Pik Teoremi

Mayıs 19,

Bu yazımızda size matematikte anlaşılması son derece kolay olduğunu düşündüğümüz Pick Teoremi’nden bahsedeceğiz.

[BAA - Matematik / Engin Özkan]

İfadesi ve anlaması kolay olsa da teorem sanki biraz gariplik içeriyor görünmekte. Teoremin ifadesini birazdan vereceğiz ama kısaca öncelikle neden bir gariplik olduğunu açıklamaya çalışayım. Teorem kabaca verilmiş bir bölgenin alanla ile nokta saymak arasında bir ilişki veriyor. Diyebilirsiniz ki ne var bunda. Fakat bildiğiniz gibi alan dediğimiz şey çoğunlukla kenar uzunlukları, köşe açıları gibi kavramlara bağlıdır. Ama bu teoremde sanki bunları hepsini bir kenara bırakıp sadece nokta saymaya odaklanıyoruz gibi görünüyor.

Ama merak etmeyin durum o kadar da vahim değil. Başlangıçta garip görünen bu durum zamanla açıklığa kavuşacak. Şimdi bu kısa açıklamadan sonra teoremimizin ifadesini vermek için biraz hazırlık yapalım. İlk olarak çokgenin tanımıyla başlayalım.

Çokgen, düzlemde (iyi ayrıtı da sonsuza kadar uzatılmış düz bir masa yüzeyini düşünebilirsiniz) herhangi üç tanesi aynı doğru üzerinde bulunmayan belirli sayıda noktayı (konuşulan konunun anlamlı olabilmesi için nokta sayısını 3’ten büyük kabul edelim) ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir.

Bu örneklerden ilk üç tanesine basit çokgen denir. Bunun nedeni bu çokgenlerin kendilerini kesmemeleridir. Son sıradaki çokgen ise basit olmayan bir çokgendir.

Şimdi düzlemde (iki boyutlu uzayda) uç noktalarının (köşe olarak isimlendirilebilir) koordinatları tamsayılar olan basit çokgenleri düşünelim. Aşağıda verilen basit çokgenler buna örnektir.

Düzlemdeki noktaların her birinin koordinatları (−1,1/2),(2–√,3–√−1) olabilir. Ancak birazdan ifade edeceğimiz teorem için biz sadece düzlemin koordinatları tamsayı olan noktalarıyla ilgilenelim (koordinatları tamsayı olan noktaların oluşturduğu düzlemin alt kümesi olan geometrik nesneye kafes denir).

Şimdi teoremimizi ifade etmek için her şeyimiz hazır gibi. İfade edeceğimiz teorem köşeleri kafes üzerinde olan basit bir çokgenin[1] (kafes çokgen diyelim) sınırladığı alanın pratik olarak nasıl hesaplanacağıyla ilgili. Yani Şekil 2’de verilen mavi, sarı, yeşil alanların nasıl hesaplanacağıyla ilgili.Şimdi teoremimizi ifade etmek için her şeyimiz hazır gibi. İfade edeceğimiz teorem köşeleri kafes üzerinde olan basit bir çokgenin (kafes çokgen diyelim) sınırladığı alanın pratik olarak nasıl hesaplanacağıyla ilgili. Yani Şekil 2’de verilen mavi, sarı, yeşil alanların nasıl hesaplanacağıyla ilgili.

Bu teorem matematikte Pick Teoremi olarak adlandırılır. Teorem ilk defa yılında Avusturyalı matematikçi Georg Alexander Pick tarafından ifade edildi. Bu teoreme göre basit çokgenler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için tek yapmanız gereken çokgenin sınırladığı alan içinde kalan kafes noktaları ve çokgenin sınırladığı alanın üzerindeki kafes noktaları saymak. Teorem formel olarak şöyle ifade edilir.

Pick Teoremi: P düzlemde verilmiş basit bir çokgen olsun. Bu çokgenin sınırladığı alan A olmak üzere, A bölgesinin alanı

olarak verilir. Burada i, A bölgesinin içerisinde kalan kafes noktalarının sayısı, b ise A bölgesinin üzerinde (sınırında) bulunan kafes noktalarının sayısıdır.

Hemen bir örnekle teoremimizin ne demek istediğini anlamaya çalışalım. Şekil 3’te mavi olarak belirtilen alanı hesaplamak istiyoruz diyelim.

Bu örnekte i=7 ( bölgenin içindeki kafes noktalarının sayısı yani kırmızı noktaların sayısı), b=8 ( bölgenin sınırları üzerindeki kafes noktalarının sayısı yani yeşil noktaların sayısı) dir. Pick teoremine göre verilen çokgen tarafından sınırlanan mavi bölgenin alanı 7+82−1=10 olarak hesaplanır.

Şimdi “kabaca” Pick Teoremi’nin neden doğru olduğunu göstermeye çalışalım. Bunun için öncelikle alanla ilgili basit bir gerçeği hatırlatalım. İki bölgeyi ortak kenarlarında birleştirerek oluşturduğumuz yeni bölgenin alanı bu iki bölgenin alanlarının toplamına eşittir. Şimdi bu durumun Pick Teoremi için de doğru olduğunu gösterelim. Yani iki çokgeni ortak kenarları üzerinden birleştirelim ve ortaya çıkan alanın bir toplama olup olmadığına bakalım.

Şimdi P1 ve P2 çokgenlerinin birleştirilmesiyle oluşan yeni çokgeni, P, düşünelim. i1 ve b1, P1 çokgeninin sınırladığı bölgedeki kafes noktalarının sayılarını, i2 ve b2, P2 çokgeninin sınırladığı bölgedeki kafes noktalarının sayılarını göstersin.

Yeni bölgenin içindeki kafes noktalarının sayısı P1 ve P2’nin içindeki kafes noktalarını kapsamakla birlikte Şekil 4 örneğinde kırmızı ile işaretlenmiş iç kafes noktalarını da kapsar. Unutmayalım, Şekil 4’te verilen çizim sadece bir örnektir. Bu uyarıyı şu nedenle yaptık; normalde yeni bölgenin içerisindeki kafes noktalarının sayılarını bulurken ortak sınır üzerindeki noktaların sayısını bulmak kolay bir iş olmayacaktır. Aslında bu sayının o kadar da önemli olmadığını göreceğiz birazdan. Matematikte kullanılan çok yaygın bir metodu kullanacağız; bilmediğimiz ifadeye bir isim vereceğiz. P1 ve P2 çokgenlerin ortak noktalarında bulunan kafes noktalarının sayısını x ile gösterelim. Bu durumda P’nin iç kafes noktalarının sayısı iP=i1+i2+x olur.

Peki yeni oluşan, P’nin sınırlarında bulunan kafes noktalarının sayısı nedir? Bu sayısı bulabilmek için x sayısını b1 ve b2 den çıkarmamız gerekir. Yalnız burada atlamamız gereken nokta kesişen kenarların uç noktalarını 2 defa saymış olmamız. Bu durumda P’nin sınırı üzerindeki kafes noktalarının sayısı ise bP=b1–x+b2–x–2=b1+b2–2x−2 olur.

Şimdi P tarafından sınırlanan alanı bulmak için hazırız. Pick teoremini kullanırsak alanı aşağıdaki gibi hesaplarız.

iP+bP2−1=i1+i2+x+b1+b2–2x–22−1=i1+i2+b1+b22−1
Yani eğer Pick Teoremi P1 ve P2 için doğruysa P1 ve P2’nin birleştirilmesiyle oluşan yeni bölge P için de doğrudur. Yani Pick Teoremi toplama özelliğine sahiptir ya da toplama altında korunur diyebiliriz[2].

Yukarıda ispatladığımız önermeye toplama kuralı diyelim. Toplama kuralı biliniyorsa bu durumda Pick Teoremi’nin ispatı sadece matematiksel tümevarım yöntemiyle gösterilebilir. Ancak yazıyı daha fazla uzatmamak adına ispatın geri kalanını ifade etmekle yetineceğiz.

Şimdi diyelim ki elimizde karmaşık basit bir çokgen var. Bu çokgeni[3] üçgenlere böleriz ve teoremi bu üçgenler için ispatlamaya çalışırız. Eğer üçgenler için doğruysa toplama özelliğinden bütün şekil için doğru olduğu gösterilebilir. Ancak üçgenler için ispat etmek için de bazı adımları izlemek gerekecek:

• Öncelikle teoremin birim kare için doğruluğu gösterilecek.
• Sonrasında kenarları eksenlere paralel olan dikdörtgen için teoremin doğruluğu gösterilecek.
• Dikdörtgen için doğruysa dikdörtgeni köşegen boyunca bölerek oluşturacağımız dik üçgen için de göstermek gerekecek.
• Son adım olarak ise, herhangi bir üçgen, dik üçgenler yapıştırılarak dikdörtgene tamamlanacak.

Bu adımları şekillerle göstermek istersek:

Merak edenler referanslar kısmında verilen kaynaklara bakabilirler. Özellikle Dale E. Varberg’in yılında verdiği ispatın çok zarif olduğunu belirtmek gerekir. Ayrıca Varberg’in makalesinde Pick Teoremi’nin genelleştirilmiş halini de bulmak mümkün.

NOTLAR

[1] Bundan sonra bu metin içerisinde kullandığımız çokgenlerin hepsini ızgara çokgen anlamında kullanacağız.

[2] Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler, Keith Ball, Tübitak Yayınları, Çev: Boğaç Karçıka, , Ankara

[3] Buradaki üçgenleştirme işi çok barizmiş gibi gözükse de matematiksel bir ispata ihtiyaç duyar.

KAYNAKLAR:

1. funduszeue.info%27s_theorem
2. Pick’s Theorem Revisited, Dale Varberg, The American Mathematical Monthly Vol. 92, No. 8 (Oct., ), pp.
3. Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler, Keith Ball, Tübitak Yayınları, Çev: Boğaç Karçıka, , Ankara

Geometride alan konusu işlenirken üçgen, dikdörtgen ve daire gibi temel şekillerin alanını öğretiriz. Ancak hesaplanması gereken alan daha karmaşık bir şekil olunca standart bir uygulama olarak şekli daha küçük temel parçalara bölerek bu alanların toplamından aranan alanı bulmaya çalışırız. Ancak kimi zamanlarda elimizdeki şeklin alanını parçalara bölerek hesaplamak da kolay olmaz. Bu noktada Pick teoremi yardıma yetişebilir.

Bu teorem ’da onu keşfeden Avusturyalı matematikçi Georg A. Pick’in (–) adını taşır. Ve kesinlikle parçalara bölerek yapılan alan hesaplarından çok daha kolay bir yöntemi bizlere gösterir. Bu yöntemi daha çok seveceğinizi düşünüyoruz.

Bundan böyle alan bulmak için sadece nokta saymak yeterli olacaktır. Bir örnek üzerinden gidelim. Aşağıdaki mavi kenarlı çokgenin ( sağ tarafta gözüken) alanı kaç birim karedir?

Böyle bir soruyla karşılaştığımızda ilk aklımıza gelen çözüm az evvelde dediğimiz gibi şekli alanını kolaylıkla hesaplayabileceğimiz çokgenlere ayırarak bunları tek tek toplamaktır. Geleneksel çözümle şekli içten parçalara ayırarak alanları toplamak suretiyle; Alan=1+1+2+1+9+1,5+0,5=16 birim kare olur.

Pick tarafından ortaya atılan yöntemle ise şu şekilde bulabiliriz. Çokgenin içindeki noktaların sayısı 12, çokgenin kenarları üzerindeki noktaların sayısı ise 10 dur. Alan= İç noktalar + Kenar üzerindeki noktaların yarısı -1 kadardır. Buna göre Alan= 12+=16 birim kare olur.

Peki nasıl olur da herhangi bir çokgenin alanı sadece noktalar sayılarak bulunabilir? Teoremin işlemesi için çokgenin köşeleri noktalar üzerinde olacak ve çokgenin bir kenarı diğer kenarını kesmeyecek. Bu şartlar sağlandığı sürece bu teoremi kullanabiliriz. Bu kısıtlamaların teoremin güzelliğinden ve şaşırtıcılığından bir şey eksilteceğini düşünmüyorum. Umarım aynı fikirdeyizdir.

Pick Teoremi Neden Doğrudur?

Elimizde var olan çokgeni temel üçgenlere ayıralım ( Temel üçgen köşeleri noktalarda olan, iç bölgesinde ve kenarlarında başka noktalar barındırmayan üçgenlerdir.)

Çokgen N tane temel üçgenden oluşmuş olsun. Bu üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamı N olacaktır. Şimdi bu açı toplamını bir de üçgenlerden faydalanarak yapalım. Yukarıdaki şekle dikkatlice bakarsak çokgenin içindeki noktaların (bunlara iç noktalar diyelim ve sayısını İ harfiyle gösterelim) etrafında oluşan her bir açı aynı zamanda içerideki üçgenlerin bir açısına denk gelmektedir. O halde her bir iç noktadan derece gelecektir.

İ tane olduğundan toplam İ derece gelir. Çokgenin köşeleri ve kenarlar üzerindeki noktalara bakarsak köşe hariç her bir noktadan derece gelecektir. Köşe noktaları da buna dahil ederek her birinden derece gelecek şekilde hesaplayıp sonrasında fazlalık olanları çıkarmak suretiyle bu temel üçgenlerin iç açıları ölçüleri toplamına ulaşabiliriz. Köşe noktalarındaki fazlalık açıların toplamı bu çokgenin dış açıları ölçüleri toplamıdır. Bu da tüm çokgenler için sabit ve derecedir.

Dolayısıyla kenar  ve köşelerden toplam K derece gelir (K kenar ve köşe üzerindeki noktaların toplam sayısını göstersin). O halde N = İ + K – her tarafı ’a bölersek; N/2= İ + K/2 – 1 formülü ortaya çıkar.

Biraz daha toparlarsak bir temel üçgenin alanı 1/2 birim karedir. Tüm çokgen N tane temel üçgenden oluştuğuna göre çokgenin alanı N.1/2 birim kare olmuş olur. Buradan da çokgenin alanının; Alan: İ + K/2 – 1 olduğu sonucuna ulaşmış oluruz.

Kaynakça:

• Ball, K. (). Garip Eğriler, Tavşanları Saymak ve Diğer Matematiksel Keşifler. (Boğaç Karçıka)(funduszeue.infoı) Ankara: Tübitak Yayınları
• Raman, M.,Ohman L&D. Two Beautıful Proof’s of Pıck’s Theorem. funduszeue.info

Dip Not:

Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Kafes Noktalar

Kareli defterden bir sayfa hayal edin. Bu sayfada kenarları kaldırıp sadece köşeleri bırakalım. Yatay ve dikey yönde bulunan her iki nokta arasının tam olarak bir birim olduğunu varsaydığımızda elimizdeki şey noktalardan oluşan bir sisteme dönüşür. Bu sisteme kafes noktalar diyelim.

Kafes noktalar sistemindeki her nokta tam sayıdan oluşan bir sayı ikilisiyle ifade edilir:

Pick&#;in Teoremi: Çokgen alanı bulmak için alternatif bir yöntemdir.

Sistemdeki noktalar birleştirilerek çokgenler oluşturulabilir. Bu çokgenlerin alanlarını bulmak için Pick&#;in teoremi bize büyük kolaylık sağlar.

Teoreme göre çokgenin alanını bulabilmek için sadece iki bilgiye ihtiyacımız vardır: Çokgendeki kenarların üzerinde bulunan nokta sayısı ve eğer varsa çokgenin iç tarafında kalan nokta sayısı.

Kenarlardaki nokta sayısı k ile, iç tarafta kalan nokta sayısını ise i ile gösterirsek Pick&#;in teoremine göre çokgenin alanı şöyle bulunur:

Alan = i + (k/2) &#; 1

Örnek 1: Üçgen.

Eğer şekildeki gibi bir üçgene sahipsek, kenardaki nokta sayısı k=4 olur. Üçgenin iç kısmında hiç nokta olmadığı için i=0&#;dır. Pick&#;in formülünü uygularsak üçgenin alanını buluruz:

Alan = 0 + (4/2) &#; 1

= 0 + 2 &#; 1

= 1 birim kare.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Taban 1, yükseklik 2 birim olduğu için üçgenin alanı (2*1)/2 = 1 birim kare olur.

Örnek 2: Kare.

Şekilde k=12, i=4&#;tür. O halde çokgenin alanı;

4 + (12/2) &#; 1 = 4 + 6 &#; 1 = 9 birim kare.

Karenin alanı bir kenarının karesidir. Bir kenar 3 birim olduğu için karenin alanı 3*3 = 9 birim karedir.

Kare ve üçgen örneklerine bakınca teoremin gereksiz olduğunu düşünebilirsiniz. O halde gelin çokgenlerimizi biraz daha karmaşık şekilde çizelim.

Örnek 3: Çokgen.

Şimdi Pick&#;in teoreminin gücünü görebiliriz. Eğer teoremi bilmiyorsak mecburen bu çokgeni başka çokgenlere parçalayıp onların alanlarını tek tek bulmamız gerekir. Fakat Pick&#;in teoremiyle sadece nokta sayarak alanı bulabiliriz.

Çokgende k=12, i=72 olduğuna göre alan:

Alan = 72 + (12/2) &#; 1 = 72 + 6 &#; 1 = 77 birim kare olur.

Eşkenar Üçgen

Şu ana dek yaptıklarımızın sayılar değil geometriyle ilişkisi olduğu görülüyor. Fakat tek bir soruyla bunu değiştireceğim.

Soru: Kafes noktalar düzleminde köşeleri noktalar olacak şekilde bir eşkenar üçgen çizmek mümkün müdür?

Örneğin tabanı iki birim olan bir eşkenar üçgen çizmeye çalışalım:

Şekilde görüldüğü üzere bunu yaptığımda üçgenin iki köşesi noktalar üzerinde kalmasına rağmen üçüncü köşe boşluktadır.

Bi&#; Göz Atmakta Fayda Var

Peki bunun çizilebilecek her eşkenar üçgen için böyle olup olmadığını ispatıyla açıklayabilir misiniz?

İspatı bir sonraki yazıda açıklayacağım.

M. Serkan Kalaycıoğlu

Pick Teoremi,  George Pick tarafindan &#;da keşfedilmiştir. Noktalardan oluşan kareli kağıt üzerinde çizilen geometrik şekillerin alanlarını değişik bir yoldan hesaplamayı konu edinir.
Kareli kağıt üzerine, köşeleri kareli kağıttaki noktalara gelecek şekilde geometrik şekiller çizilir. Şeklin alanı hesaplanırken şeklin kenarları üzerindeki ve içindeki nokta sayılarından yararlanılır. Şeklin kenarları üzerindeki nokta sayısının yarısı, şeklin içindeki nokta sayısının 1 eksiği ile toplanır. Bulunan sayı şeklin alanını verir.

Burada ,
B: Çizdiğimiz çokgenin kenarları üzerine gelen nokta sayısıdır.
N: Çokgenin içindeki nokta sayısıdır.

Örneğin; yukarıdaki görselde D şeklinin alanını hesaplayalım.
Şeklin üzerindeki nokta sayısı (B) = 14
Şeklin içindeki nokta sayısı (N) = 5
Alan = B/2 + N &#; 1
= 14/2 + 5 -1
= 7 + 5 &#; 1
= 11 br²

Bir tahta levha üzerine eşit aralıklarla çiviler çakarak tahta levha kareli zemine dönüştürülüp, lastikle geometrik şekiller oluşturularak Pick Teoremi yardımıyla alan hesaplamaları yapılabilir.