0 In Kuvvetleri Kactir
Bir sayının ( 0 hariç) sıfırıncı kuvvetinin bir çıktığını hepimiz biliyoruz. Üslü sayıları ilk öğrendiğimiz zamanlarda verilen bir kuraldır bu. Ancak bunun nedeni hakkında bir çoğumuzun bilgisi yeterince yoktur. Genellikle birileri öyle kabul etmiş der, sonrasında ezberler ve geçeriz.
Matematikçiler belli tanımlar yaparken, yapılan o tanımın içinde bulunduğu sisteme uygun ve tutarlı olmasına, sorun yaratmamasına dikkat ederler. Temel olarak sayının sıfırıncı kuvvetinin bir olmasının nedeni budur. Diğer bir deyiş ile bu bir kabuldür.
Ancak bunun nedenini tam olarak anlamak için çoğu zaman pek kullanmak zorunda kalmadığımız kavramsal bilgiye ihtiyaç vardır. Bu yazıda olası bu tarz bir soru karşısında verilebilecek bazı cevaplara göz atalım.
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvvetinin Bir Olmasının Birinci Nedeni
Birinci neden üslü sayıların kuralları ile ilgilidir. Bildiğiniz gibi üslü sayılarda tabanlar aynı ise üstler toplanabilir. Bu durumda x tabanı ve a, b üstleri için xa . xb = x(a+b) yazılabilir. Aynı biçimde üstlerimizden biri negatif olursa da xa . x-b = x(a-b) biçiminde de gösterebiliriz. Bu ikinci gösterimde eğer a ve b değerleri birbirine eşit ise (a = b) ifademiz xa . x-b = xa . x-a = x(a-a) = x0 biçiminde olur.
Şimdi, negatif bir üssünüz varsa, bunun x-a = 1/xa biçiminde yazılabildiğini anımsayın. O zaman yukarıdaki ifadeyi xa . x-a = xa .1/xa = xa/xa biçiminde de yazabiliriz. Bir sayının kendisine bölümü her zaman 1 sonucunu vereceğinden x0 = 1 olduğunu göstermiş oluruz.
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvvetinin Bir Olmasının İkinci Nedeni
Bir sayının kuvvetini almak taban olarak isimlendirdiğimiz alttaki sayıyı kuvvet olarak isimlendirdiğimiz üstteki sayı ile çarpmak demektir. Şimdi 34 = = 81; 33 = = 27; 32 = = 9 ve 31 = 3 = 3 dizilimindeki sayılara dikkat edelim. Desene bakarsanız, üstü bir küçülttüğümüzde sayının değerini 3’e böldüğümüzü görebilirsiniz. Bu kalıbı kullanarak deseni devam ettirseniz 30 =1 sonucunu elde edersiniz.
Aslında örüntüyü devam ettirerek başka sonuçlara da erişebilirsiniz. 3(-1) ifadesinin 1/31, 3(-2) sayısının da aynı şekilde 1/32 olduğunu hatırlatalım. Bu durumda 3-1 = 1/3 = …; 3(-2) = (1/3)/3 = …biçiminde devam edecektir.
Son olarak belki de en başta söylememiz gerekeni söyleyelim. Çarpma işlemi toplama işleminin kısaltılmasıdır. 3 x 5 dediğimiz zaman 5+5+5 işlemini düşünmemiz gerekir. =0 dediğimiz zamanda 3 tane 0 toplarsak ne elde edeceğimizi sorgularız. Cevap elbette 0’dır.
Kuvvet alma işlemi de çarpma işleminin kısaltılmasıdır. 30 ifadesi 1 haricinde başka değere eşit olursa matematiğin temellerini kurduğumuz aksiyomları sağlamayacaktır. Şimdi akla gelen son bir soruya bakalım.
Sıfırın Sıfırıncı Kuvveti Kaçtır?
Şu ana kadar, sıfır dışında, herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin neden bir olması gerektiğini açıklamaya çalıştık. Peki, sıfırın sıfırıncı kuvvetini aldığımızda ne olur? Aslında bu sorumuza verebileceğiniz iki cevap vardır. Cevap ya birdir ya da sıfırdır.
Bunun nedenini anlayabilmek için bu sefer de sıfır sayısının kuvvetleri ile biraz oynayalım. Öncelikle 01 dediğimiz zaman ne demek istediğimizi düşünelim. Burada bir tane sıfır demek istiyoruz. Bunu da 01 = biçiminde gösteriyoruz. Sonucumuz elbette sıfır çıkıyor.
Bu mantıkla devam edersek, 02 dediğimiz zamanda iki tane sıfır demiş oluyoruz ve bunu da 02 = .0 biçiminde gösterebiliriz. Üstteki sayı sıfır dışında ne olursa olsun aynı biçimde gösterebiliyoruz.
