Kesirlerle Işlemler Çarpma

kesirlerle işlemler çarpma

Kesirler Konu Anlatımı - Kesirlerde &#;arpma, Toplama, B&#;lme Ve &#;ıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?

EğitimKesirler Konu Anlatımı - Kesirlerde &#;arpma, Toplama, B&#;lme Ve &#;ıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?

- Son Güncellenme:

Kesirler kısaca, bir bütünün eş parçalara ayrılması ve her bir parçanın kesir cinsinden gösterilmesinden oluşuyor. Günlük hayatta ½ yerine “yarım”, ¼ yerine “çeyrek” kavramları sıklıkla kullanılıyor. Matematik ve günlük hayat dışında Astronomi, kimya, mühendislik ve spor dallarında kesirleri görebilirsiniz

Kesirler Nedir?

Her nesne bir bütün olarak kabul ediliyor. Bu nesne eş parçalara bölündüğünde (burada dikkat etmeniz gereken husus eş parçalar olmasıdır. Gelişigüzel parçalara ayırmalarda kesirden söz edemiyoruz.) her biri bütünün bir eş parçası oluyor. Bu eş parçalardan her birine kesir deniyor. Kesir konusunda sıklıkla duyulan terimleri kısaca açıklayalım.

Pay; Bir bütünden kaç eş parça alındığını gösteriyor. Kesir çizgisinin üstüne yazılır.
Kesir Çizgisi; Pay ve paydayı birbirinden ayıran yatay çizgidir.
Payda; Bir bütünün kaç eş parçaya ayrıldığını gösteriyor. Kesir çizgisinin altına yazılır.

Kesrin Okunuşu; Kesri iki türlü okuyabilirsiniz. Önce payı okuyacaksanız “iki bölü üç”; paydayı okuyacaksanız “üçte iki” olarak okuyorsunuz.

Kesir Çeşitleri

Kesirler; basit, bileşik ve tam sayılı olmak üzere üçe ayrılıyorlar.
Basit kesirler; Payı paydasından küçük olan kesirlerdir. Bir bütünden alınan parçaları gösterir.
2/3, 3/5, 2/6 basit kesirlere örnek verebiliriz.

Bileşik Kesirler; Payı paydasına eşit ve paydasından büyük olan kesirlerdir. Bir bütün veya bütünden fazla olduğunu gösteriyor. 4/3, 5/2, 8/3 bileşik kesirlere örnektir.

Tam Sayılı Kesirler; Tam sayı ve basit kesirden oluşan kesirlerdir. Bu kesirler de birden fazla bütünün olduğunu gösteriyorlar. 1 ¼, 2 2/3, 4 3/5 tam sayılı kesirlere örnektir. Örnek olarak, bir tam bir bölü dört şeklinde okunuyor.

Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?

Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmeniz için öncelikle paydalarının eşit olması gerekiyor. Yani toplayacağınız veya çıkaracağınız kesirlerdeki, kesir çizgisinin altındaki sayılar aynı olmalıdır.

2/3 + 1/3 = 3/3 Paydalar eşitse, payları topluyorsunuz. Paydalardan birini yazıyorsunuz.

2/3 - 1/3 = 1/3 Eşit paydalı çıkarma işleminde paylarda normal çıkarma işlemi yapıyorsunuz. Payda kısmına paydalardan birini yazıyorsunuz.

Eşit paydalı olmayan kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini nasıl yapacaksınız?
Öncelikli olarak paydaları minimum bir ortak sayıda eşlemeniz gerekiyor. Bunun en basit yolu paydaları birbirleriyle çarparak ortak sayıyı bulabilirsiniz.
2 - 1 = 2x5 - 1x3 = 10 - 3 = 7 Paydaları eşitledikten sonra, payları çıkarıp,
3 5 3x5 5x3 15 15 15 paydalardan birini yazıyorsunuz.
(5) (3)

Kesirlerde Çarpma ve Bölme İşlemleri Nasıl Yapılır?

Kesirlerde çarpma işlemi yaparken paylar ve paydalar kendi aralarında çarpılır. Kesirler arasına “x” işareti konulabileceği gibi “.” İşareti de konulabiliyor.
2 x 1 = 2x1 = 2
5 4 5x4 20

Kesirlerde bölme işlemini yaparken de en basit şekilde birinci kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirip, çarpma işlemini uyguluyorsunuz.

5/2 : 2/3: bölme işleminde; 5 x 3 = 5x3 = 15 şeklinde işlemi yapabiliyorsunuz.
2 2 2x2 4

6. Sınıf Matematik Kesirlerle &#;arpma İşlemi konu anlatımı

Haberin Devamı

Not: En az 2 tane kesir birbiriyle çarpılırken paylar birbiri arasında çarpılır. Aynı zamanda paydalar birbiri arasında çarpma işlemi yapılır ve sonuç bulunur

Kesirler çarpma işlemi konusunda bilinmesi gereken bazı hususlar bulunmaktadır.

- Bir kesrin 0 ile çarpımı yine sıfır değerini verir.

- Bir kesrin 1 ile çarpımı yine kendisini verir.

- Herhangi bir doğal sayı 1'den küçük olan kesir ile çarpılır ise, bu sayı doğal sayıdan daha küçük olur.

- Aynı şekilde herhangi bir doğal sayı 1'den büyük bir kesir ile çarpılırsa, bu kesir doğal sayıdan büyük olur.

Yukarıda verdiğimiz bütün bu kuralları kesirler konusunda unutmamamız gerekiyor. Böylece çarpma işlemi yaparken kesirler arası işlemi doğru bir şekilde gerçekleştirebiliriz. Şimdi bu bilgileri göre bazı örnekler yapalım ve inceleyelim.

Örnekler:

0 x 5/8 = 0/1 x 5/8 = 0 x 5 = 0 Bu şekilde sonuç her zaman 0 çıkar.

1 x 8

1 x 5/7 = 1/1 x 5/7 = 1 x 5 = 1/7 Aynı şekilde yine kesir 1 ile çarpıldığı zaman kendisini verir. 1 x 7

Kesirlerde çarpma işlemi konusunda mutlaka 0 ile 1 işlemlerini unutmamalı ve bunları iyi aklımızda tutmalıyız.

Not: Bir doğal sayının kesir kadarını bulmak için kesir ile o doğal sayı çarpılır. Böylece Elimizde bulunan doğal sayının o kesrin kadar ettiğini öğreniriz. Şimdi bu konuda bir örnek yapalım.

Haberin Devamı

Örnek: 60 sayısının 3/5 i kaçtır?

Burada 60 sayısının 3/5 inin ne kadar ettiği soruluyor. Yukarıdaki not kısmına baktığımız zaman 3/5 sayısını 60 ile çarpmamız gerektiğini anlayabiliriz.

60 x 3/5 = 60 /1 x 3/5 = 60 x 3 = /5 = 36

1 x 5

Gördüğümüz gibi 60 sayısının 3/5 i 36 olarak öne çıkıyor.

Bu şekilde siz de farklı örnekler yapabilir ve kesirler arasında çarpma işlemlerini gerçekleştirebilirsiniz. Aynı zamanda tam sayı ile beraber kesirleri çarpabilir ve sonuçlarını bulabilirsiniz. Burada unutmamanız gereken 0 ile herhangi bir kesir çarpıldığında yine sıfır çıkmasıdır. Ayrıca bir kesir 1 ile çarpıldığı zaman yine kendisini verir.

Haberin Devamı

Herhangi bir sayının verdiği kesir değerini bulmak için yine o sayı kesir ile çarpmamız gerekmektedir. Bunu da kesinlikle unutmamalıyız. Şimdi yukarıdaki sayıları inceleyerek tanımlamaları öğrenmek suretiyle, farklı örnekler üzerinden konuyu daha iyi anlayabilirsiniz.

Kesirlerle İşlemler

Payda Eşitleme

İki ya da daha fazla kesri, paydaları aynı ortak sayıda buluşacak şekilde genişletme ya da sadeleştirme işlemine payda eşitleme denir. Payda eşitleme kesirlerin toplama ve çıkarma işlemlerinde sıklıkla kullanılır.

İki ya da daha fazla kesrin paydalarının eşitlenebileceği en küçük sayı, paydaların ortak katlarının en küçüğüdür (EKOK). Alternatif olarak, paydalar çarpımları olan sayıda da eşitlenebilir.

ÖRNEK:

\( \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{3}{8} \)

Paydaları EKOK'larında eşitleme (\( EKOK(6, 8) = 24 \)):

\( \dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \dfrac{20}{24}, \quad \dfrac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{9}{24} \)

Paydaları çarpımlarında eşitleme (\( 6 \cdot 8 = 48 \)):

\( \dfrac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \dfrac{40}{48}, \quad \dfrac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \dfrac{18}{48} \)

ÖRNEK:

\( \dfrac{3}{5}, \quad \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{7}{10} \)

Paydaları EKOK'larında eşitleme (\( EKOK(5, 6, 10) = 30 \)):

\( \dfrac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{18}{30}, \quad \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{25}{30}, \) \( \quad \dfrac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \dfrac{21}{30} \)

Kesirlerle Toplama

İki kesri toplarken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının toplamı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirlerin tam sayı kısımları kendi aralarında toplanarak sonucun tam sayı kısmına yazılır. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Kesirlerle Çıkarma

İki kesri birbirinden çıkarırken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının farkı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirleri önce bileşik kesre çevirerek çıkarma işlemini yapabiliriz.

Kesirlerle Çarpma

İki ya da daha fazla sayıda kesri birbiriyle çarparken, kesirlerin payları kendi aralarında çarpılır ve sonucun payına yazılır, paydaları da kendi aralarında çarpılır ve sonucun paydasına yazılır.

Birbiriyle çarpılacak kesirlerin pay ve paydalarındaki sayılar çarpma işlemi öncesinde ya da sonrasında birbirleriyle sadeleştirilebilirler.

Kesirlerin çarpma işleminde sadeleştirme

Kesirlerden biri ya da birkaçı tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Çarpma işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek çarpma işlemine dahil edilebilir.

\( 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \)

\( \dfrac{1}{8} \cdot 3 = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{8} \)

Kesirlerle çarpma işlemi anlam olarak tam sayılarla çarpma işlemi ile aynıdır ve tekrarlı toplamaya karşılık gelir.

\( 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \quad \Longrightarrow \) 2 tane 1/4 (çeyrek) ekmek 1/2 (yarım) ekmek eder ya da 2 ekmeğin dörtte biri 1/2 (yarım) ekmek eder.

\( \dfrac{1}{4} \cdot 8 = 2 \quad \Longrightarrow \) 8 karpuzun dörtte biri 2 karpuz eder ya da 8 tane 1/4 (çeyrek) karpuz 2 karpuz eder.

\( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow \) 1/2 (yarım) pastanın 1/2'si (yarısı) 1/4 (çeyrek) pasta eder.

Kesirlerle Bölme

Bir kesri diğer bir kesre bölerken, ikinci terimin pay ve paydası aralarında yer değiştirir ve terimlerin arasındaki bölme işareti çarpma işaretine çevrilir. Sonrasında terimler arasında yukarıda gördüğümüz çarpma işlemi yapılır.

Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.

Bölme işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek bölme işlemine dahil edilebilir.

\( 2 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \div \dfrac{2}{3} = 3 \)

\( \dfrac{3}{8} \div 3 = \dfrac{3}{8} \div \dfrac{3}{1} = \dfrac{1}{8} \)

Kesirlerle bölme işlemi anlam olarak tam sayılarla bölme işlemi ile aynıdır ve bölüştürme/paylaştırma işlemine karşılık gelir.

\( 2 \div \dfrac{1}{4} = 8 \quad \Longrightarrow \) 2 ekmeği 1/4'erli dilimlere bölersek 8 dilim elde ederiz.

\( \dfrac{3}{4} \div 3 = \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow \) 3/4 pastayı 3 kişiye paylaştırırsak herkese 1/4 pasta düşer.

Kesirlerde Üs Alma

Bir kesrin üssü alınırken, üs işlemi pay ve paydaya ayrı ayrı yansıtılır ve payın ve paydanın ayrı ayrı üssü alınır.

İSPATI GÖSTER

\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \cdot \dfrac{a}{b}}_\text{n adet} \)

Payları ve paydaları kendi aralarında çarpalım.

\( = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot \cdot a}^\text{n adet}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \cdot b}_\text{n adet}} \)

\( = \dfrac{a^n}{b^n} \)

İspatta hata bildirin

SORU 1:

\( \dfrac{0,8}{0,16} + \dfrac{0,54}{0,09} - \dfrac{5,5}{0,10} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Üç terimin pay ve paydasını ile genişletelim.

\( \dfrac{80}{16} + \dfrac{54}{9} - \dfrac{}{10} \)

\( 5 + 6 - 55 \)

\( = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( \dfrac{9 + \frac{96}{7}}{8 - \frac{23}{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Paydaları eşitleyerek işlemleri uygulayalım.

\( \dfrac{\frac{9 \cdot 7 + 96}{7}}{\frac{8 \cdot 7 - 23}{7}} \)

\( = \dfrac{\frac{63 + 96}{7}}{\frac{56 - 23}{7}} \)

Paydalar sadeleşir.

\( = \dfrac{}{33} = \dfrac{53}{11} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( \dfrac{3^{-2}}{6^{-2}} - (-2) \cdot (-5) \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Sırasıyla üs, çarpma ve çıkarma işlemlerini yapalım.

Üssü negatif olan paydaki bir sayı paydaya pozitif üslü geçirilebilir.

\( \dfrac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{6^2}} - 10 = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{36}} - 10 \)

Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.

\( = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{36}{1} - 10 \)

\( = 4 - 10 = -6 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( x = \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{7} \)

\( y = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,

\( \dfrac{x}{y} + 5y \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( x \) ve \( y \) için verilen eşitlikleri düzenleyelim.

\( x = \dfrac{3}{10} \)

\( y = \dfrac{1}{15} \)

\( x \) ve \( y \)'yi ifadede yerlerine yazalım.

\( \dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}} + 5 \cdot \dfrac{1}{15} \)

Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.

\( \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{15}{1} + \dfrac{1}{3} \)

\( = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{3} \)

Paydaları eşitleyerek toplama işlemi yapalım.

\( = \dfrac{27}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{29}{6} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{\frac{4}{13} + \frac{4}{3} + 4} \)

işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Paydadaki terimlerin her birinin payını ve paydasını 10 ile genişletelim.

\( \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30}+ \frac{5}{10}}{\frac{40}{} + \frac{40}{30} + \frac{40}{10}} \)

Paydayı 8 parantezine alalım.

\( = \dfrac{\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{8 \cdot (\frac{5}{} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10})} \)

Kesirli terimler bütün olarak sadeleşir.

\( = \dfrac{1}{8} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( \dfrac{(2\frac{1}{3} - 1) - (\frac{7}{5} - 3\frac{2}{5})}{1 + \frac{2}{3} + \frac{5}{1 - \frac{3}{4}}} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

Hatırlatma: \( 2 \dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( \dfrac{(\frac{7}{3} - 1) - (\frac{7}{5}- \frac{17}{5})}{\frac{5}{3} + \frac{5}{\frac{1}{4}}} \)

\( = \dfrac{\frac{4}{3} - (-\frac{10}{5})}{\frac{5}{3} + 5 \cdot 4} \)

\( = \dfrac{\frac{4}{3} + 2}{\frac{5}{3} + 20} = \dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{65}{3}} \)

Pay ve paydadaki kesirlerin paydaları sadeleşir.

\( = \dfrac{10}{65} = \dfrac{2}{13} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( \dfrac{3a}{5} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{a}{2} = \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Eşitliğin sol tarafını \( a \) parantezine alalım.

\( a \cdot (\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2}) = \)

Kesirli ifadelerin paydalarının EKOK'u 90'dır.

\( a \cdot (\dfrac{3 \cdot 18 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 45}{90}) = \)

\( a \cdot \dfrac{}{90} = \)

\( a = 90 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( \dfrac{3}{4} \) ile \( \dfrac{12}{5} \)'in çarpmaya göre terslerinin toplanması sonucu elde edilen sayının çarpmaya göre tersi nedir?

Çözümü Göster

Bir kesrin çarpmaya göre tersi, kesir ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır.

Buna göre \( \frac{3}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{3} \), \( \frac{12}{5} \)'in çarpmaya göre tersi \( \frac{5}{12} \)'dir.

\( \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{16 + 5}{12} = \dfrac{7}{4} \)

\( \frac{7}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{7} \)'dir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( \dfrac{3}{3,41} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{7}{8,4} + \dfrac{41}{} \)

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( \dfrac{3}{\frac{}{}} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{7}{\frac{84}{10}} + \dfrac{41}{} \)

\( = \dfrac{}{} + \dfrac{14}{84} + 3 + \dfrac{70}{84} + \dfrac{41}{} \)

Paydaları eşit olan terimleri kendi aralarında toplayalım.

\( = \dfrac{ + 41}{} + \dfrac{14 + 70}{84} + 3 \)

\( = \dfrac{}{} + \dfrac{84}{84} + 3 \)

\( = 1 + 1 + 3 = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin