Rubik Küpü Çözme Teknikleri
Zeka Küpü Grup Teorisiyle Nasıl Çözülür?
Zeka küpünü grup teorisiyle nasıl çözer ve müzikte ters notaları nasıl çalarız? Nitekim öbek kuramını parçacık fiziğinden ekonomi ve mühendisliğe dek hemen her alanda kullanıyoruz. Grup ve kümeler teorisi arasındaki ilişkiye Newton Pi sayısını nasıl hesapladı yazısında değinmiştik. Şimdi de grupları zeka küpünü çözerek görecek ve hatta zeka küpü çözerken piyano da çalacağız.
Zeka küpü ve matematik
Dünyanın en popüler 3B bulmacası olan zeka küpü veya özgün adıyla Rubik Küpünü ’te Macar heykeltıraş ve mimari profesörü Ernő Rubik geliştirdi. Bulmacayı kendi adıyla lisanslayan Rubik, zeka küpünün lisansını ’de Toy Corp.’a sattı. Zeka küpü o yıl Almanya’da Yılın Oyunu, En İyi Bulmaca özel ödülünü de aldı ki bugüne dek milyondan fazla Rubik Küpü üretildi.
Dünyanın en çok satan bulmacası olan Zeka küpünün altı yüzünde dokuzar kare yer alıyor. Her yüze beyaz, kırmızı, mavi, turuncu, yeşil ve sarı olmak üzere birer renk karşılık geliyor. ’den beri uygulanan standartlar uyarınca beyaz yüzün karşısında sarı, mavinin karşısında yeşil, turuncunun karşısında ise kırmızı bulunuyor. Ayrıca kırmızı, beyaz ve mavi renkler saat yönünde diziliyor. Oyunun amacı her yüzün tek renkten oluşmasını sağlamaktır. Kare yüzlerde bulunan 3 x 3 düzenindeki dokuz küçük küp altı renkten biriyle kaplı oluyor. Küpler dikey ve yatay olarak dönebiliyor.
Böylece küpü elinize aldığınızda yüzeyinin resimdeki gibi karmakarışık renklerle kaplı olduğunu görüyorsunuz. Bir yüzeyi tek renge çevirmek çoğu zaman diğer yüzlerdeki tek renk düzenini de bozuyor. Bu yüzden zeka küpüne üç boyutlu renk bulmacası diyoruz. Yüzleri aynı renge getirmenin farklı yöntemleri var ve bunun için de parçaları belirli bir sırayla çevirmek gerekiyor. Hatta bulmaca severler, zeka küpünü en hızlı kim çözecek hedefli küresel yarışmalar düzenliyor. Şimdi grup teorisine geçelim:
İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili
Zeka küpü ve öbek kuramı
Öncelikle tüm gruplar kümedir ama tüm kümeler grup değildir. Bunun Russell Paradoksuyla da ilişkisi vardır… Kendini içermeyen tüm kümeler kümesi kendini içeremez; çünkü kendini içermesi için kendini içermeyen bir küme olması gerekir.
Öte yandan matematikte grup, iki öğeyi (eleman) birleştirerek üçüncü bir öğe oluşturan özel bir kümedir. Bu ilişkisel kümenin hem etkisiz öğesi hem de ters öğesi vardır. Bu üç koşula matematikte aksiyomlar, yani ön kabuller deriz. Sayılar sistemi ve diğer matematik yapılarında bu tür ilişkisel kümelerden türeyen grupları (öbekleri) kullanırız. Oysa merak etmeyin!
Kuru tanımları hemen geçip size öbek kuramını zeka küpü çözmekte nasıl kullanacağımızı anlatacağım. İlk olarak öbek kuramı simetrileri inceleyen bir matematik dalıdır ve zeka küpünü de renk simetrilerini kullanarak çözeriz. Nitekim her nesnesinin en az bir simetrisi vardır. Buna bir nesneyi, örneğin elinizdeki kulplu kahve kupasını hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü deriz. Ayrıca ters dönüşümler vardır ve bunu da müzikteki ters notalar için akılda tutun.
Buna ek olarak zeka küpünü çözmek için parçalarını düz ve ters olarak belirli bir sırayla, dolayısıyla bir birleşim dizisiyle çevirmemiz gerektiğine de dikkat edin. Biz de böylece zeka küpü çözmek için gereken 4 kuralın üçünü (yani oyunun kurallarını) hem öbek kuramı hem de simetri teorisiyle ortaya koyduk. Şimdi zeka küpünü çözmeyi resimler eşliğinde çözelim:
İlgili yazı: Kuantum Gerçekliği Bilinçli Gözlemci mi Oluşturuyor?
Zeka küpü ve çözüm simetrileri
Rubik küpünün her yüzü (içerdiği dokuz küçük küp dahil) birer küme öğesidir ama bu öğeler 4 özel kurala uyar… 1) Kapama aksiyomu: Tüm grup işlemlerini yalnızca grup öğeleriyle yapabilirsiniz. Bunu anlamak kolay: Bir zeka küpünü başka bir zeka küpünü çevirerek çözemezsiniz. Teknik ifadesiyle zeka küpü kare şekilli 6 yüzeyden oluşur. Bunları da yatay ve dikey olarak üçer satır halinde çevirebilirsiniz. Oysa satırları hangi yönde çevirirseniz çevirin ve böylece hangi renk birleşimlerini bulursanız bulun, tüm renk dizileri aynı grubun öğesi olacaktır. Kısacası zeka küpünün renkleri zeka küpünün parçasıdır.
2) İlişkisel aksiyom: Bir öbek işlemi yaparken parantezi nereye koyarsak koyalım aynı sonucu alırız. Örneğin (1 + 1) + 1 = 3 işlemi ile 1 + (1 + 1) = 3 işlemi aynı sonucu verir. Zeka küpüyle gösterirsek… Küpün bir yüzünü sağa iki kez ve sonra bir kez çevirirseniz elde edeceğiniz sonuç, sağa bir kez ve sonra iki kez çevirerek elde edeceğiniz sonuçla aynı olur. Bu da küpü çevirme sıranızın zamanda simetrik olması, yani belirli bir sırayla yapılması anlamına gelir (Bkz. Zaman Kristalleri). Zeka küpünün simetri teorisiyle ilgisi de buradan ileri gelir.
3) Etkisiz öğe aksiyomu:
Şimdi de şakalarımızın vazgeçilmez öğesi etkisiz elemana geldik. 😊 Etkisiz öğe, bir öğeye eklediğiniz zaman sonucu değiştirmeyen öğedir. 1 + 0 = 1 eder. Buna zeka küpünde referans noktası da diyebilirsiniz. Küpü çevirirken her seferinde bir rengi baz alırsınız. Bir sonraki renk dizilişini o renge göre yaparsınız. Elbette ki zeka küpünü sadece bir yüzünü aynı renge getirmeye çalışarak çözemezsiniz. Oysa her çevirme işleminde belirli renkleri baz almazsanız çözümü de bulamazsınız. Bu bağlamda baz aldığınız renkler etkisiz öğe olur. Öyle ki bulmacayı çözdükten sonra elde ettiğiniz tek renkli yüzeylerin renkleri de artık birer etkisiz öğedir. Ta ki onları tekrar karıştırana dek…
4) Ters öğe aksiyomu: Bir öbekteki her öğenin bir de ters öğesi vardır ki ikisinin toplamı 0 ederek size etkisiz öğeyi veri. Örneğin zeka küpünde iki farklı yüzde birer satır tek renk elde ettiniz diyelim. Şimdi de bir yüzde ikinci satırı tek renk yapmak istiyorsunuz. Oysa aklınıza gelen ilk çevirme işlemi öbür yüzdeki tek renkli satırı bozuyor. Bunu da öyle düşünün: 1 + (-1) = 0. İşte bu dört temel kuralı yazdığımız zaman çok ilginç özellikler ortaya çıkıyor. Zeka küpünün bütün esprisi bu kurallarda yatıyor:
İlgili yazı: Okyanuslar Hakkında Yanıtını Bilmediğimiz 7 Soru
Zeka küpü kaç adımda çözülür?
Artık elimizde tam kapsamlı bir zeka küpü var. Bunun kare yüzeylerini oluşturan her satırını yatay ve dikey olarak istediğimiz birleşimde (kombinezonda) çevirebiliriz. Nitekim bir zeka küpünde 43 x 1018, yani milyar kere milyar kombinezon vardır (43 kentilyon). Buna karşın Google’in süper bilgisayarları bu üç boyutlu bulmacayı en çok 20 adımda çözebileceğimizi gösterdi. Bu ne demek derseniz Riemann hipotezinde anlattım fakat özetle Google’ın yaptığı nedir? Çözümünü bilmediğimiz çözülebilir bir problemi kaç adımda çözeceğimizi göstermektir. Bu tüm problemler için geçerli olsa N=NP olurdu.
Bu da internetteki tüm şifrelemeleri teorik olarak kırabileceğimiz anlamına gelirdi! 😮 Matematikçiler bunu kanıtlayabileceğimizi sanmıyor; çünkü bunu yapmak için evrende her şeye gücü yeten bir bilgisayar gerekir. Bu da bizi termodinamik yasalarına aykırı olan Maxwell şeytanına götürür. Her neyse… Zeka küpündeki her renk sırasına bir dizilim deriz. Bir öbekte ne kadar öğe varsa dizilim ve birleşim sayısı da o kadar artar.
Dediğim gibi zeka küpünde 43 kentilyon dizilim kombinezonu var. Bu yüzden küpü rastgele değil, ancak mantık yürüterek çözebiliriz. Bunun için de öbek kuramını uygulayarak küpü çözmemizi sağlayacak doğru çevirme sırasını buluruz. Küpü çözen herkes aslında bunu yapar. O yüzden matematikten anlamam deseniz de bir kez olsun zeka küpünü çözdüyseniz matematikten anlıyorsunuz demektir. Derhal gidip iyi bir matematik eğitimi alın da zihniniz açılsın. 😊 Gelelim müziğe:
İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?
Zeka küpü ve ters notalar
Matematikle müzik arasında derinden bir ilişki vardır. Aslında notalarla geometri arasında ta Pisagor zamanından bildiğimiz bir ilişki bulunur. Öbek kuramının da müzikte, özellikle de piyanoda önemli bir yeri var. Örneğin piyanodaki 12 akoru alalım ve bunları onikigen oluşturacak şekilde çizgilerle birleştirelim. Öyle ki her akort merkezden eş uzaklıktaki bir noktaya karşılık gelsin. Hatta resimdeki gibi en başta olduğu için C ile başlayalım. Sonra C’nin tam karşısındaki akordu ve onikigeni yatay olarak tam ortadan kesen iki akordu çizgiyle birleştirelim. Böylece 7. azalan akordu üretiriz.
O zaman da C, A, F# ve D# notalarından oluşan bir öbek üretmiş oluruz. Bu grupta nota satırında yer alan en alttaki notayı en üste çıkarmak gibi bir işlem yapabiliriz. Müzikte buna tersine çevirme ve ters nota deriz ki öbek kuramında ters öğe aksiyomuna karşılık gelir. Her tersine çevirme işlemi akordun sesini değiştirir ama akordumuz 7. azalan akort olarak kalır. Böylece kapama aksiyomuna uyar. Nitekim besteciler ters notaları kullanarak akort dizisini değiştirerek kulağı tırmalayan uyumsuz sesleri önler. Özetle öbek kuramı, simetri teorisi ve ters notalar birbiriyle ilişkilidir.