Şimdi 00 ifadesini aynı bakış açısı ile inceleyelim. Aslında bunu düşünmenin iki yolu var. Sıfırın sıfır olmayan bütün kuvvetleri için sonucun sıfır çıktığını biliyoruz. Bu durumda sıfırın sıfırıncı kuvveti de sıfıra eşit olmalı diyebilirsiniz. Yanlış değil.
Ancak ikinci bir düşünce biçimi daha var. Az evvel herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin bir sayısına eşit çıktığını göstermiştik. Bu mantıkla sonucumuz bir sayısı da çıkabilir. Bu da yanlış değil. İşte bu nedenle matematikçiler bu konuda uzun süre tartıştıktan sonra bir karmaşıklığa neden olmaması açısında bunu tanımlamamaya karar vermişler. Bu nedenle de belirsiz olarak kabul etmişler.
Sonuç olarak;
Özetlersek, sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti birdir. Ancak sıfır sayısının sıfırıncı kuvveti ise belirsiz yani soru işaretidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpım işlemini ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
ÖRNEK:
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işlemini tekrarlı toplama olarak düşünebildiğimiz gibi üs işlemini de tekrarlı çarpma olarak düşünebiliriz.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in 2. kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in 3. kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
Üs işleminin önceliği diğer işlemlerden yüksektir ve bu açıdan üssün, parantezlerin ve negatif işaretinin yerlerine dikkat edilmelidir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanmaktadır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işareti parantezin içinde kalacak şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
SORU 1:
\( -2^4 + (-5^1) - 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİşlem önceliklerini doğru belirlemek için ilgili yerlere parantez koyalım.
\( -(2^4) + (-(5^1)) - (3^2) \)
\( = + (-5) - 9 \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = \Longrightarrow a = 16 \)
\( ^1 = \Longrightarrow a = \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + = \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
0 ve 1'le Üslü İşlemler
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
ÖRNEK:
\( 3^0 = 1 \)
\( (-2)^0 = 1 \)
İSPATI GÖSTER
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
ÖRNEK:
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( 0^1 = 0 \)
0'ın Kuvvetleri
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
ÖRNEK:
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
ÖRNEK:
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı alt dallarında farklı sebeplerle tanımsız ya da 1 olarak kabul edilir.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
ÖRNEK:
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-\frac{2}{3}} = 1 \)
Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
| \( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
| \( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = \) |
Bu tabloya göre, üs çift sayı ise sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayıların arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
SORU 3:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan 4 \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan 6 \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Üslü İfade Değerleri
Arası Sayıların Üsleri
arası sayıların 'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tam Kare Üslü İfadeler
arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ()^n = () \)
\( ()^n = () \)
\( ()^n = () \)
\( ()^n = () \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ()^{2n + 1} = () \)
\( ()^{2n + 1} = () \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ()^{4n + 1} = () \)
\( ()^{4n + 1} = () \)
\( ()^{4n + 1} = () \)
\( ()^{4n + 1} = () \)
SORU 4:
\( 31^{13} = a, \quad 24^{14} = b, \quad 37^{19} = c \) sayıları veriliyor.
Buna göre bu sayıların son basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( ()^n = () \)
\( 31^{13} = () \)
Buna göre \( a \) sayısının son basamağındaki rakam 1 olur.
\( ()^{2n + 1} = () \)
\( 24^1 = 24^{13} = () \)
\( 24^{14} = () \)
Buna göre \( b \) sayısının son basamağındaki rakam 6 olur.
\( ()^{4n + 1} = () \)
\( 37^1 = 37^{17} = () \)
\( 37^{18} = () \)
\( 37^{19} = () \)
Buna göre \( c \) sayısının son basamağındaki rakam 3 olur.
Sayıların son basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 3 = 18 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
0'ın kuvvetleri nelerdir? 0 sayısının pozitif tam sayı ve doğal sayı kuvvetleri
0 rakamı, kaç defa çarpıldığına bakmaksızın her zaman yine kendisini verecek etkiye sahiptir. Ancak 0 rakamı, herhangi bir sayı ya da rakamla toplandığında, etkisiz eleman olarak değerlendirilir. Kuvvet konusunda ise, sadece çarpma işlemi yapıldığı için, 0 ile çarpmak yine 0 sonucunu verir.
0'ın Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri Nelerdir?
0 üzeri herhangi bir pozitif tam sayının sonucu yine 0 olacaktır. 0 üzeri bile yazılsa, 0 rakamını kez kendisi ile çarpmak sonucu değiştirmez. Üst kuvveti fark etmeksizin sonuç her zaman 0 olarak elde edilir.
0'ın Doğal Sayı Kuvvetleri Nelerdir?
0'ın doğal sayı kuvvetleri de yine 0 sonucunu vermektedir. Ancak 0 bir üst kuvvet olarak kullanıldığı takdirde sonuç her zaman 1 olur. Örneğin üzeri 0 dendiğinde, 0 kere çarpımı 1 sonucunu verir.