12 Sınıf Fonksiyon Çözümlü Sorular

 f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun Tanım kümesi, B ye de Değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

 * Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

 * Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

 * s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

f(A) = B ise, f örtendir.

***  s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

m! = m. (m – 1) . (m – 2) .  .3 . 2 . 1 dir.

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

***  İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

ise, f sabit fonksiyondur.

***   s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

  * f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonuçift fonksiyondur.

 * f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

  * Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

  * Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

$ A= \{ -3,-2,-1,0,1 \} $
$ f: \, A \rightarrow \mathbb {R} $
$x \rightarrow y = f(x)= \displaystyle \frac {1+x} {x-2} $ fonksiyonu veriliyor.
$f(A)$ görüntü kümesini ve $f \; $ bağıntısının elemanlarını yazınız.

$f(A)= \{ \frac {2} {5}, \frac {1} {4}, 0, - \frac {1} {2}, -2 \} $


$f= \{ (-3, \frac {2} {5}), ( -2, \frac {1} {4}) , (-1, 0 ) , (0, - \frac {1} {2}), ( 1, -2) \} $

$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, \; f(4)=5, \; f(x+2)=x \, f(x) -3 $
olduğuna göre $f(8)$ kaçtır?

$ f(x)= 4 + f(x-1) $ ve $f(1)=3 $ ise
$f(15)$ kaçtır?

$f(x)=4+f(x-1) \Rightarrow f(x)-f(x-1)=4 $
$x=2 \Rightarrow f(2)-f(1)=4$
$x=3 \Rightarrow f(3)-f(2)=4$
$x=4 \Rightarrow f(4)-f(3)=4$
$ \vdots $
$x=15 \Rightarrow f(15)-f(14)=4$
$f(15)-f(1)=14 \cdot 4=56$
$f(15)=56+3=59$

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \; f(3x-4)= \sqrt {x^}+x $ ise
$f(5)$ kaçtır?

$3x-4=5 \Rightarrow x=3 \Rightarrow f(5)= \sqrt {3^}+3= \sqrt{16}+3=7$

$ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(2x+2)=\begin{cases} 3x+4, \quad x \lt 2 \\ x^x, \quad x\geq 2 \end{cases} $
Yukarıdakilere göre $f(6)+f(-4)$ kaçtır?

$2x+2=6 \Rightarrow x=2 , \quad f(2\cdot 2+2)= f(6)=2^\cdot 2=4$
$2x+2=-4 \Rightarrow x=-3 \quad f(2\cdot (-3)+2)= f(-4)=3\cdot(-3)+4=-5$
f(6)+f(-4)=4+(-5)=-1$

$ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x,y)=min(x^, \; xy+1) $
$ g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x,y)=max(x+2y+1, \; 2x-y)$
yukarıdaki fonksiyonlara göre
$2f(-3,-2)+g(3,2)$ ifadesinin değeri kaçtır?

$ f(x)=x^2+1$ fonksiyonu birebir bir fonksiyon mudur?

$f(x)$ fonksiyonu birebir değildir çünkü görüntü kümesindeki her bir eleman tanım kümesindeki tek bir $x$ ile eşleşmez.
Örneğin $x$ yerine $2$ veya $-2$ , $f(2)=5 \quad $ $ f(-2)=5 $ , koyduğumuzda fonksiyondan çıkan sonuç $5$ olur, tanım kümemizdeki iki değerin de değer kümesindeki görüntüsü aynıdır, bu yüzden birebir değildir.

\begin{align*}
5ax &=10x \quad & 8a+2b&=0 \\
a &=2 \quad & 8\cdot 2+2b&=0 \\
& \quad & b&=-8 \\
\end{align*}
sonucuna ulaşırız. Böylece
$f(x)=2x-8$ olur.

$f(-x)=f(x)$ olduğundan $f$ çift fonksiyondur.

$f(-x)=-f(x)$ olduğundan $f$ tek fonksiyondur.
Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır, çift olması için de tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.

\begin{align*}
(f+g)(0) &= f(0)+g(0) \\
&=0+2+ \\
&=-3 \\
\end{align*}

\begin{align*}
(f+g)(1) &= f(1)+g(1) \\
&=1+2+ \\
&=-1 \\
\end{align*}

\begin{align*}
(f+g)(4) &= f(4)+g(4) \\
&=4+2+ \\
&=17 \\
\end{align*}


Bu durumda $ f+g$ toplam fonksiyonunun görüntü kümesi
$ \{-3,-1,17 \} $ olur.

\begin{align*}
g(x)&=3x+2 & g(2)&=3\cdot 2+2 \\
& & &=8\\
\end{align*}

\begin{align*}
f(x) &= x^3+3 & f(2)&=2^3+3 \\
& & &=11 \\
\end{align*}

\begin{align*}
(2g+f\cdot g-3)(2)&=2g(2)+f(2)\cdot g(2)-3 \\
&=2\cdot 8+11\cdot \\
&=
\end{align*}

\begin{align*}
f&= \{ (1,-2), (2,3), (4,0),(8,5) \} \\
f(2)&=3 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ise } & f^{-1}(3)&=2 \\
f(4)&=0 \\
f(8)&=5 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ise } & f^{-1}(5)&=8 \\
\end{align*}
Bu durumda
\begin{align*}
f^{-1}(3)+f(4)-f^{-1}(5)&=2+ \\
&=-6 \\
\end{align*}