Logaritma Ders Notları

Latince dilinden alıntı olan logaritma terimi hakkında logaritma kuralları adı altında merak ettiklerinizi cevaplayalım. En basitinden logaritmayı anlatırken şunu diyebiliriz: sayısının 10 tabanına göre logaritması 3’tür. Sebebi ise sayısı 10’un 3. kuvvetidir. Bu yazımıza bu şekilde giriş yaptıktan sonra logaritmanın keyifli temel konularına, özelliklerine ve sorularına göz atalım. Bu arada eğer ayt matematik konularını merak ediyorsanız linkten inceleyebilirsiniz. 

Logaritma Fonksiyonu Nedir?
 

Logaritma fonksiyonunun tabanı 10 olduğunda genel logaritmik fonksiyon veya onluk logaritma olarak ifade edilir. Onluk logaritma fonksiyonları mühendislikte ve fen biliminde çok kullanılmaktadır. Bu kadar kullanışlı olan bu hesaplamayı kim bulmuştur? Logaritma hesaplamaları yüzyılda John Napier tarafından keşfedildi. Bu bilim adamı hesaplamaları kolaylaştırmak istemiştir.

Logaritma kuralları çıkış noktası şu şekilde açıklanabilir: 2^x=18 denklemini açıklayan bir x tam sayısını bulmak istediğimizde bulamayız. Bu tür denklemleri çözmek için logaritma fonksiyonu tanımlanmıştır. Logaritmanın günümüzdeki yazım şekli yüzyıla uzanmaktadır. Leonhard Euler adlı kişi bu fonksiyonların üstel işlevlerle ilişkisini keşfetmiştir. Böylece bugünkü yazım şeklini bulmuştur. Logaritma fonksiyonunun üstel fonksiyonun tersi olduğunu unutmayınız. Matematik özel ders almak isterseniz sayfamızdan en iyi öğretmen araştırması yapabilirsiniz.

Bilim adamları, mühendisler, denizciler, hızlı ve pratik şekilde hesap yapmak isteyenler, logaritmik fonksiyonları sevmişlerdir. Bu kişiler logaritma fonksiyonlarını, hesap cetvelleri ve logaritma tabloları ile kullanabiliyorlardı.

Taban sayısı e olan logaritma fonksiyonlarına doğal logaritma denilmiştir. Bu tür logaritmik fonksiyonlar soyut matematikte sıkça kullanılır. Ayrıca ikili logaritma denilen bir konu daha vardır. Bu tür logaritma kuralları bilgisayar biliminde çok önemli yere sahiptir.

{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}Logaritma fonksiyonu; üstel fonksiyonun tersi olmaktadır. Bunun yanında negatif sayıların logaritması bulunmamaktadır. Bu fonksiyon hayatın içinde birçok alanda etkili kullanılmaktadır. Logaritmanın okunuşu şu şekildedir:

• log _ab  ifadesi logaritma a tabanında b diye okunur.
   
• log _xy ifadesi logaritma x tabanında y diye okunur.
   

Standart Logaritma Tabanı ile Doğal Logaritma Tabanı
 

Bir logaritma fonksiyonunda taban yazmıyorsa ne anlama gelmektedir? Mesela log30 fonksiyonunda taban yazmamaktadır. Eğer fonksiyonda taban yazılı değilse standart olan taban kabul edilir. Standart logaritma tabanı ise her zaman 10’dur.

Doğal logaritma tabanı ise log_e x şeklinde ifade edilir. Tabanda bulunan e sayısı pi sayısı gibi bir yapıya sahiptir. Yani e sayısı 2,17… gibi bir değerdedir. Logaritma ders notları arasında unutmamanız gereken bir noktada şudur: Doğal logaritma tabanında yazılan fonksiyonlar log_e x=Inx şeklinde de ifade edilebilir. Online matematik dersleri sayfamızdan bu alanda eğitimler alabileceğiniz en iyi öğretmen araştırması yapabilirsiniz. 

Logaritmayı Üstele ve Üsteli Logaritmaya Çevirmek
 

Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyona çevirmek için şunlar yapılmalıdır:

Fonksiyonumuz log _ab=x  olsun. Bu fonksiyonu üstel hale çevirmek kolaydır. Bunun için;

• Fonksiyonun tabanında yer alan a sayısı x sayısını üstüne alır.
   
• Bunu yaparken log fonksiyonu kalkar.
   
• Fonksiyon gövdesindeki b sayısı ise eşitliğin diğer tarafına geçer.
   
• Üstel sonuç a^x=b olarak ifade edilir.
   

Peki, logaritma özellikleri arasında bilmeniz gereken üstel bir fonksiyonu logaritmaya nasıl çevirebilirsiniz?

Yukarıda elde ettiğimiz a^x=b üstel eşitliği logaritma fonksiyonuna çevirelim.

• Üstel eşitlikte yer alan a sayısı b sayısının tabanına geçerek fonksiyonun meydana gelmesini sağlar. Böylece log _ab meydana gelir.
   
• Üstel fonksiyondaki x sayısı da eşitliğin diğer tarafında yerini alır.
   
• Sonuç olarak log _ab=x   tekrar elde edilir.
   

Logaritma Özellikleri Nelerdir?
 

Aşağıda maddeler halinde vereceğimiz logaritmanın özelliklerinin uygun koşullarda tanımlı olduğu kabul edilmelidir. Logaritma kuralları için öğrenilmesi gereken özellikler;

• log_aa=1,
   
• log_c1=0,
   
• log_x²y³=3/2log_xy,
   
• log_x(a.b)=log_xa+log_xb,
   
• log_x(a/b)=log_xa-log_xb,
   
• log_ab=log_cb/log_ca
   
• log_ab=logb/loga
   
• a^log_b^c=c^log_b^a,
   
• log_ex=In x olarak sıralanabilir.
   

örnek1)log₂(x+3)=log₂(2x-5) ise x’in değeri nedir?

Eşitlikteki logaritma fonksiyonlarının tabanları aynıdır. Bu nedenle fonksiyon gövdesindeki denklemler birbirine eşit olacaktır. Buna göre;

x+3=2x-5 ise 3+5=x yani x=8 olacaktır.

örnek2) 2^x=5 ise x değerini log fonksiyonu cinsinden bulalım.

log₂2^x=log₂5 ise xlog₂2=log₂5 olacaktır.

Sonuç olarak log₂2 ifadesi 1 rakamına eşittir. O zaman x=log₂5 sonucu x’in değeridir.

Bildiğiniz gibi logaritma matematiğin önemli konularından biridir. Bu konuyla ilgili soruların doğru şekilde çözülebilmesi için logaritma kuralları hakkında bilgi sahibi olmanız gerekmektedir. Logaritma fonksiyonları ilk başta korkutucu gelebilir. Fakat soru çözdükçe logaritmanın üstel denklemleri yazmanın başka bir yolu olduğunu fark edeceksiniz. Logaritma sorularını çözdüğünüzde herhangi standart üstel denklem kolaylığında işin içinden çıkabilirsiniz. Denklem başlıklı makalemizden nu konuda daha detaylı bilgi alabilirsiniz. 

Logaritma Ders Soruları - Örnek Sorular ve Çözümleri
 

Logaritma konusunun daha iyi anlaşılması için örnek sorular çözelim. Logaritma ders notları olarak çözebileceğiniz güzel sorular aşağıdaki gibidir:
 

• Soru1) log4(15+log5(3x-1))=2 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım?
   

Cevap1) 15+log5(3x-1)=4²
                log5(3x-1)=1
               3x-1=5
               x=2
 

• Soru2) log₂(3x-2)=4 olduğuna göre x’in değeri kaçtır?
   

Cevap2) log₂(3x-2)=4 ifadesinde log fonksiyonundan kurtulalım. O zaman eşitliğimiz 3x-2=2⁴ dönüşecektir.

3x-2=16 elde edilir.

3x=18 ise x=6 sonucu x’in değeridir.
 

• Soru3) log2=a ve log3=b ise log54'ün a ve b cinsinden değerini bulalım?
   

Cevap3) log54=log(27,2)
               log27+log2 ise log3³+log2
              3log3+log2 ise 3b+a bulunur.
 

• Soru4)log₂(2log₃(3log₄(x+2)))=1 ifadesinde x değeri kaçtır?
   

Cevap4) log₂(2log₃(3log₄(x+2)))=1 ifadesinde en dıştaki logaritma fonksiyonundan kurtulalım.

                2log₃(3log₄(x+2))=2 ise log₃(3log₄(x+2))=1 elde ederiz.

                3log₄(x+2)=3 ise log₄(x+2)=1 sonucuyla birlikte son log fonksiyonundan kurtulalım.

                x+2=4ise x=2 elde edilir.
 

• Soru5)log₂(log₃(5x+6))=2 ise x değeri kaçtır?
   

Cevap5)log₂(log₃(5x+6))=2 ifadesinde ilk log fonksiyonunu üstel hale getirelim.

log₃(5x+6)=2² ise log₃(5x+6)=4 ifadesi elde edilir.

5x+6=3⁴ ise 5x+6=81 olur.

5x=75 ise x=15 sonucunu elde ederiz.
 

• Soru6)log₃(1+log₄(5x+1))=1 ise x’in değerini bulalım.
   

Cevap6) öncelikli olarak en dıştaki log fonksiyonunu üstel hale çevirelim.

              log₃(1+log₄(5x+1))=1 ise (1+log₄(5x+1))=3 elde edilir.

              log₄(5x+1))=2 ise bu ifadedeki log fonksiyonunu üstel denkleme dönüştürelim.

              5x+1=4² ise 5x+1=16 sonucunu elde ederiz.

              5x= ise 5x=15; x=3 sonucu x’in değerini verir.

Logaritma Fonksiyonunun Sınavdaki Önemi
 

Ortaöğretim sınıf AYT matematik derslerinde logaritma anlatılmaktadır. Bu konunun sınıfta öğretilmesi AYT matematik sorularında önemli rol oynadığını gösterir. Diğer matematik konularına göre kolay olup öğrenmesi zevklidir.

Dikkat etmeniz gereken konu ise AYT matematik sınavında her sene düzenli olarak logaritma soruları gelmektedir. Sınavda log kuralları hakkında ortalama 2 veya 3 soru gelebilmektedir. Ayrıca sorulan sorular zor değildir. Şu ana kadar logaritma konusuyla ilgili çok zor bir soru sorulmamıştır. Ancak her zaman her konuda olduğu gibi logaritma konusunda da zor soru gelebilir.

Örneklerde görüldüğü gibi bu konu üstel fonksiyonların tersidir. Bu sebeple bu konuda üstel fonksiyon ve üslü sayı bilgilerinizi çok iyi kullanmanız gerekmektedir. Buna ek olarak köklü sayılarla soru tipleri çok çıkmaktadır. Sonuç olarak logaritma konusu için üstel sayılar ve köklü sayılar konusuna hâkim olmak önemlidir. Logaritma konusunun limit, türev, integralle doğrudan ilişkisi bulunmamaktadır.

Logaritmanın Kullanım Alanları ve Mucitleri
 

Birçok bilimde logaritma fonksiyonları etkin bir şekilde kullanılmaktadır. Kimya, fizik, biyoloji, astronomi gibi alanlarda bu fonksiyon gerekli olmaktadır. Ekonomi alanında ise üstel fonksiyonlarla birlikte kullanılmaktadır. En popüler kullanım alanları aşağıdaki gibidir:

• Kimyada ph ve poh hesaplamalarında kullanılmaktadır.
   
• Deprem büyüklüğü ve maksimum genlik arasındaki ilişki hesaplamalarında gereklidir.
   
• Desibel ile ilgili ölçümlerde logaritma kullanılmaktadır.
   

Sonuç olarak, birçok yerde etkili şekilde kullanılan bu fonksiyonu İskoçyalı matematikçi John Napier bulmuştur. Gelenbevi İsmail Efendi ise logaritma kuralları hakkında çalışmıştır. Bu bilim adamı logaritma cetveli üzerinde eserler vermiştir. Matematik günlük hayatta ne işe yarar? başlıklı makalemizde mutlaka incelemenizi tavsiye ederiz.

Sık Sorulan Sorular

Logaritma Fonksiyonlarında Kullanılan E Sayısı Sonsuz Mudur?

Matematikçiler e sayısına euler sayısı demektedirler. Bu sayı irrasyoneldir. E sayısını bir kesir olarak ifade etmek mümkün değildir. Bu sayı 2,… olarak sonsuza kadar devam eder.

AYT Sınavında Kaç Tane Logaritma Sorusu Gelmektedir?
 

AYT sınavında ortalama 2 veya 3 tane logaritma sorusu çıkmaktadır.

Logaritma Özelliklerini Ezberlemeli Miyim?
 

Logaritma fonksiyonun belli başlı özellikleri vardır. Soru çözdükçe bu özellikler hafızanıza kazınacaktır.

Log Fonksiyonunda Eksi Değer Olur Mu?

Herhangi bir logaritmada tabanın negatif veya 1 olması mümkün değildir. Bunun yanında logaritma fonksiyonunun gövdesindeki sayı da pozitif olmak zorundadır.