Teğet Kiriş Açı

teğet kiriş açı

ÇEMBER

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.O noktasından r uzaklıktaki noktalar kümesi, O merkezli ve r yarıçaplı çemberdir.

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir. [CD] kirişi gibi.

En uzun kiriş merkezden geçen kiriştir. O merkezinden geçen [AB] kirişine çemberin çapı denir.

Çemberi iki noktada kesen doğrulara kesen denir. d₂ doğrusu çemberi K ve L noktalarında kestiğine göre, kesendir.

Çemberi bir noktada kesen doğruya teğet denir. d₁ doğrusu çemberi T noktasında kestiğinden teğettir.

Çemberin merkezindeki ° lik açı çember yayının tamamını görür.Çember yayının açısal değeri ° dir.

Çap çember yayını iki eşit parçaya ayırır. Her bir parça ° dir.

ÇEMBERDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1. Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

2. Çevre Açı

Köşesi çemberin üzerinde, kenarları bu çemberin kirişleriolan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü

yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsününyarısıdır.

Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.m(BAC) = m(BEC) = m(BDC)

Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir.m(AEB) = m(ACB) = m(ADB) = 90°

3. Teğet &#; kiriş açı

Köşesi çember üzerinde, kollarından biri çemberin teğeti, diğeri çemberin kirişi olan açıya, teğet &#; kiriş açı denir.

Teğet &#; kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir.

m(ABT) = m(ATC) = a

4. İç Açı

Bir çemberde kesişen farklı iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir.

ıç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

5. Dış Açı

ıki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir keseninoluşturduğu açıya, çemberin bir dış açısı denir.

Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.

APB açısı AB ve CD yaylarını gördüğüne göre,

[PB kesen,

[PC teğet
m(AC) = y
m(CA) = x
dersek
Burada, x + y = ° olduğundan,

O merkezli yarım çemberde,

m(APC) = a
m(AB) = b

6. Kirişler Dörtgeni

Kenarları bir çemberin kirişleri olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.

Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.

m(A)+m(C)=°

m(B)+m(D)=°

Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı olan bütün dörtgenlerin köşelerinden bir çember geçer.

Kesişen iki çemberde oluşan ABEF ve BCDE dörtgenlerinde

m(ABE)=m(CDF)m(AFD)=m(CBE)

m(ABE)+m(CBE)=° olduğundan,

İlgili Konular

#çember#çemberde açı özellikleri#çevre açı#dış açı#iç açı#merkez açı#teğet kiriş açı

&#;emberde A&#;ı Nedir? Kısaca &#;emberde A&#;ı Konu Anlatımı

Haberin Devamı

Merkez açı

Çevre açı

Dış açı

İç açı

Teğet-kiriş açı

Merkez Açı Nedir?

Köşesi dairenin merkez kısmında olan açıya merkez açı adı verilir. Merkez bir açının ölçüsü görmüş olduğu yayın ölçüsüne eşit olmak zorundadır. M(AOB)=m(AB)=a şeklinde gösterilir.

Çevre Açı Nedir?

Köşesi çemberin üstünde, kenarları ise bu çemberin kirişlerini ifade eden açıya çevre açı adı verilir. Çevre açının ölçüsü, görmüş olduğu yayın ölçüsünün tam olarak yarısına eşittir.

Teğet-Kiriş Açı Nedir?

Köşesi çemberin üstünde, kollarından bir tanesi çemberin teğeti olan ve diğeri ise dairenin kirişi olan açıya, teğet – kiriş açı adı verilir. Teğet – kiriş açılarının ölçüsü, görmüş olduğu yayın değerinin yarısına eşittir.

İç Açı Nedir?

Bir dairede kesişen ayrı iki kirişin oluşturmuş olduğu açıya iç açı adı verilir. İç açının ölçüsü görmüş olduğu yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşit olacak şekilde hesaplanır.

Dış Açı Nedir?

İki doğruyu kesebilen bir doğrunun ve bu doğruların dış kısmında kalacak şekilde oluşturduğu açıya dış açı adı verilir. Bir dış açının ölçüsü, görmüş olduğu yayların ölçü değerlerinin farkının tam olarak yarısına eşittir.

Çemberin Açı Özellikleri

Çemberin bir tam çevresi \( ° \)'lik bir yay ölçüsüne karşılık gelir. Çizilen birbirine dik iki çap, çemberi her biri \( 90° \)'lik dört eşit yaya böler.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = m(\overset{\LARGE\frown}{BC}) = m(\overset{\LARGE\frown}{CD}) \) \( = m(\overset{\LARGE\frown}{DA}) = 90° \)

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) + m(\overset{\LARGE\frown}{BC}) + m(\overset{\LARGE\frown}{CD}) \) \( + m(\overset{\LARGE\frown}{DA}) = ° \)

Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezi ve kolları çemberin yarıçapı olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü \( ° \) arasındadır.

Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir.

\( O \) noktası çemberin merkezi olmak üzere,

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = m(\widehat{AOB}) = x \)

Aşağıdaki merkezleri aynı olan iki çember örneğinde görebileceğimiz gibi, bir merkez açının gördüğü yayın ölçüsü çemberin yarıçap uzunluğundan bağımsızdır.

Çevre Açı

Çemberin üzerinde bir noktada kesişen iki kiriş arasında kalan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü \( ° \) arasındadır.

Çevre açının gördüğü yayın ölçüsü çevre açının ölçüsünün iki katına eşittir. Bir çemberde aynı yayı gören çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 2 \cdot m(\widehat{ACB}) = 2x \)

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 2 \cdot m(\widehat{ADB}) = 2x \)

İSPATI GÖSTER

Bir kolu çemberin merkezinden geçen çevre açı:

Çemberin merkezinden çevre açının çemberi kestiği \( B \) noktasına bir doğru çizelim (mavi kesikli çizgi).

\( [OC] \) ve \( [OB] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

\( \abs{OC} = \abs{OB} \)

\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{CBO}) = x \)

Bir üçgenin bir dış açısı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

\( m(\widehat{BOA}) = x + x = 2x \)

Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir. Buna göre \( \overparen{AB} \) yayının ölçüsü \( 2x \) olur. Dolayısıyla ölçüsü \( x \) derece olan bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü \( 2x \), yani çevre açının ölçüsünün iki katıdır.

Kolları çemberin merkezinin farklı taraflarında kalan çevre açı:

Çevre açının köşesinden geçen bir \( [CD] \) çapı çizelim. Bu şekilde çevre açıyı bir kolu çemberin merkezinden geçen iki çevre açıya ayırmış oluruz.

Çevre açının her iki kısmına yukarıda gösterdiğimiz "Bir kolu çemberin merkezinden geçen çevre açı" kuralını uygularsak bu çevre açı ile aynı yayı gören merkez açının ölçüsünü \( 2x + 2y \) olur. Buna göre \( \overparen{AB} \) yayının ölçüsü \( 2x + 2y \) olarak buluruz. Dolayısıyla ölçüsü \( x + y \) derece olan bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü \( 2x + 2y \), yani çevre açının ölçüsünün iki katıdır.

Kolları çemberin merkezinin aynı tarafında kalan çevre açı:

Çevre açının köşesine ve kollarının çemberi kestiği noktalara merkezden birer yarıçap çizelim (mavi kesikli çizgiler).

Çevre açının ölçüsüne \( x \), bu çevre açıya komşu ve bir kolu çemberin merkezinden geçen bir diğer çevre açının ölçüsüne de \( y \) diyelim.

\( [OC] \) ve \( [OB] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

\( \abs{OC} = \abs{OB} \)

\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{CBO}) = x + y \)

\( [OC] \) ve \( [OA] \) çemberin yarıçapıdır ve uzunlukları eşittir. Buna göre \( COA \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

\( \abs{OC} = \abs{OA} \)

\( m(\widehat{ACO}) = m(\widehat{CAO}) = y \)

\( \widehat{CKO} \) açısı \( CBK \) üçgeninin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

\( m(\widehat{CKO}) = x + x + y = 2x + y \)

\( \widehat{CKO} \) açısı aynı zamanda \( OKA \) üçgeninin bir dış açısıdır ve kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

\( m(\widehat{CKO}) = 2x + y = y + m(\widehat{KOA}) \)

\( m(\widehat{KOA}) = 2x \)

İspatta hata bildirin

Çapı Gören Çevre Açı

Çap çemberi her biri \( ° \) olan iki eşit yaya böler. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı olduğu için çapı gören çevre açının ölçüsü \( 90° \)'dir.

İç Açı

İki kirişin çemberin içinde oluşturduğu açıya iç açı denir. Bir iç açı, kirişlerin kesişim noktasının iki tarafında gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.

\( x = \dfrac{m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) + m(\overset{\LARGE\frown}{CD})}{2} = \dfrac{a + b}{2} \)

İSPATI GÖSTER

\( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren bir doğru çizelim (mavi kesikli çizgi).

Çemberin üzerindeki iki yayın uzunluklarını tanımlayalım.

\( \overparen{CB} = c \)

\( \overparen{DA} = d \)

Buna göre çizdiğimiz \( [AB] \) kirişinin oluşturduğu çevre açıların ölçüleri aşağıdaki gibi olur.

\( m(\widehat{CAB}) = \dfrac{c}{2} \)

\( m(\widehat{DBA}) = \dfrac{d}{2} \)

\( ABK \) üçgeninin iç açıları toplamı °'dir.

\( x + \dfrac{c}{2} + \dfrac{d}{2} = ° \)

\( 2x + c + d = ° \)

\( c + d = ° - 2x \)

Çemberin yay uzunlukları toplamı °'dir.

\( a + b + c + d = ° \)

\( c + d \) yerine yukarıda elde ettiğimiz eşitini yazalım.

\( a + b + ° - 2x = ° \)

\( a + b = 2x \)

\( x = \dfrac{a + b}{2} \)

İspatta hata bildirin

Teğet - Kiriş Açı

Çemberin üzerinde bir noktada kesişen bir teğet ve bir kiriş arasında kalan açıya teğet - kiriş açı denir. Teğet - kiriş açının ölçüsü \( ° \) arasındadır.

Teğet - kiriş açının gördüğü yayın ölçüsü, teğet - kiriş açının ölçüsünün iki katına eşittir.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 2 \cdot m(\widehat{ABC}) = 2x \)

İSPATI GÖSTER

Çemberin merkezinden teğet kiriş açının çemberi kestiği noktalara birer doğru çizelim (mavi kesikli çizgiler).

\( m(\widehat{AOB}) = a \) diyelim.

\( [OA] \) ve \( [OB] \) doğru parçaları yarıçaptır ve uzunlukları eşittir, dolayısıyla \( OAB \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \)

\( m(\widehat{OAB}) = m(\widehat{OBA}) = b \)

\( OAB \) üçgeninin iç açıları toplamı °'dir.

\( a + 2b = ° \)

\( a = 2(90° - b) \)

\( [OB] \perp [BC] \) olduğundan,

\( x + b = 90° \)

\( x = 90° - b \)

Bu eşitlikteki \( 90° - b \) ifadesinin eşitini yukarıda elde ettiğimiz denklemde yerine koyalım.

\( a = 2(90° - b) \)

\( a = 2x \)

Buna göre merkez açının ölçüsü \( a = 2x \)'tir, buna göre gördüğü yay uzunluğu da \( 2x \) olur. Dolayısıyla ölçüsü \( x \) olan teğet kiriş açının gördüğü yay uzunluğu \( 2x \), yani teğet kiriş açı ölçüsünün iki katı olur.

İspatta hata bildirin

Merkezden Geçen Teğet - Kiriş Açı

Merkezden geçen teğet - kiriş açının ölçüsü \( 90° \), gördüğü yayın ölçüsü \( ° \)'dir.

\( O \) noktası çemberin merkezi olmak üzere,

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = ° \)

\( m(\widehat{CAB}) = 90° \)

Yukarıda bahsettiğimiz merkez, çevre ve teğet - kiriş açılar aşağıdaki şekilde birlikte gösterilmiştir.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 2x \) ise,

Merkez açı: \( m(\widehat{AOB}) = 2x \)

Çevre açı: \( m(\widehat{ACB}) = x \)

Teğet - kiriş açı: \( m(\widehat{ABD}) = x \)

Dış Açı

Köşesi çemberin dış bölgesinde, kolları teğet veya kesen olan açıya çemberin dış açısı denir.

Bir dış açı, iki kesenin, iki teğetin ya da bir teğet ve bir kesenin çemberin dışında kesişmesiyle oluşabilir.

İki Kesenin Oluşturduğu Dış Açı

İki kesenin oluşturduğu dış açı, kesenlerin çember üzerinde aralarında kalan yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir.

\( x = \dfrac{m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) - m(\overset{\LARGE\frown}{CD})}{2} = \dfrac{a - b}{2} \)

İSPATI GÖSTER

\( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren bir doğru çizelim (mavi kesikli çizgi).

Çemberin üzerindeki iki yayın uzunluklarını tanımlayalım.

\( \overparen{CB} = c \)

\( \overparen{DA} = d \)

Çizdiğimiz \( [AB] \) doğru parçasının oluşturduğu çevre açıların ölçüleri gördükleri yay uzunluklarının yarısına eşittir.

\( m(\widehat{CBA}) = \dfrac{b + d}{2} \)

\( m(\widehat{DAB}) = \dfrac{b + c}{2} \)

\( ABK \) üçgeninin iç açıları toplamı °'dir.

\( x + \dfrac{b + d}{2} + \dfrac{b + c}{2} = ° \)

\( 2x + 2b + c + d = ° \)

\( c + d = ° - 2x - 2b \)

Çemberin yay uzunlukları toplamı °'dir.

\( a + b + c + d = ° \)

\( c + d \) yerine yukarıda elde ettiğimiz eşitini yazalım.

\( a + b + ° - 2x - 2b = ° \)

\( a - b = 2x \)

\( x = \dfrac{a - b}{2} \)

İspatta hata bildirin

İki Teğetin Oluşturduğu Dış Açı

İki teğetin kesişimiyle oluşan bir dış açının çember üzerinde oluşturduğu yayın ölçüsü aşağıdaki gibidir.

\( m(\widehat{ACB}) = x \) ise,

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = ° - x \)

İSPATI GÖSTER

\( AOBC \) dörtgeninin iç açılar toplamı \( = ° \)

\( m(\widehat{CAO}) = m(\widehat{CBO}) = 90° \)

\( m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{AOB}) + 90° + 90° \) \( = ° \)

\( m(\widehat{AOB}) = ° - x \)

\( \overset{\LARGE\frown}{AB} \) yayının ölçüsü merkez açı ölçüsüne eşittir.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = ° - x \)

İspatta hata bildirin

Kesişen iki teğetin kesişim noktasından çemberin merkezine çizilen doğru aynı zamanda açıortaydır.

İki teğetin kesişim noktasındaki açıortay

\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{ACO}) \)

İSPATI GÖSTER

\( m(\widehat{CBO}) = m(\widehat{CAO}) = 90° \)

\( \abs{OB} = \abs{OA} = r \)

Önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere, bir çemberin dışında bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir.

\( \abs{CB} = \abs{CA} \)

\( \overset{\triangle}{CBO} \) ve \( \overset{\triangle}{CAO} \) üçgenlerinin dik açılarının iki komşu kenar uzunlukları eşit olduğu için, karşı kenar uzunluğu da eşittir ve bu iki üçgen eş üçgenlerdir, dolayısıyla tüm açıları eşittir.

\( m(\widehat{BCO}) = m(\widehat{ACO}) \)

İspatta hata bildirin

Bir Teğet ve Bir Kesenin Oluşturduğu Dış Açı

Bir teğet ve bir kesenin kesişimiyle oluşan bir dış açının çember üzerinde oluşturduğu yayın ölçüsü aşağıdaki gibidir.

Çemberin dışında kesişen bir teğet ve bir kesen

\( m(\widehat{ACB}) = x \) ise,

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 90° - x \)

İSPATI GÖSTER

\( \overset{\triangle}{BOC} \) üçgeninin iç açılar toplamı \( = ° \)

\( m(\widehat{CBO}) = 90° \)

\( m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{BOA}) + 90° = ° \)

\( m(\widehat{BOA}) = 90° - x \)

\( \overset{\LARGE\frown}{AB} \) yayının ölçüsü merkez açı ölçüsüne eşittir.

\( m(\overset{\LARGE\frown}{AB}) = 90° - x \)

İspatta hata bildirin

Teğet İki Çembere Teğet İki Doğru

Birbirine teğet iki çembere teğet iki doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu yayların ölçüsü aşağıdaki gibidir.

\( x + y + z = ° \)

İSPATI GÖSTER

\( ARPBC \) beşgeninin iç açılar toplamı \( = (5 - 2) \cdot ° = ° \)

\( m(\widehat{CBP}) = m(\widehat{CAR}) = 90° \)

Buna göre beşgenin diğer 3 köşesinin açıları toplamı \( - = ° \) olur.

\( m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{ARP}) + m(\widehat{BPR}) \) \( = ° \)

Bu toplamda 2. ve 3. terimler aynı zamanda işaretli yayların merkez açıları oldukları için, ölçüleri yayların ölçülerine eşittir.

\( x + y + z = ° \)

İspatta hata bildirin

Teğet İki Çembere Teğet Bir Doğru

Birbirine teğet iki çembere teğet bir doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu yayların ölçüsü aşağıdaki gibidir.

\( x + y = ° \)

İSPATI GÖSTER

\( APRB \) dörtgeninin iç açılar toplamı \( = (4 - 2) \cdot ° = ° \)

\( m(\widehat{BAP}) = m(\widehat{ABR}) = 90° \)

Buna göre dörtgenin diğer 2 köşesinin açıları toplamı \( - = ° \) olur.

\( m(\widehat{APR}) + m(\widehat{BRP}) = ° \)

Bu ifadedeki terimler aynı zamanda işaretli yayların merkez açıları oldukları için, ölçüleri yayların ölçülerine eşittir.

\( x + y = ° \)

İspatta hata bildirin

İki Çembere Teğet İki Doğru

İki çembere teğet iki doğrunun çemberler üzerinde oluşturduğu yayların ölçüsü aşağıdaki gibidir.

\( x + y = ° \)

İSPATI GÖSTER

\( APCDRB \) altıgeninin iç açılar toplamı \( = (6 - 2) \cdot ° = ° \)

\( m(\widehat{PAB}) = m(\widehat{PCD}) = 90° \)

\( m(\widehat{RDC}) = m(\widehat{RBA}) = 90° \)

Buna göre altıgenin diğer 2 köşesinin açıları toplamı \( - = ° \) olur.

\( m(\widehat{APC}) + m(\widehat{BRD}) = ° \)

Bu ifadedeki terimler aynı zamanda işaretli yayların merkez açıları oldukları için, ölçüleri yayların ölçülerine eşittir.

\( x + y = ° \)

İspatta hata bildirin

Birbirine Teğet Üç Çember

Birbirine teğet üç çemberin aralarındaki yayların ölçülerinin toplamı \( ° \)'dir.

\( x + y + z = ° \)

İSPATI GÖSTER

\( \overset{\triangle}{KMN} \) üçgeninin iç açıları toplamı \( = ° \)

\( m(\widehat{K}) = x \)

\( m(\widehat{M}) = y \)

\( m(\widehat{N}) = z \)

\( x + y + z = ° \)

İspatta hata bildirin