Kökleri Bulma
} \]
$x^x-6$ denkleminin iki kökünü bulunuz.
$\Delta=2\sqrt{7}$. Formülü uygularsak $x_{1}=1-\sqrt{7}$ ve $x_{2}=1+\sqrt{7}$ çıkar.
İkinci derece bir denklemin bir kökü $1-\sqrt{3}$ ise bu denklemin kökler çarpımı nedir?
Formülü incelersek şu sonucu çıkarırız. Rasyonel katsayılı bir denklemde(a,b ve c rasyonel ise), bir kök $1-\sqrt{3}$ ise diğer kök $1+\sqrt{3}$ olmak zorundadır. Kökler toplamı \[ x_1+x_2=1-\sqrt{3}+1+ \sqrt{3}=2\] ve kökler çarpımı \[ x_1\cdot x_2=(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2\] Bu arada denklem $a\cdot (x^{2}-2x-2)=0 $ şeklindedir.
\[ ax^2+bx+c=a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) =0 \] Önce baştaki $a$ katsayısından kurtulduk. Eğer $ax^2 + bx + c =0$ ifadesini sağlayan bir $a$ değeri varsa, bu ifade $x^2 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}=0$ ı da sağlamalıdır. Bu nokta sayısal olarak zaten konunun başında anlatılmıştı. İspatın sonraki adımı için çarpanlara ayırmada işlenen terim ekleyip çıkararak tam kare yapmayı hatırlamalıyız. Örneğin \[ x^2 - 4x + 7\] ifadesinde tam kare bir terim elde etmek için sadece $x^2$ ve $-4x$ e bakılır ve bunların hangi tam kareden çıkacağı düşünülür. \[ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 \] olduğundan $x$ li terimin katsayısı ikiye bölünür. Yani $(x^x)$ ifadesi $(x-2)^2$ si açılırsa çıkar. Bunun gibi, \[ x^2 + \frac{b}{a}x \] ifadesi de \[ (x + \frac{b}{2a} )^2\] ifadesi açılırsa çıkar. Ancak tam açtığımızda son terim $(\frac{b}{2a})^2$ dir. Dolayısıyla bunu çıkarmalıyız:
\begin{align*}
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \\
&= (x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^ac}{4a^2}) \\
&\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^ac}{4a^2} \\
&\Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^ac}{4a^2}}=\pm \frac{\sqrt{ b^ac}} {2a}\\
&\Rightarrow x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{ b^ac}} {2a}
\end{align*} Bu da bildiğimiz kökler formülüdür. Bu formülde köklü ifadenin içi negatif olamayacağından önemlidir ve katsayılar arasında belli bir ilişki olmadığında kökün reel olamayacağını gösterir. Bu ifade tanıdığımız gibi $\Delta$ dır.