12 Sınıf Limit Konu Anlatımı Pdf

Limit-ve-süreklilik

Sonsuza kadar yaşamak mümkün mü?

Işık hızı ile giden bir araca bindiğinizde zaman durur. Yani hiç yaşlanmazsınız

Limit ve Sonsuz Kavramı


etiketler: sayı bölü sonsuz neden sıfırdır

Zaman yolculuğunu limitten çözmeye çalışırsak, hız sonsuz olduğunda zaman sıfır, hız sıfır olduğunda ise zaman sonsuz olur.



Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı ve Sorular

Çözümlü Limit Soruları (Yeni nesil sorularla- AYT test) 
Pdf olarak indirmek için tıklayınız

Fonksiyonlarda limit ve süreklilik konu anlatım:

Limit Konu-1

Parçalı fonksiyonların limiti konu anlatım
Limit Konu-2

Belirsizlikler
Limit Konu-3

Belirsizlikler
Limit Konu-4

Süreklilik konu anlatım ve sorular:
Limit Konu-5

Limit zor sorular ve bazı ispatlar - pdfindir

Limit Pratik Yöntemler

Köklü ifadelerde limit alma örneği (pratik yol)


AYT matematik ana sayfa için tıklayınız

Hazırlayan: funduszeue.info Eğitim Bölümü

Soldan Yaklaşma

Örnek:

Sağdan Yaklaşma

Örnek:

Soldan Limit

Örnek:

Sağdan Limit

Örnek:

Limit

Örnek:

Not:

Not:

Örnek:

Limit Özellikleri

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Bileşke Fonksiyonlarda Limit

Örnek:

Not:

Örnek:

Parçalı Fonksiyonlarda Limit

Örnek:

Örnek:

Çözüm:

Mutlak Değer Fonksiyonlarda Limit

Örnek:

Örnek:

BELİRSİZLİK DURUMLARI

0/0 BELİRSİZLİĞİ

Örnek:

Örnek:

Çözüm:

Sıkıştırma Teoremi

Örnek:

Sinx/x ve Sıkıştırma Teoremi

Trigonometride 0/0 belirsizlikleri

Örnek:

1/x in 0 ve sonsuz durumları

Örnek:

Not:

Not:

Sonsuz / Sonsuz Belirsizliği

Örnek:

Not:

Not:

Örnek:

Süreklilik

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Örnek:

Uç Noktalarda Süreklilik

Örnek:

Not:

Örnek:

Not:

Not:

Örnek:

Çözüm:

Ara Değer Teoremi

Örnek:

LİMİT KONU NOTLARI funduszeue.info Soldan Yaklaşma x değişkeni bir a sayısına, a dan daha küçük değer￾lerle yaklaşıyorsa buna denir. x a şeklinde gösterilir. soldan yaklaşma Örnek: x 2 deniyorsa, 2&#;ye soldan yaklaştığımızı düşü- neceğiz. Yani, 1,9 1,99 1, gibi 2&#;den küçük değerlerle git gide 2 ye doğru yaklaşacağız. Sağdan Yaklaşma x değişkeni bir a sayısına, a dan daha büyük değer￾lerle yaklaşıyorsa buna denir. x a şeklinde gösterilir. sağdan yaklaşma Örnek: x 2 deniyorsa, 2&#;ye sağdan yaklaştığımızı düşü- neceğiz. Yani, 2,1 2,01 2, gibi 2&#;den büyük değerlerle git gide 2 ye doğru yaklaşacağız. Soldan Limit x a x, a&#;ya soldan yaklaşırken y f(x) fonksiyonu da bir b reel sayısına yaklaşıyorsa bu değere a noktasında￾ki denir. lim f(x) b olarak gösterilir. soldan limiti Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) lim f(x) 2 dir. (Mavi) Sağdan Limit x a x, a&#;ya sağdan yaklaşırken y f(x) fonksiyonu da bir b reel sayısına yaklaşıyorsa bu değere a noktasında￾ki denir. lim f(x) b olarak gösterilir. sağdan limiti Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) lim f(x) 1 dir. (Mavi) Limit x a x a x a f(x)&#;in a noktasındaki soldan ve sağdan limitleri birbirine eşitse, f(x)&#;in a noktasında limiti vardır. Yani, lim f(x) L ve lim f(x) L ise, lim f(x) L dir. Eşit değilse, limit yok tur. Örnek: x 5 x 3 lim f(x) 3 tür. (Kırmızı) limf(x) yoktur (sağdan ve soldan farklı). Not: Limitin olması için f(x) in o noktada tanımlı olması gerekmez. O noktada farklı bir değeri varsa, limiti de değiştirmez. Mesela, bir önceki örnekte f( 5) 1 iken x 5 lim f(x) 3 çıktı. Not: funduszeue.info x a f(x)&#;in grafiği a noktasında bir kopmaya uğramamışsa limf(x) f(a) diyebiliriz. Örnek: x 3 x 1 x 4 lim f(x) f(3) 2 dir. lim f(x) 2 dir. lim f(x) yoktur. Limit Özellikleri Sabit fonksiyonlarda limit değeri her zaman aynı sabite eşittir. Örnek: x 2 Burasının ne olduğu￾nun önemi yok. f(x) 3 olsun. lim f(x) 3 tür. Not: Polinom tipli fonksiyonlarda limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. Örnek: 3 3 x 2 f(x) x x 1 olsun. lim f(x) f(2) 2 2 1 8 2 1 11 olur. Not: x c Farklı fonksiyonların x c noktasında limiti ise, bunların toplamının ya da farkının c noktası için limiti, ayrı ayrı elde edilen limit değerlerinin toplamı ya da farkına eşittir. lim (f( var x c x c x) g(x)) lim f(x) lim g(x) Örnek: x 2 x 2 x 2 lim f(x) 3 ve lim g(x) 5 olsun. lim [f(x) g(x)] 3 5 8 dir. Not: x c lim [f(x) g(x)] limitinin var olması, ayrı ayrı f(x) ve g(x) in x c noktasında limitlerin olduğunu göstermez. Örnek: x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 f(x) in x 3 te lim f(x) 4 ve lim f(x) 1 olsun. limiti yoktur. g(x) in x 3 te lim g(x) 1 ve lim g(x) 4 olsun. limiti yoktur. Ancak, lim [f(x) g(x)] 5 ve lim [f( x 3 x) g(x)] 5 tir. O halde, lim[f(x) g(x)] 5 tir. Not: x a x a c bir gerçel sayı olmak üzere, lim c.f(x) funduszeue.info f(x) tir. Yani fonksiyonun katsayısını, limitin dışına çarpım olarak çıkarabiliriz. Örnek: x 3 x 3 x 3 lim f(x) 5 olsun. lim 6.f(x) 6 lim f(x) 30 olur. Not: x c x c x c x c x c x c x c x c x c lim f(x) ve lim g(x) lim[f(x).g(x)] limf(x) limg(x) tir. (Yani ayrı ayrı limit alıp, çarpabiliriz.) limf(x) f(x) lim tir. g(x) 0 ve limg(x) 0 g(x) limg(x) (Yani ayrı varsa n n x c x c ayrı limit alıp, bölebiliriz.) n bir tam sayı ise, lim f (x)= lim f(x) dir. (İlk önce fonksiyonun limitini bulup, sonra üssünü alabiliriz.)    Örnek: funduszeue.info x 2 x 2 x 2 x 2 5 5 x 2 lim f(x) 3 ve lim g(x) 4 olsun. lim[f(x).g(x)] 12 dir. f(x) 3 lim tür. g(x) 4 lim f (x) 3 tür. Not: x c x c x c lim f(x) lim f(x) limf(x) tir. (Yani ilk önce limit alıp, daha sonra mutlak değerini alabiliriz.) varsa Örnek: x 6 x 6 lim f(x) 5 ise lim f(x) 5 tir. Not: n n x c x c x c lim f(x) lim f(x) lim f(x) tir. (Yani ilk önce limit alıp, daha sonra kökünü alabi￾liriz.) * Eğer n çift ise f(x) negatif olmamalı. (Tanım gereği, çift dereceli köklü bir ifadenin varsa içi negatif olamaz.) Örnek: 3 3 x 2 x 2 lim f(x) 8 ise lim f(x) 8 2 dir. Not: f(x) x c lim f(x) f(x) x c x c a bir üstel fonksiyon olsun. lim f(x) ise lim a a eşittir. var Örnek: f(x) 4 x 1 x 1 lim f(x) 4 ise lim 5 5 tür. Not: a a x c x c x c limf(x) ise, lim log f(x) log lim f(x) tir. Değerler, logaritmanın tanım aralığında olmalı. var Örnek: 2 2 x 1 x 1 lim f(x) 4 ise lim[log f(x)] log 4 2 dir. Not: x a x a x a x a x a değeri, trigonometrik fonksiyonları tanımsız yapmıyorsa lim sinx sina, lim cosx cosa lim tanx tana, lim cotx cota dır. Örnek: x 3 lim tanx tan 3 tür. 3 Bileşke Fonksiyonlarda Limit x m x n x m x m lim g(x) n ve lim f(x) k olsun. lim(fog)(x) k dır. x n noktasında, f fonksiyonu tanımlı ve limiti f(n) e eşitse, bileşke fonksiyonun limiti lim(fog)(x) f lim x m g(x) f(n) dir. Örnek: 2 x 3 f(x) x 1 ve g(x) x 2 olsun. lim (fog)(x) f(g(3)) f(1) 2 dir. Not: Bir fonksiyonun x a noktasında limitsiz olması, bileşke fonksiyonun x a da limitsiz olacağı anla￾mına gelmez. Böyle durumlarda soldan ve sağdan detaylı ince￾lemeliyiz. Örnek: funduszeue.info x 3 x 3 2 x 3 4 4 e, 4&#;ten daha küçük değerlerle yaklaşıyor. lim (fof)(x) var mı, bakalım. Soldan başlayalım. lim (fof)(x) f(f(3 )) f(2) 2 dir. Sağdan başlayalım. lim (fof)(x) f( f(3 ) x 3 ) f(4 ) 2 dir. Aynı değeri bulduğumuz için limit vardır. lim (fof)(x) 2 dir. Parçalı Fonksiyonlarda Limit Parçalı fonksiyonlarda limit bakarken kritik nokta￾larda dikkatli olmalıyız. Sağdan ve soldan limitler birbirine eşitse, ancak o zaman limit var dır. Örnek: x 2 x 2 2 x 2 2 2x 1 x 2 f(x) 3 x 2 lim f(x) var mıdır? 10 x x 2 lim f(x) 2x 1 3 tür. x 2 de limit yoktur. lim f(x) 10 x 8 dir. Örnek: x a x 2 f(x) 2x a x 2 fonksiyonu tüm gerçel sayılarda limitli olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm: x 2 x 2 Tüm gerçel sayılarda limitli ise, x 2 noktasında da limiti vardır. Yani, lim f(x) lim f(x) olmalıdır. 2 a 4 a 2a 2 a 1 dir. Mutlak Değer Fonksiyonlarda Limit Mutlak değerin içini 0 yapan nokta, kritik noktadır. Kritik noktalarda sağdan ve soldan limite bakmalıyız. Diğer noktalarda ise limit, fonksiyonun görüntüsüne eşittir. Örnek: x 3 içerisi negatif x 3 x 3 2 x 3 lim var mıdır, inceleyelim. x 3 2 x 3 2 (x 3) lim lim x 3 x 3 içerisi pozitif x 3 x 3 2 dir. 2 x 3 2 (x 3) lim lim x 3 x 3 2 dir. O halde, limit yoktur. Örnek: x 1 x 1 2 x 3 lim var mıdır, inceleyelim. x 2 x 1 değeri, kritik değer değildir. Direkt,yerine yazabiliriz. 2 x 3 2 1 3 4 lim tür. x 2 1 2 3 3 BELİRSİZLİK DURUMLARI 0/0 BELİRSİZLİĞİ x a x a x a lim f(x) 0 ve limg(x) 0 olsun. f(x) 0 lim hesabında belirsizliği ile karşılaşılır. g(x) 0 Bu durumdan kurtulmak için sadeleştirme yapılıp, sonrasında limit hesaplanır. Örnek: 2 x 3 x 3 x 9 lim ? x 3 9 9 0 x 3 yazdığımızda belirsizliği oluşur. 3 3 0 (x 3) lim (x 3) x 3 x 3 lim (x 3) 3 3 6 buluruz. Örnek: 2 x 2 3x a lim limiti gerçek bir sayıya eşitse, a kaçtır? x 2 funduszeue.info Çözüm: 2 2 0 x 2 değeri paydayı 0 yapıyor. Eğer durumu 0 oluşmazsa bu ifadenin bir limiti olmaz. x 2 için 3x a 0 olmalıdır. a 0 12 a 0 a 12 dir. Sıkıştırma Teoremi x a x a x a x a x a L L x a lim f(x) lim h(x) L ve f(x) g(x) h(x) ise a noktasındaki limitleri için de aynı durum geçerli olacaktır. Yani, lim f(x) lim g(x) lim h(x) olur. O halde, lim g (x) L olmak zorunda kal ır. Örnek: x 3 x 3 x 3 Her x değeri için f(x) g(x) h(x) sağlanıyor olsun. lim f(x) 5 ve lim h(x) 5 ise, lim g(x) 5 tir. Sinx/x ve Sıkıştırma Teoremi OBD üçgeninin OBD daire OBC üçgeninin alanı diliminin alanı alanı 1 1 1 sinx 2 2 x 1 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 1 tanx 2 sinx x tanx 2 ile genişletelim. 2 2 2 sinx x tanx her tarafı sinx e bölelim. x 1 1 olur. lim alalım. sinx cosx x 1 lim 1 lim lim sinx cosx x 1 lim sinx x 0 x 0 1 x sinx O halde, lim 1 dir. Veya lim 1 dir. sinx x Trigonometride 0/0 belirsizlikleri x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 sinx sinax a sinax a lim 1 lim lim x bx b sinbx b x bx b sinbx b lim 1 lim lim sinx sinax a sinax a tanx tanax a tanax a lim 1 lim lim x bx b tanbx b tanax a lim sinbx b * cosx ve cotx için bu durumları direkt yazamayız. Örnek: x 0 x 0 x 0 sin5x 5 lim dır. 6x 6 tan2x 2 1 lim tür. sin6x 6 3 tan2x 0 0 lim 0 dır. belirsizliği yok. cos2x 1 0 1/x in 0 ve sonsuz durumları x x 0 x 0 x 0 1 lim 0 dır. x 1 1 1 lim yoktur. lim ve lim dur. x x x Örnek: x x 2 x 0 negatif çok küçük sayı 3 lim 0 dır. x 3 3 lim dir. x 2 3 3 lim dur. x 0 funduszeue.info Not: x a a R olsun. lim 0 dır. x Not: x sinx sinx, [ 1, 1] aralığında sınırlı lim 0 dır. x olduğu için. Sonsuz / Sonsuz Belirsizliği x x x P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, P(x) der[P(x)] der[Q(x)] ise lim 0 dır. Q(x) P(x) Baş katsayıların der[P(x)] der[Q(x)] ise lim Q(x) oranına eşittir. P(x der[P(x)] der[Q(x)] ise lim ) dur. Q(x) Örnek: 2 2 x x x x 1 lim lim x 3 2 2 1 1 x x x 2 2 2 2 2 2 x x 1 1 0 0 0 0 3 3 1 0 1 1 1 x x 2x 1 lim lim x 3 2 2 1 2 x x 2 2 2 2 3 2 x x 1 2 2 0 2 dir. 3 3 1 0 1 1 x x 3x 1 lim lim x 3 2 2 1 3x x x 2 2 2 1 3 0 3 3 1 0 1 1 x Not: x a Limitin sonucu bir reel sayı çıkıyorsa limit vardır, diyebiliriz. ifadesi, birer reel sayı değildir. Bu sebeple lim f(x) ise, f(x) in x a da limiti yoktur. Not: x x x x x x 0 ile 1 arasında Üstel fonksiyonun sonsuzdaki durumu a 1 ise lim a dur. 0 a 1 ise lim a 0 dır. da ise, bu durumlar yer değiştirir. 1 a 1 ise lim a a 0 a x x 1 den büyük dır. 1 0 a 1 ise lim a a dur. a Örnek: x x x x x x x x lim 6 dur. 1 lim 7 0 dır. 7 1 lim 0 dır. 8 1 lim 9 dur. 9 Süreklilik Tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyonu, kalemi kaldırmadan çizebiliyorsak fonksiyon süreklidir. Tanımlı olduğu aralıkta kalemi kaldırdığımız noktalar &#; da ise fonksiyon süreksizdir (sürekli değildir.). Örnek: x 3 te, x 1 de ve x 4 te kopma olduğu için f(x) sürekli değildir. Diğer noktalarda ise süreklidir. x a x a f(x) fonksiyonu x a da sürekli ise, lim f(x) f(a) lim f(x) eşitliğini sağlar. Not : funduszeue.info Mesela, yukarıdaki grafikte x 2 için, sağdan ve soldan limitler aynı ve x 2 değeri de buna eşittir. Not: Tanımlı olmayan noktada süreklilik inceleyemeyiz. O yüzden bu noktalarda süreksizdir, demek hatalıdır. Örnek: x 2 için fonksiyon tanımlı olmadığı için sürekliliğe bakılamaz. Yani, f(x) fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta süreklidir. Not: Polinom fonksiyonlar, reel sayılarda süreklidir. 3 2 f(x) x 3x reel sayılarda süreklidir. x g(x) x 4 te tanımsız olacağı için x 4 g(x) reel sayılarda süreklidir, diyemeyiz. Uç Noktalarda Süreklilik Uç noktalardaki süreklilik için tek taraflı limitin fonksiyonun değerine eşit olması yeterlidir. Çünkü, uç noktalarda çift taraflı limit arayamayız. Örnek: 5 x ( , 5] aral ığında süreklidir. Not: f(x) fonksiyonu sürekli ise, f(x) de süreklidir. Örnek: 2 x 3x fonksiyonu reel say ılarda süreklidir. Not: f ve g sürekli ise, f g, f.g, k.f(x) fonksiyonları da süreklidir. f(x), sin[f(x)] gibi başka bir fonksiyonun içinde olursa, tanım kümesi ile sınırlı olarak süreklidir. g(x) 0 olmayan noktalarda da f süreklidir. g Not: x a da g(x) sürekli ve f(x) de g(a) da sürekli ise (fog)(x) fonksiyonu süreklidir, diyebiliriz. x a da g(x) sürekli değilse, ayrıntılı incelemeliyiz. Örnek: 4 x 1 1 x 0 f(x) g(x) 4 x 1 x x 0 (fog)(x) bileşke fonksiyonu kaç noktada süreksizdir? ÇÖZÜM: 1 x 0 x 0 x 0 olan noktalarda (fog)(x) f(g(x)) f( 1) 4 tür. Süreklidir. x 0 noktasında, lim (fog)(x) f(g(0 )) f( 1) 4 tür. lim (fog)(x) f(g(0 )) f(0 ) 4 tür. (fog)(0) f( 1) 4 tür. Sürek x 1 x 1 lidir. 0 x 1 olan noktalarda g(x) hep 0 ile 1 arasında olduğu için (fog)(x) 4 olur. Sürekli olur. x 1 olduğunda, f(x) için kritik noktaya gelinir. lim (fog)(x) f(g(1 )) f(1 ) 4 tür. lim (fog)(x ) f(g(1 )) f(1 ) 4 tür. Limitler farklı olduğu için, sürekli olamaz. x 1 olan noktalarda g(x) hep 1 den büyük olduğu için (fog)(x) 4 olur. Sürekli olur. Sadece x 1 de süreksizdir. Ara Değer Teoremi funduszeue.info f(x) fonsiyonu [a, b] aralığında sürekli olsun. c değeri f(a) ile f(b) arasında ise, f(x) c e şitliğini sağlayan en az bir x değeri vardır. Örnek: f(x) fonksiyonu reel sayılarda sürekli bir fonksiyon olsun. f(1) 2 ve f(5) 4 olsun. f(x) 0 &#;ı sağlayan en az bir kök vardır. (Birden fazla da olabilir.)

Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak  bilgi sahibi olabilirsiniz. Limit konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor&#;

Soldan Yaklaşma, Sağdan Yaklaşma

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve  x → a^&#;  biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x →a⁺  biçiminde gösterilir.

Limit Kavramı

Bir f(x) fonksiyonunda x değişkenine bir a değerine sınırsız yaklaşan değerler verildiğinde fonksiyondaki f(x) değerleri de bir L değerine sınırsız yaklaşıyorsa; bu L değerine f(x) fonksiyonunun a değeri için limiti denir.

Önemli 

şeklinde gösterilir.

şeklinde gösterilir.

şeklinde gösterilir.

şeklinde gösterilir.

lim f(x) ifadesinin alabileceği tek bir x→ a değer vardır.

f(x) fonksiyonu x=a için tanımsız olsa olsa bile lim f(x) bulunabilir.

x→a

Çünkü lim f(x) demek f(a) demek değil x→a  &#; x,a&#;ya yaklaşırken f(x)&#;in yaklaştığı değer demektir.

Limitin Özellikleri

Parçalı Fonksiyonun Limiti

Belirli reel sayı aralıklarına göre tanımlamaları yapılmış bir parçalı fonksiyonda bu aralıkların sınır değerleri olan gerçek sayılar fonksiyonun kritik noktalarıdır.

Kritik noktalar dışındaki herhangi bir gerçek sayı için fonksiyonun limitini bulmak istersek; “gerçek sayının bulunduğu aralık için tanımlanan fonksiyonun, bu gerçek sayı için limiti bulunur.”

Kritik noktalar için limit incelemesi yapılırken, kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelenir. “Kritik nokta için sağdan limit ile soldan limit aynı L değerine eşit oluyorsa, kritik nokta için fonksiyonun limiti L olur.”

Kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelemesi sonucunda; “sağdan limit ile soldan limit farklı değerler çıkıyorsa bu kritik nokta için fonksiyonun limiti yoktur.”

Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

Bir mutlak değer fonksiyonunda bulunan mutlak değer içindeki ifadeyi sıfırlayan gerçek sayı, bu fonksiyonun kritik noktasıdır.

Kritik noktalar dışındaki herhangi bir gerçek sayı için fonksiyonun limitini bulmak istersek; “Bu gerçek sayıyı fonksiyonda doğrudan yerine yazıp sonucu buluruz.”

Örnek:

Kritik noktalar için limit incelemesi yapılırken, kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelenir. “Kritik nokta için sağdan limit ile soldan limit aynı L değerine eşit oluyorsa, kritik nokta için fonksiyonun limiti L olur.”

Kritik nokta için sağdan ve soldan limit incelemesi sonucunda; “sağdan limit ile soldan limit farklı değerler çıkıyorsa bu kritik nokta için fonksiyonun limiti yoktur.”

0/0 Belirsizliği

Pay veya paydada köklü ifadelerin bulunması durumunda sadeleştirme işleminden önce “pay ve paydayı eşlenikle çarpmak” gerekebilir.

Sınıf Matematik Konuları için tıklayınız

Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız.