel denklemlerden çok daha kolay. Çok çok daha kolay. O zaman bir sonraki videoda görüşürüz.