Mantık Yada Kuralı

mantık yada kuralı

Mantık Formülleri - Ve , Veya, İse, Ancak ve Ancak Özellikleri

ÖRNEK 5:

(p &#; q&#;) V r&#; &#; 0 olduğuna göre, (q &#; r) &#; p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

ÇÖZÜM 5:

(p &#; q&#;) V r&#; &#; 0 ise p &#; q&#; &#; 0 ve r&#; &#; 0 olmalıdır.
p &#; q&#; &#; 0 ise p &#;1 ve q&#; &#; 0 olur.
Buradan, p &#;1, q &#; 1 ve r &#; 1 elde edilir.
Bu doğruluk değeri, istenen bileşik önermede uygularsak,
(q &#; r) &#; p; (1&#;1) &#; 1; 1 &#; 1 &#; 1 olur.
O halde, bu bileşik önerme doğrudur.

ÖRNEK 6:

“ x bir çift sayı ise x² çift bir sayıdır.” bileşik önermesi veriliyor. Bu bileşik önermenin karşıt, ters ve karşıt ters koşullu önermeleri nedir?

ÇÖZÜM 6:

Verilen bileşik önermede;
hipotez: “x bir çift sayıdır.”
hüküm: “x² çift bir sayıdır.”
Karşıt: “x² çift bir sayı ise x bir çift sayıdır.”
Tersi : “x bir çift sayı değil ise x² çift bir sayı değildir.”
Karşıt tersi: “x² çift bir sayı değil ise x bir çift sayı değildir.”

kaynağı değiştir]

Bağlaçlar arasındaki öncelik parantezlerle belirlenebileceği gibi, aşırı parantez kullanımını önlemek için öncelik kuralları kullanılabilir: &#; bağlacı &#; bağlacından, &#; bağlacı &#; bağlacından, &#; bağlacı &#; bağlacından daha yüksek önceliğe sahiptir. Örneğin, $P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S$ ifadesi $(P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S$ ifadesinin kısaltılmış halidir.

Aşağıdaki tablo yaygın olarak kullanılan mantık işleçleri arasındaki öncelik sırasını göstermektedir.^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c <div><h2>Ya Da Bağlacı</h2><div><p>$ p $ ile $ q $ önermelerinin$

$ p \veebar q $ önermesi, önermeler birbirine denk iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. "Veya" ve "ya da" bağlaçları arasındaki tek fark, her iki önermenin de doğru olduğu durumda oluşmaktadır. Bu farkın net görülebilmesi için aşağıdaki "ya da" doğruluk tablosuna "veya" sütunu da eklenmiştir.

$ p \veebar q $ önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

$ p $	$ q $	$ p \veebar q $	$ p \lor q $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

$ p \veebar q $ bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.

Bileşik Önerme	Doğruluk Değeri	Açıklama
1 km m'dir YA DA 1 kg gr'dır.	$ 1 \veebar 1 \equiv 0 $	Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme yanlıştır.
$ \sqrt{2} $ irrasyonel bir sayıdır YA DA $ 0, $ irrasyonel bir sayıdır.	$ 1 \veebar 0 \equiv 1 $	Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
EBOB(12, 18) = 3 YA DA EKOK(12, 18) = 36	$ 0 \veebar 1 \equiv 1 $	Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
Bir noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir YA DA İki noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.	$ 0 \veebar 0 \equiv 0 $	Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır.

Ya Da Bağlacının Değili

"Ya da" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki iki şekilde yazabiliriz.

$ (p \veebar q)' \equiv p' \veebar q \equiv p \veebar q' $

ÖRNEK:

$ p $: Neşe her sabah kahve içer.

$ q $: Neşe her sabah çay içer.

$ p \veebar q $: Neşe her sabah kahve ya da çay içer.

$ p' \veebar q $: Neşe her sabah kahve içmez ya da çay içer.

$ p \veebar q' $: Neşe her sabah kahve içer ya da çay içmez.

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş üç sütunu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğunu söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ p \veebar q $	$ (p \veebar q)' $	$ p' \veebar q $	$ p \veebar q' $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $

İspatta hata bildirin

Ya Da Bağlacı İşlem Özellikleri

"Ya da" işleminin değişme özelliği vardır.

$ p \veebar q \equiv q \veebar p $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla önermelerin sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ p \veebar q $	$ q \veebar p $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin birleşme özelliği vardır.

$ (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar (q \veebar r) $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla işlem sırasının sonucu değiştirmediğini ve "ya da" işleminin birleşme özelliğine sahip olduğunu söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ r $	$ p \veebar q $	$ q \veebar r $	$ (p \veebar q) \veebar r $	$ p \veebar (q \veebar r) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.

$ p \veebar (q \land r) \not\equiv (p \veebar q) \land (p \veebar r) $

$ (p \land q) \veebar r \not\equiv (p \veebar r) \land (q \veebar r) $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ r $	$ q \land r $	$ p \veebar q $	$ p \veebar r $	$ p \veebar (q \land r) $	$ (p \veebar q) \land (p \veebar r) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ r $	$ p \land q $	$ p \veebar r $	$ q \veebar r $	$ (p \land q) \veebar r $	$ (p \veebar r) \land (q \veebar r) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.

$ p \veebar (q \lor r) \not\equiv (p \veebar q) \lor (p \veebar r) $

$ (p \lor q) \veebar r \not\equiv (p \veebar r) \lor (q \veebar r) $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ r $	$ q \lor r $	$ p \veebar q $	$ p \veebar r $	$ p \veebar (q \lor r) $	$ (p \veebar q) \lor (p \veebar r) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde etmediğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği olmadığını söyleyebiliriz.

$ p $	$ q $	$ r $	$ p \lor q $	$ p \veebar r $	$ q \veebar r $	$ (p \lor q) \veebar r $	$ (p \veebar r) \lor (q \veebar r) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

"Ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.

$ p \veebar 0 \equiv 0 \veebar p \equiv p $

İSPATI GÖSTER

Aşağıdaki tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonu karşılaştırdığımızda, her satırda aynı sonucu elde ettiğimizi, dolayısıyla "ya da" işleminin birim (etkisiz) elemanının 0 olduğunu söyleyebiliriz.

$ p $	$ 0 $	$ p \veebar 0 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

İspatta hata bildirin

Ya Da Bağlacı İşlem Kuralları

"Ya da" bağlacı ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir.

$ p \veebar p \equiv 0 $

$ p \veebar p' \equiv 1 $

$ p \veebar 1 \equiv p' $

$ p \veebar 0 \equiv p $

"Ya da" bağlacının değişme ve birleşme özellikleri olduğu için önermeler arasındaki parantez kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.

$ (p \veebar q) \veebar r \equiv p \veebar q \veebar r \equiv r \veebar p \veebar q $

"Ya da", "ve" ve "veya" bağlaçlarını birlikte içeren bir bileşik önermede parantezlerin yeri önemlidir ve parantezler kaldırılarak işlem sırası değiştirilemez. Aşağıda parantezlerin yerinin değiştirilmesinin önermenin doğruluk değerini değiştirebileceğine dair birer örnek verilmiştir.

ÖRNEK:

$ p \equiv 1, \quad q \equiv 1, \quad r \equiv 1 $ ise,

$ (p \veebar q) \lor r \equiv (1 \veebar 1) \lor 1 \equiv 1 $

$ p \veebar (q \lor r) \equiv 1 \veebar (1 \lor 1) \equiv 0 $

$ p \equiv 1, \quad q \equiv 0, \quad r \equiv 0 $ ise,

$ (p \veebar q) \land r \equiv (1 \veebar 0) \land 0 \equiv 0 $

$ p \veebar (q \land r) \equiv 1 \veebar (0 \land 0) \equiv 1 $

SORU 1:

Aşağıdaki bileşik önermenin her zaman $ q $'ya denk olduğunu gösterelim.

$ p \veebar (p \veebar q) \equiv q $

Çözümü Göster

Tabloda renkli işaretlenmiş iki kolonun dört durumda da denk olduğunu görebiliriz.

$ p $	$ q $	$ p \veebar q $	$ p \veebar (p \veebar q) $
$ 1 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $
$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $
$ 0 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

$ (r \veebar r') \land (p \veebar 1) $ önermesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster

SORU 3:

$ [(p' \lor q)' \land q] \veebar q $ önermesinin en sade hali nedir?

Çözümü Göster

$ [(p' \lor q)' \land q] \veebar q $

En içteki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.

$ \equiv [(p \land q') \land q] \veebar q $

"Ve" işleminin birleşme özelliği olduğu için parantezi kaldırabiliriz.

$ \equiv [p \land q' \land q] \veebar q $

$ \equiv [p \land 0] \veebar q $

$ \equiv 0 \veebar q \equiv q $

Soru sorun Soruda hata bildirin

\( p \)	\( q \)	\( p \veebar q \)	\( p \lor q \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)

\( p \)	\( q \)	\( p \veebar q \)	\( (p \veebar q)' \)	\( p' \veebar q \)	\( p \veebar q' \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)

\( p \)	\( q \)	\( p \veebar q \)	\( q \veebar p \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)

\( p \)	\( q \)	\( r \)	\( p \veebar q \)	\( q \veebar r \)	\( (p \veebar q) \veebar r \)	\( p \veebar (q \veebar r) \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)

\( p \)	\( q \)	\( r \)	\( q \land r \)	\( p \veebar q \)	\( p \veebar r \)	\( p \veebar (q \land r) \)	\( (p \veebar q) \land (p \veebar r) \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)
\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)	\( 1 \)
\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)

Bileşik Önerme	Doğruluk Değeri	Açıklama
1 km m'dir YA DA 1 kg gr'dır.	\( 1 \veebar 1 \equiv 0 \)	Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme yanlıştır.
\( \sqrt{2} \) irrasyonel bir sayıdır YA DA \( 0, \) irrasyonel bir sayıdır.	\( 1 \veebar 0 \equiv 1 \)	Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
EBOB(12, 18) = 3 YA DA EKOK(12, 18) = 36	\( 0 \veebar 1 \equiv 1 \)	Önermelerden sadece biri doğru olduğu için bileşik önerme doğrudur.
Bir noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir YA DA İki noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.	\( 0 \veebar 0 \equiv 0 \)	Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır.