7 Ile Bölünebilme Kuralı

3'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcd) = 1000a + 100b + 10c + d \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcd) = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d \)

\( (abcd) = \underbrace{3 \cdot 333a + 3 \cdot 33b + 3 \cdot 3c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a + b + c + d}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 3'ün bir katı olduğu için ilk kısım 3'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 3'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 3'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 3'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 3'e bölümünden kalan ikinci kısmın 3'e bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcd) \bmod{3} = (a + b + c + d) \bmod{3} \)

İspatta hata bildirin

4'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı kısmen çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcd) = 1000a + 100b + (cd) \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcd) = \underbrace{4 \cdot 250a + 4 \cdot 25b}_\text{1. kısım} + \underbrace{(cd)}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısımdaki ve sayının son iki basamağına karşılık gelen \( (cd) \) sayısının 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcd) \bmod{4} = (cd) \bmod{4} \)

İspatta hata bildirin

4'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcd) = 1000a + 100b + 10c + d \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcd) = 1000a + 100b + 8c + 2c + d \)

\( (abcd) = \underbrace{4 \cdot 250a + 4 \cdot 25b + 4 \cdot 2c}_\text{1. kısım} + \underbrace{2c + d}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 4'ün bir katı olduğu için ilk kısım 4'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 4'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 4'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının onlar basamağındaki rakamın iki katı ile birler basamağındaki rakamın toplamına eşittir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 4'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 4'e bölümünden kalan ikinci kısmın 4'e bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcd) \bmod{4} = (2c + d) \bmod{4} \)

İspatta hata bildirin

7'ye bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 6 basamaklı sayıya \( (abcdef) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcdef) = 100002a + 10003b + 1001c + 98d + 7e \) \( + (-2a) - 3b - c + 2d + 3e + f \)

\( (abcdef) = \underbrace{7 \cdot 14286a + 7 \cdot 1429b + 7 \cdot 143c + 7 \cdot 14d + 7e}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{(-2a) - 3b - c + 2d + 3e + f}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 7'nin bir katı olduğu için ilk kısım 7'ye tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 7'ye tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 7'ye bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da rakamların birler basamağından başlayarak sırasıyla "(+1), (+3), (+2), (-1), (-3), (-2), (+1), ..." ile çarpımlarının toplamına eşittir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 7'ye bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 7'ye bölümünden kalan ikinci kısmın 7'ye bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcdef) \bmod{7} = (-2a - 3b - c + 2d + 3e + f) \bmod{7} \)

İspatta hata bildirin

8'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 6 basamaklı sayıya \( (abcdef) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + (def) \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcdef) = \underbrace{8 \cdot 12500a + 8 \cdot 1250b + 8 \cdot 125c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{(def)}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 8'in bir katı olduğu için ilk kısım 8'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcdef) \) sayısının 8'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 8'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 8'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 8'e bölümünden kalan ikinci kısmın 8'e bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcdef) \bmod{8} = (cde) \bmod{8} \)

İspatta hata bildirin

9'a bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcd) = 1000a + 100b + 10c + d \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcd) = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d \)

\( (abcd) = \underbrace{9 \cdot 111a + 9 \cdot 11b + 9 \cdot 1c}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a + b + c + d}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 9'un bir katı olduğu için ilk kısım 9'a tam bölünür, dolayısıyla \( (abcd) \) sayısının 9'a tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 9'a bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, bu kısım da sayının rakamları toplamına eşittir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 9'a bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 9'a bölümünden kalan ikinci kısmın 9'a bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcd) \bmod{9} = (a + b + c + d) \bmod{9} \)

İspatta hata bildirin

11'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 5 basamaklı sayıya \( (abcde) \) diyelim ve bu sayıyı çözümlenmiş şekliyle yazalım.

\( (abcde) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e \)

İfadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim.

\( (abcde) = \underbrace{9999a + 1001b + 99c + 11d}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a - b + c - d + e}_\text{2. kısım} \)

\( (abcde) = \underbrace{11 \cdot 909a + 11 \cdot 91b + 11 \cdot 9c + 11d}_\text{1. kısım} \) \( + \underbrace{a - b + c - d + e}_\text{2. kısım} \)

İfadenin ilk kısmının her terimi 11'in bir katı olduğu için ilk kısım 11'e tam bölünür, dolayısıyla \( (abcde) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için ikinci kısmın 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir, o da yöntemde açıkladığımız şekilde rakamların toplamına/farkına eşittir.

Ayrıca ifadenin ilk kısmının 11'e bölümünden kalan 0 olduğu için sayının 11'e bölümünden kalan ikinci kısmın 11'e bölümünden kalana eşit olur.

\( (abcde) \bmod{11} = (a - b + c - d + e) \bmod{11} \)

İspatta hata bildirin

11'e bölünebilirliğini kontrol edeceğimiz 4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim ve bu sayıyı kısmen çözümlenmiş şekliyle 3 basamaklı \( (abc) \) sayısı cinsinden yazalım.

\( (abcd) = 10(abc) + d \)

İki taraftan \( 11d \) çıkaralım.

\( (abcd) - 11d = 10(abc) + d - 11d \)

\( (abcd) - 11d = 10(abc) - 10d \)

\( (abcd) - 11d = 10[(abc) - d] \)

Eğer \( (abcd) \) sayısı 11'e tam bölünüyorsa yukarıdaki eşitliğin sol tarafındaki \( (abcd) - 11d \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir, çünkü \( (abcd) \) ve \( (abcd) - 11d \) ifadeleri farkları 11'in bir katı olduğu için 11 modunda denktirler.

\( (abcd) \equiv [(abcd) - 11d] \pmod{11} \)

Eğer \( (abcd) - 11d \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa bu ifadeye eşit olan eşitliğin sağ tarafındaki \( 10[(abc) - d] \) ifadesi de 11'e tam bölünmelidir.

Eğer \( 10[(abc) - d] \) ifadesi 11'e tam bölünüyorsa 10 ve 11 aralarında asal olduğu için ifadenin diğer çarpanı olan \( (abc) - d \) ifadesi 11'e tam bölünmelidir.

Dolayısıyla \( (abc) - d \) ifadesinin verilen 4 basamaklı \( (abcd) \) sayısına 11 modülünde denk olduğu sonucuna varabiliriz, bu yüzden iki sayının 11'e bölünebilme durumları aynıdır ve \( (abcd) \) sayısının 11'e tam bölünebilirliğini bulmak için \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölünebilirliğini kontrol etmemiz yeterlidir.

Ayrıca \( (abcd) \) sayısının ve \( (abc) - d \) ifadesinin 11'e bölümlerinden kalan eşit olur.

\( (abcd) \bmod{11} = [(abc) - d] \bmod{11} \)

İspatta hata bildirin

İfadeye göre \( (46d) \) sayısı 3'ün bir katıdır.

\( 46d \) sayısının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.

Buna göre \( d \) sayısı \( \{2, 5, 8\} \) değerlerinden birini alabilir.

Bu değerlerin toplamı \( 2 + 5 + 8 = 15 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sayının birler basamağında 1 olduğu için 2'ye bölümünden kalan 1'dir.

Sayının son iki basamağı 61 olduğu için 4'e bölümünden kalan 1'dir.

Sayının 9'a bölümünden kalanı bulmak için sayının rakamları toplamının 9'a bölünebilirliğini bulalım.

\( 4 + 6 + 1 + \ldots + 4 + 6 + 1 \)

\( = 30 \cdot (4 + 6 + 1) \)

\( = 30 \cdot 11 = 330 \)

330'un rakamları toplamı 6 olduğu için soruda verilen sayının 9'a bölümünden kalan da 6'dır.

Buna göre \( a + b + c = 1 + 1 + 6 = 8 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)

\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 2) \)

\( 6! \) iki tane 3 çarpanı içerdiği için 9'a tam bölünür. 6'dan büyük sayıların faktöriyelleri \( 6! \) içerdikleri için o sayılar da 9'a tam bölünür.

Buna göre sadece \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \) toplamının 9'a bölümünden kalanı bulmamız yeterlidir.

\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \)

\( = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 \)

\( = 154 \)

154 sayısının 9'a bölümünden kalan 1'dir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Son 3 basamağı 000 olan ya da 8'e tam bölünen sayılar 8'e tam bölünür.

\( 79! \) sayısı 2 ve 5 çarpanlarını 3'ten fazla sayıda içerdiği için \( 2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000 \) çarpanını mutlaka içerir, dolayısıyla son 3 basamağı 0'dır ve 8'e tam bölünür.

\( 79! \) sayısının son 3 basamağı \( 000 \) olduğu için bu sayıdan 11 çıkarıldığında elde edilen sayının son 3 basamağı \( 989 \) olur.

\( 989 \)'un 8'e bölümünden kalan 5'tir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir sayının 5'e bölümünden kalan 0, 1, 2, 3, 4 olabilir.

5'e bölündüğünde bölümü ve kalanı bu sayılardan biri olan sayıları bulalım.

\( 5 \cdot 0 + 0 = 0 \)

\( 5 \cdot 1 + 1 = 6 \)

\( 5 \cdot 2 + 2 = 12 \)

\( 5 \cdot 3 + 3 = 18 \)

\( 5 \cdot 4 + 4 = 24 \)

Bu sayılardan iki basamaklı olanlar 12, 18 ve 24'tür.

\( 12 + 18 + 24 = 54 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( x = 1 \) olduğunda her \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y \in \{2, 5\} \) için diğer koşulu sağlar.

\( x = 2 \) olduğunda \( y \in \{4, 6, 8\} \) için \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y = 4 \) için diğer koşulu sağlar.

\( x = 3 \) olduğunda \( y \in \{6, 9\} \) için \( y \) sayısını kalansız böler, ancak sadece \( y = 6 \) için diğer koşulu sağlar.

\( x = 4 \) olduğunda \( y = 8 \) için \( y \) sayısını kalansız böler ve bu değer için diğer koşulu sağlar.

Buna göre sorudaki tüm şartları sağlayan iki basamaklı \( (xy) \) sayıları 5 tanedir.

\( (xy) \in \{12, 15, 24, 36, 48\} \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Ahmet'in çikolatalar için harcadığı \( (a2b4) - 219 \) TL 9'un bir tam katı olmalıdır.

Buna göre 219'un 9'a bölümünden kalan 3 olduğuna göre, \( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan da 3 olmalıdır.

\( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 3 ise rakamları toplamının 9'a bölümünden kalan da 3'tür.

\( a + 2 + b + 4 = a + b + 6 \)

\( a + b + 6 \) toplamının 9'a bölümünden kalanın 3 olması için \( a + b \) rakamlar toplamı 6 ya da 15 olmalıdır.

\( a \cdot b \) çarpımının en büyük değeri için \( (a, b) \) ikilisi birbirine en yakın olacak şekilde seçilir.

Buna göre \( a = 7 \) ve \( b = 8 \) değerleri için \( a \cdot b \) çarpımı en büyük değerini alır.

\( a \cdot b = 56 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

I. öncül: Ardışık 4 rakamdan biri 2'ye bir diğeri 4'e kesinlikle bölündüğü için bu 4 rakamın çarpımı 8'e tam bölünür. I. öncül kesinlikle doğrudur.

II. öncül: \( a + b + c + d \) \( = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) \) \( = 4a + 6 \) olduğu için ifade 4'e tam bölünmez. II. öncül yanlıştır.

II. öncül: Rakamlar toplamı olan \( 4a + 6 \) ifadesi her \( a \) değeri için 3'e bölünmez. III. öncül her zaman doğru değildir.

Buna göre sadece I. öncül kesinlikle doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( [3(t + 2)]^2 = 9(t + 2)^2 = (6b61) \) olduğuna göre, \( (6b61) \) sayısı 9'a tam bölünür.

Buna göre \( (6b61) \) sayısının rakamları toplamı 9'un bir katı olmalıdır.

\( 6 + b + 6 + 1 = 13 + b \)

Burdan \( b = 5 \) bulunur.

\( [3(t + 2)]^2 = 6561 \)

\( 3(t + 2) = 81 \)

\( t + 2 = 27 \)

\( t = 25 \)

\( b + t = 5 + 25 = 30 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( xxx \) ve \( yyy \) sayılarının rakamları toplamı sırasıyla \( 3x \) ve \( 3y \) olduğu için ikisi de 3'e tam bölünür, bu yüzden çarpımları olan \( (29570n) \) sayısı en az iki tane 3 çarpanı içerir ve 9'a tam bölünür.

9'a tam bölünen bir sayının rakamları toplamı da 9'a tam bölünür.

\( (29570n) \) sayısının rakamlarının toplamını alalım.

\( 2 + 9 + 5 + 7 + 0 + n = 23 + n \)

Buna göre \( n = 4 \) olmalıdır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir sayının 9'a bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9'a bölümünden kalandır.

\( (3a4) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 3 + a + 4 = 7 + a \)

Kalanın 4 olması için \( a = 6 \) olmalıdır.

\( (a1b6) = (61b6) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 6 + 1 + b + 6 = 13 + b \)

Kalanın 5 olması için \( b = 1 \) olmalıdır.

\( (ababa) = (61616) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 6 + 1 + 6 + 1 + 6 = 20 \)

Buna göre, \( (61616) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 2 olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Asal sayı olan rakamlar 2, 3, 5 ve 7'dir.

IV. öncül yanlıştır, çünkü sayı 15'e tam bölünüyorsa 3'e ve 5'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.

I., II. ve III. öncüllerden ikisi üç farklı şekilde doğru olabilir:

I. ve II. doğru, III. yanlış: Bu durum doğru olamaz, çünkü sayı 3'e ve 5'e tam bölünüyorsa 15'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.

I. ve III. doğru, II. yanlış: Bu durum da doğru olamaz, çünkü sayı 9'a tam bölünüyorsa 3'e de tam bölünür, bu durumda üç ifade doğru olmuş olur.

II. ve III. doğru, I. yanlış: Bu durumda 3'e ve 9'a bölünen ama 5'e ve 15'e bölünmeyen 4 basamaklı en büyük sayıyı bulmalıyız.

Bu koşulları sağlayan 4 basamaklı en büyük sayı 7533 olur.

Sayının rakamları çarpımı ise \( 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 = 315 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin