Anlamlı Rakamlarda Toplama Çıkarma

1 ANLAMLI SAYILAR ÖLÇÜM HATALARI ve BİR DENEYİN ANALİZİ İ İ

2 Ölçme Bir fiziksel niceliğin ğ önceden saptanmış ş bir standarda göre sayısal değerinin ğ verilmesi işlemine ölçüm denir. Önceden saptanmış bu standarda da birim adı verilir. Bir ölçümün duyarlılığı, ölçümü ifade eden rakam sayısı ile belirlenir. Yapılan bir ölçümü belirlemede kullanılan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Ölçme yaparken üzerinde önemle durulması gereken iki kavram vardır; doğruluk ve duyarlılık. Doğruluk : fiziksel bir niceliğin bir ölçümünün gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir. Duyarlılık : aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunuğ gösterir.

3 Anlamlı Rakamlar Ondalıklı sayılarda virgülün yerini belirtmek için kullanılan sıfırlar anlamlı değildir. Örneğin, 0, molarak verilen bir ölçüm sonucunda anlamlı rakam sayısı dir. Ölçüm sonucunun bir parçası olan sıfırlar anlamlıdır. Örneğin, 0, sayısınınanlamlıanlamlı rakam sayısı 5 tir sayısı gibi sıfırlar içeren bir sayının anlamlı rakam sayısını bulmak için bilimsel gösterim kullanmak daha uygundur = 4x10 3 (anlamlı rakam sayısı = 1) = 4,1x10 3 (anlamlı rakam sayısı = ) = 4,34x10 3 (anlamlı rakam sayısı = 3)

4 Bir ölçümün sonucu, istenilen anlamlı rakam sayısından daha fazla sayıda rakam içeriyorsa, Kural 1: Terk edilen ilk anlamsız rakam 5 ten küçük ise korunan son rakam olduğu ğ gibi kl kalır, değilse 1 artırılır: 1, 1,4 6, 6,6 Kural : Terk edilen ilk anlamsız rakam 5 ve korunan son anlamlı rakam tek ise, son anlamlı rakam 1artırılır: 87,35 87,4 Kural 3: Terk edilen ilk anlamsız rakam 5ve korunan son anlamlı rakam çift ise, değiştirilmez: 76,54 76,

5 Anlamlı sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi Sonucun anlamlı rakam sayısı, en az anlamlı rakama sahip olan sayının anlamlı rakam sayısı ile belirlenir. 0,, = 0, , iki anlamlı rakamla verilmelidir 0,4 Anlamlı sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi Sonuç en az ondalık basamağa sahip sayıya göre belirlenir. 7, , ,74 = , sonuç tk tek ondalık dlkbasamak kiçermeli ,6

6 Ölçüm Sonuçları Nasıl Verilir? Ölçümler sonucunda elde edilen sayısal değerler, ancak ölçüm hataları ile birlikte verildiğinde anlamlı olur. Herhangi bir fiziksel x niceliğinin (uzunluk, zaman, gerilim, elektrik akımı, vb) değeri için x 1 ölçümünü yapalım. x 1 ölçümünün sonucu, x niceliğinin değerini belli bir yaklaşıklıkla verecektir. İkinci bir x ölçümü yaparsak, bunun sonucunun x 1 ölçümünün ü ü sonucundan biraz farklılaştığını kll ğ görürüz. öüü Diğer bir deyişle, x niceliği için çok sayıda ölçüm alırsak her bir ölçüm için farklı değer elde ederiz. Buna göre x niceliğinin değeri için, ölçüm sonuçlarının nasıl bir dağılım gösterdiğine ve en çok hangi değer etrafında toplandığına bakmak gerekecektir. Ölçüm sonuçlarının şu şekil verilmesi uygundur: Ölçülen Değer ğ = En iyi tahmin (Ortalama değer) ğ Hata

7 Ölçümdeki Hatalar Hiçbir fiziksel ölçüm hatasız değildir. Hatadan kasıt yanlış ya da kusur değil, belirsizliktir. Ölçümlerimiz, kullandığımız ölçü aletinin duyarlılığı, izlenilen deneysel yöntem ve deneyi yapan kişinin dikkat ve becerisine bağlı olarak belli bir hata sınırı içerisindedir. Ölçüm hataları: sistematik hatalar ve istatistiksel hatalar (Rastgele) olmak üzere iki kısma ayrılır. Sistematik hatalar: Bu tip hatalar, kullanılan ölçü aletlerinden, kişisel yetersizliklerden, deneyde izlenilen metottan ve dış etkilerden kaynaklanır. Bu tip hatalar, sonucu hep tek yönde etkiler. Sistematik hataları, deney yöntemini değiştirerek, daha hassas ölçü aletleri kullanarak ya da deney sonunda gerekli düzeltmeleri yaparak ortadan kaldırabiliriz. İstatistiksel hatalar (Rastgele): Ölçmeduyarlılığının doğal olarak sınırlı oluşundan kaynaklanan hatalardır. Bu hatalar sonucu çift yönlü etkiler. Daha fazla sayıda ölçüm alarak istatistiksel hataları azaltabiliriz.

8 Hata Hesabı: Fiziksel bir büyüklük için bir x ölçümünü yapalım (uzunluk, kütle, zaman ölçümü vb.). Ölçümümüzü n kez tekrar edelim. Ölçümümüz bir değer çevresinde Gauss dağılımı (normal dağılım) gösterecektir. ortalama değerli ve σ standart sapmalı Gauss dağılımı 1 xx f( x, x, ) e x ile verilir. Çok sayıda ölçümün alındığı bir durumda fiziksel olarak ölçümü tarif etmek için kullanılır. Ortalama Değer: Bir x niceliğinin ayrık n tane ölçümü için ortalama değer aritmetik ortalama alınarak bulunur. n 1 1 x x1 x x xn x n n i 1 i x değeri, bir fiziksel ölçüm için en olası değer ya da en iyi ölçüm değeridir.

9 Standart Sapma: Ayrık x i (i = 1,,n) ölçümlerinin her birinin ortalama değerden farklılaştığını gösteren ifadeye sapma denir. i. ölçüm için sapma a x x i i x ne kadar a ile verilir. i değerleri pozitif, negatif veya sıfır olabilir. i lerin hepsi çok küçükse, ölçümlerimiz birbirine o kadar yakın demektir. Sapma değerlerinin aritmetik ortalaması sıfır verebilir. Dolayısı ile sapmanın ortalaması ölçümün ü güvenirliliği ile ilgili bilgi vermeyebilir. Bu sıkıntıdan kurtulmak için iki yol vardır. a n i1 a i 0 Sapma değerlerinin ortalamasını almak mutlak değerlerinin Sapma değerlerinin karelerini toplayıp kare- kökünü almak.

10 Mutlak Hata Hata: Sapma değerlerinin mutlak değerlerinin ortalamasını alırsak, pozitif iifbi bir sayı elde ederiz ve ölçümün ü güvenilirliği ile ilgili bir fikir edinebiliriz. Mutlak sapma; Standart Sapma: Ölçüm Ölçüm sonuçlarımızı daha hassas bir şekilde değerlendirmek istiyorsak, i mutlak lk hatadan başka bir tanımlamaya ihtiyacımız vardır. Standart sapma; 1 1 a a a a a a n n i n n nn i1 şeklinde tanımlanır. Mutlak hatayı kullanarak ölçüm sonuçlarını şu şekilde verebiliriz: x x a Bağıl Hata: x x / x n 1 1 a xi x 1 1 n i i1 n n i1 şeklinde tanımlanır. Bu ifade aslında, x 1,, x n ölçümlerindeki sapmaların kare ortalama karekökü krekökü (kok değeri) olarak açıklanabilir. Standart sapma, ayrık x 1,, x n ölçümlerindeki ortalama belirsizliği ifade eder. Standart sapmayı kullanarak kll k ölçüm sonuçlarını şu şekilde verebiliriz: x x g d g oranına bağıl hata denir. Bağıl hata çoğu zaman kesirsel hata olarak da adlandırılır ve yüzde olarak verilir. Örneğin, bir deney sonucu bağıl hata olarak veriliyorsa, ölçüm sonucu % hata yapılmış demektir.

11 Örnek: Bir Bir uzunluk 11 defa ölçülmüş ve çizelgedeki değerler elde edilmiştir. Ortalama uzunluğu, standart sapmayı ve bağıl hatayı hesaplayınız. n x x x x x i i i i 97,58 x ,1 + 0, n 1. 7,04 0, nn 1 i1 3. 6,85 0, ,08 + 0, ,15 + 0, ,1 + 0, , , x 8. 7,14 + 0, Bağıl hata : 9. 6, , xg 7,03 0, xg xd 1, ,0 0, x g 6 7,05 cm x x 7, cm ( 6 cm olsun) 6 Toplam=97,58 Toplam= = % 4, i cm 0,04

12 En Küçük Kareler Yöntemi Deneysel verilerimizin, kuramsal olarak, y ax b gibi doğrusal bir fonksiyona uyduğunu varsayalım. Tanım gereği deneysel ve kuramsal veriler arasındaki farkların karelerinin toplamı, k d E y y ax b y a x abx b axy by y ifadesine sahiptir. Bu niceliğin ğ a ve b parametrelerine göre türevleri alınırsa, E ax bx xy 0 ax bx xy 1 a E ax nb y 0 ax bn y b eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlik yerine koyma yöntemi ile kolayca çözülebilir. Buradan, a ve b parametreleri için aşağıdaki sonuçlar elde edilir. y a x n xy y x a n nx x x y x xy b nx x b

13 Örnek: n x y x xy y ax b a b n x x n xy y x , x y xxy nx x = 6,

14 Hatalarınyayılması (Propagation of errors) Ölçülen nicelikler başka bir fiziksel niceliğin hesaplanmasında kullanılıyorlarsa, ölçümdeki belirsizlikler hesaplanan nicelikte de bir belirsizlik oluşturur. Buna hatanın yayılması diyoruz. A A ve B B ölçülen nicelikler olsun, hesaplanacak nicelik C=A+B veya C=A Bise, hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C A B biçiminde tanımlanır. C=AB veya C=A/B ise, hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C A B C A B C=A n formunda ise (n=sabit), hesaplanan C niceliğindeki belirsizlik, C C n A A biçiminde tanımlanır.

15 En genel durumda ise, bir fiziksel nicelik çok sayıda farklı fiziksel niceliğin bir fonksiyonu olabilir. Böyle bir nicelik C(a, b,c,) formuna sahiptir. a, b, c ölçülen a, bve c niceliklerindeki belirsizlikler olmak üzere, C deki belirsizlik, C C C C a b c a b c bağıntısından hesaplanır. Bazı Örnekler: Yoğunluk ğ lk: d m d m V V d m V Ohm Yasası : V R V I R I R V I 1 K m v Kinetik Enerji : K mv 4 K m v m T 1 m k Periyod(Kütle - yay) : T k T m k

16 Deney Raporunun Hazırlanması: Genel olarak raporun içeriğinde şu bilgiler verilmelidir: 1- Deneyin adı - Deneyin amaçları 3- Deneyde kullanılan araç ve gereçler 4- Deneyle ilgili kuramsal bilgi 5- Deneyde elde edilen verilerin yazıldığı tablolar, yapılan hesaplamalar ve çizilen grafikler 6- Sonuç ve tartışma 7- Sorular ve cevapları

17 Deneyin adı: Yapılan deneyin adı büyük puntolarla açıkça yazılır. Deneyin amaçları amaçları: Deneyin yapılış amacı, ve hedeflenen sonuçlar mümkün olduğunca açık bir şekilde özetlenmelidir. Deneyde kullanılan araç ve gereçler gereçler: Deneyin yapılışında kullanılan araç ve gereçler maddeler halinde listelenmelidir. Deneyle ilgili kuramsal bilgi bilgi: Deneyde kullanılan matematiksel bağıntılar, bu bağıntılarda kullanılan fiziksel nicelikler ve yapılacak hesaplamalar açık seçik bir şekilde bu kesimde verilmelidir. Yapılan deneyle doğrudan ilgili olmayan kuram ve niceliklerden mümkün olduğunca kaçınılmalıdır. Hesaplamalarda dikkat edilmesi gereken noktalara burada değinmekte yarar vardır. Bu kesim mümkün olduğu kadar özet bir şekilde verilmeli ve gereksiz ayrıntılara girilmemelidir. Tablolar: Elde ettiğiniz bütün verilerin düzenli bir ekilde tabloya döküldüğü bölümdür. Bir tabloda blnanbütün bulunan bütün değerlerin birimleri ilgili yerlere yazılmalıdır.

18 Hesaplamalar: Bu bölüm raporun en önemli kesimlerindendir. Burada, deneyin amaçlar bölümündeü blitil belirtilen ifadelerin i hpi hepsi gerekli hesaplamalar l yapılarak ispatlanmalıdır. İlk olarak hesapları yaparken kullanılacak formül ve bağıntıların yazılması (düzenli olması isteniyorsa hesaplar başından itibaren numaralanmalıdır) ve daha sonrada hesaplamalar yapılmalıdır. Hesaplanmış değerlerin birimleri mutlaka yazılmalıdır. Hesaplamalar Grafikler: En başta uygun grafik kağıdının (logaritmik, lineer) seçilmesi ile işe balanmalıdır. Sonra, hangi eksene hangi değişkenin yazılması gerektiğine karar verilmelidir. Genel bir kural olarak, bağımsız değişkeni x-eksenine bağımlı değişkeni de y-eksenine yerleştirmek gerekir. Ek olarak eksenlerin ölçekleri de ayarlanmalıdır. Ölçeklerin ayarlanmasında en büyük veriden en küçük veri çıkarılır ve eksenin uzunluğuna bölünür. Her iki eksen ii için deuygunolan en mantıklı ölçek seçilir. Eksenlere mutlaka birim yazılmalıdır.

19 Örnek: Aynı cins malzemeden yapılmış 6 adet cismin hacimleri ve kütleleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. i Cismini yoğunluğunuğ ğ grafik çizerek bulunuz. (Not: hacim bağımsız değişken, kütle bağımlı değişkendir). V (cm 3 ) m(g) 4, 6,3 6,7 9,8 8,5 1, 11, 16,8 13,4 1,3 17,1 6,8 Yoğunluk : d m V Kütle (g) Eğim = d m = = V 9,14 5,66 =1,61 g/cm 3 V=5,66 m=9, Hacim (cm 3 )

20 Sonuç ve tartışma tartışma: Deneyde hedeflenen amaçlara ne oranda erişildiği, bu hedeflere ulaşmadaş karşılaşılanş ş deneysel güçlükler, gç bu güçlüklerin gç aşılmasış için öneriler vb. bu başlık altında kısa ve öz cümlelerle anlatılır. Sorular ve cevaplar cevaplar: Bu bölümde, deney föyünün arkasındaki sorular ve bu soruların cevapları verilmelidir.

Merhaba arkadaşlar bu yazımızda sizlere anlamlı rakamlar nedir ve ölçmehataları nasıl bulunur konularını anlatacağız. Bazı fiziksel büyüklükler ölçüldüğünde, ölçülen değerler, sadece deneysel be­lirsizliklerin sınırları içinde bilinir. Belirsizliğin değeri ölçümde kullanılan aletlerin kalitesi, deneycinin yeteneği ve yapılan ölçümlerin sayısı gibi değişik etmenlere bağlı olabilir.

Varsayalım ki, bir bilgisayar disketinin etiketinin alanının bir metre ile öl­çülerek bulunması sorulsun. Bu etiketin ölçtüğümüz değeri, ±0,1 cm doğru­lukta olsun. Etiketin genişliği 5,5 cm olarak ölçülmüşse, genişliğin 5,6 cm ile 5,4 cm arasında bir değerde olduğu iddia edilebilir. Bu durumda ölçülen de­ğerin iki anlamlı rakama sahip olduğunu söyleriz. Benzer şekilde etiket uzun­luğu 6,4 cm ölçülmüşse, gerçek değer 6,3 cm ile 6,5 cm arasındadır. Anlamlı rakamlar, ilk tahmin edilen basamağı da içermektedir. O halde Ölçülen de­ğerler (5,5 ± 0,1) cm ve (6,4 ± 0,1) cm olarak yazılabilir.

Şimdi de etiketin alanını, bu iki değeri birbiri ile çarparak bulmak istediğimizi varsayalım. Alanın (5,5cm) (6,4 cm) = 35,2 cm² olduğunu iddia etse idik, o zaman yanıtımız üç anlamlı rakam içerdiği için doğru olmayacaktı. Çünkü buradaki anlamlı rakamlar sayısı, ölçülen uzunlukların anlamlı rakamların sa­yısından fazla olmaktadır. Anlamlı rakamların sayısının belirlenmesinde reh­ber olarak kullanılabilecek iyi bir kural aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Bir kaç büyüklük çarpıldığında, elde edilen sonuçtaki anlamlı rakam sayısı, duyarlılığı en az olan çapandaki anlamlı rakam sayısı ile aynıdır. Burada “en az duyarlı” dan kasıt, en az sayıda anlamlı rakamı olandır. Ayni kural bölme işlemine de uygulanır.

Bu kuralı yukardaki çarpma örneğine uygulayarak, alan için cevabın sade­ce iki anlamlı rakama sahip olduğunu görürüz. Çünkü ölçülen uzunluklar yalnızca iki anlamlı rakama sahiptir. Böylece disket etiketinin alanı 35 cm² olduğunu iddia edebiliriz. Bu değer, (5,4 cm) x (6,3cm) = 34 cm² ile (5,6 cm) x (6,5cm) = 36 cm² arasında bir değerdir.

Bir yanıttaki sıfırların varlığı yanlış yorumlanabilir. 0,03 ve 0, gibi on­dalık sayılarda, rakamlardan önce, gelen sıfırlar anlamlı değildir. Yani bunla­rın anlamlı rakamlar sayısı bir ve ikidir. Sıfırlar, rakamlardan sonra geldiğinde ise, yanlış yorumlama olasılığı vardır. Örneğin bir cismin kütlesinin g olarak ölçüldüğünü varsayalım. Bu değer belirsizdir çünkü son iki sıfırın ayır­ma virgülü olup olmadığı veya bu sıfırların ölçümdeki anlamlı rakamları tem­sil edip etmediği bilinmemektedir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, an­lamlı rakamların sayısını göstermek üzere bilimsel gösterim (notasyon) yaygın

olarak kullanılır. Bu durumda kütleyi, iki anlamlı rakam varsa 1,5&#;10 g şeklinde, üç anlamlı rakam varsa 1,50 x 10 şeklinde ifade etmeliyiz. Benzer şekil­de 0, gibi bir sayı bilimsel gösterimde, eğer iki anlamlı rakamı varsa 1,5 x 10^-4 ile üç anlamlı rakama sahipse 1,50 x 10^-5 olarak ifade edilir. Bu kural, 1 ’den küçük sayılar için de geçerlidir. Örneğin 2,3 x 10^-4 &#;de iki anlamlı ra­kam vardır. (0, olarak da yazılabilir) 2,30 x 10^-4 üç anlamlı rakama sa­hiptir (Bu rakam 0, olarakta yazılabilir). Genelde bir anlamlı rakam, güvenilirliği bilinen basamaktır (Ondalık noktanın yerini belirtmek için kulla­nılan sıfır hariç).

Toplama ve çıkarma işleminde, sayılar toplanırken (veya çıkarılırken) sonuç­taki ondalık basamak sayısı , toplamdaki herhangi bir terimin en küçük onda­lık basamak sayısına eşit olmalıdır.

Örneğin + 5,35 işlemini yapmak istiyorsak cevap ,35 değil olacak­tır. Başka bir örnek olarak 1, + 0, = 1, toplamını yaparsak, sonu­cun beş anlamlı rakama sahip olduğu görülür. Halbuki toplamdaki 0, te­riminde sadece bir tane anlamlı rakam vardır. Benzer şekilde 1, &#; 0, = 0, çıkarma işlemini yaparsak, sonuç, kurala uygun olarak üç ondalık basa­mağa, fakat sadece bir anlamlı rakama sahiptir. Biz bütün kitap boyunca, veri­len verilerin tam doğru yanıt vermesi için, üç anlamlı rakama sahip olmasının yeterli olacağını kabul edeceğiz. Yapacağımız tahmini sonuçlarda ise bir basa­mak anlamlı rakam olarak yeterli olacaktır.

Anlamlı Rakamlar İle İlgili Örnekler

Örnek 1 :Bir Dikdörtgenin Alanı

Bir dikdörtgen levha (21,3 ± 0,2) cm uzunluğa ve (9,80 ± 0,10) cm genişliğe sahiptir. Levhanın alanı ve hesaplama­daki belirsizliği (ölçme hatasını) bulunuz.

Çözüm: Alan = lw = (21,3 ± 0,2) cm x (9,80 ± 0,1) cm = (21,3 x 9,80 ± 21,3 x 0,1 ± 9,80 x 0,2) cm² = ( ± 4) cm²

Giriş verilerinin sadece üç anlamlı rakam ile verildiğine dikkat edelim. Dolayısıyla sonucumuzun da daha fazla an­lamlı rakam içermesini istemeyiz. 0,2 cm ve 0,1 cm belirsiz­liklerini niçin çarpmak ihtiyacı duymadığımızı görüyor musunuz?

Örnek 2 : Bir Halının Yerleştirilmesi

Bir halı, uzunluğu 12,71 m (dört anlamlı rakam) ve geniş­liği 3,46 m (üç anlamlı rakam) olarak ölçülen bir odaya yer­leştirilmektedir. Odanın alanını bulunuz.

Çözüm: 12,71 m, ile 3,46 m yi hesap makinası ile çar­parsanız. 43, m² bulunur. Bu rakamlardan kaç tanesi­ni kullanabiliriz? Çarpım kuralımız, ölçülmüş olan büyük­lüklerdeki en az doğruluktakileri anlamlı rakam olarak kul­lanabileceğimizi söyler. Bu örnekte, en az doğruluk ölçü­münde sadece üç anlamlı rakam vardır, dolayısıyla son yanıtımızı 44,0 m² olarak ifade etmeliyiz.

Cevabımızda 43, değerini üç anlamlı rakama in­dirmede, genel yuvarlama kaidesi olan son rakam 5 veya büyükse (Bu örnekte son rakam 9) ondan bir öncekine 1 ilave etmeyi uyguladık (Uzun hesaplamalarda hata birikim­lerini önlemek için kullanılan teknik yuvarlamayı geciktir­mektir. Anlamlı basamakların sayısını yuvarlamadan önce, hesap makinenizdeki cevabı almaya hazır oluncaya kadar bekleyiniz).
Kaynak: Serway Fizik Kitabı

1. Sıfırdan farklı rakamlar ve başka rakamların arasında kalan sıfırlar anlamlıdır. Örneğin   sayısında altı anlamlı rakam bulunur.
2. Baştaki sıfırlar yani sıfırdan farklı rakamlardan önce gelen sıfırlar anlamsızdır. Örneğin 0, sayısının başındaki üç sıfır anlamsızdır ve sayıda üç anlamlı rakam vardır.
3. Bazı ölçüm sonumlarında altı çizili veya üstü çizili rakam bulunur bu bize altı çizili olan rakama kadar olan sayıların anlamlı olduğunu gösterir. Örneğin 000 sayısında beşinci yüzler basamağında bulunan sıfıra kadar solda kalan beş sayı anlamlıdır.
4. Sondaki sıfırlar; 

•    Virgül varsa; 10,00 virgül varsa sondaki sıfırlar anlamlıdır yani bu sayıda dört anlamlı rakam vardır.
• Virgül yoksa örneğin sayısındaki gibi virgül yoksa sayı ne yuvarlanmış olabilir ve 4,5*10^4 şeklinde yazılabilir dolayısıyla sondaki sıfırlar anlamlı değildir ve sayısında iki anlamlı rakam bulunur.

1. Eğer sayıyı yuvarlamak için bir basamak atmamız gerekiyorsa atılacak olan rakam 5 6 7 8 9 gibi beşten büyük ise bir önceki basamak bir arttırılır.
2. Eğer atılacak rakam 0 1 2 3 4 gibi beşten küçük ise bir önceki basamak değiştirilmeden yazılır.