Ters Orantı Hesaplama
Oran ve Orantı
Oran
En az biri sıfırdan farklı ve birimleri aynı olan iki çokluğun birbirine bölümüne (karşılaştırılmasına) oran denir. a nın b ye oranı veya a:b şeklinde gösterilir.
Orantı
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
eşitliği bir orantı belirtir ve “a değerinin b değerine oranı, c değerinin d değerine oranına eşittir.” şeklinde okunur.
Sabit bir k değeri için eşitliğindeki k değerine oran sabiti denir.
orantısı, a : b = c : d şeklinde de yazılabilir. Bu orantıda b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir.
Orantının Özellikleri
- İçler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.
- Bir orantıda içler veya dışlar kendi arasında yer değiştirebilir. Bu durumda oranlar değişse bile orantının eşitliği değişmez. veya olabilir.
- Paylar ve paydalar kendi arasında toplanır ya da çıkarılır ise orantı sabiti değişmez. olur.
- m ve n sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere
- ve olur.
- ise olur.
- ise, a=b.k, c=b.k, e=f.k dir.
Orantı Çeşitleri
Doğru Orantı
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyor ise bu iki çokluk doğru orantılıdır veya kısaca orantılıdır denir. Doğru orantılı iki çokluğun oranı sabittir.
y ile x doğru orantılı ise, veya y=k.x olur.
y=k.x in grafiği aşağıdaki gibidir.
x, y ve z sayıları sırasıyla a, b ve c sayıları ile doğru orantılı ise olur.
Not: a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, y= ax + b eşitliğini sağlayan x ve y değerleri doğru orantılı değildir. Ancak, x in değişme miktarı ile y nin değişme miktarı doğru orantılıdır.
Ters Orantı
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir.
y ile x ters orantılı ise, y.x=k veya olur.
in grafiği aşağıdaki gibidir.
x, y ve z sayıları sırasıyla a, b ve c sayıları ile ters orantılı ise olur.
Not: x, y, z sayıları sırasıyla a, b, c sayılarıyla ters orantılı ise, sayılarıyla doğru orantılıdır. dir.
Bileşik Orantı
İki veya daha fazla oran bulunduran orantılara bileşik orantı denir. y sayısı; x ile doğru, z ile ters orantılı ise, olur.
Oran Orantı Problemleri
Problemlerde orantı kurulurken, aynı cinsten çokluklar alt alta gelecek şekilde yazılır. Doğru orantı için çapraz, ters orantı için paralel oklar çizilir. Daha sonra oklar yönünde çarpma işlemi yapılıp elde edilen iki çarpım eşitlenir.
İş problemlerinde ise kapasite, zaman, işçi sayısı vb gibi bütün değişkenler yapılan işle doğru orantılı olduğundan, yapılan işin değişkenlerin çarpımına oranı sabittir.
Yani iş problemlerinde doğru ve ters orantı birlikte sorulabilir, burada bileşik orantı verilmiş olur. Bu sorular yukarıda anlatılan şekilde çözülebilir.
Altın Oran
Uzunluğu olan bir AB doğru parçası alalım ve bunu bir C noktası yardımıyla uzunlukları a ve b kadar olan AC ve BC doğrularına ayıralım. eşitliğini sağlayan oranının pozitif değerine altın oran adı verilir. Bu oran irrasyonel sayısına eşit olup yaklaşık değeri 1, dir.
Beceri Temelli Konu Testi 3 Ters Orantılı Çokluklar-Doğru ve Ters Orantı İle İlgili Problemler 1. Türk kahvesinde 1 fincanda kul
Soru:
Beceri Temelli Konu Testi 3 Ters Orantılı Çokluklar-Doğru ve Ters Orantı İle İlgili Problemler 1. Türk kahvesinde 1 fincanda kullanılan şeker miktarına göre isimlendirme yapılmaktadır. Tablo: Şeker Miktarına Göre İsimlendirme 1 Fincandaki Şeker Miktarı (çay kaşığı) İsimlendirme Az Şekerli Orta Şekerli Şekerli Çok Şekerli Aşağıda dört farklı cezvede yapılan kahve miktarları ile kullanılan toplam şeker miktarları verilmiştir. Buna göre hangi cezvede yapılan kahve doğru isimlendirilmiştir? A) Orta Şekerli B) Çok Şekerli C) Az Şekerli 2 fincan kahve 1 kaşık şeker 0,5 6 fincan kahve 9 kaşık şeker 1 1,5 4 fincan kahve 2 kaşık şeker 2,5 D) Şekerli K 5 fincan kahve 12,5 kaşık şeker
7. Sınıf Matematik Ters Orantı konu anlatımı
Ters orantı: Eğer iki çokluktan biri artarken diğeri aynı anda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa buna ters orantı denir. Yani iki çokluk üzerinde birbirine karşı zıt bir eşitlik bulunmaktadır. Ters orantı içerisinde bir rakam artarken diğer rakam azalır. Şimdi bunun nasıl olduğuna dair bir örnek verelim ve anlamaya çalışalım.
Örnek: Belli miktardaki eşyaları 5 kişi 2 günde taşımıştır. Eğer bu eşyaları 10 kişi taşısaydı o zaman bu iş 1 günde biterdi.
Yukarıdaki örneğe baktığımız zaman 5 kişi eşyaları taşırken 2 günde iş bitiyor. Ancak işçi sayısını 10'a çıkardığımız zaman iş 1 günde bitmektedir. Gördüğümüz gibi işçi sayısı artarken gün sayısı ise düşüyor. Yani burada işçi sayısı ile gün sayısı arasında ters bir orantı bulunmaktadır.
Not: Ters orantı içerisinde her iki çokluk da aynı oranda değişmelidir. Mesela yukarıdaki örneğe baktığımız zaman işçi sayısı 2 katına çıkarken, aynı şekilde gün sayısı 2 katına düşmektedir. Bunu kesinlikle unutmamalıyız ve ters orantı işlemleri yaparken mutlaka aklımızda tutmalıyız.
Şimdi bu konuda başka bir örnek daha ele alalım ve ters orantıyı anlamaya çalışalım.
Örnek: Bir araç sabit bir yolu kilometre hızla 2 saatte gitmektedir. Eğer bu araç hızını arttırır saydı ve kilometre hızla gitseydi, o zaman aynı yolu 1 saatte gidecekti.
Yine gördüğümüz gibi arabanın hızı 2 katına çıkıyor ve daha kısa sürede gitmesi gereken yere varıyor. Yani burada arabanın hızı ile beraber süre arasında ters orantı bulunmaktadır. Çünkü arabanın hızı artarken süre azalmaktadır.
Örnek: Bir duvarı 5 işçi 8 günde boyamaktadır. Eğer kişi sayısı 10 olsaydı o zaman boya kaç günde biterdi?
Gördüğümüz gibi 5 işçi 8 günde bir duvarı boyamaktadır. Burada ters bir orantı olduğu için eğer 10 işçi sayısı olsaydı o zaman iş daha çabuk biteceği için 4 günde iş biterdi. Yani işi sayısını artırdığını zaman gün sayısı azalıyor. Bunu matematiksel açıdan bakarsak şu şekilde yazabiliriz;
5 x 8 = 10 x 4
Yani 5 işçi ile 8 günü çarptığımız zaman 40 sayısını elde ederiz. Aynı şekilde 10 işçi ile 4 günü çarptığımız zaman yine 40 sayısını elde ederiz. Gördüğümüz gibi burada bir eşitlik bulunmaktadır. Bu eşitlik ise ters orantı üzerinden elde edilmiştir. Çünkü işçi sayısı artarken bu defa gün sayısı azalmaktadır.
Yukarıdaki örnekleri ve kavramları inceleyerek ters orantıyı daha iyi bir şekilde anlayabilirsiniz.