Asal Sayılar Nedir Kısaca

Dönem dönem manşetlerde karşınıza asal sayılar ile ilgili haberler çıkar. Matematikçiler yeni bir asal sayı keşfettiklerini heyecanla aktarırlar. Konuya yabancı olan birinin aklına bu durum karşısında ister istemez şu soru gelir. “İyi de bu benim ne işime yarayacak?” Eğer siz de bu kişilerden birisi iseniz okumaya devam ediniz. Bu yazıda “Asal sayılar nedir ve neden önemlidir?” sorusunun cevabını anlamaya çalışalım.

Matematikçiler asal sayıları genellikle matematiğin atomları olarak isimlendirirler. Bunun nedeni tüm sayma sayıların temelinde asal sayıların çarpımı ile oluşturulmasıdır. Mesela 12=2x2x3 biçiminde yazılabilir. Bu sayılara bileşik sayılar denir. Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara da asal sayılar veya kısaca asallar denir.

1 sayısı asal değildir, dizi 2’den başlar ve 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… biçiminde devam eder. Bir sayısının neden asal olmadığı genellikle merak edilmektedir. Detayları bu yazıda okuyabilirsiniz: Bir Sayısı Neden Asal Sayı Değildir?

Aslına bakarsanız “Asal sayılar nedir? sorusu uzun zamandır matematikçilerin kafasını meşgul etmekteydi. Eski Yunanlılar, asal sayıların birçok özelliğini anlamışlardı. yıl önce de kendisini daha çok geometriye yaptığı katkılar ile tanıdığımız Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu göstermişti. (Öklid’in Asal Sayıların Sonsuzluğuna Dair İspatı). Günümüzde bildiğimiz en uzun asal sayı   basamaklı  2-1 dir.

Eratostenes’in Kalburu Asal Sayıları Anlamak İçin Elimizdeki En Etkili Araçtır

Asal sayıları incelemek için matematikçiler, yalnızca asallar kalana kadar tam sayıları birbiri ardına bir sanal ağ üzerinden eliyorlar. Bu eleme işlemi sayesinde günümüzde bilgisayarlar bir saniyeden daha kısa sürede milyarlarca asal sayı bulabiliyorlar.

Ancak elek fikrinin ana fikri yılı aşkın süredir değişmedi. Bu konuda bize bir fikir veren ilk kişi Eratosthenes olarak bilinmektedir. Aslında bu fikri hemen hemen her ilk öğretim öğrencisi de bilir. Görünümü aşağıdaki gibi olmaktadır.

Daha Büyüklerini Bulma Çabaları

Asal sayıların listelenmesi konusunda dikkate dönük bir çaba harcayan ilk kişi İngiliz bir matematikçi olan John Pell ( ) olarak bilinir. ’lerin başında ’e kadar olan asal sayıları hesaplamayı başarmıştı. ’e gelindiğinde ise bu sayı 1 milyona ulaşmıştı.  

’lerin ortalarında, matematikçi Jakob Kulik, milyona kadar olan tüm asal sayıları buldu. Bunun için yine Eratosthenes kalburunu kullanıyordu. Ancak gözlemlediği bazı şablonlar sayesinde işi biraz hızlandırmıştı.

Ancak tüm bu çabalar, Carl Friedrich Gauss asal sayıları analiz etmeye karar vermemiş olsaydı, yalnızca bir referans tablosu işlevi görebilirdi. Gauss sayılar ile incelemeler yaptıktan sonra, Gauss, asal sayıların giderek daha az sıklıkta karşımıza çıktığını fark etti. Gauss’un ilk keşfinden bir asır sonra, bulguları “asal sayılar teoremi” ile kanıtlandı. Detaylar burada: Asal Sayı Teoremi Nedir? Neden Gereklidir?

Bugün hesaplamalar bilgisayarlar aracılığı ile yapılsa da matematikçiler yeni şablonlar bulmaya devam ediyorlar. Örneğin, 2 ve 5 hariç tüm asal sayıların sonu 1, 3, 7 veya 9’dur. ’lerde bu olası son rakamların eşit sıklıkta olduğu kanıtlanmıştır. Başka bir deyişle, bir milyona kadar olan asal sayılara bakarsanız, yaklaşık yüzde 25’i 1, yüzde 25’i 3, yüzde 25’i 7 ve yüzde 25’i 9 ile biter.

En Büyük Asal Sayı Sürekli Değişiyor, Bunu Nasıl Buluyoruz?

En büyük asal sayı arayışının ardında yatan neden elbette sadece bir rekoru elde tutmak değildir. Büyük sayılar pratikte çok önemlidir. Bu durumda verilen bir sayının asal çarpanlarına ayrılması ile ilgilidir. Küçük bir sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır. Ancak sayı büyüdükçe bu durum zorlaşmaya başlar. Bu nedenle daha büyük asal sayılar daha fazla güvenlik demektir. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi de işte budur.

Baştan beri dediğimiz gibi asal sayılar sonsuzdur. Bu nedenle en büyük asal sayı diye bir şey yoktur. yılından beri bu sayıları arama işi Mersenne Prime Search (GIMPS) tarafından sürdürülüyor. Hatta bu arayışa sizler de dahil olabiliyorsunuz. Tek yapmanız gereken bilgisayarınıza küçük bir program indirip bir sayının Mersenne Asalı olup olmadığını kontrol etmek olacaktır. Bu noktada da akla gelen soru elbette Mersenne Asalının ne olduğu oluyor.

Mersenne Asalları İle Asal Sayıların İlişkisi

Günümüzde p doğal sayısı için 2^p – 1 şek­lindeki sayılara Mersenne sayıları, bunların asal olanlarına da Mersenne asalları denir. Sebebi, Mersenne’in tarihli Cogitata Physica-Mathematica adlı eserinde ’ye kadarki tüm p değerlerinden sadece p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, ve değerlerinin bize asal sayı verdiğini iddia etmesidir.

Bugün Mersenne’in beş hata yaptığını biliyoruz. İlk olarak p = 67 ve için Mer­senne sayıları bileşik sayıdır. Ayrıca listede yer almayan p = 61, 89, gibi üç asal sayı da Mersenne Asalıdır. Detaylar burada: Bilinen En Büyük Asal Sayı ve Mersenne Asalları

Zaman geçtikçe işin içine bilgisayarlar karıştı. Bunun sonucunda daha fazla Mersenne Asalı ortaya çıktı. Bu tür sayıların asal sayı olup olmadığını kontrol etmek için çok hızlı ve özel yön­temler ortaya kondu. Bunlardan biri Lucas-Lehmer testi olarak bilinmektedir. Bu algoritma ve bilgisayar yardımı ile büyük asal sayı avına çıkabiliriz.

Asal Sayılar Neden Bu Kadar Önemlidir?

Çok uzun bir süre boyunca, asal sayılar ancak matematikçiler için önemliydi. Asal sayıların gerçekten önemli hale geldiği ilk an, ’lerde, asal sayıların açık anahtarlı kriptografi algoritmalarının temeli olarak hizmet edebileceğinin ilk duyurulduğu zamandı. Günümüzde şifreli bir mesaj göndermek için interneti her kullandığınızda asal sayılara dayalı bir algoritma kullanıyorsunuz.

Asal sayılar ayrıca kuantum mekaniği ve soyut cebir gibi alanlarda da önemli rol oynar. Aslına bakarsanız, asal sayılara hiç beklemediğimiz yerlerde de rastlayabiliriz. Örneğin Magicicada cinsi ağustos böcekleri, zamanlarının çoğunu toprak altında kurtçuklar olarak geçirirler. 7, 13 veya 17 yıl sonra ortaya çıkarlar. Ve bu sayıların hepsi asal sayılardır.

Eğer, bu ağustos böceklerinin 12 yıllık yaşam döngüleri olsaydı, 1, 2, 3, 4 veya 6 yıllık yaşam döngülerine sahip olan diğer türler tarafından bulunmaları ve avlanmaları çok daha kolay olabilirdi. Detaylar için: Asal Sayılar ile Ağustos Böcekleri Arasındaki Bağlantı Ne Olabilir?

Asal sayılar ile ilgili bu noktaya kadar aktardıklarımız sadece bir ön bilgi niteliğindedir. Bu sayılar ile ilgili daha bir çok gizem çözümsüz olarak beklemektedir. Örneğin, asal sayıların sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldığıyla ilgili olan Riemann hipotezi, herhangi bir çözümün 1 milyon dolar değerinde olduğu yedi büyük “milenyum probleminden” biridir.

Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sayıları düşündüğümüzde, bazı sayıların diğerlerinden farklı özellikte olduğunu kolayca görebiliriz. Örneğin 10 sayısı 1, 2 ve 5 sayıları ile bölünebilirken, 11 sayısı sadece 1 ve 11 yani kendisi ile bölünebilir. Pozitif tam sayılar kümesinde bu şekilde kendisinden ve 1’den başka böleni olmayan birçok sayı vardır. Bu özellikteki sayılara “asal sayı” denir. İlk on asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 biçiminde sıralanır. 

En Küçük ve En Büyük Asal Sayı Hangileridir?

En küçük asal sayı 2’dir. 2 aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır. En büyük asal sayı ise yazılamaz. Çünkü sonsuz tane asal sayı vardır. Asal sayıların sonsuz tane oluşunun ispatına buradan ulaşabilirsiniz.

Asal Çarpan Nedir?

Bir sayının çarpımlarından asal olanlarına “asal çarpan” denir. 1’den büyük her tam sayı aslında ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımlarından oluşur. Örneğin 11 asal bir sayı iken, 12 sayısı 12=2^2.3 şeklinde asal sayıların çarpımı sonucu elde edilir. Aynı şekilde 21 sayısı 21=3^.7 şeklinde yazılabilir. Yani 1’den büyük her tam sayı asal sayılar ile üretilir. 

Yunan matematikçi Pisagor

Asal Sayıları Kim Buldu?

Asal sayılar ve özellikleri ilk olarak antik Yunan matematikçileri tarafından incelendi. Pisagor okulunun matematikçileri, MÖ MÖ yılları arasında mükemmel sayılar gibi gizemli özellikleri olan sayılarla ilgileniyorlardı. Bu sırada asal sayıların da özelliklerini anladılar ve bu sayılar üzerinde ayrıntılı çalışmalar yaptılar.

Aralarında Asal Sayılar Nedir?

1’den başka ortak böleni bulunmayan iki pozitif tam sayıya “aralarında asal sayı” denir. Örneğin 2 ve 3 sayıları ile 9 ve 10 sayıları aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların en büyük ortak böleni yani EBOB’u 1 iken, en küçük ortak katı yani EKOK’u sayıların çarpımına eşittir. Örneğin 9 ve 10 sayılarının EBOB’u 1’e, EKOK’u ise 90’a eşittir. Görüldüğü gibi aralarında asal sayıların asal olma zorunluluğu yoktur. Asal iki sayı her zaman aralarında asaldır.

Ayrıca asal sayılar şifrelemede kullanılır. Örneğin günümüzde kullandığımız e-posta ve diğer tüm dijital işlemlerde veriler RSA şifreleme yöntemiyle şifrelenir. RSA şifreleme yönteminde olabildiğince büyük asal sayılar kullanılır. Böylece istenmeyen kişilerin verilere ulaşması engellenir. Asal sayıların şifrelemedeki önemini anlattığımız yazıyı buradan okuyabilirsiniz. 

Kaynaklar:

Sadece 1 ve kendisine bölünebilen sayılara asal sayılar denmektedir. Asal sayılar 1 rakamı dışında başka hiçbir sayıya bölünemez. Matematikte birçok asal sayı bulunmaktadır.

Asal Sayılar Hangileridir? (1'den 'e kadar)

Asal sayılar 2 tane pozitif böleni olan doğal sayılardır. Asal sayılar sadece kendisine ve 1 kalansız şekilde bölünen sayılara denir. En küçük asal sayı 2'dir. 2 rakamından sonra da birçok asal sayı bulunmaktadır. 1 den 'e kadar olan asal sayılar 25 tanedir. 1'den 'e kadar olan asal sayılar şu şekildedir:

1 ile arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97'dir.

Asal Sayı Nedir?

Asal sayılar yalnız kendisi ile bölünebilen tüm doğal sayılardır. Asal sayılar yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilir. Başka hiçbir sayıya bölünemezler. Ayrıca asal sayılar pozitif tam sayılardır. Böylece asal sayıları yalnız kendisine ve 1'e bölünebilen pozitif tam sayılardır şeklinde tanımlayabiliriz.

En küçük asal sayı 2'dir. Asal sayılar arasında 2'den başka çift sayılar bulunmamaktadır. Bunun sebebi çift sayıların hepsi 2'ye bölünmesidir. Bu sebeple 2'den başka çift asal sayı bulunmamaktadır. 2 ise yalnız kendisine ve 1 bölünebildiği ve başka bölene uymadığı için asal sayıdır. 1 sayısı ise asal sayı değildir. Çünkü asal sayıların sadece 2 pozitif tam sayı böleni olmalıdır. 1 ise sadece 1'e bölünebildiği için yalnız tek böleni bulunmaktadır.

Asal Sayı Nasıl Bulunur?

Asal sayılar Öklid'den beri sonsuz olduğu kabul edilmiştir. Bu nedenle bütün asal sayıları bulmak mümkün değildir. 1'den 'e kadar asal sayılar şu şekilde bulunabilir:

- Bir tablo oluşturun ve 1'den 'e kadar tüm sayıları yazın.
- Tablo üzerinden 2 sayısının tüm katlarına çarpı atın.
- Daha sonra 3 sayısının tüm katlarına çarpı atın.
- Sayılar büyüdükçe tüm sayıların katlarına çarpı atın.
- En küçük asal sayı 2 olduğu için 1 sayısına da çarpı atın.
- Geriye kalan sayılar asal sayılar olacaktır.

Kısaca asal sayılar sadece kendine ve 1'e bölünebilen pozitif tam sayılardır. Bu sebeple kendisi dışında başka hiçbir sayıya bölünemezler. Karşılaşılan sayının kendisi dışında bir böleni bulunmuyor ise o bir asal sayıdır. Asal sayılar bu şekilde de bulunabilir.