Как Выбить Книжки Схема В Казино

Запись обновлена: 23.10.2023

4.5

First

бонус 150% и 150 FS + 50 бесплатных вращений

First

бонус 150% и 150 FS + 50 бесплатных вращений

Этот слот служит визитной карточкой студии Novomatic. Популярность автомата среди посетителей казино вызвана возможностью сорвать куш практически без затрат. В интернете предлагается большое количество советов, как выиграть в Book of Ra. Однако не все стратегии могут оказаться рабочими. Поэтому перед применением определенной тактики рекомендуется ее протестировать.

Общая информация о слоте

Игровой автомат выпущен австрийским поставщиком программного обеспечения Novomatic в 2005 году. Тематика виртуального аппарата посвящена Древнему Египту. Главным персонажем слота выступает путешественник в шляпе. Среди игроков есть мнение, что прототипом героя стал искатель приключений Индиана Джонс.

Простые символы представлены карточными номиналами. Пиктограммы с высокой стоимостью ― это жук-скарабей, маска фараона, статуэтка бога Ра и мужчина в шляпе. Выпадение трех изображений главного персонажа приносит самые крупные выплаты.

Игровой автомат Book of Ra переиздавался несколько раз. Всего слот имеет 15 версий.

Правила игры

В автомате стандартная сетка поля 5 х 3. Призовые комбинации формируются слева направо. Для получения выплаты нужно собрать цепочку из трех низкооплачиваемых символов или двух с высокой стоимостью.

Книга в слоте выполняет функции Scatter и Wild. После выпадения на барабанах трех и более пиктограмм запускается бонусная игра с 10 фриспинами. Перед началом раундов случайным образом определяется дополнительный символ, который в ходе вращений имеет функцию расширения.

После каждого результативного спина пользователю предлагают запустить риск-раунд на удвоение. Для получения выплаты нужно угадать цвет масти карты. Всего доступны 5 раундов на удвоение выигрыша. Забрать выплату можно до первой ошибки.

Секреты игрового автомата Book of Ra

После проведенных тестов выяснилось, что бонусные раунды активируются 1 раз в 175-178 спинов. Средняя длина цикла (частота выпадения призовых комбинаций) составляет 15-20 вращений и не позволяет регулярно получать выплаты. Проведенные проверки помогли выяснить секреты выигрыша в игровом автомате Book of Ra и разработать несколько стратегий ставок. Ниже представлены самые популярные схемы среди частых посетителей азартных платформ.

Игра по одной линии

Сторонники этой схемы ставок утверждают, что тактика в классических слотах может повысить процент отдачи. Суть стратегии заключается в том, что пользователь ведет игру только по одной линии на барабанах. В основе этой тактики лежит утверждение, что базовый геймплей вторичен. Значит, для получения крупного выигрыша нужно дождаться активации бонусных раундов.

Однако тесты показали, что стратегия игры по одной линии на длинной дистанции крайне рискованна. Так как автомат имеет среднюю дисперсию и оплачиваемые цепочки выпадают нечасто, можно потратить банкролл, не дождавшись запуска призовых вращений. Однако в то же время эту тактику хорошо применять для подсчета выигрышных комбинаций.

Частота появления на барабанах бонусных символов не зависит от количества установленных линий. Эти показатели между собой никак не связаны. Количество активных линий влияет только на вероятность получения выигрыша. Установив на барабанах 9 направлений выплат, собрать призовую цепочку намного легче.

Длительность сеанса

Прежде чем совершать ставки, нужно иметь четкую схему завершения игровой сессии. Чтобы определить длительность сеанса, рекомендуется установить лимиты прибыли и неудачи. При этом важно понимать, что автомат не может постоянно выдавать призовые комбинации, а потеря денег ― это нормально.

Пользователям рекомендуется завершить сеанс, если:

• Сумма на балансе увеличится на 30%.
• Проигрыш составит 20%.

Предлагаемые значения приблизительны. Все зависит от суммы, которая есть на балансе.

Если размер банкролла небольшой, рекомендуется прекратить сессию при проигрыше в 5-10%. В противном случае есть риск потерять все деньги.

Автоигра

После активации опции игроку не нужно перед каждым спином нажимать на кнопку. Барабаны будут запускать автоматически. Настройки аппарата позволяют установить 10, 50 и более вращений.

Однако функция автозапуска не позволяет участвовать в играх на удвоение. Поэтому, если пользователь не планирует активировать риск-раунды, он может включить данную опцию. В противном случае лучше крутить барабаны вручную.

