SORU 1:
\( ! \) sayısı arka arkaya kaç kez kalansız \( 3 \)'e bölünebilir?
Çözümü Göster
Bir sayı belirli bir çarpanı içerdiği sayıda o çarpana kalansız bölünebilir, bunun sebebi sayıyı o çarpana her böldüğümüzde sayının asal çarpanları biçiminde yazılışında o çarpanın kuvvetinin bir azalacak olmasıdır.
Buna göre \( ! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{ / 3} = 33 \) tane
9'un her katı için \( \floor{33 / 3} = 11 \) tane daha
27'nin her katı için \( \floor{11 / 3} = 3 \) tane daha
81'in her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha
Toplamda \( 33 + 11 + 3 + 1 = 48 \) tane 3 çarpanı vardır.
Dolayısıyla \( ! \) sayısı arka arkaya 48 kez 3'e kalansız bölünebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( x \) ve \( y \) doğal sayı olmak üzere,
\( 30! = 6^x \cdot y \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster
\( 30! = 6^x \cdot y \)
\( 6 = 2 \cdot 3 \)
Her 6 çarpanı birer tane 2 ve 3 çarpanından oluştuğu için \( 30! \) sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarından hangisi daha az sayıda ise o kadar sayıda 6 çarpanı içerir. Bir faktöriyelin içinde daha büyük bir sayı olan 3 çarpanı 2 çarpanından daha az sayıda bulunur.
Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{30 / 3} = 10 \) tane
9'un her katı için \( \floor{10 / 3} = 3 \) tane daha
27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha
Toplamda \( 10 + 3 + 1 = 14 \) tane 3 çarpanı vardır.
Buna göre, \( 30! \) sayısının içinde 14 tane 3 çarpanı, dolayısıyla 14 tane 6 çarpanı vardır.
O halde, verilen eşitlikte \( x \) doğal sayısı en çok 14 olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( n, A \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 88! = 24^n \cdot A \)
denkleminde \( n \)'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Bu soru \( 88! \) sayısı \( 24 \)'e en çok kaç kez kalansız bölünebilir sorusu ile özdeştir, çünkü \( n \)'nin alabileceği en büyük değer \( 88! \) içindeki \( 24 \) çarpan sayısına eşittir.
\( 24 \)'ü asal çarpanlarına ayıralım.
\( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \)
\( 88! \) içinde 3 adet 2 çarpanı ve 1 adet 3 çarpanı grup olarak kaç adet bulunuyorsa o kadar 24 çarpanı bulunuyordur. Buna göre önce \( 88! \) içindeki 2 ve 3 çarpan sayılarını bulalım.
\( 88! \) içindeki \( 2 \) çarpan sayısı \( = 44 + 22 + 11 + 5 + 2 + 1 = 85 \)
\( 88! \) içindeki \( 3 \) çarpan sayısı \( = 29 + 9 + 3 + 1 = 42 \)
Verilen denklemde 24'ü çarpanları cinsinden yazalım.
\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^n \cdot A \)
\( 88! \) içindeki 85 adet 2 çarpanı ve 42 adet 3 çarpanını aşmayacak şekilde \( n \)'ye verebileceğimiz en büyük değer 28 olur. Bu durumda, kalan 1 adet 2 çarpanı ve 14 adet 3 çarpanı \( A \) değişkenine dahil olur.
\( 88! = (2^3 \cdot 3^1)^{28} \cdot A \)
\( 88! = 2^{84} \cdot 3^{28} \cdot A \)
Buna göre, sorunun cevabı \( n = 28 \)'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( M \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 5! \cdot 9! \cdot M \)
ifadesinin bir tam kare sayı olması için \( M \) sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Bir sayının tam kare olabilmesi için (1, 4, 9, 16, ) asal çarpanları biçiminde yazılışında tüm asal çarpanlarının kuvveti birer çift sayı olmalıdır.
\( A = (x^a \cdot y^b \cdot z^c)^2 \)
\( = x^{2a} \cdot y^{2b} \cdot z^{2c} \)
\( 5! \) ve \( 9! \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)
\( = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( 9! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)
\( = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \)
Bu iki sayının çarpımını alalım.
\( 5! \cdot 9! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \)
Bu çarpımda 2 ve 5'in kuvvetlerinin çift, 3 ve 7'nin kuvvetlerinin tek olduğunu görüyoruz, dolayısıyla ifadenin bir tam kare olması için ihtiyacımız olan en azından 1'er adet 3 ve 7 çarpanıdır. Buna göre, \( M \)'nin alması gereken en küçük değer \( M = 3 \cdot 7 = 21 \) olur.
\( 5! \cdot 9! \cdot M \)
\( = (2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^1) \cdot (3 \cdot 7) \)
\( = 2^{10} \cdot 3^6 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \)
\( = (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1)^2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( 0! + 2! + 4! + 6! + \ldots + ! \)
sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri de 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.
Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.
\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)
Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin