Trigonometrik Periyodik Fonksiyonlar

trigonometrik periyodik fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklerinin Periyodu

Trigonometrik fonksiyonlar birer periyodik fonksiyondur ve her fonksiyon için aşağıdaki eşitlik sağlanır.

$ T $ fonksiyonun esas periyodu ve $ T \in \mathbb{R^+} $ olmak üzere,

$ f(x + T) = f(x) $

Trigonometrik fonksiyonların ve farklı dönüşümlerinin periyotları aşağıdaki formüllerle bulunabilir.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyodu

Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu $ 2\pi $ radyandır.

$ f(x) = \sin(x) $

$ g(x) = \cos(x) $

$ T_f = T_g = 2\pi $

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

$ f(x) = a \cdot \sin^n(cx + d) + b $

$ g(x) = a \cdot \cos^n(cx + d) + b $

$ n $ tek sayı ise $ T_f = T_g = \dfrac{2\pi}{\abs{c}} $

$ n $ çift sayı ise $ T_f = T_g = \dfrac{\pi}{\abs{c}} $

ÖRNEK:

$ f(x) = 2\sin^2(3x) + 1 $ ise,

$ T_f = \dfrac{\pi}{3} $

$ g(x) = -\cos^3(5x - \frac{\pi}{3}) $ ise,

$ T_g = \dfrac{2\pi}{5} $

Bu formüllerin mantığını şu şekilde açıklayabiliriz.

$ a $ katsayısı fonksiyon grafiğinde dikey genişleme/daralmaya yol açar, dolayısıyla $ x $ ekseni boyunca olan tekrarlama periyoduna bir etkisi yoktur.
$ b $ değeri fonksiyon grafiğinde dikey ötelemeye yol açar ve grafiğin şeklini değiştirmeden sadece konumunu değiştirir, dolayısıyla periyoda bir etkisi yoktur.
$ c $ katsayısı fonksiyon grafiğinde yatay genişleme/daralmaya yol açar, dolayısıyla periyot bu katsayı ile ters orantılı şekilde değişir.
$ d $ değeri fonksiyon grafiğinde yatay ötelemeye yol açar ve grafiğin şeklini değiştirmeden sadece konumunu değiştirir, dolayısıyla periyoda bir etkisi yoktur.
$ n $ tek sayı olduğunda, $ y $ değerlerinin işareti değişmediği için periyotta bir değişiklik olmaz.
$ n $ çift sayı olduğunda, fonksiyonun negatif değerleri pozitife döner ve aşağıdaki şekilde gibi grafiğin $ [0, \pi] $ ve $ [\pi, 2\pi] $ aralıkları birbirinin tekrarı olur, bunun sonucu olarak grafiğin periyodu $ \pi $ radyana iner.

Sinüs fonksiyonunda çift kuvvetin periyoda etkisi

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyodu

Trigonometrik fonksiyon grafikleri bölümünde gördüğümüz gibi, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu $ \pi $ radyandır.

$ f(x) = \tan(x) $

$ g(x) = \cot(x) $

$ T_f = T_g = \pi $

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının farklı dönüşümlerinin periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

$ f(x) = a \cdot \tan^n(cx + d) + b $

$ g(x) = a \cdot \cot^n(cx + d) + b $

$ T_f = T_g = \dfrac{\pi}{\abs{c}} $

ÖRNEK:

$ f(x) = -\tan^2(4x) + 1 $ ise,

$ T_f = \dfrac{\pi}{4} $

$ g(x) = 5\cot^3(2x - \frac{\pi}{4}) $ ise,

$ T_g = \dfrac{\pi}{2} $

Bu formüllerin mantığı hakkında yukarıda sinüs/kosinüs bölümündeki ilk 5 madde tanjant/kotanjant grafikleri için de geçerlidir.

Bu maddelere ek olarak, $ n $ değeri çift sayı olduğunda fonksiyonun negatif değerleri pozitife döner, ancak aşağıdaki şekilde gibi grafiğin $ [0, \frac{\pi}{2}] $ ve $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ aralıkları birbirinin tekrarı değil, dikey bir doğruya göre simetriği olur, bu yüzden grafiğin periyodu değişmez.

Tanjant fonksiyonunda kuvvetin periyoda etkisi

Periyodik Fonksiyonların Toplamının/Farkının Periyodu

$ f $ ve $ g $ iki periyodik fonksiyon olmak üzere, $ f \pm g $ fonksiyonunun esas periyodu, bu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una (ortak katlarının en küçüğüne) eşittir.

$ T_f = \dfrac{a}{b} $

$ T_g = \dfrac{c}{d} $ olmak üzere,

$ T_{f \pm g} = EKOK \left( \dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \right) $ $ = \dfrac{EKOK(a, c)}{EBOB(b, d)} $

ÖRNEK:

$ T_f = \dfrac{3\pi}{4} $

$ T_g = \dfrac{2\pi}{5} $ ise,

$ T_{f + g} = \dfrac{EKOK(3, 2)}{EBOB(4, 5)}\pi $

$ = \dfrac{6}{1}\pi = 6\pi $

SORU 1:

$ f(x) = \sin(8x) + 3\cos(5x) $

fonksiyonunun esas periyodu nedir?

Çözümü Göster

$ \sin(8x) $ fonksiyonunun esas periyodu:

$ T_1 = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} $

$ \cos(5x) $ fonksiyonunun esas periyodu:

$ T_2 = \dfrac{2\pi}{5} $

İki fonksiyonunun toplamının esas periyodu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una eşittir.

$ T_f = EKOK(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{5}) $

$ = \dfrac{EKOK(\pi, 2\pi)}{EBOB(4, 5)} $

$ = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

$ f(x) = 5 - 4\tan{\frac{3 - 2x}{3}} $ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

Çözümü Göster

$ f(x) = 5 - 4\tan{\frac{3 - 2x}{3}} $ $ = 5 - 4\tan(-\frac{2}{3}x + 1) $

$ a \cdot \tan^n(cx + d) + b$ formundaki tanjant fonksiyonunun esas periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

$ T_f = \dfrac{\pi}{\abs{c}} $

Bu formülü verilen fonksiyona uygulayalım.

$ T_f = \dfrac{\pi}{\abs{-\frac{2}{3}}} = \dfrac{3\pi}{2} $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

$ f(x) = 6\pi - 4\cot^4(\frac{3x - 1}{m}) $

fonksiyonunun esas periyodu $ 2\pi $ ise, $ m $'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Fonksiyon tanımını düzenleyelim.

$ f(x) = 6\pi - 4\cot^4(\frac{3}{m}x - \frac{1}{m}) $

$ f(x) = a \cdot \cot^n(cx + d) + b $ formundaki kotanjant fonksiyonunun esas periyodu aşağıdaki formülle bulunur.

$ T_f = \dfrac{\pi}{\abs{c}} $

Bu formülü verilen fonksiyona uygulayalım.

$ T_f = \dfrac{\pi}{\abs{\frac{3}{m}}} = 2\pi $

$ \abs{\dfrac{3}{m}} = \dfrac{1}{2} $

$ \dfrac{3}{m} = \pm \dfrac{1}{2} $

$ m = -6 $ ya da $ m = 6 $

$ m $'nin alabileceği değerler çarpımı $ (-6) \cdot 6 = $ olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

$ f(x) = 4\sin^2(\frac{2 - x}{3}) + \sin^3(3x + 1) $

fonksiyonunun esas periyodu nedir?

Çözümü Göster

Fonksiyon tanımını düzenleyelim.

$ f(x) = 4\sin^2(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}x) + \sin^3(3x + 1) $

$ 4\sin^2(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}x) $ fonksiyonunun esas periyodu:

$ T_1 = \dfrac{\pi}{\abs{-\frac{1}{3}}} = 3\pi $

$ \sin^3(3x + 1) $ fonksiyonunun esas periyodu:

$ T_2 = \dfrac{2\pi}{\abs{3}} = \dfrac{2\pi}{3} $

İki fonksiyonunun toplamının esas periyodu fonksiyonların esas periyotlarının EKOK'una eşittir.

$ T_f = EKOK(3\pi, \frac{2\pi}{3}) $

$ = \dfrac{EKOK(3\pi, 2\pi)}{EBOB(1, 3)} $

$ = \dfrac{6\pi}{1} = 6\pi $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

$ 0 \le x \le 2\pi $ olmak üzere,

$ \sin^2(kx) = \dfrac{7}{11} $

denklemini sağlayan 16 tane $ x $ değeri olduğuna göre, $ k $ kaçtır?

Çözümü Göster

$ \sin{x} $ fonksiyonunun periyodu $ 2\pi $'dir ve $ [0, 2\pi] $ aralığında kendini 1 kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta $ (0, 1) $ aralığındaki bir değeri 2 kez alır.

$ \sin^2{x} $ fonksiyonunun periyodu $ \pi $'dir ve $ [0, 2\pi] $ aralığında kendini 2 kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta $ (0, 1) $ aralığındaki bir değeri 4 kez alır.

$ \sin^2(kx) $ fonksiyonunun periyodu $ \frac{\pi}{k} $'dır ve $ [0, 2\pi] $ aralığında kendini $ 2k $ kez tekrarlar. Fonksiyon bu aralıkta $ (0, 1) $ aralığındaki bir değeri $ 4k $ kez alır.

$ 4k = 16 $

$ k = 4 $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

<\pi {\text{ için}}.\end{aligned}}}">

Secant

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{}}x^{6}+\cdots ,\qquad kaynağı değiştir]</h3>Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine. Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir: <table><tbody><tr><td>Fonksiyon</td><td>Kısaltma</td><td>Özdeşlik</td></tr><tr><td>Versinüs</td><td>versin(θ) </td><td>1 – cos(θ) </td></tr><tr><td>Verkosinüs</td><td>vercosin(θ) </td><td>1 + cos(θ) </td></tr><tr><td>Koversinüs</td><td>coversin(θ) </td><td>1 – sin(θ) </td></tr><tr><td>Koverkosinüs</td><td>covercosin(θ) </td><td>1 + sin(θ) </td></tr><tr><td>Ekssekant</td><td>exsec(θ) </td><td>sec(θ) – 1 </td></tr><tr><td>Ekskosekant</td><td>excsc(θ) </td><td>csc(θ) – 1 </td></tr><tr><td>Haversinüs</td><td>haversin(θ) </td><td>versin(θ)/2 </td></tr><tr><td>Haverkosinüs</td><td>havercosin(θ) </td><td>vercosin(θ)/2 </td></tr><tr><td>Hakoversinüs</td><td>hacoversin(θ) </td><td>coversin(θ)/2 </td></tr><tr><td>Hakoverkosinüs</td><td>hacovercosin(θ) </td><td>covercosin(θ)/2 </td></tr></tbody></table><h3>Birim çemberde tanımlar[değiştir <span class=$ nest...

14823 14824 14825 14826 14827