Как выиграть в Book of Ra по стратегии

Перед изучением тактик и секретов игрового автомата Книжки стоит знать, что ни одна методика не может гарантировать стопроцентного результата. Слот генерирует значения спинов случайным образом, поэтому предугадать исход невозможно. Однако применение стратегий поможет систематизировать игру и рассчитать оптимальный размер ставки.

Тактика маленьких побед

Многие посетители онлайн казино, размещая ставки в слоте, хотят достичь единственной цели ― выпадения бонусной функции. При этом небольшие размеры выплат их не интересуют. Такая тактика может привести к потере денежных средств.

Небольшие выигрыши создают «подушку безопасности», которая способна увеличить тайминг сессии. Значит, шансы на выпадение бонусной функции вырастут.

Увеличение ставки

Эта стратегия предполагает изменение стоимости спина в зависимости от результата. В интернете предлагаются несколько вариантов тактики.

Распространенные виды стратегии увеличения ставки:

• Нужно выбрать одну активную линию и сделать 50 спинов по минимальной ставке. Затем увеличить стоимость вращения до среднего значения и установить 9 полос. Если через 10-20 раундов бонусные символы не выпадут, нужно постепенно повышать размер ставки.
• Игра начинается с минимальных значений. В ходе сессии нужно постепенно увеличивать количество активных линий и стоимость вращения.

Пользователям необязательно придерживаться одной или двух стратегий. Можно на основе предложенных тактик разработать собственную систему ставок.

5 на 5

В этой стратегии пользователям предлагают играть на 5 линиях. При этом стоимость спина должна в 5 раз превышать минимальное значение.

Участие в риск-раундах

Некоторые посетители казино советуют не применять никаких стратегий, чтобы выиграть в игровом автомате Книжки. Они предлагают просто увеличить выплату в раунде на удвоение. Однако в применении этой тактики есть минусы.

Вероятность выигрыша в подобных бонусных раундах равна 50:50. Поэтому эту стратегию можно применять при небольших выплатах, которые не жалко потерять в случае ошибки.

Полезное

Заключение

Азартные игры всегда связаны с финансовыми рисками. Прежде чем совершать ставки на деньги, рекомендуется:

• Изучить правила слота и таблицу выплат.
• Определить для сессии сумму, которую в случае неудачи можно безболезненно потратить.
• Установить максимальные суммы прибыли или проигрыша.
• Набраться терпения. В слотах череда побед всегда сменяется серией поражений и наоборот.
• Чаще использовать максимальное количество активных линий. Так шансов на получение выплаты будет значительно больше.

И главное правило, которого нужно придерживаться, совершая ставки на деньги, ― это никогда не отыгрываться. Если применение нескольких стратегий не принесло ожидаемых результатов, лучше покинуть автомат.

Часто задаваемые вопросы

Наш канал в Telegram

Бонусы и фриспины каждый день

подпишись

Родилась 29 июля 1995 года в Полтаве. После окончания школы переехала в Киев для поступления в Киевский национальный лингвистический университет.

Вам будет интересно

Описывая секреты, как выиграть в игровые автоматы, нельзя пройти мимо популярного и любимого многими слота Книга Ра. Опытные игроки давно раскрыли его тайны и часто получают на нем хорошую прибыль. Новичкам можем предложить в игровые автоматы играть бесплатно и без регистрации на нашем сайте.

Слот Книжки дает возможность игроку предстать в образе исследователя древних пирамид. Комбинируя символы древних обитателей берегов Нила, можно получить поистине царские сокровища. Ответ на вопрос, как выиграть в автоматы Книжки, также дают тщательные исследования механики аппарата. Среди игроков распространены два действенных метода получения прибыли на этом эмуляторе.

Магическая пятерка

Чаще всего игроки ищут способ, как выиграть в автоматы Книжки, в его бонусной игре. Для активации призовых фриспинов необходимо получить на игровом поле три символа золотой книги.

Замечено, что если сделать ставку в 5 раз больше минимальной на 5 игровых линий, то шанс получения крупного выигрыша или активации бонусной игры значительно выше. Чтобы проверить это, попробуйте в Книга Ра играть бесплатно.

Верный расчет

Этот способ не основан на каком-либо наблюдении, скорее он предлагает игроку самостоятельно заняться исследованиями. Верный расчет также помогает результативно играть в другие игровые автоматы и реально выиграть хорошие деньги.

Его суть заключается в следующем. Первые спины необходимо делать на минимальной ставке с одной активной линией. Во время этого важно обратить внимание на соседние линии и рассчитать, через какое количество спинов они повторяются. Спустя примерно 50 раундов вы выявите некоторую схему. Она не будет 100% точной, но некоторые шансы на успех прибавит. Чтобы выиграть в Книжку, следуя своему наблюдению, нужно при приближении результативного спина сделать среднюю ставку на максимальное количество линий. Выигрыш должен последовать в ближайшие 10 вращений.

