Sayılar Formülleri

Ardışık sayılar konusundan, özellikle ardışık sayılar toplamı konusundan MEB'in ve ÖSYM'nin yapmış olduğu hemen hemen bütün sınavlarda  çok fazla soru sorulmaktadır. Bu tip soruları çözmek kesinlikle çok basittir. Ancak bu soruları çözmek değil, hızlı çözmek önemlidir. Bu sayfada kullanabileceğiniz en pratik ve kolay formülleri örnekli anlatımla göstereceğiz.  

KISA BAŞLIKLAR:

ARDIŞIK SAYILAR NEDİR?

Ardışık sayılar kısaca belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılara denilir. Bu sayıların aralarındaki fark her zaman aynıdır.  

• Ardışık Sayılar : Bir soruda ardışık sayılar denildiğinde: rakamlar arasındaki fark 1 'dir (birdir). 

Örneğin: a, b, c, d, e ve f ardışık sayılardır şeklinde sorular gelebilir. Bu şekildeki sorularda rakamlar arasında ki fark sadece 1 (bir'dir) 

             3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Ardışık Çift Sayılar : Rakamlar arasındaki fark her zaman 2'dir.  Ayrıca bütün sayılar çift sayıdır. 

Örneğin:  6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Ardışık Tek Sayılar : Rakamlar arasındaki fark her zaman 2'dir. Ancak bu tip sorularda bütün rakamlar tektir.  

Örnek : 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 rakamları örnek gösterilebilir. 

• Diğer Ardışık Sayılar : Örneğin: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 

Bu rakamlar arasındaki fark sabit 4'tür. 

ARDIŞIK SAYILAR TOPLAMI FORMÜLLERİ

Matematikte açıkçası en kolay sorular belkide bu konudan çıkmaktadır. Ancak bu tip sorular sınavlarda çok büyük zaman kaybettirir. Bu durumda yapmamız gereken soruları çözerken formülleri ezberlemektir. 

Not: Matematikte formül ezberlemek için bol bol soru çözmeniz gereklidir. Gerekirse aynı soruları, yada benzer soruları sürekli çözünüz. Ardışık sayılar toplamı formülü üzerine bu sayfada yer alan çözümlü sorularımızı sürekli çözmenizi öneririz. 

TERİMLER TOPLAMI : Size 100 tane ardışık sayı verildiğini ve bu sayıların toplamlarını bulmanızı istediklerini düşününüz. Tek tek bu rakamları toplamanıza gerek yok.  Hemen aşağıda yer alan formülü inceleyiniz. 

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ (1+2+3+ .....n= ?)

Arkadaşlar yukarıda verdiğimiz formül bütün ardışık sayılarda geçerli olan formüldür. Ancak bazı sorularda daha hızlı olmanız için daha kısa formülleri ezberlemeniz gereklidir. 

1'den başlayıp devam eden normal ardışık sayılarda toplama formülü aşağıdaki gibidir: 

1 + 2 + 3 + 4 + ......................n = n . (n + 1) / 2 formülünü uygularız.   Son terim ile Son terimin bir fazlasını çarparız. Daha sonra ise bu rakamı 2'ye böleriz. 

• Basit Örnek : 1+2+3+4+.....+10 = ? 

Son terim 10 ve son terimin bir fazlası 11'dir. 10 x 11 = 110 eder. Bu rakamı 2'ye bölersek eğer 55 eder. 

Sağlaması : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 eder. 

• Örnek : 1+2+3+............999 = sonucu kaçtır. 

999 x 1000 = 999000 / 2 = 499.500 eder. 

ARDIŞIK TEK SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ

Yukarıda verdiğimiz formül ardışık sayıların tamamında geçerli formüldür. Ancak 1'den başlayan tekil ardışık sayılarda sonuca gitmeniz için çok daha kısa bir formül vardır. 

1+3+5+.......... 2n - 1 = n² 

Açıklaması : 1+3+5+.......9 = kaç eder

9 rakamının n olarak açıklaması şudur:  2n - 1 = 9 ise   n = 5 eder.  Bu durumda n² = 5 x 5 = 25 eder. 

Sağlama :  1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 eder. 

Zor Örnek : 1+ 3 + 5 + .......... + 999 = 

• 999'un n cinsinden değerini bulacağız.
  • 999 = 2n - 1 
  • 1000 = 2n
  • 500 = 2
• Yukarıda ki işlemin sonucu bu durumda = 500² = 500 x 500 yani 

ARDIŞIK ÇİFT SAYILARIN TOPLAMA FORMÜLÜ

Yukarıda ki formülde genel formülü vermiştik. Ancak 2'den başlayan çift ardışık sayıların toplamlarında aşağıdaki kısa formülü uygulayınız. 

2 + 4 + 6 + ..........2n = n x (n +1) 

• 2n rakamı bu işlemde son terimin 2n şeklinde gösterilmesidir. Örneğin son terim 10 ise n = 5'tir.  
• 2 + 4 + + ......+ 10 = ?
  • 10 = 2n 
  • n =5 eder. 
  • Formülü uygularsak : 5 x (5 +1) = 30 olur. 

Sağlaması : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 olur. 

ARDIŞIK SAYILAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÇÖZÜMLÜ SORU 1 :      2+3+4+5+............ + 996+ 997 = TOPLAMI KAÇTIR

Gördüğünüz gibi yüzlerce ardışık sayı var normal toplama yapmamız bir saatimizi alır belki de. Yukarıda ki formül ile bir kaç dakikaya toplama işlemini yapabiliriz. 

• 1. Adım : Terim sayısını bulacağız

• 2. Adım: Terim sayısını bulduktan sonra direk toplama formülümüzü uygulayacağız. 

 ÇÖZÜMLÜ SORU 2 : 1+3+5+....... + 15 = TOPLAMI KAÇTIR 

• 1. Adım : Yukarıda ki formüle göre terim sayısını bulacağız.
  • 15 - 1 = 14 olur. (Son terimden ilk terimi çıkarırız.)
  • Çıkan sonuç olan 14 rakamını artış miktarı olan 2'ye böleriz. 7 olur.
  • Daha sonra ise 1 ile toplarız. 8 adet terim var bu toplamada. 
• 2. Adım : Terim sayımız 8 
  • 15 + 1  = 16 
  • 16 / 2 = 8
  • 8 x 8 = 64 dür bu işlemin sonucu. 

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 sonucunun çıktığını göreceksiniz. 

ÇÖZÜMLÜ SORU 3 : Ardışık 6 tane çift doğal sayının toplamı  114 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır. 

• Çözüm : x + (x+2) + (x + 4) + (x+ 6) + (x + 8) + (x + 10) = 114
  •   6x + 30 = 114
  •   6x = 84
  •   x = 14
  • En Büyük Sayı x +10 olduğuna göre sonuç= 24'dür.