Kürenin Hacminin Formülü
Kürenin Hacmi
Küre Nedir ? (Kürenin Tanımı)
Üç boyutlu uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesini oluşturduğu geometrik şekle küre denir. sabit noktaya kürenin merkezi, kürenin merkezi ile yüzeyi üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa ise kürenin yarı çapı denir. Küre, köşesi ve kenarı olmayan ilginç bir şekildir. Kendisi ile aynı yüzey alanına sahip geometrik şekiller arasında en büyük hacme sahiptir.
Kürenin Hacim Formülü
Yukarıdaki O merkezli, r yarıçaplı kürenin hacmi;
Tarihte kürenin hacmini hesapladığı bilinen ilk kişi, M.Ö. arasında yaşamış olan Sicilya doğumlu ünlü Eski Yunanlı matematikçi ve mühendis Arşimet'tir.
Kürenin Hacmi Nasıl Bulunur ?
Kürenin hacim formülü olan 4.π.r³/3'ün nereden geldiğini aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.
Bir kürenin hacmini doğrudan hesaplamak mümkün olmadığından ilk önce onu hacmini kolayca hesaplayabileceğimiz veya hacim formülünü bildiğimiz eşit yükseklikte sonsuz sayıda silindir şeklinde dilimlere ayırırız.
Yukarıdaki silindirin hacmi;
Küremizin yarıçapına r dersek, sonsuz incelikteki her bir silindir diliminin yüksekliği r/n olur. dr = r/n'dir. Buradaki "n" sonsuz büyüklükte bir değeri ifade eder iken "dr" ise sonsuz küçüklükte bir değeri ifade eder.
Yukarıdaki şekildeki r yarıçaplı silindirden başlamak üzere bütün silindirlerin hacimlerini sırasıyla toplayalım.
Örnek 1
Yarıçapının uzunluğu 6 cm olan bir kürenin hacmini bulunuz ? (π = 3,14)
V = 4.π.r³/3
V = ,(6 cm)³/3
V = , cm³/3
V = ,96 cm³/3
V = ,32 cm³
Örnek 2
Yarıçapları oranı 2 olan iki kürenin hacimleri oranı ne olur ?
1. kürenin yarıçapına r dersek, 2. kürenin yarıçapı 2r olur.
V1 = 4.π.r³/3
V2 = 4.π.(2r)³/3 = 4.π.8r³/3 = π.r³/3
π.r³/3 = 1 olsun.
V1 = 4
V2 = 32 olur.
V1/V2 = 4/32
V1/V2 = 1/8
Kürenin Yüzey Alanı Formülü
Yarıçapının uzunluğu r olan bir kürenin yüzey alanının değeri;
'dir.
Örnek 3
Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan bir kürenin yüzey alanının değerini bulunuz ? (π = 3,14)
A = 4.π.r²
A = ,(5 cm)²
A = , cm²
A = cm²
Örnek 4
Yüzey alanının büyüklüğü 36π cm² olan bir kürenin hacminin değeri ne olur ?
4πr² = A
4πr² = 36π cm²
r² = 36π cm²/4π
r² = 9 cm²
√r² = √9 cm²
r = 3 cm
V = 4.π.r³/3
V = 4.π.(3 cm)³/3
V = 4.π cm³/3
V = π cm³/3
V = 36π cm³
K&#;renin alanı nasıl bulunur ve hesaplanır? Form&#;l&#; ve &#;rnekleri ile k&#;re y&#;zey alanı hesaplama
Geometrinin Tarihi
İlk geometri doğası gereği bütünüyle sezgiseldir. Nedeni ise ilk insanların etrafında görünen doğal şekillerden kaynaklanır. Bu geometri türü genellikle görselliğe dayalıdır. İkinci aşamada şekillerin ölçülmesi devreye girer. Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçülme durumu ilk defa Mısırda karşımıza çıkar. Burada M.Ö. yılında Ahmes'in papirüsünde görülür.
Hintlilerin yerli geometri ilimlerinde matematiksel ispat yerine görsel ölçülere dayalı kurallar vardır. Romalılara bakıldığında geometriyi uygulamalı kullandıkları görülür. Arazi ölçümleri, su kanalları, şehir yerleşmeleri, savaş sanatında kullanmışlardır. Görsel geometriye ağırlık vermemişlerdir.
Görsel geometrinin kökeni Yunanistan' a dayanır ve ilk kez Thales'in eserlerinde rastlanır. Matematikte ispat tekniği Thales ile birlikte başlamıştır. yüzyılın başında analitik geometri ortaya atılmıştır. Bu geometri türü cebir ile geometri arasındaki ilişkiden doğmaktadır. Söz konusu ilişkiyi ilk kez Descartes ortaya çıkardığından ötürü, büyük bir matematikçi kabul edilmektedir.
Geometrinin Kullanım Alanları
Geometrinin hemen hemen her alanda karşımıza çıktığını söylemek mümkündür. Bazı nicelikleri belirlemek için uzunluk, alan, hacim yüzey, açı gibi kavramlar kullanılır. Geometrinin çoğunlukla iç içe olduğu alanlar bulunur. Bunlar cebir ve trigonometri, mimarlık, mühendislikler, bilgisayar programları, sibernetik, tasarım ve sanat olmaktadır. Bu listeye pek çok alan eklenebilmektedir.
Sanat eserlerinde geometri kullanımı onlara estetik değer katmıştır. Leonardo da Vinci' nin resim alanında vücut oranları üstüne çalışmalar yaptığı bilinir. Buradaki Altın Oran denilmektedir.
Geometride Kürenin Alanı Nasıl Bulunur?
Kürenin alanını hesaplamanın yolu formüllerden geçmektedir. Kürenin alanı hesaplanırken yarıçap uzunluğu baz alınmaktadır. Pi sayısı elde edilen yarıçap uzunluğuyla çarpılır. Bunun neticesinde kürenin yüzey alanının bilgisi ortaya çıkar. Kısacası Pi sayısının yarıçap uzunluğunun karesi alınarak çarpılmaktadır. Çıkan sonuç dört ile çarpılır.
Küre alanını hesaplama formülü 4π.r2 olmaktadır. "R" ifadesi kürenin yarıçap uzunluğuna işaret eder. Pi sayısının rakamsal karşılığı 3, 14 olarak bilinir. Küre alanına yönelik formülü bilmenin yanında pi sayısının karşılığını bilmek de önemlidir. Bu karşılık bilinmeden kürenin alanını hesaplamak mümkün olmamaktadır.
Küre bir merkez, çap veya yarıçap üzerinden tanımlanır. Küreye yönelik formüllerde bu doğrultudadır. Formüllerde V hacim, A yüzey alanı, r çap, S merkez, d yarıçap anlamına gelmektedir. Kürenin hacmi "V = ⁴⁄₃πr³" formülü ile hesaplanır. Alan formülü "4π.r2" olmaktadır.
İlgili formüller bilindiği taktirde küreye yönelik hesaplamalar kolaylıkla yapılmaktadır. Bunların iyi biçimde kavranması önem taşımaktadır. Özellikle formüllerde yer alan simgelerin karşılık geldikleri anlamları unutmamak gerekmektedir.