Küp Toplamı Açılımı
Küp Açılımı Formülü - İki Küp Farkı ve Çarpanlara Ayırma Formülü ile Tam Küp Açılımı Örnekleri ve Yöntemleri
Matematik denilince akla hemen formüller gelir. Özellikle üniversiteye giriş sınavları, KPSS ve ALES gibi sınavlardaki sorularda bize kolaylık sağlayacak formüllere ihtiyaç duyarız. Bu formüllerden biri de küp açılımı ile ilgili olan formüllerdir. Küp açılımı formülü, özellikle çarpanlara ayırmada kullanılır ve son derece önemlidir. Küp açılımı nasıl yapılır hep birlikte bakalım…
Küp açılımı nedir?
Küp açılımı dendiğinde ilk akla gelen şey çarpanlara ayırmadır. (x³ + y³) şeklinde ifade ettiğimiz açılımlara küp açılımı denir. Sınavlarda en fazla çıkan soru kalıpları, iki ifadenin toplamı-farkının küpü ya da iki ifadenin küpünün toplamı-farkı şeklindedir. Bu açılımları formüle dökecek olursak eğer:
- İki küp toplamı: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
- İki küp farkı: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²)
- İki ifadenin toplamının küpü: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³
- İki ifadenin farkının küpü: (x − y)³ = x³ − 3x² y + 3xy² − y³ şeklindedir.
Yukarıda görmüş olduğunnuz formüller tam küp açılımı formülleridir. Bu formülleri ezberledikten sonra karşınıza çıkacak tüm soruları rahatlıkla yapabilirsiniz. Çarpanlara ayırma küp açılımına birkaç örnekle konuyu iyice anlamanıza yardımcı olalım.
ÖRNEK SORU 1: x3 – 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız:
27, 3ün küpü olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz: x3 – 33
x3 – 33 = (x-3).(x2 + 3x + 9) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.
ÖRNEK SORU 2: x3 + ifadesini çarpanlarına ayırınız:
, 5'in küpü olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz: x3 + 53
x3 + 53 = (x+5).(x2 – 5x + 25) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.
ÖRNEK SORU 3: İki reel sayının toplamı 7 ve çarpımları 10 ise küplerinin toplamı nedir?
Önceki soruda yaptığımız gibi, ifade küpünü çıkan değerlere göre açıyoruz. İfademiz iki değer arasındaki farkın küpü olduğundan, kullanmamız gereken formül (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ şeklindedir. Bu formülü öğrendikten sonra, sayıları yerlerine yazarak istenen sonuca ulaşabiliriz.
Toplamları 7 dediği için (x + y) yerine direkt 7 yazıp küpünü alabiliriz. Yani; 7³ = x³ + 3xy.(x + y) + y³ bu formülde x ve y'nin çarpımının da 10 olduğunu biliyoruz. Yerine yazalım; = x³ + + y³ olur. Denklemde (x³ + y³)'ü yalnız bırakırsak sonuç - = olur.
Artık formülleri bildiğinize göre sınavlarda karşılaştığımız bu ve buna benzer küp açılımı sorularını siz de öncesinde evde örneklerle pratik bir şekilde çözüp kendinizi geliştirebilirsiniz.
Küp nedir?
Tüm yüzleri kare olan dikdörtgen prizmasına küp denir. Bir küpün tüm yüzleri karelerden oluşur ve tüm ayrıt uzunlukları eşittir. Aşağıda görmüş olduğunuz resimde 11 farklı küp prizma açılımı vardır. Bu 11 farklı şeklin kenarlarını katladığınızda küp oluşturulmaktadır.
Adaçayı Faydaları – Adaçayının Faydaları Nelerdir, Ne İşe Yarar ve Hangi Hastalıklara İyi Gelir?İki k&#;p toplamı ve farkı form&#;l&#; ve a&#;ılımı nasıl yapılır? 2 k&#;p toplamı ve farkı bulma &#;rnekleri ile konu anlatımı
İki küp toplamı şu şekildedir: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
İki küp fark şu şekildedir: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²)
İki ifadenin toplamının küpü şu şekildedir: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³
İki ifadenin farkının küpü ise şu şekildedir: (x - y)³ = x³ - 3x² y + 3xy² - y³
Bunlar bilindiği takdirde soruların yapılması daha kolay bir hale gelmektedir. Aksi durumda ise zaman kaybı ya da soruyu yapamama kaçınılmaz olmaktadır. Bu formüllerin yanında aşağıdaki formüllerin de bilinmesi ya da öğrenilmesi soruların çözümüne katkı sunmaktadır.
Tam kare toplamı: (a + b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
Tam kare farkı: (a – b)2 = a2 + b2 – 2.a.b
İki kare farkı: a2 – b2 = (a – b).(a + b)
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a – b)2 + 2.a.b = (a + b)2 – 2.a.b
Böylelikle hangi sınav, test ya da soru olursa olsun iki küp toplamı ve farkı soruları rahatlıkla yapılabilmektedir. Gelen sorular içinde olduğu gibi formüllerden biri ya da birkaçı kullanılacağı gibi, sorudaki ifadede de formül için uygun denklem yaratılabilmektedir. Soruların geliş tarzı da hemen her zaman bu şekillerde olmaktadır.
Örnek Sorular
Soru1: x 3 - 8 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifadenin iki tarafı a iki küp farkı şekline getirilmektedir. Buna göre 8 sayısı 2’nin küpü şeklinde yazılmaktadır. Buradan ifadenin x küp-2 küp olduğu ortaya çıkmaktadır. Sonrasında formülün uygulanması yapılmaktadır:
(x-2).(x² + 2x + 4) şeklinde bir açılım ortaya çıkacaktır.
Soru2: 8a3 - 64b3 ifadesinin eşiti nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesi (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazılmaktadır. Bu durumda özdeşliği şu şekilde ortaya çıkmaktadır:
(2a)3 - (4b)3 = (2a - 4b). (4a2 + 8ab + 16b2)
Soru3: x2 + y2 + 4x – 6y + 12 ifadesinde en küçük değer ne olmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifade tam kareye tamamlanmaktadır. Bu durumda şu ifade ortaya çıkmaktadır:
X2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 1 = (x+2)2 + (y-3)2 – 1 buradan x değerine -2 ve y değerine 3 verildiğinde en küçük değerin -1 olduğu görülmektedir. Bundan dolayı cevap -1 olmaktadır.