Koordinatları Verilen Doğrunun Denklemi

Koordinat düzleminde doğru denklemi; m ve n sabit sayılar olmak üzere, y = mx+n şeklindedir. Bu formda yazılan doğru denklemine &#;eğim kesim noktası formu&#; denir.

Bir doğru üzerindeki bütün noktaların kümesi, o doğrunun denklemini sağlayan x ve y ikililerinin oluşturduğu kümedir.

y = mx+n doğrusu; x eksenini -n/m noktasında, y eksenini ise n noktasında keser.

EĞİM

Bir doğrunun eğimi; doğrunun, x ekseniyle pozitif (saat yönünün tersi) yönde yaptığı açının tanjantıdır.

Doğrunun, x ekseniyle pozitif yönde yaptığı eğim açısı; 90 dereceden küçükse eğim pozitif, 90 dereceden büyükse eğim negatiftir. Eğer doğru yatay konumdaysa eğim sıfır, dikey konumdaysa eğim sonsuzdur. Doğrunun dikey konumda olması durumunda doğru denklemi; a, doğrunun x eksenini kestiği nokta olmak üzere, x = a olarak ifade edilir.

Pozitif eğimli doğrularda, doğru dikleştikçe eğim büyür. Negatif eğimli doğrularda ise, doğru dikleştikçe eğim küçülür.

y = mx+n formunda yazılan bir doğru denkleminde m, eğimdir.

Yukarıdaki şekilde 6 tane doğru, eğim açıları ve denklemleriyle birlikte gösterilmiştir.

İKİ NOKTASI BİLİNEN DOĞRUNUN EĞİMİ

A(x₀,y₀) ve B(x₁,y₁) gibi iki noktadan geçen doğrunun eğimi,

formülü ile bulunur.

EĞİMİ VE BİR NOKTASI BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ

Eğimi m olan ve A(x₀,y₀) noktasından geçen doğrunun denklemi, y-y₀ = m(x-x₀)&#;dır. Bu formda yazılan doğru denklemine &#;nokta eğim formu&#; denir.

EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ

x eksenini a noktasında, y eksenini b noktasında kesen doğrunun denklemi,

ile bulunur. Bu formda yazılan doğru denklemine &#;kesim noktası formu&#; denir.

DOĞRULARIN BİRBİRLERİNE GÖRE KONUMLARI

d₁ doğrusu a₁x+b₁y+c₁ = 0, d₂ doğrusu ise a₂x+b₂y+c₂ = 0 formunda verilsin (Bu formda yazılan doğru denklemine &#;genel form&#; veya &#;parametrik form&#; denir).

-) Eğer,

ise, d₁ ve d₂ doğruları aynı doğrulardır.

-) Eğer,

ise, d₁ ve d₂ doğruları paraleldirler.

-) Eğer,

ise, d₁ ve d₂ doğruları tek bir noktada kesişirler.

Kesişen iki doğru arasındaki açının tanjantı θ&#;yı tespit etmek için; d₁ doğrusu y = m₁x+n₁, d₂ doğrusu ise y = m₂x+n₂ formunda yazılmak kaydıyla, aşağıdaki formül uygulanır:

Eğer; tanθ < 0 ise açılardan dar olanı, tanθ > 0 ise açılardan geniş olanı elde edilir. Bu formül dik kesişmeyen doğrular için geçerlidir. Çünkü dik kesişen doğruların eğimlerinin çarpımı -1&#;dir. Bu da paydayı sıfır yapar.

DOĞRU DEMETİ

Sabit bir noktadan geçen doğrulara doğru demeti denir.

d₁ doğrusu a₁x+b₁y+c₁ = 0, d₂ doğrusu ise a₂x+b₂y+c₂ = 0 olmak üzere, ve bu iki doğru tek bir noktada kesişmek üzere, bu kesişim noktasından geçen bütün doğruların denklemi, r bir reel sayı olmak üzere,

şeklindedir.

NOKTA İLE DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK

Bir nokta ile doğru arasındaki uzaklık demek, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğu demektir.

(x₀,y₀) noktası ile ax+by+c = 0 doğrusu arasındaki uzaklık,

ile tespit edilir.

PARALEL DOĞRULAR ARASINDAKİ UZAKLIK

ax+by+c₁ ve ax+by+c₂ paralel doğruları arasındaki uzaklık,

ile bulunur.

ÜÇGEN ANALİTİĞİ

KÖŞELERİNİN KOORDİNATLARI VERİLEN ÜÇGENİN ALANI

Köşe noktaları; A(x₀,y₀), B(x₁,y₁) ve C(x₂,y₂) olan üçgenin alanı,

formülü ile bulunur.

KÖŞELERİNİN KOORDİNATLARI VERİLEN ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ

Köşe noktaları; A(x₀,y₀), B(x₁,y₁) ve C(x₂,y₂) olan üçgenin ağırlık merkezi G(x₃,y₃) olsun. Bu durumda G noktasının koordinatları,

ile bulunur.

Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi k olan bir doğrunun denklemi (y-y1) = k.(x-x1) bağıntısı ile bulunur. Doğru denklemleri iki türlü ifade edilirler, birincisi y yalnız bırakılarak y = kx + n ya da tüm bilinmeyenler sol tarafta toplanarak ax + by + c = 0 dır. Bu iki doğru denklemi formatından birini tercih ederek doğru denklemini yazmanız gerekir. Genellikle y nin katsayısının bir olduğu durumlarda y = kx + n formatı tercih edilir.

İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen bir d doğrusunun denklemi (y-y1)/(y1-y2) = (x-x1)/(x1-x2) bağıntısı içler dışlar çarpımı yapılarak bulunur. Ya da iki nokta yardımıyla önce doğrunun eğimi bulunarak eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi yardımıyla denklem yazılabilir.

Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru Denklemi: x ve y eksenlerini sırasıyla p ve r noktalarında kesen bir doğrunun denklemi x / p + y / r = 1 bağıntısı yardımıyla bulunur.