Итог

Каждая из этих методик не откроет игроку двери в закрома игорных заведений, но при должной сноровке позволит определиться, можно ли выиграть в игровые автоматы Книжки. Самый важный совет, который можно дать, звучит так: не спешите, анализируйте и делайте выводы. В интернете полно различных экспертов с дельными советами, но никто не знает наверняка, как выиграть в слоты, поэтому старайтесь действовать хладнокровно, ведь вы рискуете своими деньгами.

В этой статье разобрали подробно советы для новичков в сфере азартных игр, которые помогут чаще выигрывать в игре Book of Ra

Бонусы недели
Book of Ra – это игровой автомат от Novomatic, покоривший мир в онлайн и оффлайн режимах. В ней можно сорвать крупный куш практически без вложений! Поймать 3 книги в Book of Ra – заветная мечта миллионов игроков по всему миру. И это реально, если знать некоторые секреты выигрыша.

Внимание! Все стратегии и схемы выигрыша не гарантируют стопроцентного результата. Игровой автомат генерирует выпадающие символы случайным образом, так что никто не может пообещать однозначной победы. Все тактики помогают систематизировать игру, а не обыграть слот.

Не играйте на последние деньги с целью заработка. Грамотно распределяйте бюджет и не позволяйте чувству азарта брать вверх над разумом!

Основные характеристики автомата

Как количество линий влияет на отдачу

Пользуйтесь всеми бонусными возможностями

Повышение ставки

Популярные стратегии в игровом автомате Book of Ra

Как выиграть с минимальными вложениями

Вывод

FAQ

Если провести опрос, то сразу станет понятно, что каждый 2 человек не прочь выиграть круглую сумму в казино. Естественно по наблюдению экспертов многое зависит от удачи, но есть моменты анализа и предвидения результатов. В этой статье мы собрали ТОП-5 книг о казино, которые после прочтения помогут вам повысить свои шансы и получить заветный куш. Опыт игроков, собранный в этой литературе, точно пригодится не только новичкам, но и заядлым игроманам. Многие техники описанные в книгах работают до сих пор, в частности как держать свои эмоции в кулаке и сорваться на крупную ставку и не проиграть целое состояние.

«1000 секретов казино» автор Билл Бартон

«1000 секретов казино» 

Перед тем, как посещать казино прочитайте эту книгу. Она поможет вам не только получить теоритические знания, но и попрактиковаться в домашних условиях. В этой книги вы узнаете какие бывают самые высокие ставки, о стратегиях и дополнительных услугах, которые предоставляет казино. Здесь эксперт поделится своим опытом и расскажет, каких игр вообще стоит избегать, как найти нужный игровой слот, как правильно вложить деньги, чтобы остаться в плюсе. Также он поможет понять, когда игроку стоит отправиться домой. Увлекательная книга, которая имеет большой рейтинг у читателей по всему миру.

«Большая игра» автор Молли Блум

«Большая игра»

Это увлекательная истории из жизни девушки по имени Молли. После того, как она получила травму занимаясь лыжным спортом ей пришлось полностью сменить вид трудовой деятельности. Девушка уезжает в Лос-Анжелес и начинает заниматься подпольным игровым бизнесом. В этой книге вы узнаете о всех нюансах работы казино, то что остается за закрытыми дверями. Именно эта литература поможет вам встряхнуться и освежить голову. Купить и скачать книгу о казино можно на просторах интернета. Реальные истории из жизни помогают лучше понять психологию игроков, а также получить ответы на множество вопросов.

«Как играть в казино для «чайников»» автор Кевин Блэквуд

Как играть в казино для «чайников»

Эта книга будет полезна тем, кто только начинает свой игровой путь. Здесь вы узнаете об основных нюансах. В буквальном смысле – это пособие для новичков. Вы сможете понять основные термины, правила игр, базовые стратегии опытных игроков. Окунаться в игровой мир и быть в нем словно рыба в воде.

«Блэкджек. Профессиональная схема игры» автор Олег Грановский

Блэкджек. Профессиональная схема игры

А вот эта литература отлично подойдет, как новичкам, так и опытным игрокам. Если вы являетесь поклонником Блэкджека, то однозначно стоит ее прочесть. Ведь эта игра является самой популярной в мире. Игроки выбирают ее, как в реальном, так и в онлайн казино. Автор книги является профессиональным игроком и нашим земляком. Он начал проявлять интерес к азартным играм еще с молодых лет. Благодаря своему математическому складу ума, Олегу удалось преуспеть в этом направление. Согласитесь, что всегда здорово получить знания от профессионала.

«Как преуспеть в безлимитном холдеме» автор Джонатан Литтл

«Как преуспеть в безлимитном холдеме»

Автор книги является профессиональным игроком в покер. Он смог стать победителем одного из мировых турниров. Благодаря своим навыком он смог выиграть больше 5,5 миллионов долларов. Автор имеет множество собственных стратегий и делится с читателями. Книга достаточно увлекательная и имеет много практических заданий. Многие поклонники автора завали его произведение настоящим учебным пособием. Ведь это так здорово, когда чемпион делиться своими знаниями и умениями.
Читая книги о казино вы сможете изучить все нюансы, определиться с собственной стратегией, понять основную терминологию. Мы подобрали для вас ТОП-5 самых популярных книг, которые имеют не только теоретическую, но и практическую часть.

Post Views:2 029

На данном уроке мы коснёмся элементовкомбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут ;-)

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше?  Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Пожалуйста, откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики(методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.

Никаких мучений – 3 объекта можно переставить  способами.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:

Запись  в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись  понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
 способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
 способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей, уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно  способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а  яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

В данном случае работает формула количества размещений:

Она отличается от формулы  тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.

Пожалуйста, внимательно прочитайте пункт № 2 методички Основные формулы комбинаторики и постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.

Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными.

Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех жеразличных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы  Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.

Решение и ответ в конце урока.

Увеличиваем обороты:

Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из  объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пятьуникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле  необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно ПОНИМАТЬ и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

 – единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
 способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
 способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
 – единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля, по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений  при небольших значениях «эн».

Задача 4

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:

Задача 4*

В шахматном турнире участвует  человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером  клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».

Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
 различных пар можно составить из  соперников (кто играет белыми, кто чёрными – не важно).

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает  мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Ну а вывода тут два:
– во-первых, не всё очевидное – очевидно;
– и во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!

Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!

Размещения

Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества  различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Что наша жизнь? Игра:

Задача 5

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

 способами можно раздать 3 карты игрокам.

Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:

 способами можно извлечь 3 карты из колоды.

Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей  способами:

КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.

И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:

 способами можно сдать по одной карте трём игрокам.

По существу, получилась наглядная проверка формулы, окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.

Ответ: 42840

Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:

Задача 6

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.

Правило сложения и правило умножения комбинаций

Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом  № 4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

 способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта).

Рассмотрим более основательный пример:

Задача 7

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт не годится, поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

 способами можно выбрать 2 юношей;
 способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:  способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

 способами можно выбрать 1 юношу;
 способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:  способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого:  возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

 возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Задача 8

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из  цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9).  Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует:  трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение  расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десяткови 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десяткови с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

А теперь…

Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче № 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте  способами. Умножение здесь имеет тот же смысл:  способами можно извлечь 3 карты из колоды Ив каждой выборке переставить их  способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Задача 9

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из двух тузов.

(порядок карт в любой паре не имеет значения)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

Задача 10

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем: во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) . Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
 способами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

 способами  можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
 способами  можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
 способами  можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из четырёх сидит дома);
 способом  можно выпустить всех котов.

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
 способами можно отпустить гулять котов.

Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно . Комбинаций заметно прибавится! Дерзайте! А в конце урока я познакомлю вас с удивительно простым решением этого пункта.

в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
 способами можно взять на руки 2 котов.

Второй вариант решения:  способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:

Ответ: а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё один баян для самостоятельного решения:

Задача 11

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?

И тут часто переспрашивают, уточняю: если 2 или 3 человека выходят на одном этаже, то очерёдность выхода не имеет значения. ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт № 2 достаточно коварен, впрочем, один из читателей отыскал простое решение, и я в очередной раз выражаю благодарность за ваши письма!

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте № 5 справочного материала Основные формулы комбинаторики, однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Задача 12

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми, поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1  + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
 различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter.

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решенийв соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:

Задача 13

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Формула  здесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Сочетания с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:

Задача 14

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение: сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Используем формулу  количества сочетаний с повторениями:
 способом можно приобрести 5 пирожков.

Приятного аппетита!

Ответ: 21

Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?

Порой, самое трудное – это разобраться в условии.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 15

В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:

1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.

Решение и ответы в конце урока.

Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:

Размещения с повторениями

Есть две основные модели, где фигурируют размещения с повторениями, рассмотрим их по порядку. Номер один:

Из множества, состоящего из  элементов, выбирается  элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Задача 16

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение: на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики:  способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить:  способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из  цифр, из которого выбираются  цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле  количества размещений с повторениями:

Ответ: 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi.ru:

Задача 17

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х  (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.

Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики ;-) …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.

И здесь в своё время я завершил урок, но любознательные читатели всё не хотят меня отпускать! Да меня и самого не отпускает :) Поэтому разберём ещё один тип задач на размещения с повторениями, они встречаются не так часто, их решение не так очевидно, но знание этого подхода здОрово облегчит жизнь. Вторая интерпретация размещений с повторениями:

Рассмотрим  объектов (или субъектов), каждый из которых может находиться в одном из  состояний (или выбрать одно из  возможных действий). Тогда общее число возможных состояний всего множества объектов (субъектов) рассчитывается по формуле .

Возвращение героя:

Задача 18

У Васи дома живут 4 кота. После завтрака любой кот может уйти гулять или остаться дома.

а) Сколькими способами могут уйти гулять коты?
б) …если каждый из них может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно?

Решение: в Задаче 10 мы прямо перечислили все возможные варианты пункта «а», но этот способ хорош лишь в простых случаях. Уже в пункте «бэ» прямой подсчёт комбинаций вызывает значительные затруднения. Но здесь есть простое и короткое решение:

а) По условию, дано  кота, при этом каждый из них может поступить  способами (остаться дома / уйти гулять), таким образом, коты могут поступить:
 способами, из которых следует исключить один случай (когда все коты остались дома): .

! Обязательно обращайте внимание на условие! Если там задан вопрос «Сколькими способами могут поступить коты?», то корректный ответ 16.

Следует отметить, что данную задачу можно решить и через перемножение комбинаций:  способами может поступить 1-й кот и способами может поступить 2-й кот и способами может поступить 3-й кот и способами может поступить 4-й кот. Таким образом, коты могут поступить  способами. Вот такой вот пин-кот :)

б) Решение проще простого. Здесь у каждого кота три опции :
остаться дома / уйти гулять через дверь / уйти гулять через окно.

Таким образом, коты могут уйти гулять  способами.

Этот пункт, разумеется, тоже можно решить через умножение комбинаций.

Ответ: а) 15,  б) 80

Теперь посмотрим с нового ракурса на Задачу 11, а именно ответим на вопрос «Сколькими способами могут выйти три человека из лифта?». Здесь у нас три человека , каждый из которых может выйти на любом из одиннадцати этажей ( опций). Таким образом, люди могут выйти из лифта  способом.

Разумеется, в условии может идти речь и о неодушевленных объектах, такой пример встретился в первой же дополнительной задаче по комбинаторике:

«В комнате имеется 6 лампочек, каждая со своим выключателем. Сколькими способами можно освещать комнату?»

Там я опять перечислил все возможные комбинации, но есть путь короче. По сути, те же коты: в условии нам дано  объектов, каждый из которых может находиться в  состояниях (включено / выключено), таким образом, комнату можно осветить:
 способами (вычли случай, когда все лампочки выключены).

И, конечно, я не забыл о прогульщиках – никто не отвертится от активного участия в моих уроках :) Для вас заключительная  задача:

Задача 19

В коридоре стоит шеренга из 7 студентов. По команде каждый из них должен произвольно поднять одну руку или одну ногу.

а) Сколькими способами они могут это сделать?
б) … если разрешается поднять любое количество рук / ног? (одновременное поднятие двух рук и двух ног (прыжок) тоже считается комбинацией).

Краткое решение и ответ совсем близко. Пункт «бэ», к слову, не так-то прост, я бы даже присвоил ему категорию повышенной сложности.

Что ещё важно в рассмотренных задачах? Объекты или субъекты не обязаны быть однородными. Пусть вместо 4 котов у Васи обитают кот, пёс, конь и петух. И они тоже могут уйти гулять  способами.

Кроме того, у каждого объекта / субъекта могут быть разные опции: кот может уйти гулять или нет, пёс – облаять гостя или нет, конь – подмигнуть одним глазом или двумя (да, он ;)), а петух – разбудить Васю или не разбудить. Формула та же, правда, её уже нельзя назвать «размещения с повторениями», ибо у каждого животного свои уникальные действия.

И более того, у каждого объекта или субъекта может быть разное количество опций, и тогда задача решается через перемножение комбинаций.

На этом наше увлекательное занятие подошло к концу (?!), и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей, и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)