Zeka küpünün müziği
Ben de müziğe meraklı arkadaşlara resimdeki akortlu zeka küplerini öneriyorum. Bu küplerde her küçük kareye bir armonik akort karşılık gelir. Öyleyse zeka küpünü çevirirken akortları ve notaları da çevirmiş olursunuz. Çözüme doğru ilerledikçe ahenksiz seslerden ahenkli seslere ilerleyerek zeka küpünün bestesini yaparsınız. Ne duruyorsunuz? Zeka küpü çözmenin müziğini hemen besteleyebilirsiniz.
Peki elektron yakalama süpernovası nasıl patlar ve oksijen dünya atmosferinde nasıl birikt? Onu da şimdi okuyarak karanlık madde yıldızları ve yer fıstığı yıldızlara bakabilirsiniz. Delta varyantı neden daha riskli ve bulaşıcı diye sorup evreni genişleten vakum enerjisine göz atabilirsiniz. Hızınızı alamayarak matematik nesnelerinin gerçek ve fiziksel olup olmadığını merak edebilirsiniz. Ardından entropi ve dolanıklık arasındaki ilişkiyi de inceleyebilirsiniz. Bilimle ve sağlıcakla kalın.
Samanyolu&#;nun kolu kırıldı
1Topological Quantum Compiling with Reinforcement Learning
2A New Upper Bound on Rubik&#;s Cube Group
3Algorithms for Solving Rubik&#;s Cubes
4Solving the Rubik&#;s Cube Without Human Knowledge
Bunu beğen:
BeğenYükleniyor
İlgili
Sevin ya da nefret edin, Rubik küpü ya da ülkemizde kullandığımız adı ile zeka küpü, dünyanın en popüler bulmacalarından biridir. İlk olarak yılında Macar heykeltıraş ve mimar Ernö Rubik tarafından “sihirli küp” adıyla geliştirilen bu oyuncak, 80’li ve 90’lı yılların başında dünya genelinde milyonların ilgisini çekmeyi başarmıştır.
Bir Rubik küpünü çözmekte zorlanıyorsanız üzülmeyin, yalnız değilsiniz. Aslında Erno Rubik’in bile nasıl çözeceğini öğrenmesi bir ayını almıştı. Bunun nedenini anlamak aslında oldukça basittir. Sonucunda standart yani 3 x 3 bir Rubik küpü 43 kentilyondan fazla olası kombinasyona sahiptir. Ancak yalnızca tek bir doğru çözüm vardır.
Bu nedenle bir Rubik küpünü yalnızca kaba kuvvetle yani deneye yanılma mantığı ile çözmeye çalışmak çok uzun zaman alacaktır. Süreci kısaltmak için bazı stratejiler bilmeniz gerekir. Bu stratejileri öğrendikten sonra da küpü çözmeniz kolaylaşacaktır.
Rubik Kübünü en hızlı çözme rekoru on yıllar boyunca istikrarlı bir şekilde azaldı. Standart 3’e 3’e 3 küp için tek bir çözme dünya rekoru 3,47 saniyedir. Bu rekor Çin’den Yusheng Du’ya aittir. Kullandığı algoritma ise Dr. Jessica Fridrich tarafından bulunmuştur.
Kendisi Rubik Küpü’nün en hızlı bir şekilde çözülmesini sağlayan Fridrich Yöntemi’nine adını vermiştir. Günümüzde en hızlı küp çözücülerin çoğu Fridrich yönteminin bazı versiyonlarını kullanmaktadır.
Rubik Küpü Nasıl Yapılır?
İşe önce küpümüzü tanıyarak başlayalım. Bir Rubik Küpü her biri büyük küpün üçte biri oranında olan 27 küpten oluşmaktadır. Her biri farklı renkte altı yüzü vardır. Her yüzün merkezi, küpü bir arada tutan çekirdek iskeleye bağlıdır.
Bir Rubik küpü ambalajını açtığınızda, her yüz aynı renkten oluşmaktadır. Göreviniz, küpü olası birçok durumundan birine hızlı bir şekilde karıştırmak ve ardından orijinal konumuna geri getirmektir.
Hareket edebilen küçük küpler iki çeşittir. İlki 8 adet bulunan köşe küpleridir. İkincisi ise her kenarın ortanca küplerinden oluşan 12 adet kenar küpüdür. Standart bir küpte beyaz sarının karşısında, kırmızı turuncunun karşısında ve mavi yeşilin karşısındadır. Köşelerde bulunan küplerin üç renkli yüzü vardır. Kenarlarda bulunan küplerin ise iki yüzü vardır. Merkezdeki küplerin ise tek yüzü mevcuttur.
Rubik Küpü Matematik Açısından Neden Önemlidir?
Rubik küpü, grup teoriyi, algoritma teorisini ve geometriyi bir araya getirir. Bu çerçeveden bakılınca, matematiğin soyut dünyasından somut birtakım sonuçlar çıkartmak açısından eğlenceli bir oyuncaktır. Rubik küpünü bu kadar ilginç ve karmaşık yapan şey, üç boyutta da döndürülebilmesidir.
Bunun sonucu olarak 3x3x3’lük Rubik küpünde kombinasyon bulunur. Daha matematiksel yazmamız gerekir ise bu sayı (3 8 x 8!)(2 12 x 12!)/12 biçimindedir. Eğer 7 milyon insanın her biri her saniye bir döndürme hareketi yaparsa bu sayıya ulaşmamız yaklaşık yıl alır.
Bu sayının nasıl elde edildiğini anlamak kısmen kolaydır. Köşelerde bulunan 8 köşe küpü 8! biçiminde dizilebilir. Bu küplerin her biri de birbirinden bağımsız olarak 3 farklı yönde dönebilir. Dolayısıyla dönüşler için 38 farklı yol vardır. Toplamda köşe küplerini düzenlemek için 3 8 x 8! yol bulunur. Bu da bize birinci parantezimizi açıklar.
Benzer biçimde kenarda bulunan 12 adet küp de 12! biçiminde düzenlenmektedir. Sonucunda her biri 2 farklı biçimde döner. Buradan da toplam 2 12 sayısını elde ederiz. En sonunda kenardaki küpleri düzenlemek için de 2 12x 12! yol bulunur. Bu da ikinci parantezimizi açıklar.
(3 8 x 8!)(2 12 x 12!) sayısını çarparsak sayısını elde ederiz. Ancak bu düzenlemelerin çoğu küpün izin verilen dönüş hareketleri ile elde edilemez. Bu nedenle matematikçilerin bu rakamın 12’de biri kadar hareketin gerçekleşebileceğini bulmuştur. Bu da bize 43 sayısını verir.
3×3’lük Bir Rubik Küp Nasıl Çözülür?
Bir Rubik küpünü çözmeye yönelik herhangi bir yapıcı yaklaşım, bir tür yöntem veya algoritma gerektirir. Bunun için farklı metotlar mevcuttur. Birini yazıda size aktarmaya çalışalım. Başlangıç için bir yüz ve bir renk seçin. Seçtiğiniz renk merkezdeki karede bulunmalıdır. Bu yüzü üst yüz olarak kabul edin.
Başlangıçta amacınız seçtiğiniz yüzde bir artı işareti oluşturmak olmalı. Öncelikle aynı renkte diğer kareleri bulun. Ardından küpün en altında ortalara gelecek şekilde yerleştirin. Daha sonra kenarları derece çevirerek bir artı işareti yapın.
Şimdi köşeleri düzeltin. Merkez kare ile aynı renk olan kareleri bulun. Sonrasında küpü çevirerek onları dört köşeye getirin. Bu hamle ile seçtiğiniz renk ile üst yüzü tamamlamış olmalısınız.
Şimdi orta katmana geçmeniz gerekiyor. Böylece alt iki katmanın renkleri birbirine uyacaktır. Önce küpü baş aşağı çevirin yani tamamlanmış taraf aşağıda kalsın. Ortadaki yüzü yine merkezden başlayarak tamamlamaya başlayın.
Küpü çevirmeden üstte yeni bir artı oluşturun. Üst yüzü tamamlarken önce üstte sol tarafta bir L yapmaya çalışın. Daha sonra da diğer iki kareyi ayarlayın.
Şimdi üst köşeleri düzeltin. Üst yüzü çevirerek sağ alt köşede aynı renk kare olmasını sağlayın. Şimdi sağ yüzü ve alt yüzü çevirerek tüm köşelerin doğru renklere gelmesini sağlayın. Üst ve alt yüzleri çevirince küp tamamlanacaktır! Zor gibi göründüğüne bakmayın. Biraz zamanla siz de ustalaşacaksınızdır.
Tanrı’nın Algoritması: Rubik Küp’ü Herhangi Bir Konumda Çözmek İçin 20 Hamle Yeterli
Bazı insanlar el becerilerini geliştirirken bazıları işin matematiğine odaklanır. Bir kişi bir Rubik küpünü 50 hamle ile karıştırdı diyelim. Bu durumda siz de bu küpü 50 hamle ile çözebilirsiniz. Peki, her karıştırılan küp için şu kadar hamlede çözülür” dememizi sağlayan sihirli bir sayı var mı? Aslında var.
3×3’lük standart bir Rubik küpü, başlangıçta karıştırılmış olursa olsun, her zaman en fazla 20 hamlede çözülebilir. Matematikçiler bunun doğru olduğunu kanıtlamışlardır. Herhangi bir başlangıç konumu için mümkün olan en az sayıda hamleyle küpü çözen bir algoritmaya Tanrı’nın algoritması ( İng: God’s algorithm ) denir.
Bu kavram Rubik Küpü ile Hanoi kulesi gibi bulmaca ve matematiksel oyunların çözüm yöntemlerini araştırdığımız zaman karşımıza çıkacaktır. Bulunan 20 sayısı ise Tanrı’nın sayısı olarak adlandırılır.
Başta da hesapladığımız gibi standart 3x3x3 bir küp için 43 kombinasyon vardır. Araştırmacılar bu sayıyı bir miktar azaltmak için öncelikle birbirinin aynısı ancak simetrik olanları hesapladılar ve bunları sayıdan çıkardılar. Ancak geriye kalan sayı hala ürkücüydü. Sorunu çözmek için hala tek bir bilgisayarda 35 yıllık hesaplama süresine ihtiyaç duyuyorlardı.
Tanrı’nın Sayısı ile ilgili ilk büyük atılım ’de Dr. Morwen Thistlethwaite’den geldi ve en fazla 52 olduğunu kanıtladı. Bu, karıştırılan her küpün 52 veya daha az hamlede çözülebileceğini kanıtladığı anlamına geliyordu. Konu ile ilgili çalışmalar ’lar ve ’ler boyunca devam etti.
Nihayet MIT, Waterloo Üniversitesi ve Tufts Üniversitesi’nden bir grup araştırmacı yaklaşık bir cevap bulmayı başardı. Sonucunda n x n x n küp için Tanrı’nın sayısının n2/log {n} ile orantılı olduğunu gösterdiler. Devamında yaptıkları hesaplamalar ile ekip Tanrı’nın sayısının 20 olduğunu kanıtladılar.
Sonuç Olarak;
Yani bir Rubik Küpü ne kadar karışık görünürse görünsün, çözülmesinden her zaman 20 hamle uzaktadır. Ancak tek bir sorun var. Henüz kombinasyondan kaç tanesinin çözülmesi için 20 hamle gerektirdiği tam olarak bilmiyoruz. Bu nedenle daha fazla hamlede çözerseniz kendinizi kötü hissetmeyin.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
Matematiksel