Rakamların Evrensel Tarihi Slayt

Sayfa kenarları sararmış, Metin kısmı temiz TÜM KİTAPLARIMIZ 2. ELDİR. LÜTFEN ÜRÜN VE KARGO BİLGİLERİ İLE AÇIKLAMA KISMINI OKUYUNUZ. A KİTAP YERİ

Hesabın Destanı; Rakamların Evrensel Tarihi VIII, Georges Ifrah tarafından kaleme alınmıştır. Kitap yılında TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları tarafından yayınlanmıştır. Bu baskının çevirisi Kurtuluş Dinçer tarafından yapılmıştır. sayfadır. Hesabın Destanı; Rakamların Evrensel Tarihi VIII adlı eser Türkçe dilindedir.

Kitap, 13 cm genişliğinde 19,5 cm yüksekliğindedir.

Kitap KARTON KAPAKLI cilt bilgisi ile yıllar önce eklenmiştir.

Hesabın Destanı; Rakamların Evrensel Tarihi VIII adlı eser, Kitap > Bilim, Teknik, Araştırma > Fen Bilimleri kategorisinde İkinci El olarak satıştadır.

Kondisyon: Çok İyi

Ürün kondisyonları ürün açıklamalarında belirtildiği ve/veya ürün fotoğraflarında görüldüğü gibidir. Açıklamada yer alan veya fotoğrafta görülen üründen farklı nitelikte bir ürün gönderilmesi halinde siparişin iadesi/iptali monash.pw güvencesi ile sağlanabilmektedir.

Alıcı Öder

Ürün A Kitap Yeri tarafından, PTT, Yurtiçi, Aras veya Sendeo Kargoyla gönderilecektir. Kargo ücreti TL dir ve sipariş anında ödenir. Aynı mağazadan veya ortak kargo anlaşmalı mağazalardan bu ürünle birlikte alacağınız diğer ürünler için ek kargo ücreti ödemezsiniz.

A Kitap Yeri - Mağaza Hakkında

Değerli Kitapseverler,

Tüm kitaplarımız ikinci eldir. Bazı kitaplarımız orijinal ambalajında, bazılarının ise okunmak için kapakları dahi açılmamıştır. Ancak hepsi ikinci el olduğu için hiçbirine "yeni" demiyoruz. İç kapağında isim ya da tarih olan, içinde bazı sayfaları okunmaya engel olmayacak şekilde çoğunlukla kurşun kalemle işaretlenmiş kitaplarımız ile aslında yeni gibi olan kitaplarımızı "çok iyi" olarak nitelendiriyoruz. 

LÜTFEN kitabın açıklamasını okumadan siparişinizi vermeyiniz. 

Kitap girişimiz devam etmektedir. İlgilendiğiniz kitap hakkında detaylı bilgi ve/veya kitabın fotoğraflarını almak istediğinizde lütfen bize yazın.

Kitaplarımızın fotoğraflarını kendimiz çekiyoruz. Siparişinizde fotoğraftaki kitap gönderilecektir.

Satışlarımız için fatura düzenliyoruz. Faturayı bazen paketin üzerine iliştiriyoruz bazen de kargo poşetinin ön gözüne koyuyoruz.

Kitaplarımızın fiyatlarının makul olduğunu düşünüyoruz. Lütfen indirim talebinde bulunmayınız.

GERİ DÖNEN KARGOLARDA KARGO ÜCRETİ ALICIYA AİTTİR.

Siparişlerinizi ARAS KARGO ile gönderiyoruz.

1 G E O R G E S I F R A H I RAKAMLARIN EVRENSEL TARİHİ TÜBİTAK 9. Basım

2 İllüstrasyon Ödül Evren

3 RAKAMLARIN EVRENSEL TARİHİ -I- BlR GÖLGENİN PEŞİNDE Georges Ifrah

4 Bir Gölgenin Peşinde RAKAMLARIN EVRENSEL TARİHİ-I- Georges Ifrah Çeviri: Kurtuluş Dinçer Lizzie Napoli nin çizimleri ekil , şekil dışında, bu yapıtta bulunan bütün açıklayıcı resimler, levhalar, kaligrafiler -gravürlerin, resimlerin ve belgelerin yeniden çizimleri dahilyazartn kendisince yapılmıştır. Histoire Universelle Des Chiffres L intelligence Des Hommes Racontee Par Les Nombres Et Le Calcul Editions Robert Laffont, S.A., Paris, Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu, TÜ BİTAK P o p ü le r B ilim K ita p la r ın ın S e ç im i ve D e ğ erle n d irilm e si TÜ BİTAK Y a y ın K o m isy o n u T a r a fın d a n Y a p ılm a k ta d ır ISBN ISBN İlk basımı Eylül te yapılan Bir Gölgenin Peşinde bugüne kadar adet basılmıştır. 9. Basım Ekim ( adet) Yayın Yönetmeni: Zafer Karaca Yayın Koordinatörü: Sedat Sezgen Teknik Yönetmen: Duran Akça Tasarım: Ödül Evren Töngür Uygulama: Yılmaz Ö zben Dizgi: Nurcan Öztop TÜBİTAK Atatürk Bulvarı No: Kavaklıdere/Ankara Tel: () Faks: () e-posta: [email protected] İnternet: Rekmay Ltd. Şti. - Ankara

5 G E O R G E S I F R A H Bir Gölgenin Peşinde Ç1İVİRİ K urtuluş D inçer I RAKAMLARIN EVRENSEL TARİHİ TÜI5İTAK POPÜLER BİLİM KİTAPLARI

6

7 Yayıncının Notu Rakamların Evrensel Tarihi / Sayılarla ve Hesapla Anlatılan İnsan Zekâsı adlı bu kitap Fransa da yılı başlarında yayımlandı. Aynı yıl içinde adet satılarak, beklenmedik bir biçimde en çok satılan kitaplar listesine çikmamacası- na yerleşti; bir Fransız gazetecinin deyişiyle, Fransızların yeni Incil i oldu yılının ilk aylarından başlayarak bu kitabı Türkçeye çevirip yayımlama fikri TÜBİTAKta uzun süre tartışıldı. Binlerce şekil içeren, ciddi bir "işçilik gerektiren böyle bir yapıtın Türkçe yayımlanması olanaklı mıydı? Yaklaşık iki bin sayfa tutan bu kitabı Türkçeye çevirmeye gönüllü olacak biri bulunabilir m iydi? Tartışmaların sonucu olumluydu; gönüllü kişi de bulundu. Tek sorun, Fransızca iki cilt halinde yayımlanan bu kitabın Türkçesi- nin kaç cilt olacağıydı. Bizim biner sayfalık iki cilt halinde yayımlamamız olanaksızdı. Çünkü, ilkin, iki bin sayfası iki küçük cilt oluşturacak kâğıt Türkiye de üretilmiyordu; İkincisi, TÜBİTAK Popüler Bilim K i tapları dizisinin belirli ölçüleri vardı. Okurun satın alma gücünü de hesaba katarak, kitabı dokuz cilt halinde yayımlamaya karar verdik. Yazarın deyişiyle matematikle ilgisi olmayan bu kitabın Türk okurunun ilgisini çekeceğini umuyoruz.

8

9 İçindekiler Okuyucuya Giriş "Rakamlar" Nereden Geliyor? Bir Gölgenin Uzun Uzun Aranışı Üzerine! Birinci Kısım Rakamların Serüveni Ya Da Büyük Bir İcadın Öyküsü 1. Bölüm Sayıların Budunbilimi Ve Ruhbilimi: Kökenler Üzerine Bir Açıklama 2. Bölüm Taban İlkesi ve Sayılama Dizgelerinin Doğuşu 3. Bölüm El, İlk "Hesap Makinesi" 4. Bölüm Cro-Magnon İnsanının Saymanlığı 5. Bölüm Kertme Uygulaması Ya Da Okumamışların Saymanlığı 6. Bölüm Sicimden Sayılar 7. Bölüm Sayı, Değer, Para

10 Bu güç işin bana verdiği kaygıların, yıllar boyu çektirdiği sıkıntıların, sabırlı, tapılası tanığı olan, sana, karıcığım. Sevecenliğin ve eleştirilerinin inceliği için, bu kitabın ve yazarının çok şey borçlu olduğu, sana, Hanna. Size, Gabrielle ve Emanuelle, kızlarım, tutkum

11 Okuyucuya iki ciltlik bu yapıtın* ana amacı, rakamların ve hesabın evrensel tarihi hakkında, tarihöncesinden bilgisayarlar çağına uzanan, en temel işlemlerden yola çıkıp kurgulayıcı, mistik, dinsel, büyüsel ya da kâhinlikle ilgili aritmetiklerde gezinen, sıfırın ve konumlu sayılamanın keşfinden geçip sonunda en genel hesaplara ulaşan karmaşık ve çokbiçimli evrim hakkında halkın kendi kendine sorduğu tüm sorulan yalın ve anlaşılır ifadelerle, olabildiğince tam bir biçimde yanıtlamaktır. îlkinden beş kat daha büyük olan bu Rakamların Evrensel Tarihinin metne, imgeye, yapıya ve olguların sunuluşuna getirilen ayrıntılar bakımından epeyce zenginleştirilmiş olduğu söylenebilir. Yapıt yalnız mantıksal ve zamandizinsel bir biçimde düzenlenmiş bir tarihsel belge olarak değil, aynı zamanda ve özellikle büyük kısımlar içerisinde konu bakımından öbeklemeler oluşturan gerçek bir izleksel ansiklopedi olarak tasarlanmıştır. Dolayısıyla bu yapıt, sayısız resimlemenin, küçük öykülerin, yeniden kurmaların yardımıyla, gerekli bütün açıklamaları ve uzunlu kısalı çerçeveler içinde birçok aydınlatıcı bilgiyi, işe yarayacak öğreniyi okura sunarak, onu çağlar ve uygarlıklar içerisinde heyecan verici bir yolculuğa davet etmektedir. Yani okur bu ansiklopediye, merakına ve kendi ilgilerine göre, nerede olursa olsun serbestçe başvurabilir. (Örnek: Babillilerden ya da Mısırlılardan önce Mayalar; Arapların, Hintlilerin ya da Çinlilerin hesaplarından önce ya da sonra yapay hesabın tarihi vb.) Bölümlerin numaralanışı süreklidir; yani yapıtın ciltlere bölünmüş olmasından bağımsızdır. Şekiller ise her bölümün içindeki ardıllık sırasına göre, o bölümün numarasıyla birlikte numaralanmıştır (Örnek: Şekil bölümün onbeşinci şekline göndermede bulunur.) Öte yandan, bölümlere göndermeler cilt belirtilmeden yapılmakta, her cildin başındaki içindekiler kısmı istenen gösterimi sağlamaktadır. Bununla birlikte bir istisna bulunmaktadır: bölümün ilk kısmı

12 birinci cildin sonunda yer almaktadır ve ona şöyle göndermede bulunulur: Bk. monash.pw, bölüm. ** Buna karşılık bu bölümün ikinci kısmına yapılan her türlü gönderme (bu kısım ikinci cildin*** başında yer almaktadır) şöyle yapılır: Bk. Hint Uygarlığının Sayısal Simgeler Sözlüğü. Bu sözlüğe bütün geri kalandan bağımsız olarak bakılabilir, başlı başına bir sözlük olarak başvurulabilir. Sözlüğün maddelerine yapılan göndermeler bir yıldızla işaretlenmiştir. (Örnek: *Hiiıt astrolojisi; *Sonsuz;). Son cildin sonundaki önemli kaynakçanın belirli bir konuda bilgisini derinleştirmeyi dileyen okura istediği bütün kaynaklan bulmasını, aynı zamanda çeşitli bilgilerin ve sergilenen belgelerin kaynaklarına ulaşmasını sağlayacağım da belirtelim. Okurun bunun için şunlara başvurması yeterlidir. -Kısaltmalar başlıklı liste. Bu liste dönemli yayınlara, dergilere, uzmanlık yayınlarına göndermede bulunan kısaltılmış adların açıklanmasını yapmaktadır. -Yazarlara göre Kaynakça Göndermeleri. Burada yazar adlarının alfabetik sırasıyla verilen yayınlar, aynı yazann birçok yayını söz konusu olduğunda [1] den [X] e kadar numaralanmıştır. -Konulara göre Kaynakça Göndermeleri. Bunlar alfabetik sırayla düzenlenmiş, o konuda yayıjıı olan yazarların alfabetik listesi de her birine eklenmiştir. Kısaca, bu olağan dışı Rakamların Evrensel Tarihi içerisinde insanlığın ve insan zekâsının büyüleyici tarihini keşfedecek okurun işini kolaylaştırmak için her türlü çaba gösterilmiştir. Böyle derin bir boşluğu dolduran, daha şimdiden kazıbilimcileri, budunbilimcileri, tarihçileri ve sayısız kültürlerin uzmanlarını etkileyen bu kesinlikle eşsiz yapıt, şairleri, sayıbilim yandaşlarını, sayı aşıklarını, mantık oyunlarını sevenleri de büyüleyecek, ruhbilimciyi, fizikçiyi, öğretmeni, mühendisi ve bilgisayar bilimcisini de kendine çekecektir. * Burada 9 cilt olarak yayımlanacak. ** Burada monash.pw, bölüm. *** gurada monash.pw

13 Giriş "Rakamlar" Nereden Geliyor? Bir Gölgenin Uzun Uzun Aranışı Üzerine! Saint-Exupery&#;nin Küçük Prensi Gibi Bu kitap1çocukların sorularıyla başladı. Matematik öğretmeniydim ve her iyi eğitimci gibi, ne denli tuhaf ya da ne denli çocukça görünürse görünsün, hiçbir soruyu yanıtsız bırakmamaya çabalıyordum. Zekâ çoğu kez merakla beslenir. O sabah gündemde sayılama dizgeleri üzerine çalışma vardı. Dersimi özenle hazırlamıştım ve sayıları Arap rakamlarıyla yazdığımızı her yönüyle, eksiksiz bir biçimde açıklamam, aynı vesileyle, sayıların özelliklerini ve bizim kullandığımız işlem tekniklerinin yapısını hiç değiştirmeden, onlu tabandan başka bir tabana geçmenin kuramsal olarak olanaklı olduğunu göstermem gerekiyordu. Son derece sıradan bir matematik dersine hazırlanıyorduk. Hani şu herhangi bir Fransız lisesinde gördüğünüz ve öğretmenlerin Orta Öğretim denen bu saygıdeğer kurumun varoluşundan beri her yıl bıkıp usanmadan yineledikleri derslerden biri. Ne olduysa o zaman oldu! Tanrı alçak gönüllü bendenizin o gününün tamamen ötekiler gibi olmasını istemedi. Birkaç öğrenci -görünmeleriyle varoluşunuzu başkalaştırabilen böyle öğrencilerin her gün yolunuza çıkmasını istemezsiniz- bütün hinlikleriyle karşıma dikildiler. Öyle basit sorular sordular ki, bir an sustum kaldım: "Efendim, rakamlar nereden geliyor? - Sıfırı kim icat etti? Gerçekten, nereden geliyor rakamlar? Bu alışılmış simgeler bize öyle açık geliyor ki, onları -çok yanlış olarak- bir tanrının ya da bir uygarlık kahramanının eksiksiz bir armağanı olarak birdenbire ortaya çıkmış sanıyoruz. Soru şaşırtıcıydı ve itiraf edeyim ki bu soruyu ben kendime hiç sormamıştım.

14 Çok eski çağlardan geliyor, diye yanıtladım, bilgisizliğimi güçlükle gizleyerek, büyük bir ikircikle. Oysa, sayıların her zaman bugünkü gibi yazılmadığından emin olmak için Latin sayılamasmı (bir yüzyılın sayısı gibi belli bir sayıyı belirtmek üzere kullanmaya devam ettiğimiz şu ünlü Roma rakamlarını) anımsamam yeterdi. - Efendim, diye sordu bir başkası, Romalıların nasıl hesap yaptıklarını biliyor musunuz? Günlerdir onların rakamlarıyla bir çarpma yapmaya çalışmaktan kafam patladı. - Bu rakamlarla hesap yapmak olanaksızdır, diye yanıtladı sınıf arkadaşlarından biri. Babam bana Romalıların işlemlerini hâlâ çörküyle hesap yapan bugünkü Çinliler gibi yaptıklarını söyledi. Benim bile veremeyeceğim, hemen hemen tam bir yanıt. - Her halde, diye ekledi öğrenci, küçük arkadaşlarına dönerek, bir Çin lokantasına gidersiniz bir gün; göreceksiniz ki, bu insanların bizim kadar iyi hesap yapmak için rakamlara da, hesap makinesine de ihtiyaçları yok. Çörküleriyle dünyanın en iyi bilgisayarından milyonlarca kere daha hızlı gidebiliyorlar. Burada bir parça abartıyordu. Evet, çörkü kullanımı, onu kullanmasını bilenlerin, yazıyla hesap yapıhrkenkinden son derece daha çabuk, hattâ basit bir hesap makinesinden daha hızlı gitmesini sağlar. Ama alet bilgisayarlarla ve gelişmiş hesap makineleriyle çoktan aşılmıştır. Hiç kuşku yok ki, sıra dışı çevrelerden gelen genç bir topluluğa öğretmenlik yapmak benim için bir şans ve aynı zamanda ayrıcalık olmuştu. Onlarla ilişki kurmak bilgimi ve görgümü kesinlikle çok artırdı. - Babam budunbilimcidir, dedi bir başkası. Afrika&#;da ve Avustralya&#;da hâlâ ikiden ötesim sayamayan odun kafalı yabanlar bulunduğunu söyledi bana. Mağara insanı neyse onlar da hâlâ öyle! Ne büyük adaletsizlik bu çocuğun ağzından çıkanlar! Peki o çocuk gibi, uzun zaman bu sözde "ilkelleri" insan türünün evriminin ilk aşamasında kalmış insanlar olarak gören yazara ne demeli? Oysa, düşününce, bu "yabanların" o kadar aptal olmadıkları anlaşılır; zekâdan hiç de yoksun değiller; bu yabanların güçlüklerden sıyrılmak için icat ettiği şeyleri görmek çok şaşırtıcıdır. Gerçekte bfeimle aynı yetenekleri taşıyan, ama "uygar" insanlardan çok farklı olan insanlardır onlar. Onlan merdivenin en alt basamağına indirmemizin nedeni belki de bu farktır (ya da eh azından onların farklı olma konusundaki meşru haklarını reddedişimizdir).

15 Ama bütün bunları henüz bilmiyordum. Gelişigüzel bir biçimde yüzyılların akışını geriye doğru izlemeye çalıştım. Bizim "Arap" rakamlarından önce: Roma rakamları. Ama, "önce"nin bir anlamı var mı? Olmasa bile bu rakamlardan önce ne vardı? Bir sayı ya da hesap arkeolojisinde sayı saymayı akıl eden ilk insamn dahice icadının kalıntısı bulunabilir miydi? Öğrencilerimin kafasından biribiri ardına bir sürü başka "çocuksu" (ya da en azından sözde çocuksu) soru çıkıverdi ortaya. Kimisi sirklerde ya da panayırlarda görebileceğimiz "bilgin" hayvanlar üzerinde durdu: Hesap yapmayı biliyorlar dendi; hattâ aralarından matematikçiler çıkmışmış(!) Kimi öğrenciler, kâh uğursuzluk kâh uğur getirdiği düşünülen "13 rakamı" bilmecesini ortaya attı. Kimileri de 15 rakamlı bir sayının küp kökünü alan ve aynı zaman aralığı içerisinde size ile arasındaki asal sayılar tablosıınu veren şu gerçek insan fenomenlerinin, "olağanüstü hesap^makinelerinin" neyin nesi olabileceğim sordular. Özetle, bir sürü bunaltıcı (ama çok heyecan verici) soru, bilgisizliğinin derecesini görüp, bilim tarihinin ne yazık ki yer almadığı bir öğretimin zayıflığının bilincine varan, neredeyse aşağılanmış bir öğreticinin suratında patladı. Ben de o anda aklıma gelen beceriksiz, özet, yarım yamalak ve kesinlikle doğru olmayan yamtlar verdim. Yine de bir özürüm vardı. Çalışma araçlarım olan aritmetik kitaplarında, okul el kitaplarında sorunun sözü bile edilmiyordu. Tarih kitaplarında Hammurabi&#;den Caesar&#;dan, Vereingetorix&#;ten, Charlemagne&#;dan, aynı şekilde Marco Polo&#;nun, Christophe Colomb&#;un yolculuklarından söz ediliyordu. Vin^ kâğıdın, matbaacılığın, buhar makinesinin. paranın, ekonominin, takvimin tarihine, hattâ yazının ve alfabenin kökenleri sorumuna varasıva insanlık dülerininjarihine değiniliyordu. AmarsarİM bir elbirliği varmış da, insanlığın en olağanüstü buluşlarından birini, insamn dünyayı ölçmeye girişmesini, onu daha iyi anlamasını, sayısız gizlerinden bazılarım kendi hizmetine sokmasını sağlayacağı için belki de en verimli buluşlarından birini giz içinde, ya da daha da kötüsü, bilmezlik, bilinmezlik içinde tutuyormuş gibi, rakamlara ilişkin tek söz yoktu. Bununla birlikte, şu çok güzel alçak gönüllülük dersiyle başlarsak, soruların kişi üzerinde derin etkileri oldu: Ustalarından görülür biçimde daha meraklı olan öğrenciler öğretmenlerine bir ders vermiş, onu

16 büyük bir buluşun tarihini, kısa bir süre sonra süreksizliği kadar evrenselliğini de keşfedeceğim tarihi incelemeye teşvik etmişlerdi. "Rakam-Graal"ın Aranışı Bir daha aklımdan çıkmayacak olan bu sorular, yakında beni en büyüleyici araştırmalardan birine sürükleyecek, varlığımın en heyecan verici serüvenlerinden birine sokacaktı. Bu sorulan yanıtlama düşüncesi, ama özellikle de arzusu beni önce istemeden de olsa, Ortaçağda Graal&#;ın aranışı kadar çılgınca görünebilecek bir arayışa (çok kısıtlı olanaklarla) girişmek üzere, öğretmenliğe ara vermeye itti. Ortaçağda çârmığa gerilmiş İsa&#;nın kanıyla doldurulmuş olduğuna inanılan bu büyülü kap, Tann&#;nm simgesi ha- 1 line gelmişti. Çok sayıda dindar hıristiyan şövalyeyle birlikte, Lancelot, Perceval ve Gauvain de dünyanın her yanında bu kabı bulmaya çalışmış, ama yeterince saf olmadıklan, Tann&#;nın hakikatlerine yaklaşacak inancı ve temizliği taşımadıklan için kutsal arayışlannda başansız olmuşlardı. Temizlik ve saflık bende de yoktu. Ama inan ve gönlümdeki Tann çağnsı beni ruhça ya da kişi olarak beş kıtada dolaştıracak, sonunda saf matematiğin manastmndan çok daha engin bilgi ufuklanna gözlerimi açmamı sağlayacaktı. Ama gözler dünyaya ne kadar iyi açılırsa, bilgisizliğin bilinci de o kadar çok olmuştur. insan zekâsının bu olağanüstü serüveni nerede, ne zaman ve nasıl başladı? Asya&#;da mı? Avrupa&#;da mı? Yoksa Afrika&#;da bir yerde mi? Başlangıcı yaklaşık yıl önce Cro-Magnon insan çağında mı oldu, yoksa aşağı yukan yıl önce Neandertal insan çağında mı? Beş yüz bin yıl önce, ya da hattâ niye olmasın, bir milyon yıl önce olamaz mı? Tarihöncesindeki uzaktan atalanmızı rakamlan düşünmeye iten hangi dürtülerdi? Salt gökbilimsel ilgiler mi (ayın evreleri, günler ile gecelerin yinelendiği takvimler, mevsim dönümleri vb.)? Yoksa sırf topluluk yaşamının gereksinmeleri mi? insan, örneğin bir elin parmaklan ile bir ayağın parmaklanmn aynı kavramın temsilcileri olduğunu, nasıl ve ne kadar zaman içinde keşfetti? Hesap yapma gereği insan zihnine kendini nasıl dayattı. Tam sayının sayal sayı hali ile sıral sayı hali arasında bir öncelik sırası oldu mu? ilk sözlü sayılamanın başlangıcı hangi çağa gider? Eklemli dil soyut bir sayı anlayı

17 şından önce mi gelir? İnsan sözlü olarak sayı saymayı bilmezken somut işmarlarla ve seslerle mi saymıştır? Yoksa tersi mi? Sayı kavramı deneyden mi çıktı? Yoksa deney, türümüzün ilk örneklerinin ruhunda gizli halde zaten varolan şeyin kesin olarak açığa çıkması için katalizör rolü mü oynadı? Ya bu soyutlamanın kendisi: insanın derin bir düşünüşünün meyvesi mi yoksa nesnelere çok somut bir boyun eğişle başlamış ağır bir evrimin sonucu mu? Sorulması olağan olan, ama uzaktan atalarımızın düşünme biçiminin artık hiçbir izi kalmadığı için, ne yazık ki çoğu kez yapıcı bir adım atma olanağından yoksun bir sürü soru. Olay ya da daha iyisi bir yığın olay, tarihöncesinin çok eski çağlarında yitip gitmiş ve bugün onlara tanıklık edecek hiçbir kazıbilimsel kalıntı yok. Peki sorunu çözmenin tek yolu kazıbilim miydi? Sorulara yaklaşık olarak aynı yanıtı vermeyi sağlayacak bir disiplin yok muydu? Örneğin ruhbilimsel ya da budunbilimsel çalışmalardan yola çıkarak bir yeniden kurma olanaklı mıydı? Sayının aranışı mı yoksa bir Gölgenin aranışı mı? Bütün soru buydu. Söz oyunlarıyla da, söz oyunları olmadan da ayırım yapmak güçtü. Her ne olursa olsun, beni neredeyse hemen dünyanın fethine, rakamlar oralarda mı diye bakmak için Amerika Birleşik Devletlerinden Mısır&#;a, Hindistan&#;dan Meksika&#;ya, Peru&#;dan Çin&#;e götürecek olan bahse girilmişti. Malî yardım olmadığından, kendi yağımla kavrulmaya karar verdim ve yolculuklanm boyunca, günlük gereksinimleri karşılamak için, çeşitli işler, kâh yamaklık ya da şoförlük, kâh kahvede garsonluk ya da bir otelde gece bekçiliği yaptım. Bu kültürel turizm, gezegenimizin en önemli müzelerini, Kahire, Bağdat, Pekin, Mexico müzelerini, British Museum&#;u, Londra Bilimler Müzesini, Washington daki Smithsonian Institution&#;ı, Vatikan Kütüphanesini, Yale, Columbia ve Philadelphia&#;daki Amerikan Üniversitelerinin alt katlarını gezmemi sağladı; Conservatoire des arts et métiers&#;nin, Guimet&#;nin, Louvre&#;un, Bibliothèque national de Paris nin sözünü etmeme gerek yok. Ayrıca Pompei ve Massada yıkıntılarını gezdim. Nil vadisindeki birkaç ünlü site, Teb&#;e, Luxor&#;a, Abu Simbel e, Gizeh&#;e uğradım. Atina Akropolüne ve öncesiz sonrasız Kentin Forumuna gidip şöyle bir göz attım. Quirigua ve Chichem Itza&#;daki Maya piramitlerinin tepesinden yüzyılların geçişini seyrettim. Şurdan burdan hesabın tarihiyle ilgili olarak geçmiş ya da şimdiki âdetler üzerine değerli bilgiler ya da tanıklıklar topladım.

18 Bu heyecan verici sayı-budunbilimsel ve rakam-kazıbilimsel gezintilerden dönünce, günler boyu halk düzeyindeki yapıtları, ansiklopedi maddelerini, uzmanlık dergilerini, bilim kitaplarını yiyip yuttum, her alandan uzmanlara, araştırmacılara, üniversitelilere binlerce soruyla saldırdım. Bununla birlikte, bu kişiler başlangıçta pek az konuştular ve özellikle de konuya burun kıvırdılar. Ortalık, ciddî insanlar bir yana, sözü durmadan kendi uzmanlıklarına getirmek isteyen tuhaf insanlarla doluydu doğrusu. Ama onları ikna etmek gerekiyordu, çünkü, görünüşte değersiz olan önemli gelişmelerden sürekli olarak haberdar olmak ve ayrıca benim gibi işe yeni girmiş birinin yapacağı her türlü yorum hatasından kaçınmak için, araştırmayı onların denetimine bırakmak kaçınılmazdı. Benim matematikten başka birşeyle ilgim olmadığı için, onları yalnız ciddiyetime, dürüstlüğüme, işin önemine inandırmam yetmiyor, "rakamlar" ile "matematiğin" tamamen aynı şey olmadığı düşüncesine de alıştırmam gerekiyordu. Olayların akışı bu konuda beni haklı çıkaracaktı. Herşeye karşın, olgu ilginç. Rakamlar öylesine cisimsizleşmiş ki, sonunda çok insanca oldukları, hattâ şiirsel bir töz oluşturdukları çağlar unutulup gitmiş. O kadar ki, matematiğe hiç yeteneği olmayanlar, onları kendi yoksunluklarının ya da horgörülerinin nesnesi haline getirmişler. Yine de, Antoine de Saint-Exupery&#;nin Küçük Preras&#;inde pek hoş bir biçimde söylettiği gibi, salt maddî bakış açısı onlan kullanmaktan geri durmamış: "Büyükler rakamları sever. Onlara yeni bir dostunuzdan söz ettiğinizde, size hiçbir zaman önemli şeyler sormazlar. Hiçbir zaman: "Sesinin tonu nasıl? Hangi oyunları sever? Kelebek biriktiriyor mu? diye sormazlar size. Hep "Kaç yaşında? Kaç kardeşi var? Kaç kilo? Babası ne kadar kazanıyor?" diye sorarlar. Ancak o zaman tanıdıklarını sanırlar onu. Büyüklere "pembe tuğladan, pencerelerinde sardunyalar, çatısında güvercinler olan güzel bir ev gördüm" derseniz, bu evi bir türlü gözlerinde canlandıramazlar. Onlara: "Yüz bin franklık bir ev gördüm" demeniz gerekir. O zaman haykırırlar: "Ne hoş". Bu, teknisyen ve maddeci toplumumuzda niceliğin anlamının niteliğin anlamına nasıl açık bir biçimde baskın geldiğini söylemektir. Ardından bütün bunlar beni iki temel saptamaya götürdü. Konu üzerine çok sayıda, zengin ve sağlam belgeler vardı: Onlara çok şey borçluyum ve bu kitapta sık sık sözleri edilecek. Ama makalelerin ve

19 yapıtların her biri tek bir uzmanlık alanıyla ilgiliydi; hemen hemen araştırmacılar, uzmanlar için yazılmışlardı ve gösterdikleri bütün bilginliğe karşın, eksiksiz ve bireşimsel olmaktan uzaklardı. Elbette, sonradan keşfedeceğim ve bana çok ışık tutacak bazı genel yapıtlar vardı; ama bunlar çağlarının bilgilerini yansıttıklarından, tarih alanındaki son gelişmelerle olduğu kadar, en son kazıbilimsel keşiflerle, ruhbilimsel ya da budunbilimsel çözümlemelerle de çoktan aşılmıştı. Yani uygarlıkların ve dinlerin tarihinden bilimlerin tarihine, tarihöncesi kazıbiliminden dilbilime ve filolojiye, olguların matematiksel ya da söylensel yorumundan budunbilime varasıya, bu belgeleri bütünlüğü içinde ele alan, bir uçtan öbür uca, beş kıtanın hepsini hesaba katan bir bireşimin eksikliği vardı. Gerçekten, memelilerde ya da kuşlarda sayı algısı, tarihöncesinin kertilmiş kemiklerinin sayı saymadaki işlevi, Hint-Avrupa ya da Sâmi kökenli sayılamalar, Avustralya, Amerika ya da Afrika&#;nın "ilkel" denen halklarındaki sayılar ve sayı teknikleri gibi çok farklı türden veriler, tarihi aşırı yalınlaştırmalara indirgeyen kalıplara düşmeden ve özden hiçbirşey yitirmeden nasıl bireştirilir? Eskiler ile modernlerin parmak hesabı; Güney Amerikalıların ya da Polinezyalıların çakılla saymaları, "sicimden sayılan"; Firavun dönemi yazıtlan ile Babil tabletleri nasıl aynı kalıp içinde biraraya getirilir? Yunanlılar ile Çinlilerin aritmetik kitapları, Mayalann gökbilimi ve yazıtlan, Hint şiiri ve matematiği, Arap cebiri ve Ortaçağ quadrivium&#;u*, son olarak da zaman ve uzay içerisindeki gelişmeleri tutarlı bir biçimde görebilmek üzere, modem sayılamanın, insanın bu çok önemli icadının bütünü nasıl birarada anılır? Zaten karmaşık olan bu bütün içerisine hayvanı nasıl yerleştireceğiz? Ya bebeği? Girdiğim bahsi kazanmam besbelli olacak iş değildi. Bütün insan bilimlerim biraraya getirince, alanımız insanlığın düşünsel evriminin koskoca evrenini içine alıyordu. Öyle zengin, öyle engin bir alandı ki bu, kimse onu tek başına katetmeye kalkışamazdı. Elbette, böyle bir arayışın sonu yoktur. Kuşkusuz, elinizdeki bu kitap çok değerli bir ciltler topluluğu içerisinde alçak gönüllü bir yer tutmaktadır. Sonuncu olmayacaktır, keşfedilecek şeyler, çözülecek gizemler hep kalır. Ben yine de, sayıyı kendi mantığı ve kendi tarihi içinde ele alan sayı bilimlerinin bize gerçekten öğretebileceği şeyler hakkında önemli görünen herşeyi kılgın bakımdan biraraya getirmiş olduğumu sanıyorum. Aynca bu kitap, rakamlann ve hesabın, olguları mantık

20 sal-zamandizinsel bir dizge içerisinde düzenleyen ve biribirine bağlayan hemen hemen evrensel ve bireşimsel bir tarihini, sıradan bir biçimde, yalın terimlerle, metinle olduğu kadar imgeyle, matematik bilgisi gerektirmeden, çok çok biraz dikkat isteyerek, geniş bir kitleye sunan belki de ilk kitaptır. Her araştırma bir yenilik getirdiğinden, ben de birçok konuda şimdiye dek görülmemiş kesinlikler getirdim, rakamlar evreninin uzun zaman açığa çıkmamış kimi bölgelerini aydınlığa kavuşturdum. Örneğin bundan yaklaşık yıl önce eski İran Elâmlılannca kullanılan sayılama imlerinin okunmasındaki içinden çıkılmaz sorunun çözümünü buldum; okur bu kitabın bölümlerinden birinde yöntemimi izlerken eğlenebilir. Yine, uzun zaman Yunan dizgesinden türediği sanılan, ama gerçekte binlerce yıllık kertme uygulamasından gelen tarihöncesi bir fosil oluşturan Roma sayılaması sorunu var. Ayrıca, Mezopotamyalılann sayılamalan ve hesap yöntemleri konusunda bazı yepyeni ayrıntıların yanı sıra, birçok düşüncenin olmadık birleşimiyle yaklaşık onbeş yüzyıl önce Hindistan&#;da doğan ve "Arap rakamları" denen "bizim" rakamlarımızın kökenine ilişkin o büyüleyici ama pek ince soruna yeni bir ışık tutan bir sergilemeyi de burada bulacaksınız. Aynı şekilde, bilgisayarların çıkışıyla tamamlanan yapay hesap tarihinin hiç görülmemiş sergilenişini de ekleyelim. Binlerce Yıllık Bir Destan Sayılamanın tarihi şemalaştınlmak istense, artık bizim teknisyen toplumumuzun simgeleri haline gelmiş kavramlar olan Bir&#;i Sıfır&#;dan ayıran bütün yoldur denirdi. İmdi, bugün sıfırdan bire gitmek için, modem matematikteki ustalarımız kadar bilgisayar bilimi uzmanlarının da kafalara yerleştirmiş olduğu, yokluk hep birlikten önce gelmiştir biçimindeki Şu sözde kesinliğe dayanarak, güle oynaya atacağımız tek bir adım vardır. Gerçekte zamandizinsel bakımdan bile bütün sayıların ilki olan "bir" sayısının icadım, bu tarihin en son büyük icadı olan sıfırın icadından ayıran devler devi bir zamansal adımın söz konusu olduğunu bir an bile aklımıza getirmeyiz. Çünkü bu adım, geriye doğru düşünürsek, insanın yokluğun "hiç" ile eşanlamlı olduğunu farkettiği çağı, yaşam ile ölüm karşısındaki yalnızlığının, kendi türünün öteki canlı varlıklara göre özel durumunun, kendi kişiliğinin türdeşleri karşısındaki tekilliğinin ve aynı

21 zamanda kendi cinsiyetinin eşi karşısındaki tekliğinin bilincine vararak birliğin anlamım keşfettiği çağdan ayıran tüm insanlık tarihidir. Ama bu tarih, matematiğin tarihi gibi -kimi zaman yanlış olarak öyle düşünülür- soyut ve çizgisel bir tarih değildir; yani biribirine zincirlenmiş kavramların kusursuz bir ardardalığı değildir. Tersine, yılın günlerini saymaya, değiştokuş ve tecimsel işlemler yapmaya, üyelerinin, evliliklerinin, ölülerinin, mallarının, sürülerinin, askerlerinin, kayıplarının, tutsaklarının sayısını bilmeye, kimi zaman kentlerinin kuruluşunu ya da zaferlerinden birini tarihlemeye çalışan çok çeşitli kültürlerin ve toplumsal grupların gereksinimlerinin, kaygılarının tarihidir. Örneğin koyun ya da keçi sürüsü güdenlerin, her otlak seferinden dönüşte, hayvanların hepsinin ağıla sağ salim dönüp dönmediğinden emin olmaları gerekiyordu. Toplu yaşamın gereksinimlerini karşılamak için alet ya da silâh stoğu yapanların, yiyeceklerini saklayanların, silâhlarının, aletlerinin, yiyeceklerinin durumunun daha önce bıraktıklarıyla aynı olup olmadığını doğrulamaları gerekiyordu. Komşu topluluklarla dostça olmayan ilişkilere girenlerin, her askerî seferin sonunda, askerlerin sayısının tam olup olmadığını bilmeleri gerekiyordu; gerektiğinde, savaşta verilen kayıpların sayısını bilmeleri gerekiyordu. Değiştokuş işi yapanların da besin maddesi satın alacak ya da bir malın karşılığında başka bir mal verebilecek durumda olabilmeleri için "değer biçebilmeleri" gerekiyordu. Ürün kaldırmak için, ya da yine, önemli bir dinsel törene vaktinde gidebilmek için sayı saymayı, zamanı ölçmeyi ya da hiç değilse benzer durumlarda doğan güçlüklerden kurtulmayı sağlayan kılgın bir yol bulmaları gerekiyordu. Tek sözcükle söylersek, bu, eylemindeki, düşünüşündeki zekâ sayesinde ve aynı zamanda şeylerin de zorlamasıyla bir "sayısal değerlendirme" gerektiren herşeyi göz önünde bulundurmaya itilen bir insanlığın tarihidir. Bunun için, insanlık elindeki her aracı kullanmıştır. Araçlar başlangıçta somut, deneysel ve gelişigüzel olmuş, giderek soyutlaşmış, yetkinleşmiş ve önce tuhaf bir biçimde gizemli, mitolojik tasarlanmış (çünkü bu gruplar tarihleri boyunca önyargılarını bol bol sergilemekten geri durmamışlardır), sonra da onlara bir genelleştirme biçimi almaya yatkın, yansız bir açıdan bakılmıştır. Kimisi kendini faydacı olarak göstermiş ve tutkularım salt hesapla ilgili amaçlarla sınırlamıştır. Kimileri, sınırsızlık ve öncesiz-sonrasızlık içerisine yerleşmek için, yeri göğü sayıp dökmeye, dünyanın yaratılmış olduğuna inandıkları

22 günden ya da hiç değilse yitip gitmiş bir ilk tarihten başlayarak, günlerin, ayların, yılların niceliğini dile getirmeye girişmiştir. Böylece, bu İkincilerin çok büyük sayıları tasarlamak zorunda kalmaları, onları simge çokluğunu aşmaya götürmüş, yalnız belli bir başlangıç ilkesini değil, her matematiğin hareket noktası olan, "sıfır" denen çok soyut bir kavramı aramaya itmiştir. tik Denemeler Bu tarih çok zaman önce başlamıştır; nerede başladığını pek bilmiyoruz. O zamanlar sayılan kendinde, kendi başına tasarlayamayan insan, henüz "sayı saymayı" bilmiyordu. Olsa olsa teki, çifti ve çoku tasarlayabiliyordu. Ruhbilimcilerin ve budunbilimcilerin çalışmalan, kargadan başlayıp bebekten, Pigmeden ya da Fuegoludan geçip uygar insana giden gözlemlere ya da deneylere dayanarak, insanın sayı algısına ilişkin temel ilkenin ortaya konmasını sağlamıştır (bu kitabın okuruna bunu gösteren bir görüntü testi sunulacaktır): Bazı "yüksek" hayvanlar gibi, hiçbir ön eğitim (örneğin domino taşlannın ve oyun kağıtlanmn 5&#;i, 6&#;yı ya da 9&#;u birdenbire tanımayı bize öğretmesi gibi bir eğitim) görmemiş yetişkin insanın da doğrudan sayı algısı ancak l&#;den 4&#;e kadardır. Ondan sonrasını "sayması" ya da henüz öğrenim görmemişse saymayı öğrenmesi gerekir. Bu da önce ileri bir sayı tekniğini, sonra toplumsal bellek ve iletişim için dilsel bir aletin (sayı adının) -ancak çok sonraki bir aşamada gelen, çizgilerle dile getirilmiş bir saptama dizgesinin- geliştirilmesini gerektirir. Ama bir törenin tarihim öğrenebilmek ve iletebilmek için ya da sabahleyin dışan çıkanlan koyunlann, keçilerin, sığırlann akşam sağ salim geri döndüğünü saptayabilmek için ille de bizim gibi "saymayı" bilmek gerekmez. Dil, bellek ya da soyut düşünce zayıf olsa bile, bu çeşit işlemleri gerçekleştirmek için çeşit çeşit aracıdan yardım alınabilir. Okyanusya&#;nın, Amerika&#;nın, Asya&#;mn, Afrika&#;nın, dillerinde "sayı adlan" olarak bir, iki ve çoktan başkası bulunmayan, ama yine de birebir uygunluğu bilen kimi çağdaş "yabanlan" kemik ya da ağaç kertme yolunu kullanıyorlar örneğin. Kimileri çakıllan, kavkılan, aşıklan, çomaklan üst üste yığma ya da yan yana dizme yolunu kullanıyorlar. Kimileri ise, bedenin çeşitli parçalanna yöneliyor, el ve ayak parmaklanna, kol ve bacaklann eklemlerine, gözlere, buruna, ağıza, kulaklara, memelere, göğüse başvuruyorlar.

23 İlk Hesap Makineleri Yalnız niteliksel değil niceliksel de olan bir evrene fırlatılmış insan, ister istemez, güçlüklerden sıyrılmak için, yavaş yavaş eline geçen herşeyi kendi yararına kullanmıştır. Doğa kendisine bütün olanaklı asal modelleri (ikiyi simgelemek için kuşun kanatlarını, üç için yoncanın yapraklanın, dört için bir hayvanın ayaklannı, beş için elin parmaklanın vb.) ve aynı şekilde her çeşit ardardalık ilişkisinin örneklerini verdiğinden, insan derece derece sayılann ve hesabın soyutlamasına ulaşmıştır. Herkes sayı saymaya on parmağıyla başladığından, şu anda varolan sayılama dizgelerinin çoğu on tabanına dayanır. Oniki tabanını seçmiş bazı ilginç örnekler de olmuştur. Mayalar, Aztekler, Keltler ve Basklar, bir parça eğilince ayak parmaklanyla da sayılabileceğini fark etmişler, böylece yirmi tabanım benimsemişlerdir. Bilinen en eski yazının icatçısı olan Sümerlere ve sırf tarihin en eski sıfınnı keşfettikleri için sonsuza dek yıllıklarda kayıtlı kalmayı hak eden Babillilere gelince, onlar, nedendir bilinmez, altmış tabanıyla sayıyorlardı. Bütün okul çocuklanmn bildiği, aynı zamanda pek korktuğu şu ünlü zamam saatlere, dakikalara, saniyelere bölme sorunlannı, aynı şekilde 60 dakikaya bölünmüş dereceleri ve 60 saniyeye bölünmüş dakikalan olan, tuhaf bir biçimde dereceye bölünmüş o daireyi bize bırakan onlardır. Ama burada zaten ince hesaplar söz konusudur. Batı Avrupa&#;da keşfedilmiş, yıllık, üzerinde bir ya da birçok kertik dizisi bulunan bir sürü önkol kemiği ve başka hayvan kemikleri, kazıbiliminin şimdiye dek bilinmezlikten kurtarabildiği en eski "hesap makinelerini" oluşturuyor. Bu kemik çubuklan kullanmış olan uzaktan atalanmız belki müthiş avcılardı. Ne zaman bir hayvan öldürseler bir kemik üzerine bir kertik atıyorlardı. Her hayvan türü için farklı kemikler kullanılabiliyordu: Biri ayılar için, bir başkası bizonlar için, yine bir başkası kurtlar için vb. Böylece saymanlığın ilk kavramlanm icat etmişlerdi, çünkü gerçekte rakamlan olabilecek en yalın sayısal işaretleme dizgesiyle yazıyorlardı. Çok ilkel ve geleceği olmayan bir teknik diye düşünülecektir. Gerçi ilkel, ama kesinlikle gelecekten yoksun değil. Hemen hemen hiçbir değişikliğe uğramadan bize kadar ulaşmış. Bu tarihöncesi insanlan tüm çağlann en uzun ömürlü rekorlanndan birini oluşturacak bir icat orta

24 ya koymuşlar. Tekerlek bile bu kadar eski değildir. Bu icatla yalnız ateşin kullanımı yarışabilir ve belki yarışı kazanabilir. Tarihöncesi mağaraların kayalık iç duvarları üzerindeki çeşitli hayvan çizimlerinin yanında bulunmuş birçok kertiğin hesap işlevi gördüğü hiç (ya da hemen hemen hiç) kuşku götürmez ve modern çağda bu tekniğin pek değişmediği görülmüştür. Çok eskiden, Alpli, AvusturyalI, Macar çobanlar ve yine onların türdeşleri olan Keltler, Toscanalılar, Dalmaçyalılar sürülerindeki baş sayısını küçük tahta parçalan üzerine dikey çizgiler, V&#;ler, X&#;lar çizerek kaydediyorlardı. XVIII. yüzyılda, çok ciddî Ingiliz Parlamentosu&#;nun arşivleme dizgesi de aynı kaba hesap tutma usûlüyle oluşturuluyordu. Çarlık Rusyasıyla birlikte Cermen ve İskandinav dünyasında da ödünç para verme işlerinde ya da takvim hesaplarında bu usûl yürürlükteydi. Oysa Fransa&#;nın kırsal yörelerinde aynı kertikli çubuklar bizim hesap defterlerimizin ve yazılı anlaşmalanmızm yerini tutuyor, halk pazarlannda bile veresiye hesabının aleti olarak iş görüyordu. Çok çok yirmi kadar yıl önce, Dijon yakınlarındaki küçük bir kasabanın fırıncısı, müşterilerinin her birinin veresiye aldığı ekmek somunlarının sayısını hesaplamak için tahta uçlarında kertikler açıyordu. Geçen yüzyılın Hindiçin&#;inde bu usûl aynı şekilde veresiye defteri olarak, ama aynı zamanda yasaklama çetelesi olarak ya da kolera bulaşmış kişileri kaydetme yolu olarak kullanılıyordu. İsviçre&#;de de kertikleme herkes gibi ödünç para işlerinde, ama aynca sözleşmelerde, süt teslimlerinde, hattâ kimi otlaklann gereksinimlerine aynlan suyun miktarlarını belirtmek için kullanıldı. Bu sayı tekniğinin, gerçekte, çok tanışık olduğumuz için çoğu kez "Arap" rakamlannm yanı sıra (hattâ kimi zaman onların yerine) kullandığımız Roma rakamlannm kökeninde de bulunması, böyle bir sürekliliği daha da dikkat çekici kılıyor. Somut sayımın kalıcı olmayan bir başka yolu kökence çok daha eskidir. Bunda şaşılacak birşey yok, çünkü el tüm çağların ilk "sayım ve hesap makinesi"dir. Yeryüzünün tüm halklan tarihlerinin şu ya da bu anında ona başvurmuştur. Auvergne&#;de, Çin&#;de, Hindistan&#;da, Türkiye&#;de, eski SSCB&#;de hâlâ yer yer, başka hiçbir yapay malzemeye başvurmadan, verilerin yalın ifadesine dayanarak parmaklarla çarpma işlemi yapılır. Parmak kemiklerinin ve eklemlerinin işe karıştırılması herkesin bildiği yalın işlemden çok daha öteye gitmeyi sağlar. Bu usûl örneğin Mısırlıların, Romalıların, Araplann, Acemlerin -Batı Ortaçağı-

25 mn Hıristiyan halklarını unutmayalım- sağır-dilsizlerin el kol işareti diline benzer bir yol izleyerek l&#;den a kadarki sayılan somutlaştırmalarını sağlar. Aynı usûl, daha ustalıklı bir dizgeyle, Çinlilere bir elle &#;e, iki elle on milyara kadar saymanın bir yolunu hayal etme olanağını vermiştir! Ama numaralann tarihi parmaklarla anlatıldığından başka türlü anlatılabilir size. Örneğin, Peru&#;da, Bolivya&#;da, Batı Afrika&#;da, Havai ve Caroline adalannda, aynca Japon takımadalarının çok yakınındaki Ryu-Kyu&#;da sayılan düğümlenmiş sicimler aracılığıyla kayda geçirme yöntemi vardır. Bu yöntem aynı zamanda Güney Amerika&#;daki çok güçlü İnka yönetiminin ustalıklı arşivleme dizgesini de oluşturmuştur. Aritmetik tarihinde aynı şekilde ihmal edilemez bir önem taşıyan başka bir eski dizge de çakıl yığını dizgesidir; insan onun sayesinde hesap sanatına başlamıştır. Çörkülerin kökeninde, rakamların henüz bilinmediği çağlarda işlem yapmak için kullanılmış şu boncuklu çerçevelerin kökeninde de bu yöntem vardır. Aynı şekilde, Çin&#;de, Japonya&#;da ve Doğu ülkelerinde hâlâ kullanılan sayı boncuklannın atası da odur. Ayrıca, hesap (calcul) dediğimiz zaman, sözcüğün kendisi bizi uzak çağlardan gelen bu yönteme gönderir, çünkü Latince calculus (hesap) sözcüğü "küçük çakıl" anlamına gelir. Tarihin İlk Rakamları Tarihin ilk yazılı sayılamasımn kökeninde de bu yöntem bulunur. Bir gün birkaç saymanın aklına, sıradan çakıllann yerine uzlaşıma dayalı biçimler taşıyan, farklı boylarda, pişmemiş topraktan yapılmış nesneleri koyma fikri geldi; nesnenin boyutu ve biçimi onu bir sayılama dizgesinin basamaklanndan birinin karşılığı yapacaktı: Birler basamağı için bir çubuk, onlar basamağı için bir bilya, yüzler basamağı için bir küre Bu, M.Ö. IV. binde, Arap-Iran körfezinin yakınlannda bulunan bir Iran toprağında, Elâm&#;da olmuştu. Fikir çoktandır ortalıkta olduğundan ve bir kil uygarlığı bile kurulduğundan, aynı çağda, Aşağı Mezopotamya&#;daki Sümer ülkesinin sakinlerince, benzer bir dizge aynı şekilde kullanılmıştır. Ama bu sonunculann sayı yeteneği onluk yerine altmışlık olduğundan, yöntem birkaç aynntı farkıyla işletilmiştir: 1 için küçük bir koni, 10 için bir bilya, 60 için büyük bir koni, için delikli bir büyük koni, için bir küre

26 Bu çağda bu uygarlıklar iyice yayılmıştı, ama henüz yalnızca sözlü olarak. Yalnızca "insan-bellek&#;ın çok kısıtlı olanaklarına dayanıyordu. Bununla birlikte, yukarıdaki temellere dayah hesap dizgesinin, nesneleri kilden yapılmış toplar içerisine koyma fikri sayesinde, çok yararlı olduğu görüldü. Yalnız aritmetik işlemleri yapma gereksinimini değil, her çeşit mal sayımının ve tecimsel işlemlerin belgesinin arşivlerde saklanması gereğini de karşılamayı sağladı: Denetlemek için topu kırmak yeterliydi. Sonra bir gün topun kili üzerinde topun içine konan nesneleri simgeleştirme fikri geldi akla; küçük bir koni küçük bir kertikle, bir bilya küçük bir yuvarlak delikle, büyük bir koni kaim bir kertikle, bir küre bir daireyle betimlendi. Tarihin en eski rakamları olan Sümer rakamları, M.Ö. &#;e doğru, işte böyle doğdu. Bu tarih yazının tarihiyle bitişik gibidir, ama elbette onunla aynı değildir. Çünkü yazı yalnızca görsel betimleme ve düşünceyi belleğe yerleştirme gereksinimlerini karşılamak için değil (gelişmiş bir toplumsal grupta yaşayan her insan bu gereksinimleri duyacaktır), aynı zamanda ve özellikle eklemli dili kaydetmek için icat edilmiştir. Zekânın Şaşırtıcı Değişmezliği Gerek zaman gerek uzay bakımından biribirinden çok uzakta olan insanların, araştırmaları ve sınamaları sırasında, benzer sonuçlara ulaşmak üzere nasıl aynı yollan izlemiş olduklarım görmek çarpıcıdır. Gerçekten insan her yerde bedeni üzerinde bir yeri işaret etmeyi, parmaklarıyla saymayı öğrenmiş, evrensel olarak çakıllardan, kavkılardan, çubuklardan yararlanmıştır. Çinlilerde, Pasifik adalılarında, Batı Afrikalılarda, Inkalarda sayılanmış düğümlü sicimlerin kullanımına rastlıyorsak, ille de bilinmeyen yolculuklar varsayımına başvurmamız gerekmez. Kertme uygulamasının da gerek tarihsel gerek coğrafî bakımdan geniş ölçüde yaygın olduğu görülür. Kemik ya da ağaç üzerine oyma aynı gereklilikleri, aynı güçlükleri, aynı ıralayıcı özellikleri gösterdiğinden, Avrupa, Asya, Afrika, Okyanusya, Amerika gibi biribirinden çok uzak bölgelerde bulunan önkol kemikleri ya da ağaç çubuklar üzerinde aynı çizgileri, aynı Vleri ve aynı X&#;lan görmek kimseyi şaşırtmayacaktır. Çünkü bu imler Romalıların, Çinlilerin, Hindiçin&#;in Khas Bolovenlerinin, Yeni-Meksika daki Amerikan yerlileri olan Zunislerin kültürleri gibi biribirinden kökten bir biçimde farklı kültürlerde, aynı şekilde, çağdaş Dalmaçya, İsviçre, Kelt çobanlarında da gö

27 rülür. Demek ki, evrensel bir biçimde dikey bir çizgi aracılığıyla belirtildiğini gördüğümüz "bir sayısı gibi, birtakım sayısal birimlerin, hemen her yerde aynı rakamla betimlendiğini gözleyince şaşmayacağız; 5 sayısı da, daha az yaygın olmakla birlikte, sık sık yönü farklı bir çeşit V yle, 10 sayısı bir çeşit X&#;yla ya da yatay çizgiyle betimlenmiştir. Ayrıca, Mısırlıların, Hititlerin, Yunanlıların, Azteklerin, tabanlar ya da imlere karşılık gelen rakamlar bir dizgeden ötekine hissedilir bir biçimde değişse de, en azından yapı bakımından, tamamen aynı yazılı sayılamayı yaratmış olduklarını gözleyeceğiz. Sümerlerin, Romalıların, Attikalılann ve Güney Araplannm dizgelerinde de öyledir. Başka başka kültürlerde bir sürü benzer olgu saptanmıştır ve bunları açıklamak için zorunlu olduğu iddia edilen ilişkileri varsaymaya gerek yoktur. Demek ki insanlık belli bir icadı ya da keşfi, herhangi bir yerde ve yeryüzünün herhangi bir halkında yeniden yapma yeteneğini sürekli olarak kendinde taşımaktadır; söz konusu halkın (ya da bireyin), başlangıçtan itibaren, bu icadı ya da bu keşfi tarih boyunca hiç değilse bir kez yapma olanağını bulmuş kafaların koşullarıyla -aynı değilse debenzer kültürel, toplumsal, ruhsal koşullarda olması bunun gerekli ve yeterli koşuludur. Aynı ülkenin ya da iki farklı ülkenin çağdaş bilim adamlarının, biribirinden tamamen habersiz olarak, hemen hemen aynı anda benzer bilimsel keşiflere ulaşmış olmasını açıklayan da budur. Fermât ile Descartes&#;m analitik geometriyi, Newton ile Leibniz&#;in türetke (diferansiel) hesabım, Böyle ile Mariotte&#;un gazlara ilişkin fizik yasasını, Joule un, Mayer&#;in ve Sadi Carnot&#;nun termodinamiğin ilkelerini keşfedişini düşünün. Bununla birlikte, birçok durumda, uluslararası ilişkilerin artan gelişmesi sayesinde icat ya da keşif yapılır yapılmaz yaygınlaşmış ve bütün halklarca benimsenmiştir; ya da hemen hemen bütün halklarca, çünkü elbette, salt gelenekçilikten ötürü her türlü devrimci yeniliği reddeden kültürler olmuştur. Rakamlar ile Harfler Olgu, örneğin M.Ö. II. binden itibaren, Fenikeliler ya da en azından kuzeybatı Sâmileri yazıların tarihinin son aşaması olan alfabetik yazı ilkesini ortaya koydukları zaman kendini gösterdi. Bu yenilikteki ustalık ve yalınlık onu bir "icat" olmaktan çıkarıp, herkesin gözünde par

28 lak bir örnek değeri kazandırdı. Bunun kanıtı, bugün dünya üzerinde varolan hemen hemen bütün alfabelerin, İbrani alfabesinden Arap alfabesine, Berberi alfabesinden ve Hint yazıtlarından geçerek Batı dünyasının bütün alfabelerinin kökeninde bulunan Yunan alfabesine kadar, ondan türemiş olmasıdır. Ardından, Yunanlılar, Yahudiler, Hıristiyanlar, Araplar ve birçok başka halk sayılan alfabelerindeki harflerle yazmayı akıl ettiler. Bu dizge harflere Fenike kökenindeki sıralanna göre (çağlar boyunca bu halklarda dikkat çekici bir biçimde değişmeden kalmış bir sıra) l&#;den 9&#;a dek, sonra, onlar basamağında 10&#;dan 90&#;a dek ve ardından yüzlerde sayısal değerler vermekten oluşmuştu. Böyle oluşturulmuş sayılamalar harflerin sayısal değerlerinin üst üste eklenmesiyle işliyordu. Eski Yunan matematikçileri, temel sayısal harflere belirtme imleri koyma yoluyla onlar basamağının çok yüksek kuvvetlerine ulaşarak, bu sayılamanın kullanımını onluk dizge çerçevesinde akla uygun hale getirdiler. Ama şiirsel ve yazınsal kullanımda, özellikle de büyü, gizem ve kâhinlik alanlannda, bir sözcüğü oluşturan harflerin değerlerini toplamakla uğraşıldı. Bu koşullarda, sözcükler sayısal bir değer kazandılar; buna karşılık sayılar da simgesel olarak, bir ya da birçok sözcüğün semantik değeriyle yüklendiler. Örneğin, YAHWEH adını oluşturan İbrani harflerinin değerlerinin toplamından başka birşey olmayan 26 sayısı (Y + H + W + H= = 26) Yahudiler için kutsal bir sayı haline geldi, îbraniler, Yunanlılar, Latinler, Araplar (aynca Acemler ve Müslümanlaşmış Türkler), gerçekte M.Ö. II. binde baş tannlannm herbirine bir sayı vermiş olan Babillilerin çok eski yazı geleneğine kadar giden bu tür kurgulamalan iyice çoğalttılar. Bu işlem, İskenderiyeli Leonidas gibi şairlerin çok özel türden yazınsal kompozisyonlarına neden oldu. Çok daha sonraki Mağripli, Türk ve Acem şairleri ile mezar taşı yazıcılannın kronogram (tarihleri hem sayısal hem anlamsal olarak dile getiren dizeler) yazma sanatının kökeninde de bu işlem vardı. Eskiçağdan günümüze dek çeşitli bölgelerin kabalacılan, gnostikleri, büyücüleri, kâhinleri, mistikleri her türden kurgulamalannda, yorumlarında, öngörülerinde, vargılarında bu işlemin sunduğu bütün olanaklan kullanmaktan geri durmadılar. Örneğin gnostikler çözüm yolunu bulduklarını, inançlarına göre, bütün tanrısal gizleri kavra

29 makta kullanabileceklerini düşündükleri Tann&#;nın Adını belirleyebildiklerini sandılar. Zaten birçok mezhep (Islamdaki Hurufıler, "harfçiler" gibi) böyle ortaya konmuş inançların çevresinde oluşmuştur ve bunların yandaşlan, Avrupa dahil, günümüzde hâlâ yaşamaktadır. ilk rakamlı alfabeyi yapanlar, Yunanlılar ya da Yahudiler, beş yüz ya da iki bin yıl sonra, Petrus Bungus adlı bir katolik tannbilimcinin, Martin Luther admın değerinde olduğunu "tanıtlamak" (bir ortoğrafça biraz gözden geçirilmiş ve düzeltilmiştir) için sayfalık bir sayıbilim kitabı yazma zahmetine katlanacağını kesinlikle tahmin etmemişlerdi. Çağın "izopsefik" hesaplanna yeni başlayanlar için parlak bir tanıtlama: Havari Yuhanna ya göre, gerçekte Deccal&#;ın, "Kıyamet Hayvanının" sayısıdır Ama Bungus adlı kişi bu tutumun ne öncüsüdür ne de onu kullanacak son kişi. Doğrusu, bazı Hıristiyanlann imparator Neron&#;un adına değerini biçme işine kafayı taktığı Roma imparatorluğu çağından, peygamberlik taslayan sayıbilimcilerin herkesin hesap yapmadan kendi çabasıyla öğrenmiş olduğu şeyi (yani Hitler&#;in gerçek Kıyamet hayvanı olduğunu) "tanıtlamayı" başardıklan ikinci Dünya Savaşı çağma kadar, bu işlemle düşüncelerin desteklenmesine katkıda bulunulmuştur. Burada büyük caddelerde hâlâ kol gezen, bir köşe başında sizi açıkça zavallı cüzdanınızdaki bozuk paralann falına bakmaya çağıran sayı şarlatanlan söz konusu değil. Büyük Bir İcadın Tarihi Demek ki bu tarihin çıkış yolu mantık olmamıştır. Sayılama dizgelerinin icadına ve evrimine yön vermiş olan, ilkin saymanlann, ama aynı zamanda din adamlanmn, gökbilimcilerin, müneccimlerin, ve ancak son sırada matematikçilerin kaygılandır. En azından ilk üçünün tutucu olduğu herkesçe bilinen bu toplumsal kesimler, kuşkusuz sayılama dizgelerinin hem sonuna kadar yetkinleşmesini hem de halka yayılmasını engellemiştir. Bizim gözümüzde çok eksik bile olsa, atalanmızın gözünde çok incelmiş olan bir bilgi, güç ya da en azından ayncalik kazandınnca, onu paylaşmak korkunç, dine aykın birşey gibi görünür. Belki de bu konuda, ama başka alanlarda belli bir mandarin iktidarının tutumu hep aynı olmuştur. Ama burada başka nedenler var. Temel bilim bilginlerin bilincindeki bir iç gereksinimi karşıladığı için gelişirken, bir icat, bir keşif ancak bir uygarlığın toplumsal isteğine yanıt veriyorsa gelişebilir. Bilimin

30 bir uygarlığa verip vereceği, o uygarlığı değiştirmek ya da altüst etmektir. Bilindiği gibi, ileri gitmiş bilim adamları rahat etmemişlerdir, çünkü toplumsal istenç onları reddetmiştir. Matematiksel düşüncenin biribirini izleyen aşamalarına tanıklık etmek büyüleyici birşeydir. Konumlu sayılamayı keşfetmek tarihteki halkların çoğunun akima gelmemiştir. (Konumlu bir sayılama, örneğin dokuzun birinci, ikinci ya da üçüncü basamağın birimleri arasına yerleştirildiğinde aynı değeri taşımadığı bir dizgedir.) Gerçekte bu temel kural tarih boyunca yalnızca dört kez akla gelmiştir. İlk kez M.Ö. II. binin başında Babil bilginlerinde ortaya çıkmıştır. Sonra, Hıristiyan Çağının başlamasından biraz önce Çinli matematikçilerce, ardından M.S. III. ile V. yüzyıl arasında Maya gökbilimcilerince, son olarak da V. yüzyıl yakınlarında Hint matematikçilerince yemden keşfedilmiştir. Bu dört halkın dışında kesinlikle kimse bir sıfır sahibi olma gereksinimini yaşamamıştır. Ama konum ilkesinin kullanımının dizgeli hale getirilmesinden sonra, sıfır zorunlu bir kavram olmuştur. Bununla birlikte, yalnızca üç halk, Babilliler, Mayalar ve Hintliler bu son soyutlamaya ulaşabilmiş. Çinliler onu ancak Hint etkisiyle dizgelerine sokmuşlardır. Ama ne Babillilerin sıfın, ne Mayaların sıfin bir sayı olarak görülebilir: Bizim bugün kullandığımız olanaklarla aşağı yukarı aynı olanakları yalnız Hintlilerin sıfin taşımıştır. Zaten kullanımla, zamanla ve yolculuklarla bir parça biçim değiştirmiş Hint rakamlanndan başka birşey olmayan ve Araplann adım taşıyan rakamlarla aynı zamanda* Araplarca bize aktanlan sıfır da odur. Biz onu parça bölük biliyor olsak da, bu tarih bugün kullandığımız ve bütün gezegene daha dün yayılmış olan bu sayılama dizgesine doğru çok kararlı bir biçimde yönelir. Hesap, Rakamlar ve Sayılar Ama aritmetiğin bütün tarihi "rakamlar" değildir. Bu çizgeli (grafik) simgeler görece geç ortaya çıkmıştır ve sayılann sayısız betimlemelerinden yalnızca birini oluştururlar. Rakamlann tarihi, modem yazılı hesabın geliştirilmesiyle biraraya geldiği, yapay hesabın büyük serüveniyle kendisinden aynldığı gerçek anlamıyla "hesabın" tarihine koşuttur.

31 Rakamların kabuğu olan sayılan öyle çok kullanıyoruz ki, çoğu kez onlan, bize kendiliğinden gelen ve türümüzün ata mirasının parçasını oluşturan hareket etme ve konuşma yeteneği gibi, insan varlığının döğuştan yatkınlıklan olarak görme eğilimindeyiz. Oysa, uygarlığımızın bir ediniminin, icat edilmiş ve dil gibi -dil de bir öğrenim gerektiren başka bir "alet"- aktanlması gereken bir şeyin söz konusu olduğunu tasarlayabilmek için, okuldaki o sıkı öğrenimi, sayılan kullanma öğrenimini (özellikle de çocuklukta çarpım cetvelini ezberlemekle geçen uzun ve dayamlmaz saatleri) anımsamak yeter. Çünkü rakamların da kendi tarihi vardır. Çok uzun, çok karmaşık bir tarih. Avrupa&#;da, çok değil birkaç yüzyıl önce, rakamlarla değil, parmakla ya da levhalar üzerindeki işaretlerle hesap yapıldığını, kertikli çubuklar üzerinde muhasebe defleri tutulduğunu görünce şaşınnz belki de. Ortaçağda zengin bir tüccarın oğlunun çarpma ve bölme sanatının sırlarını ele geçirebilmek için bir dizi yolculukla tüm Avrupa&#;da mekik dokuması bir yana, yıllarca öğrenim görmesi gerekiyordu. Sonuç olarak bu, günümüzün doktorasıyla eşdeğerdi. Sayıların insanoğlunun ulaşabileceği uzaklıkta bulduğu en karmaşık, en soyut kavramlar arasında yer aldığı doğrudur. Bu icat, kuşkusuz, insanlığın en büyük fetihi değilse de, en büyük fetihlerinden biridir. Çünkü dil, yazı ve aritmetik arasında, insanın en çok vakit harcadığı, sindirmekte en çok sıkıntı çektiği, sonuncusudur. Öyle ki, insanlar çağlar boyu ondan gizemli bir korku duymuş, hattâ çoğu kez tannsal güçlerle tek tek numaralan özdeşleştirmiş, sayılann simgelerini adın ve bireyin sözde temel bir öğesi saymaya kadar götürmüştür işi. Örneğin Babil müneccimleri, tapınaklanndaki tannlann her birine, kişiliklerin sıradüzenini gösteren bir biçimde azalarak ilerleyen belli bir sayı vermemişler midir (Göğün tannsı Anu&#;ya 60; Yerin tannsı Enlil&#;e 50; Suların tannsı Ea&#;ya )? Belki de bu yolla, en soyut kavranılan nitelik olarak onlara yükleyip, tannlann insanlar üzerindeki varlıksal üstünlüğünü belirtmek istemişlerdi. Sayılar "bilginin en yüksek derecesi" olarak da görülmüştür: Örneğin büyük Platon sayıların kosmik ve iç uyumun özünü oluşturduğunu söylüyordu. Bu düşünceyi daha sonra "sayıların tanrısal hakikatlere yaklaşmanın en iyi aracı" olduğu konusunda bu felsefenin tüm yandaşlarına güven verecek olan Nicolaus Cusanus yineleyecekti. Ama düşünce yeni değildi. Daha önce Philolaes "bilinenlerden herşeyin bir sayısı vardır, çünkü sayı olmadan birşeyin tasarlanabilmesi

32 ya da bilinebilmesi olanaksızdır" buyurmuştu. Bu gizemli felsefeyi "evrenin gerçek yapısını kavramayı ancak sayılar sağlar diyen bir dizge haline getiren saf Pythagoras geleneğinde, bu bir inanç işiydi. Yirmi beş yüzyıl sonra, bir gün Bertrand Russell, sayıların çağdaş bilimde oynadığı temel rolü (özellikle Albert Einstein&#;ın "genel görelilik kuramını", Max Planck&#;m "kuantum kuramını", Louis de Broglie&#;nin "dalga mekaniğini") düşünerek, "Modem bilimin en şaşırtıcı yanı Pythagorasçılığa dönüşüdür" dedi. Modem simgesel mantığın büyük kurucularından biri (dan Russell sorunu tersinden ele alıyordu, çünkü evreni yöneten sayılar değildir: Doğrusu, dünya sayılarla soyut olarak dile getirilebilen fizik özellikler taşır. Çünkü sayı nesnelerden değil, nesneler üzerinde iş gören düşüncenin yasalarından gelir. Gerçeklik elbette sayıyı esinler, ama onu oluşturmaz. Çünkü insanoğlu bu gerçekliğin nesnelerini, bilinen bütün ilerlemeleri eksiksiz bir biçimde gerçekleştirmesini sağlayan düşüncenin yalın nesnelerine dönüştürmeyi bilmiştir. Rivarol şöyle diyordu: "insan evinde merdivende oturmaz, ama onu kullanarak her yere çıkar, her yere ulaşır; aynı şekilde insan aklı da sayılarda yaşamaz, ama onlarla bilime ve her türlü sanata varır." Son Derece İnsanca Bir Tarih Bütün bu çalışma ve sorgulama yıllarından sonra, galiba bugün öğrencilerimin sorularını eskisinden daha iyi yanıtlayabilirim. Burada onlara içten bir kanımı belirtiyor, bütün meraklı genç kafalara şükranlarımı iletiyorum. Çocukların "çocuksu" denen sorularına her zaman dikkat göstermek ve onlan her zaman yanıtlamaya çalışmak gerekir. Ama merakınız uyanmaya görsün, bu sorular sizi gitmeyi hayal ettiğinizden çok daha uzaklara götürüverir. Bu konuda bazen çırakların büyük ustalar olduğu ortaya çıkabilir. Buna karşılık, kimi kez önüne çıkan ilk güçlük karşısında cesareti kırılan bir kısım gençlere de, çabalarımın, inadımın ve sabrımın umduğumun çok ötesine giden bir başarıyla ödüllendirildiğini söylemek isterim: Bu çalışma bugün gerek Fransa&#;da gerek başka yerlerde tanınıyor, biliniyor, hattâ birçok yabancı dile çevrildi. Başlangıçtan beri talihimin bana çok yardım ettiği doğru, ilkin karşılık beklemeyen ilgisiyle, anlayışıyla, bitmek bilmeyen hizmetiyle bana en değerli desteği veren olağanüstü karımı çıkardı karşıma. Son

33 ra talih her bir insana tek bir kültür bahşederken, ben Fas&#;ta doğmakla Arapçayı ve o büyüleyici Arap-îslâm kültürünün temellerinin önemlice bir kısmım bilme ayrıcalığına erdim. îbrahimoğlu olduğum için Ibranice öğrendim ve Yahudiliğin ıralayıcı özellikleri olan insancılıkla, hoşgörüyle, evrenselcilikle yoğrulmuş derin düşünsel ve ahlâksal yapıyı iyice sindirdim. Ayrıca Mağrib&#;de doğu ve batı kültürlerinin koyarında yaşadım ve bir bakıma doğunun kaynaşan -ama öylesine ince- kafasını Dekartçılığın ve ussal düşünmenin derin kalıbı içinde bir düzene sokarak, bu kültürlerin biribiriyle uyumlu bir ilişki içindeki temellerini çabucak özümlemek istedim. Matematik tutkunu olduğumdan, sayılarla, bu karmaşık dizgenin temel kurallarım saptamamı sağlayan bir tanışıklığım vardı. Elimden az çok iş geldiği için, bu kitaba can veren sayısız çizimi, kaligrafiyi ve şekli, kimi kez bağışlanacağını umduğum çocuksu çizgilerle de olsa, resmetmenin altından kalkmayı öğrendim. Ayrıca, yıllar boyunca, bütün bildiklerimi kendilerine borçlu olduğum çok sayıda seçkin bilim adamının ortaya çıkardığı, çoğu kez yepyeni değerli bilgilerden, onların yüreklendirmelerinden, bir zamanlar karşılarında ders verdiğim dinleyicilerin sorularından ve okurlarımın heyecan verici eleştirilerinden, düşüncelerinden destek aldım. Editions Robert Laffont&#;un yardımlarından, gösterdiği titizlikten, yayıncım ve dostum Gérard Klein&#;ın sorularından, tavsiyelerinden, eleştirilerinden, bu kitabı değerli koleksiyonuna alarak beni onurlandıran, çalışmayı derinlemesine gözden geçiren ve eskisinden yola çıkarak yepyeni bir kitap hazırlamam için bana bu olağanüstü firsatı sunan Guy Schoeller in çoşkusundan, yüreklendirmelerinden söz etmeme bile gerek yok. Geçmişin bütün bu yankılan gösteriyor ki, çoğu kişinin teknisyen toplumumuzun silâhlan ve yöneyleri olduğunu söylediği bu kuru, cansız simgelerden çok başka birşey olan rakamlar, aynı zamanda düşün, düşlemin, metafizik kurgulamanın dayanağı, edebiyatın malzemesi, belirsiz geleceğin ya da en azından geleceği kestirme arzusunun iskandili olmuştur. Rakamların şiirsel bir özü vardır. Sözcükler kadar ya da hemen hemen sözcükler kadar, hem şairin gereci, hem saymanın ve bilim adamının aleti olmuşlardır. Ayrıca, rakamlar, sayılama sorununa getirilen çözümlerin çokluğu arkasında yatan evrensellikleriyle, yavaş yavaş ama emin adımlarla bugün her yerde baskın çıkmış olan bu çözüm yoluna doğru ilerleyen tarihleriyle, insan kültürünün derin birliğine, dillerin karmaşasından daha iyi, daha çok tanıklık eder. On

34 lara bakınca, toplumların ve tarihlerin şaşırtıcı bolluğu, neredeyse mutlak bir süreklilik duygusu karşısında silinir gider. Rakamlar insanın tüm tarihi değildir, ama şu Goethe&#;nin, İngiliz donanmasının bütün halatlarının bir ucundan öbür ucuna giden, tahta ait olduğunu kabul etmeden en küçük parçasını ayıramadığınız kırmızı ipi gibi, insanın tarihini baştan sona biraraya getirir, özetler. Rakamlar insanlıktan başka birşey değildir. Bunu da belki en iyi, onlan keşfetmeyi öğrenirken, çocuklar hisseder. İnsan ruhunun bu heyecan verici serüveninin sonunu bilen bizler için, insanoğlunun deneme-yanılmalarla, çıkmazlarla, unutuşlarla, vazgeçmelerle işaretlenmiş bu dolaşkan, el yordamıyla yürüyüşünün tıpkı bir sarhoşun sendeleyerek yürüyüşüne benzediği bir tarih, geçici yollarla, düşüp kalkmalarla dolu karmakarışık, kıpır kıpır bir tarihtir bu. İnsanların ve onların kendilerine özgü zekâlarının tarihindeki en baskın çizgilerden biri de bu değil mi? 1- Son tarihsel gelişmeler, en son kazıbilimsel keşifler ve halihazırdaki bilişim gerçekleri (de Seghers&#;de yayımlanan) ilk Rakamların Evrensel Tarihinde öne sürülen olguların ve çok sayıda düşüncenin sunuluşunu tamamen yeniden ele almaya itti beni. Uzun düşünme yıllarının ürünü olan şimdiki yapıt, onun bütünüyle gözden geçirilmiş, düzeltilmiş, büyütülmüş ve tamamen yeniden düzenlenmiş bir biçimini oluşturuyor. Gerçekte daha geniş açılı, daha ansiklopedik bir bakışla, çakıl taşlarından başlayıp dinlerden ve mistiklerden geçerek bilgisayara kadar giden sayı ve simge alanlarının oluşturduğu bu sonsuz mozayiğin sayısız oluşturucu öğesini kapsamayı amaçlıyor. Bu bakımdan da öncü oluyor. * Ortaçağda aritmetik, geometri, gökbilim ve müziği içeren dört bilimin adı (Çev.)

35 Birinci Kısım Rakamların Serüveni Ya Da Büyük Bir İcadın Öyküsü

36

37 1. Bölüm Sayıların Budunbilimi Ve Ruhbilimi: Kökenler Üzerine Bir Açıklama Sayı Bilgisinin Sıfır Derecesi Bir zam anlar insanların sayı sayabilmeleri gerekmiyordu. Onların kafasında sayı kavram ı, varsaym am ız olanaklıysa, maddî çokluğun bir çeşit dolaysız algısına indirgenen, nesnelerin yapısına ayrılm azcasına bağlı som ut bir gerçeklik görünümü taşıyor olsa gerekti. U zaktan atalarımızın, çok olasıdır ki, sayıları sayı olarak, yani, gün ile gece, bir çift tavşan, bir kuşun kan atlan ya da bir insanın gözleri, kulakları, kollan, bacaklan gibi kümelerin ortak bir özellik, tam ı tam ına iki olma özelliği taşıdığının bilincinde olması hiç gerekmeden, soyutlam a yoluyla tasarlayabilecek zihinsel yetenekleri yoktu. M atematik biliminin görece yakın çağlarda çok hızlı, çok şaşırtıcı gelişmeler gösterm iş olm asından, basit sayılam a sorununun m odem insan için çocuk oyuncağı haline gelmiş olmasından ötürü, bunu kabul etm ek güç gelebilir bize. Gerek küçük çocuğun d av ran ışlan üzerine yapılan incelemeler gerek çağdaş ilkel topluluklara ilişkin budunbilimsel çözümlemeler de bu yaklaşım ı güçlendirmektedir. Sayı ve Küçük Çocuk Aşağıda çerçeve içinde görüleceği gibi ( Hayvanlar sayı saymayı bilir mi?, s) kimi hayvan türleri sayı kavrayışıyla az çok donanmıştır: Soyut sayma yeteneğinden ayınlması uygun olan ve bizim daha iyi bir adlandırma bulunmadığı için sayı duyusu diyeceğimiz bir çeşit gelişmemiş dolaysız nicelik algılan vardır. Oysa, süt bebekliği döneminde, insan yavrusu bundan bile yoksundur.

