Gerçel Sayı Nedir

Gerçek sayılar kümesi reel sayılar olarak bilinmek ile beraber matematikte çok önemli bir yer kaplamaktadır. Bu gerçek sayılar kümesi (reel sayılar kümesi) ise iki sayı kümesinin birleşmesiyle oluşmaktadır. Bu iki küme ise rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesidir. Bu iki küme birleşir ve gerçek sayılar kümesini oluşturur. Gerçek sayılar kümesi "R" ile gösterilir.

GERÇEK SAYILAR KÜMESİ NEDİR?

Gerçek sayılar yani reel sayılar olarak da bilinmektedir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşmesiyle oluşan sayı kümesine gerçek sayılar kümesi denir. Gerçek sayılar kümesi "R" harfi ile gösterilir. Sayı doğrusunda tüm noktalara karşılık gelen bir gerçek sayı bulunmaktadır. Bu sayılar rasyonel ve irrasyonel olabilmektedir. Başka bir deyiş ile gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunun her noktasıdır. Ve sayı noktasını doldurur. Gerçek sayılar kümesini anlayabilmemiz için rasyonel ve irrasyonel kavramlarını bilmemiz gerekir.

Rasyonel Sayı: Payda sıfır olmamak şartıyla iki sayının birbirine oranı olarak belirtilen sayılara denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" ile gösterilir.

• Bütün tam sayılar ve doğal sayılar paydalarına 1 sayısı yazıldığında iki tam sayının oranı şeklinde olacağından aynı anda bir rasyonel sayı olarak da ifade edilebilir.
• Kesirli sayılar da rasyonel sayılardır.
• Devirli ondalık ve ondalıklı sayılar rasyonel sayı olarak ifade edilebilir.
• Kök alma işlemleri yapıldıktan sonra kökten kurtulan sayılar da rasyonel sayı olarak ifade edilir.

İrrasyonel Sayılar: Paydasında sıfır olmamak koşulu ile iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılamayacak sayılara denir. İrrasyonel sayılar kümesi "I" ile gösterilmektedir.

• Karekök dışına çıkamayan köklü sayılar
• Virgülden sonra devirsiz bir şekilde sonsuza kadar devam eden sayılardır.

Bu iki kümenin birleşerek oluşan sayı kümesine "Gerçek Sayılar Kümesi" denmektedir.

GERÇEK SAYILAR KÜMESİNDE ARALIK KAVRAMI NEDİR?

Sayı doğrusunda iki farklı noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan kümeye aralık denmektedir. Aralıklar verilen kümenin uç noktalarının kümeye dahil olup olmamasına göre isimlendirilmektedir.

Kapalı aralık: Uç noktaların aralığa dahil olmuş olduğu kümeler kapalı aralık olarak adlandırılmaktadır. Sayı doğrusunda içleri dolu daireler şeklinde gösterilmektedir.

Açık aralık: Uç noktaların aralığa dahil olmuş olmadığı kümeler açık aralık olarak adlandırılmaktadır. Sayı doğrusunda içi boş daireler şeklinde gösterilmektedir.

Yarı açık aralık: Uç noktaların sadece bir tanesinin aralığa dahil olmuş olduğu kümeler yarı açık aralık olarak adlandırılır. Sayı doğrultusunda dahil olan gerçek sayı içi dolu daire, dahil olmayan gerçek sayı ise içi boş daire şeklinde gösterilir.

GERÇEK SAYILAR KAÇTAN BAŞLAR?

Sayı doğrusu üzerinde gösterebilen tüm sayılar gerçek sayılar denir. Gerçek sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesini kapsayan bir kümedir. Bu sayılar sayı doğrusu üzerindeki tüm sayıları kapsadığından gerçek sayılar kümesi şuradan ya da buradan başlar diye bir şey söylemek mümkün değildir.

GERÇEK SAYILAR KÜMESİ İLE İLGİLİ SORULAR

1. [-3,5] kapalı aralığındaki doğal sayılar nedir ?

Bu kapalı aralıktaki doğal sayılar ( 0, 1, 2, 3, 4, 5)'tir.

1. Aşağıdaki sayılardan hangisi reel sayı değildir ?

1. ½ b) -3/7 c) √6 d) 4. Dereceden √ e) 3. Dereceden √-8

Bu sorunun cevabı d şıkkıdır. Çünkü kökün derecesi çift olduğu zaman kökün içi sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.

1. √5+ √24 toplamı aşağıdaki aralıklardan hangisinde bulunur ?

1. (4, 5) b) (5, 6) c) (6, 8 ) d) (8, 10 ) e) (9,10)

Bu sorunun cevabı c şıkkı (6, 8) olmalıdır. Çünkü √5 in yaklaşık değeri 2' den biraz büyüktür. √24 ün yaklaşık değeri ise 5 den biraz küçüktür. Bu iki değerin toplamı ise 7 den küçük 8 den biraz küçüktür. Bu aralık ise c şıkkında bulunmaktadır.

Ülkemizde ve hatta dünyanın büyük bir bölümünde kabul edelim matematik oldukça zor ve bu nedenle de sıkıcı bir ders olarak kabul ediliyor. Reel sayılar gibi matematik dersinin konularını duyunca bile pek çok kişi okul günlerini hatırlayıp ürperiyor olabilir. Diğer konuları ayrı tutarsak ve reel sayılara odaklanırsak aslında birkaç derste anlatılandan çok daha fazlası olduğunu, hayatın ve doğanın gerçek bir yansıması olduğunu görürüz.

Reel sayılar adı üstünde gerçek sayılardır. Dolmuşa binerken, yolda yürürken, ağaç dikerken ve uzaya çıkarken bile bu sayılar vardır karşımızda. Elbette bu sayılar üzerinde yapılan sayısız işlem uzmanlık gerektiren bir alandır ancak sıradan vatandaşlar olarak bile her yerde karşımıza çıkan gerçek sayıları biraz daha yakından tanımaktan zarar gelmez. Gelin reel sayılar nedir yakından bakalım ve alt kümeleri, sembolleri ile önemli özelliklerinden bazılarını görelim.

Reel sayılar nedir?

Gerçek ya da gerçel sayılar olarak da adlandırılan reel sayılar, karmaşık sayıların dışındaki tüm sayılara verilen genel addır. Pozitif sayılar, negatif sayılar, tam sayılar, kesirler ve irrasyonel sayılar reel sayılardır. Reel sayılar kümesi R ile gösterilir. Reel sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Bu durumu R = Q ∪ I şeklinde göstermek mümkün.

Reel olmayan sayıların oranı epey düşüktür çünkü doğal sayılar, tüm sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar reel sayılardır. Yalnızca karmaşık sayılar, reel sayı kabul edilmezler. Örnek vermek gerekirse √-1, 2 + 3i ve -i gibi sayıların ve benzerlerinin reel sayı olmadığını söyleyebiliriz.

Reel sayı türleri:

• Rasyonel sayılar
• İrrasyonel sayılar

Rasyonel sayılar:

Rasyonel sayılar, p/q kesri şeklinde tanımlanabilen sayılardır. p pay, q ise paydadır. q ile gösterilen payda asla sıfıra eşit değildir. Doğal sayılar, tam sayılar, ondalık sayılar rasyonel sayılardır. Örnek vermek gerekirse 1/2, -2/3, , gibi sayılar rasyonel sayılardır.

İrrasyonel sayılar:

p ve q tam sayı olduğunda, aynı zamanda q sıfıra eşit olmadığında p/q kesri olarak ifade edilmeyen sayılar, irrasyonel sayılardır. Örneğin π ile gösterilen pi sayısı bir irrasyonel sayıdır. π = … şeklinde başlar ve gider de gider. √2 , - √ 7 gibi reel sayı kabul edilmeyecek sayılar bile bu nedenle irrasyonel sayı kabul edilirler. 

Reel sayı sembolleri:

• Reel sayılar kümesi R ile gösterilir.
• Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
• Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
• Pozitif tam sayılar kümesi Z+ ile gösterilir.
• Negatif tam sayılar kümesi Z- ile gösterilir.
• Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
• İrrasyonel sayılar kümesi I ile gösterilir.

Reel sayıların alt kümeleri:

• Doğal sayılar: Tüm pozitif sayma sayıları doğal sayılar kümesini oluşturur. N = {1, 2, 3, } şeklinde göstermek mümkün. 
• Tam sayılar: 0 ile birlikte sayıldığı zaman tüm pozitif sayma sayıları yani doğal sayılar, tam sayılar kümesini oluşturur. Z = {0, 1, 2, 3, ..} şeklinde göstermek mümkün.
• Pozitif tam sayılar Z+ = {1, 2, 3, } şeklinde göstermek mümkün.
• Negatif tam sayılar Z- = {, -3, -2, -1} şeklinde göstermek mümkün.
• Rasyonel sayılar: p ve q tam sayı, q sıfıra eşit değil olarak p/q kesri şeklinde yazılabilen sayılar rasyonel sayılardır. Q = {-3, 0, -6, 5/6, } şeklinde göstermek mümkün.
• İrrasyonel sayılar: Rasyonel sayıların kare kökü ve küp kökü gibi durumdaki sayılar irrasyonel sayılardır. I = {√2, -√6} şeklinde göstermek mümkün.

Reel sayıların özellikleri:

• Kapatma özelliği
• İlişkisel özellik
• Değişmeli özellik
• Dağılma özelliği

Kapatma özelliği:

Kapatma özelliği, iki reel sayı çarpıldığı ya da toplandığı zaman sonucun her zaman reel sayı olacağını ifade eden bir özelliktir. Kapatma özelliğini şu şekilde göstermek mümkün; eğer a, b ∈ R, a + b ∈ R ise ab ∈ R olur.

İlişkisel özellik:

İlişkisel özellik, herhangi üç reel sayının toplamının ya da çarpımının sayılar farklı şekilde gruplandırılsa bile aynı kalacağını ifade eder. İlişkisel özelliği şu şekilde göstermek mümkün; eğer a,b,c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c ise a × (b × c) = (a × b) × c olur. 

Değişmeli özellik:

Değişmeli özellik, iki reel sayının toplamının ya da çarpımının sayıların sırası değişse bile aynı kalacağını ifade eder. Değişmeli özelliği şu şekilde göstermek mümkün; eğer a, b ∈ R, a + b = b + a ise a × b = b × a olur. 

Dağılma özelliği:

Reel sayıların dağılma özelliğini toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde görmek mümkün. Örnek vermek gerekirse; a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ve a × (b - c) = (a × b) - (a × c) işlemlerinde reel sayıların dağılma özelliğini görmek mümkün.

Reel sayılar ile tam sayılar arasındaki farklar:

Evet, tam sayılar da reel sayıdır ancak aralarında dikkat edilmezse aynı zannedilecek bazı temel farklar vardır. Bu nedenle birkaç temel özellik üzerinden reel sayılar ve tam sayılar arasındaki farkları görmek gerekiyor.

• Reel sayılar;
  • Reel sayılar; rasyonel sayıları, irrasyonel sayıları, tam sayıları ve doğal sayıları içerir.
  • 1/2, -2/3, 0,5, √2 gibi sayılar reel sayılardır. 
  • Reel sayılar R sembolü ile gösterilir.
  • Sayı doğrusunda karşımıza çıkan her nokta bir reel sayı gösterir.
  • Ondalıklı sayılar ve kesir de reel sayı olarak kabul edilir.
• Tam sayılar;
  • Tam sayılar; negatif sayıları, pozitif sayıları ve 0 sayısını içerir.
  • -4, -3, 0, 1, 2 gibi sayılar tam sayılardır.
  • Tam sayılar Z sembolü ile gösterilir.
  • Yalnızca sayı doğrusundaki negatif ve pozitif sayılar tam sayıları gösterir.
  • Ondalıklı sayılar ve kesirler tam sayı değildir. 

Hayatın ve doğanın gerçek birer yansıması olan reel sayılar nedir; sembolleri, türleri, alt kümeleri ve öne çıkan önemli özellikleri nelerdir gibi merak edilen soruları yanıtladık ve reel sayılar hakkında bilmeniz gereken detaylardan bahsettik. Konu hakkındaki düşüncelerinizi yorumlarda paylaşabilirsiniz. 

Emoji İle Tepki Ver

10