Son Sayı Nedir

Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.

Sayma sayıları kümesine {1,2,3,…} sıfırı da katarsak doğal sayılar oluşur. Doğal sayılar 'N' harfi ile gösterilir:

N={0,1,2,3,…10,…,…}

SAYI DOĞRUSU
Doğal sayıların sıfırdan başlayarak eşit aralıklarla işaretlendiği doğruya sayı doğrusu denir

Her doğal sayı:

Solundaki sayıdan büyük,
Sağındaki sayıdan küçüktür.

ARDIŞIK SAYILAR

Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.
Ardışık doğal sayılar:
1 fazla 1 fazla 1 fazla

0 1 2 3
Ardışık çift doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

0 2 4 6
Ardışık tek doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

1 3 5 7

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Basamak sayısı diğerinden büyük olan sayı diğerinden büyüktür.
87
Basamak sayıları aynı ise ; en büyük basamaktan başlanarak sırayla aynı adlı basamaklar karşılaştırılıfunduszeue.infoı basamaktaki sayılardan hangisi büyükse o sayı büyüktür.


İKİ DOĞAL SAYI ARSINDAKİ SAYILARIN SAYISINI BULMA

İki doğal sayı arasındaki sayıların sayısı şu formülle bulunur:

ÖRNEK 1: 5 ile 15 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: =10 =9 tane doğal sayı vardır
ÖRNEK 2: ile arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: = = tane doğal sayı vardır.
ÖRNEK 3: ile arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM : = = tane doğal sayı vardır.

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayıda bulunduğu basamağa göre aldığı değere basamak değeri denir.
4 5 2 3 Basamak değeri
3 =
20 =
=
=
Görüldüğü gibi rakamların basamak değeri,sayı değeri ile bulunduğu basamağın çarpımına eşittir.

Ek Bilgi

*Bir sayının
Birler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 1 artar veya eksilir.
Onlar basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 10 artar veya eksilir.
Yüzler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı artar veya eksilir.
ÖRNEK 1: sayısının yüzler,onlar ve birler basamaklarını 1'er artırırsak sayı kaç artmış olur?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 1 artar
Onlar basamağı: 10 artar
Yüzler basamağı: artar
O halde sayı : artar.
ÖRNEK 2: sayısının birler basamağını 3,onlar basamağını 4,yüzler basamağını 2 eksiltirsek sayı kaç eksilir?
ÇÖZÜM : Birler basamağı: 3 eksilir
Onlar basamağı: 40 eksilir
Yüzler basamağı: eksilir
O halde sayı : eksilir.
ÖRNEK 3: abc üç basamaklı bir sayıdır. Rakamlarının her birinin sayı değerleri üç artarsa sayı kaç artar?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 3 artar
Onlar basamağı: 30 artar
Yüzler basamağı: artar
O halde sayı : artar.

SAYI DEĞERİ:

Rakamların sayıda bulunduğu basamağa bağlı olmadan gösterdiği değere sayı değeri denir.

Hepimiz sosyal medya kullanıyoruz. Bu süreçte de bir çok kısa, anlık cevap verilmesi gereken matematik ya da akıl yürütme soruları ile karşılaşıyoruz. Bu sorular genellikle sıralı bir kaç sayıdan sonra “Dizideki bir sonraki sayı nedir” biçiminde başlıyor. Amaç sayılar arasındaki kuralı yani örüntüyü bulmak ve sonraki sayıyı elde etmektir. Bir kaç örnek mi istiyorsunuz. Elbette. Aşağıdaki dizilerde bir sonraki sayılar nelerdir?

• 1, 3, 5, 7, 9, 11…
• 1, 4, 9, 16, 25, 36…
• 1, 2, 4, 8, 16…

Şimdi cevaplara geçelim. Sizin de tahmin ettiğiniz gibi ilk dizimiz tek sayılardan oluşuyordu. Bu nedenle sıradaki sayımız 13 olmalıdır. İkinci dizimiz kare sayılardan oluşuyor. Bu nedenle bir sonraki sayımız 49 olacak. Son dizimiz de 2 sayısının kuvvetlerinden oluşuyor. Bu nedenle aradığımız bir sonraki sayı 32 olmalı. Emin misiniz?

Matematikte Genelleme Yapmak Kolayca Tuzağa Düşmenize Neden Olacaktır?

Fikir, dizinin terimlerinin üretildiği kuralı diğer adıyla örüntüyü tespit etmektir. Ancak bu örüntü temelinde hiçbir zaman ilk birkaç terim tarafından belirlenmez. Aslına bakarsanız bu nedenle bugüne kadar sorulmuş bir çok örüntü ya da bir sonraki sayıyı bul sorusu hatalıdır. Bunun nedenini son sayı dizimiz üzerinden aşağıdaki örnekler ile aktarmaya çalışalım.

Oluşan Bölge Sayısını Bulalım

Sorumuz bir çember üzerindeki noktaları birleştirerek oluşturulan bölgelerin sayısını bulmak olsun. Bunu aşağıdaki şekil üzerinden bulmaya çalışalım. Çember üzerinde aldığımız bir nokta 1 bölge oluştururken (çemberin iç bölgesi), çember üzerinde alınan farklı iki nokta 2 bölge oluşturur. Devamında üç noktadan 4 bölge meydana gelecektir. Dört ve beş nokta da, sırasıyla 8 ve 16 bölge oluşturur.

Böylece az önce bahsettiğimiz 1, 2, 4, 8, 16 sayı dizisine geri dönüyoruz. İçgüdülerimizde haklı olduğumuz hissi biraz daha pekişti öyle değil mi? Peki, çember üzerinde alınan birbirinden farklı altı nokta birleştirilirse kaç tane bölge oluşur? Ne yazık ki cevap 32 değil. Bir sonraki sayı 31 olacaktır.

Her terimin iki katını alarak giden ve 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 biçiminde devam eden örüntüler gibi, yukarıdaki örnekte açıkladığımız 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99 diyerek devam eden örüntüler de vardır.

Lagrange polinomu

Ara değer hesabı mühendislik problemlerinde sıklıkla karşılaşılan bir işlemdir. Bilinen değerlerden bilinmeyen ara değerin ya da değerlerin bulunması işlemine interpolasyon denir. Lagrange interpolasyonu, bilinen noktalara göre önce bir eğri uydurulması sonra eğriyi temsil eden denklemden istenilen noktaların değerlerinin elde edilmesine dayanır.

Lagrange yöntemine göre interpolasyon hesabı yapılırken kullanılacak polinom forma sahip fonksiyonun derecesi sahip olunan ölçüm değerlerinin adedinden bir eksik olacak şekilde seçilir. Bu ön bilgi devamında konu hakkında daha fazla bilgi edinmek için bu kaynağa göz atabilirsiniz.

Şimdi aşağıdaki şekle bakalım. Bu şekilde 1,4,9,16 dizisini solda çizili olarak görüyorsunuz. Ancak aşağıdaki görselde sağ tarafta aynı sayılar ile başlayan ancak bambaşka bir cevaba ulaşan başka bir grafik elde ettik. Burada da gördüğünüz gibi şu anki sayı dizimiz 1,4,9,16,50,30,20 ve 40 biçiminde devam ediyor.

Sonuç olarak sizlere aktarmaya çalıştığımız durum şudur. Bir dizinin ilk terimleri verildiğinde, verilen tüm değerlere uyan ancak daha sonrasında bambaşka değerler ile devam eden bir çok matematiksel fonksiyon vardır. Bu nedenle örüntünün kuralını bulunuz ya da bir sonraki sayı kaçtır sorularının hepsi temelinde birden çok cevaba sahiptir.

Matematikçiler bu durumun farkındadır. Bu nedenle içgüdüleri ne kadar ikna edici olursa olsun, arka planda hayal bile edemedikleri bir şey olduğunu bilirler. Bu nedenle de genelde içgüdülerine fazla güvenmezler. Bir sonraki zeka sorusunu çözerken bunların da aklınızda bulunmasını öneririz.

Kaynaklar ve ileri okuma:

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerindenufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Terim sayısı, artan bir dizideki eleman sayısını temsil eder. Pozitif yönde artışın yaşanması ile beraber terim sayısı oluşmaktadır. Belirli aralıklarda, pozitif yönde artış gösteren bir dizilişte terim sayısını bulmak için formülün bilinmesi gerekecektir. Terim sayısını bulmanın yanı sıra terimlerin toplamı da ayrı bir işleme tabi tutulur. Terimler toplamı da bu doğrultuda farklı bir formülle karşımıza çıkar. Matematik sorularında sıklıkla karşımıza çıkan bu konunun iyi bilinmesi, soruların çözülmesini kolaylaştıracaktır. Terim sayısının formülünü bilmeden, soruları çözmek mümkün değildir. Sınavlarda sıklıkla karşımıza çıkan terim sayısının formülü merak edilmekte ve sıklıkla araştırılmaktadır.

Terim Sayısı Formülü

Matematikte önemli bir yere sahip terim sayısı, sınavlarda çokça karşımıza çıkar. Bu tarz soruları çözebilmek için, terim sayısının formülünü bilmek gerekecektir. Terim sayısının bilinen tek formülü şu şekilde karşımıza çıkar:

Terim sayısı = (Son terim - ilk terim) / artış miktarı + 1

Artış miktarı aynı oranda olan sayıların ilk ve son terimi biliniyorsa, terim sayısı kolayca bulunacaktır. Terim sayısının formülünü ezberlemek, bu noktada büyük avantaj sağlayacaktır.

Terim Sayısı Bulma

Terim sayısını bulmak için öncelikle formülünü bilmek gerekir. Belirli bir diziliş şeklinde artan sayıların hesaplanması için, son terimin ve ilk terimin verilmiş olması gerekir.

Standart bir artışın olduğu bu dizilimde, terim sayısını bulmak için formülü uygulamak gerekecektir. Örneğin, 2,4,6,…96 şeklinde giden bir dizilimde formülden yararlanarak (()/2) +1 şeklinde bir işlem yapılır.

Terim Sayısı Toplam Formülü

Terim sayısının yanı sıra, verilen terim sayılarının toplamını bilmek de önemlidir. Özellikle problemlerde karşımıza çıkan sorularda terimler toplamını iyi bilmek gerekecektir.

Terim sayısına göre daha karmaşık görünen bu formülü bilmek, birçok soruyu rahatlıkla çözmemize yardımcı olur. Terim sayısının toplam değerini bulmak için formüle ihtiyacımız vardır. Terim sayısının toplam formülü şu şekildedir:

Terimler toplamı = (son terim + ilk terim).(son terim - ilk terim + artış miktarı) / (2. artış miktarı)

Terim Sayısı Nasıl Bulunur?

Terim sayısını bulmak için formüle ihtiyacımız olacaktır. Ardışık olarak giden sayı düzeninde son terim- ilk terim/ artış miktarı +1 şeklinde bir çözüm yapılır. Örnek vermek gerekirse; 4,6,8… dizisindeki terim sayısını bulmak için son terim ve ilk terim 4'ün farkı alınır. Artış miktarı 2 olan bu terimlerin formülü şu şekilde olur:

(()/2+1 )