38 Hayvanlar Sayı Saymayı Bilir Mi? Uzun zaman haksız olarak zekânın insana vergi olduğu, hayvanlara yalnız içgüdülerinin kılavuzluk ettiği düşünülmüştür; birtakım yaban hayvanlarının en olağanüstü kurnazlıkları bile, görece yakın bir döneme dek, hiçbir zekâ belirtisi göstermeyen doğuştan davranışlar diye görülmüştür. Gerçekte, çağdaş budunbilimcilerin, ruhbilimcilerin, toplumsal ruhbilimcilerin ortak çalışmalarının kanıtladığı gibi,üst hayvanlar somut sorunları çözme yetisiyle donanmışlardır. Örneğin, kamını doyurmak için kargaların dikkatini çekmek amacıyla ölmüş gibi yapan aç tilkiler filme çekilebilmiştir. Yine, tek başına avlanan Kenya aslanlarının, avlarını bir aslanın pusuya yattığı merkez bir noktaya doğru sürerken grup halinde avlanmaya başladıkları anlatüır. Üst maymunlar ise, yalnız alet üretmeye değil, sözlü olmayan bir simge kullanmayı gerekli kılan pratik deneylerden başarıyla geçmeyi öğrenmeye yatkındır. Elinin ulaşmadığı muzlara uzanabilmek için bambu kamışlarını biribiri içine sokarak uzun bir sınk yapan maymun örneğini verelim. Başka bir maymun ince uzun bir tüp içerisine sıkıştırılmış bir yemi çıkarmak için, kendi üzerine sarılmış bir demir teli düzeltmeyi akıl etmiştir. Kimileri de iki tur sağa, iki tur sola, sonra bir tur sağa gibi on kadar dönüşten oluşan karmaşık yollan izleyerek, karışık labirentlerden başarıyla geçebilmişlerdir. Hattâ kimi şempanzelerde somut durumlara bağlı soyut bir simgeleştirmeyi kavrama yeteneği görülmüştür: Her markanın rengine çok kesin bir anlam verilerek (bir marka muz, öteki üzüm, bir başkası su almaya, bir dördüncüsü kafese dönmek için bir kapıyı açmaya yanyor), maymunlara bir dağıtım aygıtından marka alıp gelmeleri öğretiliyor ve görülüyor ki bu hayvanlar her bir parçanın neye yaradığını çok iyi anlıyorlar; hattâ bazıları, karınlan doydu mu, ileride kullanmak üzere marka toplamaya başlıyor. Hayvan davranışlarının incelenmesi görece yeni bir alandır, ruhbilimcilerin inşam yalnız benzerleriyle karşılaştırarak değil, onu canlı varlıklar bütünü içerisine yerleştirerek de tanımlama isteğinden doğmuştur. Hayvan sabırlı, denetlenmesi kolay bir deney malzemesi oluşturur. Onunla, deney koşullanm sonsuza dek değiştirebilir, bunu uç sınırlanna dek götürebiliriz. Ustaca araştırmalar, hayvanın refleks davranışlarından başlayıp öğrenme, bellek, dil ya da akıl yürütme gibi karmaşık beyin işlevlerine dek neleri gerçekleştirmeyi başardığını gün ışığına çıkarmayı sağlamıştır. (monash.pw). Bu alan böyle bir sürü kolaylık sağlıyor. Hayvanlann birtakım özellikleri insanlarda da bulunduğu, insanın çok sayıda gizilgücü hayvanlarda zaten var olduğu için, türlerin evri

39 minde kullanılan modelleri izleyerek, insanın ruhsallığını, özdevinimlerden ve duygusal köklerden başlayan gelişmesini kavramakta değerli anahtarlar veriyor özellikle. Bununla birlikte, bu ortak noktalara sakımmla bakmak ve çok acele varılan sonuçlara güvenmemek yerinde olur, insanla hayvanı dizgeli olarak ve tamı tamına biribirine yaklaştırma düşkünlüğünün nereye götürebileceğini bilirsiniz. Sirk hayvanlan bunun ıralayıcı bir örneğini oluşturur. Bilgin denen bu hayvanlar hakkında, geçen yüzyıldan beri, verimli olduğu kadar ipe sapa gelmez de olan belli bir edebiyatın yandaşlarınca, ne akla gelmedik savlar ortaya atılmıştır. Kimileri sayıların biribirini izleyen düzgün sırasıyla, birden ona kadar kaç birim varsa o kadar ayaklarını vuran kimi köpekleri örnek vererek, bunlann sayı sayabildiklerini ve ona kadar sayılan kavrayabildiklerini ileri sürmüşlerdir. Ama efendilerinin yönetiminde pek çok kez havlayarak saydıklannı görünce, ya da daha iyisi, işitince, çabucak anlaşılır ki, bu yazarlar gizleme sanatında olduğu kadar hayvanlan eğitme sanatında da usta birkaç hokkabazın enayisi olmuşlar. Kimi yazarlar da, toplama, çıkarma, çarpma yapmakla kalmayıp problem çözebilen ve kare kök, küp kök hesaplayabilen^!) birtakım köpekleri, atlann ya da fillerin görülmemiş hünerlerini överek -üçkâğıtçılığa başvurup, okurlannı ustaca aldatmaya çalışmadılarsa- büyük bir saflık örneği göstermişlerdir. Hattâ, kimilerinin kafasında harfleri ve alfabeyi tanıma ve kullanma gücü bulunduğunu, bu hayvanlara gerektiğinde istedikleri şeyi bildirmek için yazı yazabildiklerini ileri sürmeye kadar vardırmışlardır işi. Bu lâkırdılara boşluğu ve çocuksuhığu öyle açık ki, üstünde durmaya değmez. Özellikle seyirciyi şaşırtmaya yönelik böyle numaralar gerçekte hayvan eğitimi alanına, en çok da üçkâğıtçılık alanına girer. Başka bir aşın örnek, yaptıklan ilk bakışta şaşırtıcı gelebilen, yabanansı adıyla bilinen böcek örneğidir. Ana an, diye anlatıyor T. Dantzig, yumurtalannın her birini bir deliğe bırakır ve yanlanna yavrulara yumurtadan çıkınca yiyeceği belli sayıda tırtıl koyar. îmdi, bu yabananlannm herbir türünde, bu tırtıllara sayısı dikkat çekici bir biçimde aynıdır: Kimi türler beş, kimileri oniki tane öngörür, kimileri ise delik başına yirmi beşe kadar gider. Ama en ilginç örnek erkeği dişisinden daha küçük olan, Genus eumenus denen türdür. Ana gizemli bir içgüdüyle şu yumurtadan erkek mi dişi mi çıkacağını her zaman bilir ve yiyecek deliklerini ona göre seçer. T ırtıllara ne boyunu ne türünü değiştirir; ama yumurta erkekse beş tırtıl, dişiyse on tırtıl koyar. Yabanansımn bu yaptığı son derece incelmiş olsa da, bir itiraz gelir dayatır: Yabanansımn davranışı bilinçli değildir; yapılan şey temelde böceğin yaşamı

40 nın genetik bir işleviyle ilgili bir sürece bağlı olduğundan, davranış tamamen böceğin özdevinimlerine dayalıdır. Buna karşılık şu örnek daha anlamlıdır: Görece daha basit koşullarda, evcil bir hayvanın, örneğin köpeğin, kedinin, maymunun, tanışık olduğu kısıtlı bir küme içindeki bir nesnenin kayboluşunu çabucak farkettiği görülür. Bazı türlerde, ana yavrularından birinin mi yoksa birkaçımn mı kendisinden alındığını bildiğini açık bir davranışla kanıtlar. Bu kez davranışın bilinçli olduğu ve sayı kavramının onlara hepten yabancı olmadığı açıkça görülür: Hayvan ikinci kez algıladığı, sayıca küçük bir biraradalığm, bir ya da birkaç oluşturucunun çıkarılmasıyla bir değişikliğe uğradığını bilmesini sağlayan doğal bir yatkınlık taşır. Bir ön öğretimden geçmiş bazı kuşlarda daha da belirgin bir yetenek saptanmıştır. Çok sayıda ustalıkla yapılmış deney, yiyeceğini iki küçük tahıl yığını arasından seçmeyi öğrenmiş bir saka kuşunun, genel olarak üçü birden, üçü ikiden, dördü ikiden, dördü üçten ve altıyı üçten ayırmayı başardığım göstermiştir. Ön öğretim olmaksızın birden üçe ya da dörde kadar giden somut nicelikleri açıkça tamyabilen bülbüllerin, saksağanların ve kargaların durumu daha da dikkate değer. İşte ünlü bir örnek: Bir şato sahibi şatonun gözetleme kulesine yuva yapan bir kargayı öldürmeye karar vermiş. Kuşu birçok kez ansızın yakalamaya çalışmış, ama o yaklaşınca karga yuvasını terkedip yakındaki bir ağaca konuyor, adam kuleden aynlır ayrılmaz geri dönüyormuş. Sonunda bir gün bir hileye başvurmuş adam: Arkadaşlarından ikisini kuleye çıkarmış; bir süre sonra biri çekip giderken öteki kulede kalmış. Ama bu oyunu yutmayan karga, yerine dönmek için İkincinin de gitmesini beklemiş. Sonraki sefer ikisi daha sonra uzaklaşacak olan üç kişi çıkılmış: Üçüncü adam kargayı yakalama fırsatı bulurum diye bekleyedursun, kanatlı kurnaz ondan çok daha sabırlı çıkmış. Deney birçok kez baştan alınmış, ama hep başarısız. Sonunda hilenin dört ya da beş kişiyle işe yaradığı, karganın aynı anda üç ya da dört kişiden fazlasının varlığını görsel olarak kavrayamadığı ortaya çıkmış. Bu davranışlar çok ilginç, çünkü hayvanlarda zaten bulunan insan güçlerinin modellerini oluşturuyorlar. Evcil hayvanlar örneğinde kümelerin eşitliği ya da eşitsizliği kavramının gelişmemiş bir çeşit algısı söz konusu, ama ancak sayıca düşük öbeklemelerde kendini gösteren bir algı. Saka kuşlarında kavram çok daha belirgin: Gerçi kuşun beyninde olup biten şeylerin doğrudan bir ölçümüne karşılık gelmiyor, ama burada artık bu şeylerin niteliğinin yalın bir algısı yok, eşitlik ve eşitsizlik duyusu da yok; bas

41 bayağı bir artı ya da eksi kavrayışı var. Bir de eğitilince, bu kuşlar (göreceğimiz gibi, belli bir eşiğin ötesinde bir ölçümü içeren) nicelik algısı ile, yalnız her türlü ölçümü değil, bu artı ya da eksi ölçeğini de dışarda bırakan nitelik algısı arasındaki ara algıyla, bir çeşit yoğunluk algısıyla donanmış hale geliyorlar. Bununla birlikte bu algı oldukça duyulur farklılıklarda kendini gösteriyor, çünkü kuş beş ile dördü, yedi ile beşi, sekiz ile altıyı, on ile altıyı her zaman karıştıracaktır. Başka deyişle, iki öbekleme arasındaki yoğunluk farkı yeterince çoksa (örneğin üç ile dört sırasındaki gibi), saka onu doğrudan doğruya algılar, ama azalınca bunu yapamaz hale gelir. Kargalar ise çok daha fazlasını yapabilir. Iralayıcı kurnazlıklarından, eşitlik ve eşitsizlik duyularından başka ve taşıdıkları belli bir yoğunluk duyusunu geliştirme olanağının bulunması dışında, bu kuşların, aynı yapıdaki öğelerden oluşmuş iki derlemin göreli önemini gerek uzay gerek zaman bakımından ayırdetme yeteneğiyle donanmış, hatırı sayılır bir bellekleri vardır. Bununla birlikte kargalar bizim gibi sayı saymazlar, çünkü soyutlama ve genelleme yetisinden yoksundurlar, dolayısıyla, ne olursa olsun mutlak bir nicelik tasarlayamazlar. Ama yine de kimi somut nicelikleri algılayabilirler. Daha önceki yatkınlıklardan çok daha fazlası, gerçek bir sayı duyusu söz konusudur burada. Demek ki, bazı hayvan türleri sayı kavrayışıyla az çok donanmışlardır, ama bu kavrayış dolaysız bir algıyla bir bakışta tanınabilen sayıya indirgenmiş bulunan çok dar sınırlar içinde kalmıştır. Gerçekte hiçbir hayvan sayı saymayı bilmez ve sayamaz, çünkü E. Goblot nun belirttiği gibi nesnelerin niceliğini niteliğinden ayıran bu soyutlama, insan zekâsına özgü bir özelliktir. Soyut sayma yetisi çok karmaşık bir zihinsel süreç gerektirir ve insan zekâsımn görece yakın zamanlardaki bir edinimidir. Gerçekten, hayvan zekâsı özünde pratiktir: Ancak somutta rahat eder. Hayvanlar, hattâ en gelişmiş olanları bile, diyor monash.pw, zihinsel edimlerinde duruma çok bağh kalırlar ve insana özgü şeyler olan geri çekilmeyi, uzak durmayı bilmezler. Hayvan ancak somut yetenekler gösterebilir. Kavramsal zekâ hayvan için özellikle kusur oluşturur. Çünkü bir hayvan soyutlama yapmayı bilmediği için, sözlü, tamamen simgesel bir malzemeyi kullanmaya yatkınlığı yoktur: Belli bir nesnedeki belli bir özelliği ayrıca ele almak üzere ayıramayacaktır

42 in san yavrusunun, hayvanların tersine, doğuştan çok az yeteneği olduğu doğrudur. Buna karşılık onda hayvanlarda bulunm ayan birşey vardır: in san yavrusu uygarlığın tüm fetihlerini aşam a aşam a özümleme, yeniden yaratma gücünü kendinde tohum olarak taşır. Çevresindeki (yetişkin ve çocuk) kişilerin, evriminin elverişli bir anında bir eğitim sayesinde ve uygun bir öğretimle geliştirmesini sağlayacağı kalıtımsal bir gizilgüçtür bu. Ama bu olanaklar ancak çocuk sürekli olarak toplumsal bir ortamla1ilişki içinde olursa, bu gerekli ve yeterli koşulla serpilip gelişebilecektir; çünkü P. Chauchard m dediği gibi, insan tamamlanmamış, olgunlaşmamış, yalnızca olanaklar bakımından zengin bir beyinle doğar; bu olanakları da, çevresindekileri taklit ederek geliştirmeyi öğrenecektir. Bununla birlikte, çocuğun bir yetişkinin küçük bir modelinden başka birşey olmadığını, bir tek yargıdan ve bilgiden yoksun olan sizin benim gibi bir insan olduğunu da sanmayalım. Çocuk ruhbilimi, tersine, kendine özgü düşünce yapısıyla, kendine özgü ruhsal yasalarıyla ve apayrı özgünlüğüyle ayrı bir dünyada yaşayan bir bireyin söz konusu olduğunu kanıtlamaktadır. Üstelik yetişkin o dünyaya giremez: Bir zamanlar kendi de çocuk olduğu halde, çocukluğuna ilişkin anılar yanıltıcı olduğundan, bu geçmişin yeniden kurulması yetişkinlere özgü bir düşünme biçimiyle, çok bulanık bir görüntüyle gerçekleştiğinden, geriye doğru işlem yapamaz. Ama çocukluk süt bebeğinin bir gün yetişkin haline gelmesi için zorunlu aşamadır. Koskoca bir hazırlanma ve yeniden yaratma çalışmasına karşılık gelir; insan zekâsının çeşitli gelişme aşamalarını barındıran, uzak atalarımızın çok eski çağlardan bu yana geçirmiş olmaları gereken evrimin biribirini izleyen aşamalarının kuşkusuz yeniden geçildiği çok uzun bir hazırlık dönemidir. insanın uyum sağlaması gerekecek karmaşık kültürel yapıları anlaması ve özümlemesi için bu uzun dönem gereklidir. Doğrusu, insan yetişkin çağında esnekliğini, (E. Claparede in dediği gibi) oluşmaya yatkınlığını yitirmiştir. Çocuk öğrenir, yeniden yaratır, yenilik yapar. Edinimleri sayesinde, geçmiş kuşaklardan aldığı miras sayesinde ilerlemeye yol açar. Çocuk hem sonuç hem önsözdür der A. Gesell. Gelişmenin aynı anda her alanda olduğu bu dinamik ve son derece zengin dönemde (eğitimcilerin de belirtmiş olduğu) üç büyük aşama görülür: Üç yaşına dek ilk çocukluk, üç yaşından altı ya da yedi yaşma dek ikinci çocukluk, ergenlikle sona eren üçüncü çocukluk. Çocuğun geliş

43 mesi ilerleyen bir farklılaşma süreciyle olur. Sütten kesme çocuğun anasından farklılaşmasını ve gerçeğin tam olarak bilincine varmasını sağlayan ilk ruhsal olgulardan biridir. Ruhdevimsel (psychomoteur) alanlarda (elin kullanımı, ayakta durmanın ve yürümenin öğrenilmesi) ve sözlü alanlarda (sözcükler, tümceler) gösterilen ilerlemelerle evreni genişler, ilgileri artar, düşünüşü sağlamlaşır. Üç yaşında kişiliğini keşfeder ve ben ya da beni-bana adıllarım kullanarak, kendini bilinçli olarak ötekinin karşısına koyarak bunu benimser. Bu andan başlayarak, edinimleri gittikçe daha hızlı bir ritmle olur. Ama insanın düşünsel ve duygusal gelişmesi düzenli, çizgisel bir modele göre olmaz ; bu gelişme her seferinde bir ilerlemeyi ve bütündeki yeni bir düzenlenişi içeren birtakım aşamalardan geçer. Piaget ye göre, çocuğun düşünsel gelişmesi çok belirli beş aşamadan geçer: 1- Çocuğun parça parça algılardan yola çıkarak nesne kavram ım ve başkalarının imgesinden ayrı olarak kendi benini oluşturduğu (doğumdan iki yaşına dek uzanan) bir sensorimotrice dönemi. 2- Temelde benm erkezli ve insanbiçim li bir düşünüşün ( Anne bak, ay peşim den geliyor! ) baskın olduğu (iki yaşından dört yaşına uzanan) bir hazırlık aşaması. 3- Akıl yürütm enin bulunm adığı düşünsel kavrayış dönemi, sezgisel dönem (dört yaşından yedi yaşm a dek): Çocuk düşünceyle açık bir biçimde tasarlayam adığı eylemleri gerçekleştirir, örneğin bir sıvıyı farklı biçimdeki bir kaba aktarm ak gibi (hacmin biçimle birlikte değiştiğini sanır). 4- B irtakım kavram lar (sınıf, dizi, sayı, nedensellik) edinmiş olmasına karşın, düşünmenin somuta bağlı kaldığı somut işlemler aşaması (dört yaşından onbir yaşına dek). 5- Biçimsel işlemler dönemi (onbir ile ondört yaş arasında, ergenlik dolaylarında ortaya çıkar). Düşünme soyutta işler, varsayım lar oluşturur, onları sın ar (N. Sillamy). Beşikteki yeni doğmuş çocuk çevresindeki dünyayı ancak ışık ve gürültü farklılıklarıyla algılar. Sonra nesneleri ve sesleri gittikçe daha seçik işitmeye başlar. A ltı ile dokuz ay arasında ise, bebek çevresindeki nesnelerin ve kişilerin kapladığı uzay hakkında, az ya da çok, belli bir toptan değerlendirme yapmayı öğrenir. Dünya ile tanışır, yavaş yavaş ilişkiler kurm ayı, çağrışım lar yaratm ayı, farklılık-

44 la n ya da benzerlikleri algılamayı öğrenir. Gerek yapısı gerek sayısıyla tanışık olduğu varlıkların ya da nesnelerin oluşturduğu görece kısıtlı öbekler tasarlar. Örneğin bu yaşta genel olarak daha önce biribirinden ayınlmış kimi benzer nesneleri tek bir öbekte biraraya getirebilir. Tanıdık küm elerin birin den birşey eksilirse, hem en farkeder. Ama bir parça nesnelerin bir niteliği gibi, yalın olarak duyumlanan ve algılanan sayıyı henüz soyut bir biçimde düşünm em ektedir. Asal sayılardan birini göstermek için on parmağını kullanm ak aklına bile gelmeyecektir. Dokuz ile onsekiz ay arasında, gittikçe ilerleyen bir biçimde, bir, iki ve birçok nesne arasında bir ayırım yapmayı, az sayıda varlıktan ya da nesneden oluşmuş iki derlemin biribirinden farkını bir bakışta görmeyi öğrenir. Ama sayısal yetenekleri henüz öyle dar sınırlar içindedir ki, sayılar ile o sayıların tam olarak sayısı olduğu derlemler arasında açık bir ayırım yapması olanaksızdır. Başka deyişle, çocuk doğal tam sayıların türeyiş ilkelerini (2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = ) kavram ak için yeterli gelişme derecesine ulaşmadıkça, sayılar onun için hiçbir zaman oynadığı öğelerin yapısından ayrılmayan kümesayılar dan başka birşey olmayacak, onları ancak yan yana getirme ilkesiyle (örneğin, birer birer sıralanmış nesnelerden oluşan iki öbeğin varlığıyla) tanıyacaktır. Bu dikkat çekici olguyu ben de birçok kez gözleme fırsatı buldum: Çocuk konuşmayı ve bütün asal sayılan adlandırm a yı öğrenir öğrenmez, başlangıçta genel olarak üç sayısını simgeleştirmekte büyük bir güçlükle karşı karşıya kalır. Elbette bir ile ikiden başlayarak, am a üçüncü sayıyı u nutarak sayar : Bir, iki, dört! Sağduyusu birden dörde kadar somut nicelikleri görsel olarak tanım asına olanak sağladığı halde, henüz soyut sayılar hakkında en ilkel bilgi aşam asındadır: Birlik, ikilik ve çokluk ile sınırlı olan aşama. Buna karşılık, bu aşamayı aşar aşmaz (Piaget ye göre, üç ile dört yaş arasında olur bu), kısa sürede sayabilecek durum a gelir: Bundan böyle, soyut sayı kavramının derlem lerin hemen hem en yalnızca algısal görünüm ü üzerindeki arta n egemenliğinde kaynağını bulan temel ilerleme gerçekten başlar. Böylece ona gerçek bir soyut hesap öğrenimine giden yol açı-

45 lir. Bundan ötürü, eğitimciler bu yaştaki küçük çocuğun hesap öncesi düşünsel aşamada bulunduğunu söylerler: Çocuk önce, özellikle de parm aklarına dayanarak, ona kad ar saymayı, sonra, sayı soyutlam asına ulaştığı ölçüde, sayı dizisini giderek a r ta n biçimde uzatm ayı öğrenecektir. İnsan Bedeni ve Aritmetik Öğrenimi Georges Duhamel, oğullarının çocukluğuna ilişkin küçük bir anı kitapta, Şam baba dedikleri B ernard ın, daha sayıların adlarım bile bilmezken, parm aklarım kullanarak, sayıların doğal sıralanm a ilkesini az çok nasıl bildiğini gösterir bize: Başlangıç hep güç olur. Şam baba kendince sıynlıverir güçlükten. Şöyle der: - Şeker alm aya geldim. Herkese birer şeker ver. - Kaç tane? - Bir, bir ve bir. Bu açık ise de, henüz gerçek aritm etik değildir. Derken, parm aklarıyla saymayı öğrenir. Ona kendi yaşı, M aryse in yaşı, Robert in yaşı sorulduğunda, yeterince tam olarak, şu ya da bu sayıda parm ağını gösterir. Bir el yetmez, ötekine geçer. Sonra birdenbire işler karm aşıklaşır: - Jacqueline kaç yaşında? Bir saniye düşünür ve yanıtlar: - Haa! Jacqueline için küçük ayak parm ağı gerekir! Bu arada aritmetik öğreniminde elin ve daha genel olarak bedenin oynadığı rolün apayrı önemini belirteceğiz. Bu aletin kullanım ındaki bir kusur çoğu kez bu öğrenimde ciddî karışıklıklara yol açar: Bebek küçükken parm aklarıyla oynar diye açıklıyor L. Weyl-Kailey. Bu onun bedenine ilişkin ilk kavramdır. Sonra dünyayla, özellikle de elleriyle tan ışm ak için herşeye dokunur. Günün birinde iyi birşey yaptığını sanan ve matematiğin dilediğince soyut olmasını isteyen bir öğretmen, çocuğa p armaklarıyla sayı saymayı yasaklar. Farkına varmadan, çocuğa kendi bedeniyle birlikte bedeninin m atem atikle ilgili bütün çağrışım larını da yasaklam ış olur. Benim önümde ellerini yeniden kullanabildikleri için rah atlay an kaç çocuk gördüm: On-

46 lann bedenleri kabul görmüştü Uzay-zamansal güçlükler de her türlü m atem atik çalışmasını engelleyebilir,den küçük ya da den büyük kavram larını kavram aktaki sıkıntı sayının kendisini, işlemleri ve bağıntıları da etkiler. Sayının birler hanesindeki rakam sağa, yüzler hanesindeki rakam sola yazılmalıdır: Sağı solu karıştıran çocuk sayılan yanlış yazacaktır ve bir işleme nereden başlayacağını zar zor bilecektir. H attâ yönünü bulm akta güçlük çeken öyle çocuklar vardır ki, karm akanşık bir biçimde, önce sağ uçtaki rakam ı, sonra sol uçtakini, sonra ortadakileri toplar ya da çarparlar. Kimi çocuklar da büyük rakam ı küçük rakam dan çıkanr ya da tersine, bir öyle bir böyle, yahut hiç ayınm gözetmeden işlem yapar. Demek ki çocuğun bedeninin kötü kabul edilmesi, sayıyı da, her türlü akıl yürütmeyi de karm âkanşık edebiliyor. Sayı ve Yaban Düşünce Çok sayıda çağdaş ilkel topluluk, kavram sal ve soyut görünüm üyle düşünülen sayıdan eşit ölçüde uzak görünm ektedir. Sayı gerçekten duyum lanm akta ve algılanm aktadır : Biraz bizim bir kokuyu, bir rengi bir gürültüyü ya da bir bireyin yahut dış dünyadan bir nesnenin varlığını algıladığımız gibi, niteliksel bir biçimde kavranır. Başka deyişle, bu yabanlar, doğrudan bir özne nesne ilişkisini izleyerek, görsel alanlanndaki görünüm değişikliğinden etkilenirler ancak. Soyut sayılan kavram a yetenekleri, doğal donanım lanm n bir bakışta tanım alanna izin verdiğiyle sınırlıdır. Ama bu onlann hiçbir nicelik düşünm edikleri anlam ına gelmez. Ancak, varlıkların ya da nesnelerin çokluğu niceliksel olarak değil, hiçbir tekil farklılık gözetmeden, niteliksel olara k hesaplanır. Böyle bir asal hesaplama hiçbir zam an soyuta yönelik değildir, elbette göz önünde bulundurulan kategorilerin yapısına göre değişiklik göstererek, hep somut bütünlerle ilgilidir. monash.pw-Bruhl ün açıkladığı gibi, "gerçekte, ilkel çok belirli ve yeterince kısıtlı sayıda varlıklardan ya da nesnelerden oluşmuş bir öbekle ilgilendi mi, o öbeği onu ıralayan herşeyle birlikte akimda tutar. O öbeğe ilişkin tasanm m da bu varlıkla-

47 n n ya da nesnelerin tam am ı bulunur: O öbeği ondan bir ya da birkaç fazlasını içeren öbekten ve ondan bir ya da birkaç eksiğini içeren öbekten ayıran bir nitelik gibidir bu. Ardından, bu öbek yeniden gözü önüne geldiğinde, ilkel onun tam olup olmadığını ya da eskisinden daha mı küçük daha mı büyük olduğunu bilir". Bir, İki Çok XX. yüzyılın başında, birçok ilkel 2 topluluk henüz soyut sayı bilgisinin bu sıfir derecesi ndeydi. Örneğin Güney Afrika daki Boşimanlar, O rta Afrika daki Zulular ve Pigmeler, Brezilya nın Botokudoları, Ateş Ülkesinin Kızılderilileri, Avustralya nın Kamilarayları, Arandaları, (A vustralya da York B urnu yarım adasının yakınlarındaki) M urray adaları yerlileri, Seylan ın Veddaları ve bir sürü uygarlaşmamış başka kültür böyleydi. I.B. Tylor a göre Brezilya Botokudolarınm dilinde tam ı ta mına iki sayı adı bulunuyordu; tek için bir ad, çift için bir ad. Bu sözcüklerden yola çıkarak, iki ve bir ve iki ve iki gibi birşey eklemleyip üç ve dört sayılarını dile getirmeyi b aşarıyorlardı. M ilyonlarca trilyon tü rü n d en nicelikleri tasarım lamak bizim için ne denli zorsa, bu halkın üyeleri için de dörtten büyük bir sayının açık bir tasarım ını oluşturm ak o denli zordu. Öyle ki, bu niceliğin ötesine geçince, kimileri, biraz da baştaki saçlar gibi sayısız dercesine, saçlarını göstermekle yetiniyordu. Yine, A. Sommerfelt e göre, A vustralya daki A randa kabilesinin üyeleri yalnız iki sayı adı biliyorlardı; bir için ninta ve iki için tara. Üç ve dört sayıları şöyle söyleniyordu: Tarami-nirıta ( iki ve bir ) ve tara-mi-tara ( iki ve iki). Ama Arandacanm sayı adları dizisi burada duruyordu. Ötesi belirsizlikti: Bunun için çok, birçok diye çevrilebilecek sözcükler ya da deyimler kullanıyorlardı. Bir tane daha: G. H unt a göre, M urray A daları yerlileri bir ile iki için netat ve neis sözcüklerini, üç ile dört için neis-netat (2+1) ve neis-neis (2+2) deyimlerini kullanıyorlardı. Ötesi için kalabalık gibi birşey söylüyorlardı.

48 Son olarak Torres Boğazının batısındaki bazı kabilelerden örnek verelim: A.C. Haddon a göre, bu kabilelerde mutlak niceliklerle ilgili sözlü anlatımların tamamı şunlardı: Urapun ( bir ), okosa ( iki ), okosaurapurı ( iki-bir ) ve urapurı-urapun ( iki-iki ); ötesi için çok anlamına gelen ras deniyordu. Sayılara ilişkin sözlü anlatımların bu apaçık yoksulluğu soyut sayılan tasarlamaktaki düşünsel bir zayıflığı da ele vermektedir. Kimileri, uygarlaştırma amacıyla birçok kez onlara bizim aritmetiğimizin temel öğelerini öğretmeyi denemiş, ama bu yerliler bizim sayı adlanmız aracılığıyla saydığımız gibi saymayı inatla reddettiklerinden, bu girişimler başansızlıkla sonuçlanmıştır. M. Dobrizhoffer bu olguyu özel olarak bir zamanlar şimdiki Santa Fe ve Chaco eyaletinde (Arjantin ile Paraguay dan Bolivya ya kadar) oturan Abiponlarda ortaya koymuştur: Aritmetik bilmemekle kalmıyor, ondan tiksiniyorlar. Bellekleri onlan genellikle yanıltıyor (çünkü tanışık olmadıklan işlemler yapmaya zorlanıyorlar). Saymak zorunda kalmaya katlanamıyorlar: Canlarını sıkıyor bu. Sonra da kendilerine sorulan sorulardan yakayı sıyırmak için, ister kendileri yanılıyor, ister soru soranı yanıltıyor olsunlar, herhangi bir sayıda parmak gösteriyorlar. Çoğu kez, sizin istediğiniz sayı üçü geçiyorsa, bir Abipon, parmaklannı gösterme zahmetinden kurtulmak için bağırır: Pop ( çok ), şik leyekalipi ( sayısız ). Yazar tamamen benzer olan Güney Amerika kültürlerini derinlemesine ele alıyor ve bu tanıklığıyla, bu ilkellerin, kendilerine öğretilen sayı adlarını ne yapacaklarını bilmediklerinden, bizim aritmetiğimizin soyutlamasının çok gerisinde kaldıklannı gösteriyor: Güney Amerikalılar, Abiponlar gibi, kendilerine sayısı dördü geçen nesneler hakkında soru sorulduğu zaman hemen yanıtlıyorlar: Sayısız. Genellikle onlara müzik, resim, heykel öğretirken aritmetiktekinden daha az sıkıntı çektik. Hepsi sayılan İspanyolca dile getirmeyi biliyor; ama sayı sayarken o kadar sık kanştmyorlar ki, böyle konularda onlara inanmak sözkonusu olduğunda çok kuşku duyabilirsiniz. Bizim soyut açıdan gördüğümüz sayılar elbette bu yerliler için kullanmayı bilmedikleri, zaten gerek de duymadıklan bir alet oluşturuyordu. Ama aleti kullanmaya gerek duymamalarının nedeni, özellikle, onlar için çok çok karmaşık oluşuydu. Haksız de değiller: Sayılar her zaman insanlann ulaşabildiği kavramlann en soyutlan arasında yer alır. Zaten sözcüklerin, harflerin ve rakamlann öğretimi arasında

49 oldukça geniş bir zaman aralığına yayılan ve çocuklarımız için en büyük güçlükleri taşıyan da bu sonuncusu değil mi? Tarihsel açıdan: Dil, yazı ve aritmetik arasında, insanlığın özümlemekte en çok sıkıntısını çektiği, kuşkusuz bu sonuncusudur. Sayı Duyusundan Daha Güçlü Bir Duyu Bununla birlikte, bu toplulukların elinde temel bir aritmetik kuralı vardı ve dörtten sonrasına düzgünce uygulandığında çok daha yüksek sayılara ulaşmayı olanaklı kılabilirdi. Buna ikili taban ilkesi diyoruz: Gerçekten, bu ilkeye uyarak, beş iki-iki-bir diye, altı iki-iki-iki diye, yedi iki-iki-iki-bir diye dile getirilemez miydi? Bu yerlilerin soyut sayılar hakkında henüz en ilksel bilgi aşamasında, bir ve ikiyle sınırlı olan aşamada bulunduklarım unutmak olurdu bu diye yanıtlar tam olarak L. Gerschel. Çünkü bu ilkeller, sayı olgusunda, yalnız teki ve çifti tasarlıyorlardı. Torres Boğazının batı bölgelerinde yaşayan kabilelerin üyelerini gözleme fırsatı bulmuş olan A.C. Hadolun, bu kabilelerde ikili öbeklerle ya da çift çift saymaya yönelik belirgin eğilimi saptamıştır. Bu olguyu aynı şekilde birçok Pasifik topluluğunda M. Codrington da gözlemiştir: York Dukalığı adasında çift çift sayılır ve çiftlere taşıdığı sayıya göre farklı adlar verilir. Polinezyalılanfı usûlü ise, diye ekler, şu kadar nesnenin değil, şu kadar çiftin söz konusu olduğunu sezinleten sayılar kullanmaktı. Başka bir tanıklık, Avustralya kabileleri hakkında Curr un çalışmalarını anan T. Dantzig in tanıklığıdır. Dantzig bunların çoğunun çifter çifter saydığını söyler ve şu çok ilginç değiniyle sözünü tamamlar: Bu yerlilerde bu alışkanlık öyle kökleşmiştir ki, yedili bir sıradan iki iğnenin kaldırıldığını nadiren farkederler, ama bir tanesi çıkarıldı mı hemen görürler. Bu yerlilerde demek ki çiftlik duyusu sayı kavrayışlarından çok daha güçlüydü. Üç ile dördü (soyutlayıcı bakışla kavramadıkları, ama sağduyularının görsel olarak, yani bir bakışta tanımalarım sağladığı sayıları) dile getirmek için bu çiftlerin kavramlarından başka birşeye başvuruyorlardı; yalnızca tek ile çifti, sonra da çifti kendiyle yan yana koyuyorlardı. Bizim için üç ve dört diye gösterdiğimiz zaman tamsayı özelliği kazanan iki-bir ve iki-iki nin kavramları onlar için çiftler oluşturuyordu. Buradan itibaren -bu yerliler ancak ayrı bir öğeyi ya da bir çift öğeyi tasarlayabildikleri ve adlandırabildikleri için-

50 nasıl olup da, sırasıyla ve diye çözümlendiğinde, üç öğeli diziler halinde sergilenecek olan beş"in ve altının kavramlarına ulaşabildiklerini anlamakta güçlük çekeriz. İlkel Kültürler ve Uygar Toplumlar Buradan yola çıkıp, bu insanların zihinsel etkinliğini bizimkinin gelişmemiş bir biçimi olarak, insan türünün ilk örneklerinin varsayılan durumünun evrimleşmemiş bir biçimim karşımıza çıkaran çocuksu bir durum, neredeyse bir hastalık durumu olarak görmeye varmak için, geçmişi inceleyen birtakım budunbilimciler ile toplumbilimcilerin, ilkel sözcüğünü harfi harfine alarak atmakta sabırsızlandıkları tek bir adım kalmıştı. Uzmanlar (zaten kendisi de tamamen uygunsuz olan) ilkel terimiyle, uygarlığımızın kültürel katkısını görmemiş insan topluluklarının üyelerini adlandırırlar bugün; uygarlığımız iyice içimize işlemiş olduğu için de, bu adlandırma çok açık gelir bize. Aslında böyle bir zihin yapısı zekâdan hiç de yoksun değildir: Herşeyden önce çok gelişmiş bir mantığı ve belli bir dereceye kadar bir kavramlaştırma eğilimi vardır. Fransız budunbilimci C. Lévi-Strauss, Yaban Düşünce adlı yapıtında bunların değerim ortaya koymakla kalmamış, bizim uygar topluinlanmızın birtakım düşünme ve anlatım biçimleriyle bağını da göstermiştir. Daha önce vurgulandığı gibi, her kim bu ilkel kültürlerden birini incelemek isterse, onlann metafizikleri, kendi dünya anlayışları içine girmedikçe ve onlann zihinsel yapısını bizimkiyle kökten bir biçimde karşı karşıya koymaktan vazgeçmedikçe, geçerli sonuçlara ulaşmayı beklememelidir. Çünkü çok eski çağlarda donup kalmış bir durum olmak şöyle dursun, bu insanlann kendi tarihleri olmuştur ve belli bir anlamda, kendilerine özgü olan ve hep kendiyle tutarlı kalmış bir dizgeye uygun olarak kendi felsefelerini kurmuşlardır kafalannda. Bunun için bu insanlara ilkel terimini yüklerken her türlü gerekli önlemi almalıyız. Ağır olduğu kadar haksız da olan değer yargılan saçanz ortalığa; bir zamanlar bu insanlan sırf uygar denen toplumlarla aynı yaşam biçimini, aynı ölçütleri, aynı düşünme biçimlerini paylaşmıyorlar diye hemen hemen horgörüyle geri toplumlar diye nitelerken yapıldığı gibi.

51 ileri denen çok sayıda halk, aslında, çok daha az evrimleşmiş toplumlarda bulduğumuz gerekçelerle, ilkel diye nitelenebilecek birtakım ıralayıcı özellikler gösterir. Tersine, ilkel" diye yargılanan toplumlar, sırf avadanlıklarının ve yaşama araçlarının genel özelliklerine verdikleri önemden ötürü, çok daha ileri diye, sıfat olmayan bir sıfatla düşünülen topluluklarda bulamayabileceğimiz görece eksiksiz teknikleri son derece iyi kullanabiliyorlar. Bugün, geçmiştekinin tersine, uygar toplumlar ile ilkel toplumlar kökten bir biçimde karşı karşıya konmuyor artık: Modem dünyanın büyük düşünce akımlan gösterdi ki, uygar denen insan gizemli düşünceden her zaman tamamen kurtulmuş değil ve büyük ortaklaşa mitoslar kimi zaman tek tek insanlann kafasını boyunduruğu altında tutmaya devam ediyor. Sayılan Doğrudan Algılamanın Sınırlan Kendimizi sayıları dolaysız tanımayla ilgili doğal yetilerimizin kılavuzluğuna bıraksaydık sayı alanında çok daha iyisini yapabilirdik diye düşünmek pek hatalı olurdu. Uygulamada şu ya da bu niceliğin aynmına varmak isteğimizde belleğe ya da karşılaştırmaya, bölümlemeye, zihinsel öbekleme, yahut daha iyisi, soyut olarak sayma yetisine başvururuz. Öyle ki, bu konudaki yatkınlığımızın gerçek sınırlanmn bilincine varmak bizim için genellikle zor olur. Yine de, karşımıza yan yana duran bir dizi benzer varlık ya da nesne koyup tek ve çabuk bir bakışla (yani hile kanştırmadan) bunlann kaç tane olduğunu söylemeye çalışalım. Kaça kadar gidebiliriz? ilk bakışta ve hatasız olarak bir, iki, üç, hattâ dört öğe seçeriz. Ama sayılan ayırdetme gücümüz orada durur. Çünkü dördün ötesinde kafamızda herşey karmakanşık olur ve toptan görünüşün bize artık hiçbir yardımı dokunmaz. Şu yığında onbeş tabak mı yirmi tabak mı, cadde üzerine sıralanmış onüç araba mı ondört araba mı, şu çalılıkta onbir çalı mı oniki çalı mı, şu merdivende on basamak mı onbeş basamak mı, şu cephede sekiz pencere mi altı pencere mi var? Bunları bilmek için saymak gerekir. Göz, deyim yerindeyse, yeterince kesin bir ölçü aleti değildir; sayılan dolaysız algılama gücü dört sayısını çok ender olarak aşar (hiç aşmaz demiyorum).

52 Şekil Dolaysız sayı algımız tek ve çabuk bir bakışla bir kümenin bir, iki, üç ya da dört öğe içerdiğini bilmeyi sağlar; ama dörtten büyük nicelikler için, dolaysız çokluk algımız bize bu konuda bilgi verecek durumda olmadığından, göz önünde bulundurulan her derlemin öğelerini saymamız (ya da karşılaştırma yahut zihinsel öbekleme gibi başka yapay yöntemleri işe karıştırmamız) gerekir. Bu olgunun ilk doğrulaması, Okyanusya da, tekil, ikil, üçül, dördül ve çoğul gramatik biçimlerle çekim yapma alışkanlığı olan birçok kabilenin varlığıdır. Bu insanlarda ortak adlan bireyselleştirme yeteneği dörtle sınırlıdır. Gerçekten, dörde kadar, varlıklann ya da nesnelerin adlan onlann dillerinde açıkça ifade edilir ve herbirinin kendine özgü bir özelliği vardır; ama dörtten sonra, sayılar gibi adlar da çekimden ve kişilikten yoksundur ve maddî çokluğun belirsiz, kötü dile getirilmiş özelliğini kazanırlar. Bu biraz bizim Fransızcada, bir eşek için baudet, iki eşek için baudeta, üç eşek için baudeti, dört eşek için baudeto, eşekler için baudets (sonda bir s ile) gibi şeyler.söyleyerek, bir, iki, üç, dört ve birçok eşek arasındaki farkı dile getirmemiz gibidir. Başka bir örnek: Latincede yalnız ilk dört sayı adının (unus, duo, très, quatuor) çekimi yapılır: Beşten itibaren, sayı adlannın ne çekimi ne cinsi vardır. Aynı şekilde Romalılann bir âdet olarak erkek çocuklanna (o çağda kızlara ön ad verilmezdi!) verdikleri ön adlar dördüncü çocuğa kadar

53 (dört dahil), örneğin Appius, Aulius, Gaius, Lucius, Marcus, Servius gibi olağan bir biçimde verilmiş özel adlardı. Buna karşılık, beşinciden itibaren oğullarını yalın numaralarla çağırmakla yetiniyorlardı: Quintus (beşinci), Sextus (altıncı), Octavius (sekizinci), Decimus (onuncu) ya da hattâ Numerius ( birçok ). Burada örneğin çözümlemeci Quintus Fabius Pictor u, şair Quintus Horatius Flaccus u, Sextus Pompeius Magnus u (Büyük Pompeius un oğlu) ve asıl adı Decimus Junius Juvenalis olan hiciv şairi Juvenal i düşünelim. Yine, eski Roma yılında (Romulus denen yıl) yalnız ilk dört ayın özel adı (Martius, Aprilis, Maius, Junius) bulunduğuna dikkat çekilmiştir; çünkü beşinciden itibaren ay adlan artık yalnızca sıra numaralanydı: Quintilis, Sextilis, September, October, November, December3. Teklik oluşturan benzer çizgileri ya da imleri gerektiği kadar yineleyerek istenen bir sayıyı göstermekten ibaret olan sayısal işaretlemeyi kullanmış olan ya da hâlâ kullanmakta olan herkesin yaptığı da bu temel ruhbilimsel yasanın son bir doğrulamasıdır. Bir şarap satıcısı ya da bira fabrikacısı müşterilerin henüz ödenmemiş tüketimleri kadar çizgiyi bir mukavva parçası üzerine yan yana çizerek veresiye hesabı tutarken, bu işlemi genellikle aşağıdaki çizge usûlünün biribirini izleyen aşamalanna uyarak gerçekleştirir. 1 I 2 II 3 III 4 IHI 5 4HI- 6 I 7 4 H t n 8 -HH- III 9 4JH- IIII 10 -HH- IH t Şekil H İ 4 H t I 12 -HH- -HH- II 13 4 t tf 4» III 14 H i t 4 f f t IH I 15 4 «* 4H1 4 H t Puanlannı bir kağıt parçası üzerinde toplayan iskambil oyunculannın ya da hücrelerinin bir duvanna hapiste geçen günleri kadar çizgi çizerek kalan günlerinin hesabını tutan mahkûmlann yaptığı da tamı tamına budur sayfalardaki tablolarda kolayca görüleceği gibi, Yerküre halklannın çoğu, tarihlerinin belli bir anında bu tür işaretlemeyi kullanmışlar ve onlar da dördün (IHI) ötesinde, beş çizgili (IIIII), altı çizgili (IIIIII), yedi çizgili (IIIIIII) ya da daha fazlasını içeren bir diziyi hiç kimsenin bir bakışta okuyamadığını saptadıktan sonra güçlüğü aşmaya çalışmışlardır.

54 MISIR ARAMÎLERl (Elephantine dizgesi: M.Ö. V.-III. yy.) t tt m \ \ 0 0 t ( t * f n t t t f % 9 Şekil MEZOPOTAMYA ARAMÎLERl (Hatra dizgesi: Hıristiyanlık çağının başlangıcı) 1 II III m ı > l> ı ı > \\\> HU > Şekil SURİYE ARAMÎLERl (Palmira dizgesi: Hıristiyanlık çağının başlangıcı) t 1/ m y / y / / / p /y -< -- w y < GİRİTLİLER (Hieroglif dizgesi: M.Ö. II. binin ilk yansı) Şekil )» m» W M»y*» i m m» »»> * 8»»» Şekil GİRİTLİLER ( Çizgisel dizge: M.Ö ) 1 II III m ı V / III III İ l i l III İlil m ı l l l l l ı ı ı ı I ısı IIBI lllll i 1 M I H I

55 MISIRLILAR (Hieroglif dizgesi: M.Ö. III.-I. binler) 1 N I I I HM M i l m ı ı ı t f l İ l i İ H I «I I I I I I I I I I I m ı I I I s Şekil ELÂMLILAR ( Proto-Elâm dizgesi: İran, M.Ö. III. binin ilk yansı) B 1 «m «w m m I I I u m t e M ^ < j t 9 ETRÜSKLER (İtalya, M.Ö. VI.-IV. yy.) Şekil I I I I I IN I A I A J! A i i i a < I I I I A Şekil YUNANLILAR (Epidauros, Argos ve Nemea dizgesi: M.Ö. V.-II. yy.) Şekil YUNANLILAR (Troezena, Khalkidike, Taurike Kersonesos dizgesi: M.Ö. V.-II. yy.) * II (pi), IIENTE (pente) beş in ilk harfi. c c c CC( m r n ^ O l > r«r n # n c.d«. n«< n«<l

56 YUNANLILAR (Thebai, Orkhomenes, Karistos dizgesi: M.Ö. V.-I. yy.) * II (pi), IIENTE (pente) beş in ilk harfi. 1 II I I I m ı p # D n ı P i l i > m u Şekil HARAPPALILAR ( Ön-Hint dizgesi: Indüs uygarlığı, M.Ö ) 1 II İM MU u ıu ııın ı m m İl II m n III III UM m u n u n # / / / / ı / ıı m n / / / Şekil HiTİTLER (Hieroglif dizge: Anadolu, M.Ö ) 11 II m ı t ı ı m I I I!!! »! OİİIISI0 i l i m OD I I P l IV I t î f i m Şekil I I I I II I I I LÎKYALILAR (Küçük Asya, M.Ö. 1. binin ilk yansı) 1 I I I I I m ı J L L \ > LİDYALILAR (Küçük Asya, M.Ö. VI.-IV. yy.) Şekil Z i l l i 1 II III İ H I III III 1 III III ^ III I II I II I I I g 9

57 MAYALAR (Kolomb öncesi Orta Amerika, M.S. III.-XIV. yy.) &#; l I MEZOPOTAMYALILAK (Arkaik Sümer dizgesi: M.Ö. III. binin başı) Şekil V V V C? 2 00 Ü u B ö 0 B B OD O B P 0 B B O B 0 0 B t B P H D o e o D» i 9 MEZOPOTAMYALILAR (Sümer çivi yazısı dizgesi: M.Ö ) Şekil T TT TTT f w M w Tyr MEZOPOTAMYALILAR (Asur-Babil çivi yazısı dizgesi: M.Ö. II.-I. binler) nry t r t r Şekil T TT TTT, Y 7 f f MÎNALILAR ve SABALILAR (Güney Arabistan: M.Ö. V.-I. yy.) 1 II III m ı V Şekil O B Y v r y i» I y i m *Güney Arap harfi U (ha) y&ı"ıx (hamsat) "beş&#; in baş harfi Şekil FENİKELİLER (M.Ö. VI. yüzyıldan itibaren görülmüş dizge) 8 il lil MİS 0! III III ıı ııı sn DI III M ııı rıı sî;

58 URARTULAR (Hieroglif dizge: Ermenistan, M.Ö. XIII.-IX. yy.) oo o O 0 f o oo ooo oooo oo o oo o o o o O 0 oo o oo o 0 ooc 0 o s? ooo o o So o 0 o o o o o o I Şekil Özetleyelim: Bu tarihin başlangıcında, insanlar ilk dokuz sayıyı, biraz aşağıdaki gibi, gerektiği kadar çizgiyi, yuvarlağı, noktayı ya da teki temsil eden başka benzer imleri biribiri ardına yerleştirerek yazmaya başladılar: i ıı m iiii um inin inini ninni mıımı Şekill Ama biribirinin aynı imlerden oluşan böyle diziler, acelesi olan bir okurun gözüne teklerin doğrudan doğruya toplanmasında kolaylık sağlamadığı için, bu ilke, en azından 4 ten büyük sayılar için, çabucak terkedildi. Bu güçlüğü yenmek için, kimi halklar (örneğin Mısırlılar, Sümerler, Elamlar, Giritliler, Urartular ya da Yunanlılar) 5 ten 9 a dek sayılar için, ikiye bölerek gösterme diye adlandırılabilecek bir ilkeye uyarak, rakam-birimleri öbeklemeyi akıl ettiler: i ıı m mı i i i m ii i i im nm ı ı i i i i i i m ı m ı (3 + 2) (3 + 3) (4 + 3) (4 + 4) (5 + 4) Şekil Kimi halklar da (Örneğin Asur-Babilliler, Fenikeliler, Mısır Aramileri ya da Lidyalılar) sorunu üçlü bir ilke ye başvurarak aştılar: Kimi halklar ise (Örneğin Yunanlılar, Minalılar, Sabahlar, Likyalılar, Mayalar, Etrüskler ya da Romalılar) beş için özel bir im düşünerek -ola ki elin beş parmağının etkisiyle-, sonra da dörtlü bir ilkeye uygun işlem yaparak bir çözüm buldular (6 = 5 + 1, 7 = ).

59 III III III m III m I II III III III III I II m (3 + 1) (3 + 2) (3 + 3) ( ) ( ) ( ) Şekil Bu koşullarda hiç kuşku yok: İnsanın sayıları dolaysız algılama yetileri dört sayısını aşmıyor! Birtakım hayvanlannkini zar zor geçen, çok ilksel bir sayısal yetenek: İşte şimdiki aritmetiğimizin ilk çekirdeği kuşkusuz bu. Hiç kuşku yok ki, insan ruhu bir tek bu yatkınlığa indirgenmiş olsaydı, hesabın soyutlamasına bu hayvanlardan daha fazla ulaşamazdı. Ne mutlu ki, insanoğlu belli sayıda zihinsel işlemler icat ederek çok sınırlı olan doğal olanakları genişletebilmiştir. Bu işlemlerin çok verimli olduğu görülecektir, çünkü insanoğluna sayıların ve matematiğin evreninde ilerleme olanağını vereceklerdir. Saymayı Bilmeden Bir Nicelik Hesaplanabilir mi? Somut nicelikleri doğrudan ayırma gücümüz demek ki dört sayışım çok nadiren aşıyor. Bundan ötürü, dörtten büyük şu ya da bu niceliğe ulaşabilmek için, zihnimiz yalnızca sayı duyumuna başvurmaz: Uygar in sanın ıralayıcı özelliği olan soyut sayma yolunu işe karıştırır. Ama bizim düşünmemizi ve her an saymayı (bizim anladığımız anlamda) işe karıştırmamızı sağlayan yetenek olmadığında, insan kafasının ne olursa olsun bir sayısal işlem yolu bulmasını yasaklayan son derece büyük bir zihinsel yoksulluk içerisinde bulunduğu sonucunu mu çıkarmamız gerekir? Böyle bir kafa elbette bizim tanışık olduğumuz zihinsel işlemlere pek yatkın olmayacak, örneğin bizim (genelleyici soyutlama yoluyla) bir, iki, üç, beş, altı, on adlan altında bildiğimiz kavranılan kullanmayacaktır. Ama bundan, söz konusu kafanın birtakım durumlarda şu ya da bu somut toplamı bulmasını sağlayan özel bir sayı tekniği bulmaya hiç yatkın olmadığı sonucunu çıkarmak haklı mı? Kesinlikle değil. Gerçekte, insanın, yüzyıllar boyunca, birçok sayıya daha onlan soyutlama açısından tasarlayabilecek durumda bile değilken ulaşmayı bilmiş olduğunu kestirmemize izin veren çok iyi gerekçeler var.

60 Afrika nın, Okyanusya nın, Amerika nın çeşitli bölgelerinden gelen çok sayıda budunbilimsel belgenin çözümlenmesi, birçok çağdaş ilkel topluluğun birtakım işlemleri gerçekleştirmelerini bir ölçüde sağlayan özel sayısal teknikleri bulunduğunu açığa vurmaktadır. Bu insanlar kendilerine özgü olan -ve bizimkiyle karşılaştırıldığında somut diye niteleyebileceğimiz- yollarla, her türden aracı malzemenin (çakılların, kavkıların, aşıkların, sert meyvalann, kurumuş hayvan dışkılarının, çomakların, kemik ya da ağaç kertme usûlünün) yardımına başvurarak, hiç değilse bir noktaya kadar, aynı sonuçlan elde etmeyi gerçekten bilirler. Bizimkinden çok daha güçsüz (kimi kez de çok daha karmaşık) işlemler söz konusudur, ama, örneğin, yola çıkan hayvan kadar hayvanın geri dönüp dönmediğini saptamak söz konusu olunca bu işlemlere güvenilebilir. Bunun için düşünsel bakımdan sayma oyununu tasarlayabilecek durumda olmak hiç gerekmez. Tarihin tik Aritmetik İşlemi Gerçekte herşey birebir uygunluk denen ve en kalın kafalılara bile, aynı yapıda olsun olmasın iki varlık ya da nesne derlemini, soyut olarak saymaya bile başvurmadan, kolayca karşılaştırma olanağını sağlayan oyunla başlamıştır. Yalın bir örnek, halen bütün sağın bilimlerde egemen olan ve bize aritmetiğin tarihöncesinden gelen bu işlemle tanışıklık kurmamıza yetecektir. Bir otobüse binelim. Ayrıcalıklı bir yeri olan sürücünün dışında, önümüzde iki küme bulunmaktadır: Koltuklar ve yolcular. Tek ve çabuk bir bakışla, bu iki kümenin aynı sayıda öğe içerip içermediğini bilebiliriz; öğeler aynı sayıda değilse, hangisinin daha çok öğe taşıdığını duraksamadan belirtebiliriz. Saymaya başvurmadan yapılan bu toptan sayı değerlendirmesi birebir uygunluk işlemiyle daha iyi aydınlığa kavuşturulur. Gerçekten, bu otobüste boş yerler varsa ve kimse ayakta değilse her yolcuya bir koltuk düştüğünü, ama her koltuğa ille de bir yolcu düşmediğini biliriz: Koltuktan daha az yolcu var. Tersine: Bilileri ayaktaysa hiçbir koltuk boş değilse, koltuktan çok yolcu vardır. Üçüncü durum: Kimse ayakta değilse ve hiç boş yer yoksa, biliriz ki, her yolcuya bir koltuk düşüyor, her koltuğa da bir yolcu; demek ki, koltuk kadar yolcu var. Bu son durum bu otobüsün koltuklan ile yolculan arasında bir

61 Şekil Bir derlemin her öğesine öteki derlemin tek bir öğesi (ve tersi) düşüyorsa, o derlem ile öteki arasında bir karşılıklılık vardır. karşılıklılık (ya da iki yönlü uygunluk yahut modem matematik terimiyle eşlev) bulunduğunu söyleyerek özetlenebilir. Küçük bir çocuk onbeş ya da onaltı aylık olduğunda, çevreleyen dünyayı yalın olarak gözleme aşamasını aşmış demektir. Birebir uygunluk ilkesini ve özellikle karşılıklılık niteliğini de kavrayacak durumdadır. Ona örneğin küçük sandalyeler ve onların sayısınca bebek verelim; olasıdır ki, her sandalyeye bu bebeklerden birini yerleştirdiğini görürüz. Bu şekilde oynarken, ilk derlemin öğeleriyle (bebekler) ikinci derlemin öğeleri (sandalyeler) arasında bir karşılıklılık kurmaktan başka birşey yapmayacaktır. Buna karşılık ona sandalye sayısından daha çok bebek (ya da tersi) verelim; kuşkusuz görürüz ki, bir süre güçlük çektikten sonra, bir karşılıklılığın olanaksız olduğunu saptayacaktır. Ama bu düşünce oyunu, iki öbekleme arasında bir karşılaştırma yapmayı sağlamakla kalmaz, saymaksızın, hattâ söz konusu nicelikleri adlandırmadan ya da bilmeden birçok sayıya ulaşmayı da sağlar. Bir sinema salonunun oturulacak yerlerin sayısından daha fazla seyirciyle dolmasını engellemek için, kasa görevlisi biletleri satışa çıkarmadan önce bir salon planını yanında bulundurmak gibi bir önlem alır. Elindeki plan üzerinde gösterim salonundaki koltuk sayısı kadar kutu vardır. Sattığı her biletten sonra bir kutunun içine çarpı işareti koyar. Bunu yapmakla, ilkin salonun koltuklarının elindeki planın kutularıyla, ikincileyin, elindeki planın kutularının satılan biletlerle, son

62 olarak da bu biletlerin salona alman seyircilerle karşılıklılığım kurar. Satılan biletlerin sayısını tek tek saymak istemeyecek ölçüde tembelse, üç kez uygulanmış olan bu temel yöntem, işlemin sonunda dolu yazışım asmasma kuşkusuz izin verecektir. Müslümanların, Allah ın niteliklerini dile getirmek ya da yine namazdan sonra onun sanlarım ezbere söylemek için, her tanesi tanrısal bir niteliğe ya da bir sana karşılık gelen bir tespih kullanma adeti vardır. Bu tapınma nesnesi, gerçekte, bu sanları ezberden söyleme ya da Allah ın niteliklerini belirtme sırasında parmaklar arasında kaydırılan, ipe dizilmiş boncuklardan oluşan bir kolyedir. (Şekil ) Aynı uygulama Budistlerce de çoktan beri bilinir. Ona Pater Nosterleri, Gloria Patrileri, Ave Marialan söyleyen Hıristiyanlarda da rastlarız. Bu duaların her birinin çok belirli olan sayılarına göre birçok kez okunması gerektiğinden, Hıristiyan tespihi genellikle, daha büyük bir taneyle biribirinden ayrılan elli kadar küçük tane içeren bir kolyeden ve önce bir büyük tane ve üç küçük tane, sonra bir büyük tane ve bir haç içeren bir zincirden oluşur. Böylece bu dualar sayılarım saymadan ve hiçbirini unutmadan okunur: Kolyenin her küçük tanesi üzerinde bir Ave Maria, her onluğun son tanesi üzerinde bir Gloria Patri, her büyük tane üzerinde bir Pater Noster okunur. Böylece bu dinler, birebir uygunluk ilkesi sayesinde, inananların Tann nın adlarını sayarken, ya da kutsal yakarışlarım tekrar tekrar yinelerken şaşırmalarını engelleyecek bir dizge geliştirmişlerdir. Bu ilkenin kimi zaman en uygar kişilerin de işine yaradığım görürüz. Ayrıca tamamen kültürsüz insanlar için de çok büyük bir yararlılık gösterebilir. Şekil Müslümanların Allah ın 99 niteliğini dile getirmek (ya da ek sanlarını saymak) için tespih (Arapçada: Sübha ya da Sebha) kullanması. Hacıların ve dervişlerin her zaman elinde bulunan bu tespih ipe dizilmiş, parmaklar arasında kaydırılan (ağaçtan, sedeften ya da kemikten) boncuklar kümesidir. Çoğu kez daha büyük boyda enlemesine iki boncukla biribirinden ayrılmış üç öbek boncuktan oluşur, çok daha büyük bir boncuk da sap görevi görür. Bir tespihte bulunan boncukların sayısı genellikle e eşittir ( ), ama bu sayı elbette değişebilir.

63 Diyelim ki, köşedeki bakkala on ekmek, beş şişe sıvıyağ ve dört torba patates almaya göndermek istediğimiz hiç aritmetik bilmeyen bir adam var. Böyle bir işte saymayı bilmeyen ve bizim bir çırpıda yaptığımız para hesabını beceremeyen birine nasıl güvenilir? Doğrusu, bu adamın bu işin içinden çıkması tamamen olanaklıdır; elbette şu işlemin ona önceden öğretilmesi koşuluyla. Bunun için, temel ilkesi tamı tamına birebir uygunluk ilkesi olan maddî bir oyuna başvurmak yetecektir. Bu adam için, ekmekleri çağrıştırmak üzere beyaz kumaştan on küçük kese, sıvıyağ şişelerini çağrıştırmak üzere sarı kumaştan beş küçük kese, dört torba patatesi çağrıştırmak üzere kahverengi kumaştan dört küçük kese yapılabilir. Sonra keselerin her birine söz konusu malın ederini tam olarak karşılayan miktarda para konur. Oyunun oynanması için de, bu adama her ekmeğe karşılık bir beyaz keseyi, her sıvıyağ şişesine karşılık bir san keseyi, her patates torbasına karşılık bir kahverengi keseyi bakkala vermesi gerektiğini söylemek yetecektir. Tarihöncesi insanı, binlerce yıl boyunca, bilincine bile varmadan, soyut bir sayının ne olduğunu bile bilmeden aritmetik yapabildiyse, kuşkusuz bu ilke sayesindedir. Her akşam bir mağaraya kapattığı bir koyun sürüsünü güden bir çoban düşünelim. Bu koyunlann sayısı Ama sayı saymayı deminki adamdan daha iyi bilmeyen bu çoban ellibeş sayısının ne olduğundan tamamen habersizdir. Yalnızca çok koyunu olduğunu bilmektedir. Bu da kesinlikten uzak olduğu için, çoban her akşam tüm koyunlannın güvenlikte olduğundan emin olmak isteyecektir. Böylece bir gün aklına bir fikir gelir. Bilmeden, tarihöncesi insanlarının kendisinden binlerce yıl önce bildikleri somut bir yönteme başvuracaktır: Kertme yöntemine. Mağaranın girişine oturur, hayvanlan birer birer içeri sokar. Sonra, bir çakmaktaşıyla, önünden geçen her bir koyun için kemik bir çubuğa bir kertik açar. Son hayvanın geçişiyle tam olarak ellibeş kertiğe ulaşır. Bundan böyle sürüsünün tam olup olmadığını güçlük çekmeden sınayabilecektir. Her otlaktan dönüşünde, parmağım her seferinde bir kertik üzerine koyarak, hayvanlan birer birer içeri sokacaktır. Bütün koyunlar önünden geçtiğinde geriye birkaç kertik kalırsa, kayıp var demektir. Kalmazsa herşey yolundadır. Bu arada bir kuzu doğduysa, kemik çubuğunda bir kertik daha kazıması yetecektir.

64 Böylece, dil, bellek ya da soyut düşünme olmasa bile, birebir uygunluk ilkesi sayesinde işler halledilebilir. îlk derlemin öğelerinin ikinci bir derlemin öğeleriyle birer birer karşılıklılığım kurabilince, gerçekte bu iki derlemdeki ortak bir özelliği dile getiren, söz konusu varlıkların ya da nesnelerin yapısından tamamen bağımsız soyut bir kavram ortaya çıkar. Başka deyişle, karşılıklılık özelliği, iki küme arasında bulunan ve bu kümelerin biribirine karşılık gelen öğelerinin yapısından gelen farklılığı ortadan kaldırır. Birebir uygunluk oyununun sayma konusunda önemli bir rol oynayabilmesi bu soyutlamadan ötürüdür. Ama uygulamada, ondan doğan yöntemler gerçekte ancak görece kısıtlı sayıda öğe içeren derlemlere uygun olabilir. Bundan ötürü, maddî aracılara başvurmanın bu konuda büyük bir yaran görülmüştür, çünkü bu, oluşturuculannın yapısından bağımsız olarak kendilerine göndermede bulunulabilen belli sayıda birleştirme modelleri oluşturur. Örneğin ağaç ya da kemik bir çubuk üzerinde yirmi kertik kazırken, pekâlâ yirmi adamı, yirmi koyunu ya da yirmi keçiyi, yirmi bizonu, yirmi atı, yirmi günü, yirmi kürkü, yirmi kayığı ya da yirmi ölçü buğdayı göz önünde bulundurabiliriz. Çünkü, bu koşullarda kurulabilecek her sayı tekniği, artık eldeki birleştirme modelleri arasından, toplamına ulaşmak istenen öbekle birebir karşılıklılığı kurulabilen modeli seçmeye indirgenecektir. Ama bu ilkeyi uygulamaya koymak için, kertme yöntemi yerine elbette birçok başka maddî aracıya başvurulabilir. Çobanımız sabah çıkardığı koyunlann hepsinin akşam geri dönüp dönmediğini saptamak için pekâlâ çakıllan kullanabilirdi. Bunun için her kelleye bir çakıl vermesi, sonra da tüm bu taşlan bir köşeye yerleştirmesi, ardından, dönüşte, uygunluk işlemini tersinden yapması yeterdi. Son kellenin yığındaki son taşa karşılık geldiğini görünce, hiçbir hayvanın yolunu şaşırmamış olduğundan emin olabilirdi. Bu arada bir kuzu dünyaya gelirse, yığınına yeni bir çakıl eklemesi yeterli olurdu. Farklı gökler altında yaşayan insanlar, saymalan gereken niceliğe karşılık gelen yığınlar ya da diziler haline getirdikleri kavkılan, boncuklan, sert meyvalan, küçük kemikleri, çubuklan, fil dişlerini, hindistan cevizlerini, kilden bilyalan, kakao tanelerini, kurumuş hayvan dışkılannı aynı amaçla kullanmışlardır. Ayrıca kum üzerine gereği kadar yan yana çizgi çizmiş, ipe dizilmiş boncuklan ya da kavkılan bir çeşit tespih gibi çekmişlerdir.

65 1. sağ elin serçe parmağı 2. sağ yüzük parmağı 3. sağ orta parmak 4. sağ işaret parmağı 5. sağ baş parmak 6. sağ el bileği 7. sağ dirsek 8. sağ omuz 9. göğüs kemiği sol omuz sol dirsek sol el bileği sol baş parmak sol işaret parmağı sol orta parmak sol yüzük parmağı sol serçe parmağı sol ayak küçük parmağı sonraki ayak parmağı sonraki ayak parmağı sonraki ayak parmağı sol ayak baş parmağı sol ayak bileği sol diz sol kalça sağ kalça sağ diz sağ ayak bileği sağ ayak baş parmağı sonraki ayak parmağı sonraki ayak parmağı sonraki ayak parmağı sağ ayak küçük parmağı 31 «* &#; 30 21

66

67

68 Birçok çağdaş ilkel topluluk, güçlüklerden sıyrılmak için, aynı şeyi insan bedeninin çeşitli parçalarına başvurarak yapar. El ve ayak parmaklarına, kol ve bacak eklemlerine (dirsekler, el bilekleri, ayak bilekleri, dizler), gözlere, buruna, ağıza, kulaklara, memelere, göğüse, göğüs kemiğine, kalçalara göndermede bulunurlar. Geçen yüzyılın ortalarından bu yana, birçok gözlemcinin, örneğin Cambridge deki İngiliz bilimel gezi topluluğu üyelerinin Okyanusya nın çeşitli bölgelerinde topladığı tanıklıklar, bu konuda öğretici olmuştur. Örneğin Wyatt Gill e göre (Haddon da anılıyor), Torres Boğazındaki birtakım adalılar aşağıdaki gibi, görsel olarak sayı sayıyorlar (Şekil , s): Bedenin sağ yanındaki parmaklara, sonra bileğe, dirseğe omuza, sonra göğüs kemiğine, ardından sol yandaki eklemlere ve son olarak sol elin parmaklarına birer birer dokunulur. Böylece 17 ye ulaşılır. Bu yetmezse, ayak parmaklan, ayak bileği, diz ve (sağ ve sol) kalçalar eklenir. Böylece 16 daha, dolayısıyla toplam 33 elde edilir. Bu sayının ötesinde küçük çubuklarla dolu bir torbaya başvurulur. Murray Adalan nın yerlileri de yine önceden uylaşılmış bir sıra içerisinde düşünülen belli sayıda beden parçasına göndermede bulunurlar; bu teknikle 29 a kadar olan sayılara ulaşabilecek durumdadırlar. Torres Boğazının kimi adalılannda da benzer, ama ancak 19 a kadar görsel olarak saymayı sağlayan bir yöntem kullanılır. Aynı âdet, Yeni-Gine nin Papualannda ve Elemalannda da görülür (Şekil , s ve , s. 55)4 Sayı, İşmar ve Söz O zaman akla bir soru geliyor: Bedenin parçalannın yalın sayılanması sayı adlannın kurallı bir ardardalığını, gerçek bir aritmetik diziyi oluşturmaya yetmez mi? Bunu yanıtlayabilmek için önce Okyanusya kaynaklı birkaç budunbilimsel belgeyi çözümlemeye çalışacağız. İlk örnek Britanya Yeni-Gine sinin kuzeydoğusundaki Papua diliyle ilgili: Cambridge Expedition to Torres Straits in bir raporunda deniyor ki, Sir W. Mac Gregor a göre, beden üzerinde sayma âdeti Musa nehrinin aşağısındaki bütün köylerde görülür. Sağ elin serçe parmağıyla başlanır, bu yandaki parmaklar, sonra bu yandaki bilek, dirsek, omuz, kulak, göz kullanılır, ardından sağ göze geçilir ve sol elin serçe parmağına kadar geri geri inilir. Aynı rapor aynca bu işmarlann her birine Papua dilinde bir terimle eşlik edildiğini belirtir.

69 îşte bu raporun bize verdiği sözcükler: SAYILAR KARŞILIK GELEN İŞMARLAR BU İŞMARLARA BAĞLANMIŞ ADLAR 1 sağ elin serçe parmağı anusi 2 sağ elin yüzük parmağı doro 3 sağ elin orta parmağı doro 4 sağ elin işaret parmağı doro 5 sağ elin baş parmağı ubei 6 sağ elin bileği tama 7 sağ elin dirseği unubo 8 sağ omuz visa 9 sağ kulak denero 10 sağ göz diti 11 sol göz diti 12 burun medo 13 ağız bee 14 sol kulak denoro 15 sol omuz visa 16 sol elin dirseği unubo 17 sol elin bileği tama 18 sol elin baş parmağı ubei 19 sol elin işaret parmağı doro 20 sol elin orta parmağı doro 21 sol elin yüzük parmağı doro 22 sol elin serçe parmağı anusi Kullanılan adlar yalnızca bedenin parçalarının adlan. Bunlar tam anlamıyla sayı adlan değil: anusi terimi hem 1 sayısına hem 22 sayısına bağlanmış; hem sağ elin serçe parmağını hem sol elin serçe parmağını göstermeye yarıyor; bu koşullarda, anusi nin bu iki sayıdan hangisini gösterdiğini nasıl bileceğiz? Yine, doro sözcüğü her iki eldeki yüzük parmağını, orta parmağı ve işaret parmağım göstermeye yanyor. Bu aynı ad, aynı anda bu altı parmaktan birini olanaklı bir kanşıklığa yol açmadan gösteren işmarla belirlenmediyse, nasıl olup da hem 2, 3, 4 için hem de 19, 20, 21 için iş görebilir? Bununla birlikte bu uygulamadan hiçbir belirsiz sonuç çıkamaz: Böyle sözlü olarak gösterilen şey, önceden kurulmuş bir sıra içinde verilmiş beden parçalandır, bu da her türlü kanştırmayı önler. Bu koşullarda kuşkusuz, beden parçalannın yalın sayılanması, bir yandan da karşılık gelen işmarlann ardardalığıyla eşlik edilmiyorsa, gerçek bir aritmetik dizi oluşturmaya yetmez. Aynca, düşünsel sayma süreci

70 hiçbir sözlü anlatım fenomenine bağlanmamıştır: Tek sözcük söylemlemeden istenen bir sayıya ulaşılabilir. Işmarlı bir sayı dili (önceden yaratılmış ve benimsenmiş), buna, yalnızca buna yetebilir. Sözel bir sayı anlatım yönteminin özgün anlamına ulaşmak olanaklı olduğunda, sayı adları zaten çoğu kez, bizim birkaç örneğini gördüğümüz tekniklere benzer bir bedensel saymanlık tekniğinin varlığını ortaya koyar. Britanya Yeni-Gine sindeki Bugilerde, J. Chalmers e göre, böyle bir dizi sayı adı bulunur; işte etimolojisi: 1: Tarangesa, sol el: serçe parmağı 2: Meta kina, sonraki parmak 3: Guigimeta kina, orta parmak 4: Topea, işaret parmağı 5: Manda, baş parmak 6: Gaben, bilek 7: Trankgimbe, dirsek 8: Podei, omuz 9: Ngama, sol meme Dala, sağ meme Hawtrey e göre, Paraguay daki Chaco Lengua sı yerlilerinde de yine, özgün anlamı genel bir biçimde belirlenmiş sayısal işmarlarla ilişkili olan bir dizi sayı adı bulunur, ilk iki sayı için (öyle görünüyor ki, beden tekniğinden bağımsız olarak) özel adlar kullanırlar. Ötekiler için şöyle şeyler söylerler: 3: bir ile ikiden oluşmuş 4: iki yan aynı 5: bir el 6: öteki ele varılmış, bir 7: öteki ele varılmış, iki 8: öteki ele varılmış, bir ile ikiden oluşmuş 9: öteki ele varılmış iki yan aynı iki el bitmiş ayağa varılmış, bir ayağa varılmış, iki ayağa varılmış, bir ile ikiden oluşmuş ayağa varılmış, iki yan aynı ayak bitmiş

71 öteki ayağa varılmış, bir öteki ayağa varılmış, iki öteki ayağa varılmış, bir ile ikiden oluşmuş öteki ayağa varılmış, iki yan aynı ayaklar bitmiş Daha da iyisi, Zunilerde, Cushing in el kavranılan adını verdiği sayı adlan bulunur: 1: töpirıte, başlangıç olarak alınmış 2: kıvilli, öncekiyle birlikte kalkık 3: kha i, 4: amite, 5: öpte, 6: topalik ye, 7: kıvillik ya, 8: khailik ya, 9: tenalik ya, astem thila, astem thila topaya thl tona, eşit olarak bölen parmak biri dışında bütün parmaklar kalkık kertiklenmiş daha önce sayılana bir eklenmiş iki gelmiş ve geri kalanla birlikte kalkık üç gelmiş ve geri kalanla birlikte kalkık biri dışında hepsi geri kalanla birlikte kalkık bütün parmaklar bütün parmaklar ve fazladan biri kalkık Bütün bunlar bizi, çok eski çağlardan beri işmann sözlü sayı anlatım yöntemlerinden önce geldiğini düşünmeye itiyor. Somut Nicelikleri Sayal Olarak Hesaplama Teknikleri Şimdi bir öbek yerli düşünelim. Bunlar henüz soyut sayılan tasarlayamıyorlar, ama yine de güçlüklerden sıynlmayı ve görece kısıtlı nicelikleri hesaplamak söz konusu olduğunda, doyurucu sonuçlara ulaşmayı biliyorlar. Bunun için her türlü somut aracının yardımına başvuruyorlar. Ama en çok da, şu beden tekniğiyle, görsel olarak sayıyorlar : Serçe parmağından başlayarak sağ elin parmaklarına, sonra sağ bileğe, dirseğe, omuza, kulağa, göze biribiri ardından dokunuyorlar. Ardından buruna, ağıza, sonra sol göze, kulağa, omuza, dirseğe, bileğe, son olarak da sol elin serçe parmağına dokunuyorlar. Böylece 22 sayısına ulaşıyorlar. Bu yetmezse, memeleri, kalçalan, cinsel orgam, sonra sağ ve sol dizleri, ayak bileklerini, ayak parmaklannı ekliyorlar. Bu da fazladan ondokuz birime ulaştınyor ve toplam 41 oluyor.

72 Bu yerliler önce başkaldıran, sonra da egemenlik altına alman komşu bir köye yakınlarda bir askerî sefer düzenlemişlerdir. Savaş meclisinin bir toplantısının sonunda, başkan tazminat istemeye karar verir ve buyruğu altındakilerden birkaçını, gidip bu köyün sakinlerinden tazminat bedelini almakla görevlendirir. Savaşta yitirdiğimiz her savaşçı için, der başkan, bize sağ elimin serçe parmağından sağ gözüme kadar ne varsa o kadar inci kolye vermek zorundalar. Sonra, sağ elimin serçe parmağından ağzıma kadar ne varsa o kadar kürk, son olarak, sağ elimin serçe parmağından sol elimin bileğine kadar ne varsa o kadar sepet yiyecek. Böylece başkan başkaldıranlan çarptırdığı para cezasının miktarının belirlendiğini adamlarına açıklamış olur. Savaşta ölen savaşçıların her biri için: 10 inci kolye, 12 kürk, 17 sepet yiyecek. Bu savaşta bizim yerliler onaltı savaşçı yitirmişlerdir. Elbette onaltı sayısını bilmezler, ama böyle durumlarda böyle bir sayıyı belirlemek için şaşmaz bir yol bilirler. Gerçekten, seferden önce her asker bir yığına bir çakıl koyar, her sağ dönen de bir çakıl geri alır; öyle ki, geri kalan taşlar tam olarak savaşta verilen kayıpların sayısına karşılık gelir. Başkanın elçilerinden biri onaltı çakılı yanına alır, ama onların yerine, taşıması daha kolay olduğundan o sayıda küçük çubuklarla dolu bir torba verilir kendisine. Sonra başkan, elçilerinin tüm talimatını iyice belleyip akılda tuttuklarını sınayarak doğrular ve onları başkaldıranlann köyüne doğru yola salar. Elçiler ödemeleri gereken miktarı yeniklere bildirdikten sonra, ganimeti saymaya girişirler. içlerinden biri öne çıkar ve köyün sakinlerine, bedeninin bir parçasını gösterince her seferinde bir inci kolye getirmelerini buyurur. Böylece biribiri ardından sağ elinin serçe parmağına, yüzük parmağına, orta parmağına, işaret parmağına ve baş parmağına dokunur. Önce birinci kolyeyi, sonra ikinci kolyeyi ve beşinci kolyeyi getirirler. Ardından bileğe, dirseğe, omuza, kulağa ve sağ göze geçer; bu da beş kolye daha almasını sağlar. Böylece, kolyelerin tam sayısını soyut olarak düşünmeksizin, bu işlemin sonunda istenen on kolyeyi elde eder.

73 1 sağ serçe parmağı 2 sağ yüzük parmağı 3 sağ orta parmak 4 sağ işaret parmağı 5 sağ baş parmak 6 sağ bilek 7 sağ dirsek 8 sağ omuz 9 sağ kulak 10 sağ göz 11 burun 12 ağız 13 sol göz 14 sol kulak 15 solomuz 16 sol dirsek 17 sol bilek 18 sol baş parmak 19 sol işaret parmağı 20 sol orta parmak 21 sol yüzük parmağı 22 sol serçe pannağı 23 sağ meme 24 sol meme 25 sağ kalça 26 sol kalça 27 üreme organları 28 sağ diz 29 sol diz 30 sağ ayak bileği 31 sol ayak bileği 32 sağ ayak küçük parmağı 33 sonraki parmak 34 sonraki parmak 35 sonraki parmak 36 sağ ayak baş parmağı 37 sol ayak baş parmağı 38 sonraki parmak 39 sonraki parmak 40 sonraki parmak 41 sol ayak küçük pannağı Şekil

74 Şekil inci kolyenin sayımı 12 kürkün sayımı 17 yiyecek sepetinin sayımı

75