Iki Basamaklı Sayılarla Çarpma Işlemi Nasıl Yapılır

İlkokul 3. sınıf matematik dersi, Üç Basamaklı Sayılarla Çarpma İşlemi konu anlatımını bu sayfada bulabilir ve pdf olarak indirebilirsiniz.

DOĞAL SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

BU KONUDA NELER ÖĞRENECEĞİZ?
→ Çarpma işleminin kat anlamı
→ Altışar, yedişer, sekizer, dokuzar ve onar çarpım tablosu oluşturalım
→ Eldesiz ve eldeli çarpma işlemi
→ İki basamaklı sayılarla iki basamaklı sayıları çarpma
→ Üç basamaklı sayılarla bir basamaklı sayıları çarpma

Çarpmanın Kat Anlamı

Zehra teyzenin evi 1 katlıdır ve evin 4 penceresi vardır.

Hatice teyzenin evi ise 5 katlıdır. Evin her katında 4 pencere vardır.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 pencere
4’ün 5 katı20’dir.
5tane4 = 20’dir.
5 kere 4 = 20
5 x 4 = 20 pencere

O halde Hatice teyzenin evinin pencere sayısı, Zehra teyzenin evinin pencere sayısının 5 katıdır.

4 → 8 → 12 → 16 → 20

Ritmik sayarken söylediğimiz her sayı, ileriye doğru kaçarlı ritmik sayıyorsak o sayının katıdır.
Örneğin (2, 4, 6, 8, 10, 12 &#;) söylediğimiz sayılar 2’nin katlarıdır.

Çarpım Tablosu Oluşturalım

Altışar Çarpım Tablosu

Aşağıdaki yüzlük tabloda altışar ritmik saydığımız sayılar mavi renkle gösterilmiştir.

6 → 12 → 18 → 24 → 30 → 36 → 42 → 48 → 54 → 60 → 66 → 72 → 78 → 84 → 90 → 96

Yukarıda mavi renkli kutulara bakarak aşağıdaki çarpım tablosunu inceleyelim. Çarpım tablosunun nasıl oluştuğunu görelim.

Yedişer Çarpım Tablosu

Aşağıdaki yüzlük tabloda yedişer ritmik saydığımız sayılar sarı renkle gösterilmiştir.

7 → 14 → 21 → 28 → 35 → 42 → 49 → 56 → 63 → 70 → 77 → 84 → 91 → 98

Sekizer Çarpım Tablosu

Aşağıdaki yüzlük tabloda sekizer ritmik saydığımız sayılar yeşil renkle gösterilmiştir.

8 → 16 → 24 → 32 → 40 → 48 → 56 → 64 → 72 → 80 → 88 → 96

Dokuzar Çarpım Tablosu

Aşağıdaki yüzlük tabloda dokuzar ritmik saydığımız sayılar pembe renkle gösterilmiştir.

9 → 18 → 27 → 36 → 45 → 54 → 63 → 72 → 81 → 90 → 99

Onar Çarpım Tablosu

Aşağıdaki yüzlük tabloda onar ritmik saydığımız sayılar yeşil renkle gösterilmiştir.

10 → 20 → 30 → 40 → 50 → 60 → 70 → 80 → 90 →

Eldesiz Çarpma İşlemi

Örnek: Öğretmenimiz bir etkinlikte kullanmak üzere 4 kutu boya kalemi getirdi. Her kutuda 12 kalem olduğuna göre öğretmenimizin getirdiği toplam kalem sayısını bulalım.

Toplam boya kalemleri sayısını bulmak için kutu sayısı ile her kutuda bulunan boya kalemleri sayısını çarparız.

4 x 12 = 48

Öğretmenimiz toplam 48 adet kalem getirmiştir.

Eldeli Çarpma İşlemi

Örnek: Bir portakal kasasında 36 adet portakal vardır. Manav Mehmet Bey bugün 2 kasa portakal sattı. Mehmet Bey’in toplam kaç tane portakal sattığını bulalım.

Mehmet Bey&#;in sattığı portakal sayısını bulmak için kasa sayısı ile her kasada bulunan portakal sayısını çarparız.

2 x 36 = 72

Manav Mehmet Bey toplam 72 adet portakal satmıştır.

İki Basamaklı Sayılarla İki Basamaklı Sayıları Çarpma

Örnek: Okulumuzda 18 sınıf ve her sınıfta 16 sıra vardır. Okulda toplam kaç sıra olduğunu bulalım.

Sıra sayısını bulmak için sınıf sayısı ile her sınıfta bulunan sıra sayısını çarpalım.

İşlemi önce rakamların bulunduğu basamak değerini göz önüne alarak yapalım.

18 x 16 =

Okulda toplam tane sıra vardır.

Şimdi de aynı çarpma işlemini basamak kaydırarak yapalım.

Çarpma işleminin 2. satırındaki sıfır, sonucu değiştirmediğinden yazılmaz.

Üç Basamaklı Sayılarla Bir Basamaklı Sayıları Çarpma

Örnek: Bir okulun kantinine her gün adet simit geliyordu. Gelen simitlerin hepsi satıldığına göre iki günde kaç adet simit satılacağını bulalım.

Satılan simit sayısını bulmak için gün sayısı ile her gün satılan simit sayısını çarparız.

İki günde toplam simit satılmıştır.

3. sınıf Çarpma İşlemi konusunu pekiştirelim.

Yaklaşık 4 bin önce, Babilliler çarpma işlemini icat etti. Yakın zamanda da, matematikçiler onu mükemmelleştirdi.

Okullarda öğretilen çarpma işlemi dünyanın hemen her yerinde aynı biçimde yaparız. İki sayı alır, alttaki sayının her basamağını tek tek üstteki sayı ile çarparız. Sonrasında da çıkan sonuçları toplarız. İki basamaklı iki sayı birbiri ile çarpmak için de birer basamaklı dört sayıyı birbiriyle çarpmanız gerekir.

İlköğretim yıllarının başında öğrendiğimiz bu yöntem de elbette sorun yoktur. Hatta küçük sayıları birbiri ile çarpmak için en kolay metot elbette hala budur. Ancak bu çarpma işlemini kullandığımız adım sayısı olarak düşünürseniz, nihayetinde ürkütücü bir gerçekle karşılaşacaksınız.

Sonuçta iki tane bir basamaklı sayıyı çarpmak için bir küçük çarpma işlemi, iki tane iki basamaklı sayıyı çarpmak için dört küçük çarpma işlemi, 3 basamaklı iki sayıyı çarpmak için de 9 çarpma işlemi yapmanız gerekir. Yani n basamaklı iki sayıyı birbiri ile çarparsanız bunun için n² tane çarpma işlemi yapmanız gerekecektir. Bu durumda basamaklı iki sayıyı çarpmak için adet çarpma işlemi yapmak gerekir.

Gerçekten de bir bilgisayarımız veya hesap makinemiz yoksa, büyük sayıları çarpmak son derece zaman alıcıdır. Bu sorun sadece ortalama bir insan geçerli de değildir. Bilgisayarlar sayılar büyüdükçe uzun çarpma işlemi ile ilgili sorunlar yaşamaya başlarlar. Bir milyar basamaklı iki sayıyı çarpmak, 10 ¹⁸ tane çarpma gerekir. Bu da modern bir bilgisayarın yaklaşık 30 yılını alır.

Yakın zamanda David Harvey ve Joris van der Hoeven adlı matematikçiler, çarpma işlemini daha hızlı yapmak için farklı bir yöntem önerdi. Bu yöntem sayesinde çok büyük sayıları çarpmak artık daha kolay.

Çarpma İşlemini Daha Hızlı Yapmak İçin Uzun Yıllardır Yeni Yöntemler Araştırıyoruz

Herkes temelde okulda öğrendiğiniz yöntemin en iyi yöntem olduğunu düşünse de aslında matematikçiler konu ile ilgili bir çok araştırma yapmaktadır. Çarpma işleminin hikayesi, yılında Rus matematikçi Anatoly Karatsuba’nın öne sürdüğü bir iddia ile değişti. Kendisi günümüzde adı ile anılan farklı bir teknik ortaya koymuştu.

Karatsuba tekniği, iki basamaklı sayılar yerine büyük sayılarla uğraşırken kolayca kullanılacağınız bir yöntem. Yapmanız gereken sayınızı, sayının ne kadar basamağı varsa, o kadar parçaya ayırmak. Bu sayede de çarpma işlemini daha az adım gerektiren toplama ve çıkarma işlemleri haline gelecektir.

Sonucunda çarpma işleminin n² adımda yaptığı işi, toplama ve çıkarma işlemi  2n adımda yapar. Bu da zamandan tasarruf anlamına gelmektedir. Büyük sayıları hızlıca çarpmak için Karatsuba yöntemini nasıl kullanacağınızı görseli detaylı bir biçimde inceleyerek anlayabilirsiniz.

Karatsuba Yöntemi İle Çarpma İşlemi Nasıl Yapılır?

Karatsuba algoritmasının hükümdarlığı, Arnold Schönhage ve Volker Strassen’in de yayınladıkları bir makale ile son buldu. İki Alman matematikçi tarafından geliştirilen Schönhage-Strassen algoritması aslında ’den ’ye kadar en hızlı çarpma yöntemiydi. Bu yöntem, bir milyar basamaklı iki sayı söz konusuyken, Karatsuba yönteminden trilyon daha az adıma ihtiyaç duyuyor. Tam olarak söylemek gerekirse bu çarpma işlemi tam olarak n x logn adım gerektiriyor.

Schönhage ve Strassen’in bulduğu yöntem, beraberinde, uzun vadede iki önemli sonucu daha getirdi. İlki, bu yöntemin hızlı Fourier dönüşümü adı verilen ve sinyal işleme alanında da kullanılan bir teknik kullanmasıydı.

Schönhage ve Strassen’in yöntemi 36 yıl hüküm sürdü. Onların ortaya koyduğu yöntem, matematikçilerin, her seferinde n x logn  ifadesine biraz daha yaklaşan, daha hızlı çarpma algoritmaları geliştirmelerine ön ayak oldu. Son önerilen, yazının başında aktardığımız yönteme de aslında, onlardan önce yapılan önemli işlerin bir rötuşu olarak bakılabilir.

Yeni yöntemde Fourier dönüşümü bir değil, bir çok defa kullanılıyor. Böylece çok daha fazla sayıda çarpmayı toplama ve çıkarma ile yer değiştirmek mümkün oluyor. Bu çarpma yöntemi eski yöntemlerden üç kat daha hızlı. Bu durumda şimdilik çarpma işlemini yapmak ile ilgili en hızlı yolu bulmuş olabiliriz.

Kaynaklar ve İleri Okuma:

Dip Not:

Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel