SORU 1:
\( 4^{49} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü Göster
Yarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{49}}{2} = \dfrac{(2^2)^{49}}{2} = \dfrac{2^{98}}{2} \)
\( = 2^{98 - 1} = 2^{97} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Aşağıdaki üslü ifadelerin rasyonel sayı karşılıklarını bulalım.
\( (-2)^{-2}, (0,125)^{-2}, (-3)^{-2}, (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü Göster
Her bir ifadeyi aşağıdaki şekilde sadeleştirebiliriz.
\( (-2)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-2)^{-2} = 2^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} \)
\( (0,125)^{-2} \): İlk önce parantez içini kesirli bir ifadeye çevirelim.
\( (0,125)^{-2} = \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Paydadaki ifadeyi paya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} = 8^2 = 64 \)
\( (-3)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-3)^{-2} = 3^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
\( (-2^{-2})^{-1} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır.
\( (-2^{-2})^{-1} = -2^2 = -4 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \) işleminin sonucunu bulalım.
Çözümü Göster
Pay ve paydadaki tüm terimleri en büyük ortak çarpanları cinsinden yazarak sadeleştirme yapalım.
\( \dfrac{2^4 \cdot 2^{9995} + 2^1 \cdot 2^{9995}}{2^2 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 2^{9995} + 2 \cdot 2^{9995}}{4 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{18 \cdot 2^{9995}}{3 \cdot 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-2}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Göster
İşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (-a^5) = -a^5 \): Üs sadece \( a \)'ya uygulanır.
\( (-a)^4 = a^4 \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-a)^{-2} = a^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{-a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydada sadece bir çarpanın işareti negatif olduğu için, negatif işaretini tutarak rasyonel ifadenin önüne alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^{5 + 4 - 2}}{a^{2 - 6}} = -\dfrac{a^{7}}{a^{-4}} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = -a^{7 - (-4)} = -a^{11} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Göster
İşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \): Üs parantez dışında olmadığı için negatif işareti hariç sadece 3'e uygulanır.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \): Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{-3^{-2} \cdot -3^6} \)
Pay ve paydada iki çarpanın işareti negatif olduğu için birbirlerini götürürler ve tüm ifadenin işareti pozitife döner.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-2} \cdot 3^6} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6 - 6}}{3^{-2 + 6}} = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = 3^{-12 - 4} = 3^{-16} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 5^{-1} \cdot ((-1)^2)^3 \cdot 2^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( \dfrac{1}{5} \cdot (1)^3 \cdot \dfrac{1}{2^2} \)
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = \dfrac{1}{20} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (-\dfrac{2^2}{3})^{-2} + 0^{3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( (-\dfrac{4}{3})^{-2} + 0 \)
Tabanı kesirli olan üslü bir ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.
\( (\dfrac{a}{b})^{-1} = \dfrac{b}{a} \)
Bir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( = (-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{9}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( (\dfrac{3^{2^2}}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Bir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise işlem yukarıdan aşağıya doğru yapılır.
\( (\dfrac{3^4}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} = (3^5 + 13)^{\frac{1}{2}} \)
\( = 256^{\frac{1}{2}} = \sqrt{256} = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( 5^{a + 2} = 250 \) olduğuna göre, \( 5^{a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Öncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a} \cdot 5^2 = 250 \)
\( 5^{a} = 10 \)
Değeri sorulan ifadede \( 5^a \) yerine 10 yazalım.
\( 5^{a - 1} = 5^{a} \cdot 5^{-1} \)
\( = 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre, \( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) ifadesinin karesini alalım.
\( 9a^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) olduğuna göre,
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43}} + 10 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) eşitliğinin her iki tarafını \( x \) ile çarpalım.
\( x^2 + 1 + x = 0 \)
Bu eşitliğin her iki tarafını \( (x - 1) \) ile çarpalım.
\( x \ne 1 \) olmak üzere,
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \)
\( x^3 - 1 = 0 \)
\( x^3 = 1 \)
Sorudaki ifadeyi düzenleyelim.
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43} + 10} \)
\( = (x^3)^7 \cdot x + \dfrac{1}{(x^3)^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = 1^7 \cdot x + \dfrac{1}{1^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = x + \dfrac{1}{x} + 10 \)
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \Longrightarrow x + \dfrac{1}{x} = -1 \) değerini yerine koyalım.
\( = -1 + 10 = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( 5y - 3x = 4 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8^x}{32^y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Sorudaki ifadenin payını ve paydasını 2 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{8^x}{32^y} = \dfrac{(2^3)^x}{(2^5)^y} = \dfrac{2^{3x}}{2^{5y}} \)
\( = 2^{3x - 5y} = 2^{-(5y - 3x)} \)
Üste parantez içindeki ifadenin değeri 4 olarak verilmiştir.
\( = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Payı \( 2^{18} \) parantezine, paydayı \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^{18} \cdot (-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14} \cdot (1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18} \cdot (-7)}{2^{14} \cdot (-7)} \)
\( = 2^{18 - 14} = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( \dfrac{(-x^2)^5 \cdot (-x^5)^2 \cdot (-x^{-2})^5}{(-x^2)^4 \cdot (-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster
Bir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( \dfrac{-x^{10} \cdot x^{10} \cdot (-x^{-10})}{x^8 \cdot (-x^{-15})} \)
Negatif işaretlerini parantezden çıkarırsak tüm ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10} \cdot x^{10} \cdot x^{-10}}{x^8 \cdot x^{-15}} \)
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 - 10}}{x^{8 - 15}} = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
\( = -x^{10-(-7)} = -x^{17} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
Payı \( 3^n \), paydayı \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{3^n \cdot (3^2 + 3 - 1)}{3^{n - 1} \cdot (3 - 1)} \)
\( = \dfrac{3^n \cdot 11}{3^{n - 1} \cdot 2} \)
\( = \dfrac{3^{n - (n - 1)} \cdot 11}{2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 11}{2} = \dfrac{33}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 16:
\( a = 5^{-3}, \quad b = 10^{-4}, \quad c = (-2)^{-3} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{a \cdot c}{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Sayıları yerlerine yazalım.
\( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
\( = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} \)
\( = -10 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 17:
\( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \)
olduğuna göre, \( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 6^a = 3^a \cdot 2^a \) yazalım.
\( 3^a \cdot 3 = 3^a \cdot 2^a \)
\( 2^a = 3 \)
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinde üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 19:
\( \dfrac{2^a + 1}{3} = x \) olduğuna göre, \( 2^a \cdot (2^{-a} + 1) \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster
\( 2^a \) değerini \( x \) cinsinden yazalım.
\( 2^a + 1 = 3x \Longrightarrow 2^a = 3x - 1 \)
Değeri sorulan ifadede \( 2^a \)'yı parantez içine dağıtalım.
\( 2^a \cdot 2^{-a} + 2^a = 2^0 + 2^{a} \)
\( = 1 + 3x - 1 = 3x \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
\( 14^{a + 2} = 2^{a - 1} \) olduğuna göre, \( 7^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 14 \) tabanını \( 2 \cdot 7 \) olarak ayıralım.
\( 2^{a + 2} \cdot 7^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a} \cdot 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = 2^{a} \cdot 2^{-1} \)
\( 2^{a} \) çarpanları sadeleşir.
\( 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = \dfrac{1}{2} \)
\( 7^a = \dfrac{1}{8 \cdot 49} = \dfrac{1}{392} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
Anıl yerde duran topu havaya atıyor. Top \( 2^{10} \) cm yükseldikten sonra yere düşüyor ve yere her çarpışından sonra önceki yüksekliğinin \( \frac{1}{4} \) katı kadar yükseliyor.
Buna göre top yere kaçıncı çarpışında toplam \( 21 \cdot 2^7 \) cm mesafe katetmiştir?
Çözümü Göster
Topun yükselirken ve düşerken aldığı mesafeler aynıdır.
İlk yükseklik \( 2^{10} \), ikinci yükseklik \( \frac{2^{10}}{4} = 2^8 \), üçüncü yükseklik \( \frac{2^{8}}{4} = 2^6 \) olur ve 4'e bölünerek devam eder.
Topun yere 1. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{10} + 2^{10} = 2^{11} \)
Topun yere 2. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{11} + 2^8 + 2^8 = 2^8 \cdot (8 + 1 + 1) \)
\( = 10 \cdot 2^8 = 5 \cdot 2^9 \)
Topun yere 3. çarpışında toplam mesafe:
\( 5 \cdot 2^9 + 2^6 + 2^6 = 2^6 \cdot (40 + 1 + 1) \)
\( = 42 \cdot 2^6 = 21 \cdot 2^7 \)
Buna göre top yere 3. çarpışında toplam \( 2^7 \cdot 21 \) cm mesafe katetmiştir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = (3^a)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = (5^b)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 5^{\frac{b}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} = (\dfrac{648}{8})^y \)
\( 9^x = 81^y \)
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Verilen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
\( 5^a = 7^b, \quad x = \dfrac{a^2 + ab}{ab} \)
olduğuna göre, \( 5^x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( x = \dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{ab}{ab} \)
\( = \dfrac{a}{b} + 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = x - 1 \)
Birinci eşitliğin iki tarafının \( \frac{1}{b} \). kuvvetini alalım.
\( (5^a)^{\frac{1}{b}} = (7^b)^{\frac{1}{b}} \)
\( 5^{\frac{a}{b}} = 7 \)
\( 5^{x - 1} = 7 \)
\( \dfrac{5^x}{5} = 7 \)
\( 5^x = 35 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 25:
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Ondalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} = \dfrac{1}{625} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Soruda verilen birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2b = 3a + 8a = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 26:
\( x = 3^a - 4 \)
\( y = 9^a - 15 \)
olduğuna göre \( y \)'nin \( x \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( 3^a \)'yı birinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 3^a = x + 4 \)
\( 3^a \)'yı ikinci ifadede yerine yazalım.
\( y = 9^a - 15 = 3^{2a} - 15 \)
\( = (x + 4)^2 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 16 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 27:
\( X = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( Y = 49^{0,5} - 25^0 \)
olduğuna göre, \( X \cdot Y \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( X = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( Y = (7^2)^{0,5} - 25^0 \)
\( = 7^{2 \cdot 0,5} - 1 \)
\( = 7^1 - 1 = 6 \)
\( X \cdot Y = 7 \cdot 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 28:
\( 4^x + 2 = a \)
\( 2^{x + 1} - 3 = b \)
olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden eşiti kaçtır?
Çözümü Göster
\( 2^x \)'i ikinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 2^x \cdot 2 - 3 = b \)
\( 2^x = \dfrac{b + 3}{2} \)
\( 2^x \)'i birinci ifadede yerine yazalım.
\( 4^x + 2 = (2^2)^x + 2 = a \)
\( (2^x)^2 + 2 = a \)
\( (\dfrac{b + 3}{2})^2 + 2 = a \)
\( a = \dfrac{b^2 + 6b + 9}{4} + 2 \)
\( = \dfrac{b^2 + 6b + 17}{4} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 29:
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama uzama miktarı kaçtır?
Çözümü Göster
2008 yılı başındaki boy: \( 4^4 = 2^8 \)
2022 yılı sonundaki boy: \( 16^3 = 2^{12} \)
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
\( \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8 \cdot (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 30:
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \) olur.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 31:
\( 49^a = 36^b = 42 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4ab}{a + b} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( 49^a = 42 \)
\( 7^{2a} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{7^{2a}}{7} = 7^{2a - 1} = 6 \)
\( 36^b = 42 \)
\( 6^{2b} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{6^{2b}}{6} = 6^{2b - 1} = 7 \)
6 yerine \( 7^{2a - 1} \) yazalım.
\( (7^{2a - 1})^{2b - 1} = 7 \)
\( 7^{(2a - 1)(2b - 1)} = 7^1 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( (2a - 1)(2b - 1) = 1 \)
\( 4ab - 2a - 2b + 1 = 1 \)
\( 4ab = 2a + 2b \)
\( 2ab = a + b \)
Soruda istenen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4ab}{a + b} = \dfrac{2(a + b)}{a + b} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 32:
\( a^{x + 2} = 4^2, \quad b^{x + 3} = 2^4 \)
olduğuna göre, \( (\frac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (\dfrac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^2)^{x + 3}}{(2^4)^{x + 2}} = \dfrac{2^{4(x + 3)}}{2^{4(x + 2)}} \)
\( = 2^{4x + 12 - 4x - 8} \)
\( = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 33:
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster
45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
Tüm sayıların soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 34:
\( a^4 - a^2 - 4 = 0 \) olduğuna göre, \( a^6 - 2a^4 - 3a^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen denklem üzerinde işlemler yaparak soruda istenen ifadeye ulaşmaya çalışalım.
Denklemin iki tarafını \( a^2 \) ile çarpalım.
\( a^6 - a^4 - 4a^2 = 0 \)
İstenen ifadeye ulaşmak için \( a^2 - a^4 \) terimine ihtiyacımız var.
Bu terimi elde etmek için ilk denklemi kullanalım.
\( a^4 - a^2 = 4 \)
\( a^2 - a^4 = -4 \)
Bulduğumuz iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( a^6 - 2a^4 - 3a^2 = -4 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin