^Judith D. Sally; Paul Sally (2007). "Chapter 3: Pythagorean triples". Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore. s. 63. ISBN 0-8218-4403-2. 19 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Mayıs 2020.
^Benson, Donald. The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies 18 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
^Euclid (1956), pp. 351–352
^Huffman, Carl. "Pythagoras". Zalta, Edward N. (Ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition). 8 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2020. , "It should now be clear that decisions about sources are crucial in addressing the question of whether Pythagoras was a mathematician and scientist. The view of Pythagoras' cosmos sketched in the first five paragraphs of this section, according to which he was neither a mathematician nor a scientist, remains the consensus."
^Loomis 1968
Pisagor Teoreminin Origami ile İspatı
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
Ödevinizi yorum kısmına yazın. Açıklık ve özlülük ek puan getirir! Bu video için birlikte fikir ürettiğimiz New York Üniversitesi'nden arkadaşlarıma özellikle teşekkür ederim.Orijinal video Vi Hart tarafından hazırlanmıştır.
Video açıklaması
Pisagor teoremini kanıtlamak için sayılara veya süslü denklemlere ihtiyacınız yok. Tek ihtiyacınız bir kağıt parçası. Bunu kanıtlamak için bir sürü yol var ve insanlar sürekli bir yenisini icat ediyorlar. Ama ben size favorimi göstereceğim. Sadece diyagramlara bakmak yerine, katlayacağız. Önce bir kareye ihtiyacımız var. Bir dikdörtgene nazikçe sorarsanız belki kare olmayı kabul edebilir. birinci adım; karenizi ortadan ikiye katlayın, sonra öbür yöne ikiye, sonra da köşegenden ikiye. Kat yerlerinin keskin olmasına gerek yok, ikinci adımda karenin simetrilerini kullanacağız o kadar: Ama siz yine de dikkatli olun Üçgenin açık uçlarının olduğu kenara paralel bir kat yapın istediğiniz yerden katlayabilirsiniz. Burada dik üçgeninizin ne kada uzun ve dik veya kısa ve büük olduğuna siz karar veriyorsunuz. Tüm katları geri açtığınızda, karenizin içinde bir kare daha olduğunu göreceksiniz. Bu katları biraz daha keskinleştirin ve şimdi kenarlara eşit uzaklıkta dört çizgimiz olmalı Bakalım buradan kaç tane özdeş dik üçgen yapabileceğiz. aslında dikdörtgenin köşegenini almış oluyoruz. Böylece ilk dik üçgenimizi tamamladık. bununla aynı şekle ve aynı alana sahip. Üçgenimizin kenarlarını Küçük kenar, büyük kenar ve hipotenüs olarak isimlendirelim Doksan derece döndürelim ve öbür üçgeni katlayalım. Bu da tabii ki ilki gibi yapalım Sonraki iki kenar için de tekrar edelim Orijinal kağıt eksi bu dört üçgen, bize bu güzel kareyi veriyor. Bu kağıdın alanı ne kadar? Karenin kenarları aslında bu üçgenlerden herhangi birinin hipotenüsü. Yani alan aslında hipotenüsün karesi oluyor. katladıklarınızı açın ve bu sefer katlamak için dört farklı üçgen seçin. Küçük kenardan yırtın ve bu iki üçgeni geri katlayın. Sonra buradan iki tane katlayabilirsiniz. hangi dört üçgeni çıkarırsanız çıkarın. Katlanmamış alandan dört üçgeni çıkarttığınızda alan aynı olmalı. şimdi bakalım elimizde ne var? Bunu iki kareye bölebiliriz. Bunun kenarları üçgenin kısa kenarı. Bunun kenarları da üçgenin uzun kenarı kadar. Yani ikisinin toplam alanı, küçük kenarın karesi ve büyük kenarın karesi. Bu da buranın alanına eşit olmak zorunda, yani hipotenüsün karesi. Eğer üçgenin kenarlarına daha soyut isimler verseydiniz, örneğin: a, b ve c. Elinizdeki kağıda baktığınızda. a kare artı b kare eşittir c kare olurdu. Kısaca bir tekrar edelim. Adım bir: Üç kere ikiye katlayın. Adım iki, istediğiniz bir yerden kenarlara paralel katlayın ve kat izini keskinleştirin. Adım üç, karenin çevresinde dört dik üçgen katlayın ve kalan alanın hipotenüsün karesi olan kalan alanı fark edin. Katları açın ve kısa yerden yırtın sonra farklı dik üçgen katlayın. Kalan alanın bir kenarın karesi artı diğer kenarın karesi olduğunu göreceksiniz. İşte hepsi bu. Tabii ki, matematikçiler isyankardır, ve başkalarının onlara söyledikleri şeylere inanmazlar, Yani ben size şunun gibi şeyler söylediğimde inanmayın: Bu bir kare. Kendinizi ikna edebileceğiniz yolları düşünün üçgenlerin dışarıdan nasıl göründüğü fark etmez, Çünkü sonuçta bu hep bir kare olacaktır. bir eşkenar dörtgen paralel kenar veya bir yunus değil. yada belki bir yunustur ve bunu sadece siz biliyorsunuzdur.
PİSAGOR TARİHİ
İşlem
Pisagor Teoreminin Tarihi
Bireysel şekilde şunları yapacaksınız:
Pisagor tarihinin bir özetini vermenizi bekliyorum. Özetiniz, Pisagor'un adını ve geçmişini ve onunla ilgili ilginç bir gerçeği içermelidir. Ayrıca teoremin adını nasıl aldığını, neden kullanıldığını ve teoremin kime atfedildiğini de eklemelisiniz.
Pisagor Teoreminin İspatları
Şimdi Pisagor Teoreminin birkaç farklı ispatını inceleyeceğiz. Favorinizi kolayca seçebilmeniz için her kanıt için not aldığınızdan emin olun.
Her bir web sitesini inceledikten sonra, yukarıdaki kanıtlardan birini ayrıntılı olarak açıklayan bir poster yapın. Bunu sınıfa sunmanız gerekecek, bu nedenle posterinizin düzenli ve kolay anlaşılır olduğundan emin olun.
Gerçek Hayat Uygulaması
Pisagor Teoreminin çeşitli gerçek hayattaki uygulamalarını görmek için aşağıdaki web sitesini ziyaret edin . Günlük hayata kendi özgün uygulamanızı oluşturmak için bunu referans olarak kullanmalısınız. Sorununuzun bir posterini oluşturmanız beklenecektir. Posterde problemin kelimesini ve çözümünü gerekli görsellerle birlikte sunacaksınız.
Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır. Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.
12.yy da yasamış Hintli Bhaskara'ya atfedilen Pisagor Teoremi ispatı için; bir kare çizilir. Kare içerisine dört adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin tamamının hipotenüsleri karenin kenarına gelecek şekilde çizilmesi önemlidir. Çizilen bu üçgenler birbiri ile benzer üçgenlerdir. Bu benzer üçgenlerden ikisini alttaki şekildeki gibi taşıyarak yeni şekil oluşturulup alanlar incelendiğinde ilk karenin alanı ile yeni oluşan şeklin alanı birbirine eşit olur. Buradan da pisagor teoreminin ispatı bulunur.
Türk matematikçilerinden Hüseyin Demir'in daha ortaokul yıllarında iken(1931) keşfettiği ispat da Bhaskara'nın ispatına benzemekle birlikte daha ilgi çekici durumdadır. Altta yer alan şekilde ABCDQP çokgenin alanı ile ABCDRS çokgenin alanı birbirine eşittir. Oluşan kare ve dikdörtgenlerin alanları teker teke yazılıp çokgenlerin alanları eşitlenirse pisagor teoremi ispatı ortaya çıkar.
1876 yılında Amerika Devlet Başkanı James Garfield tarafından yapılmış bir Pisagor teoremi ispatı da diğer ispat şekillerine benzerliktedir. Birbirine eş iki adet dik üçgen çizilir. Bu üçgenlerin arasında kalan açı 90 derece olacak şekilde birbirine birleştirildiğinde oluşan ikizkenarlar için bir üçgen çizilirse çizilen bu yeni üçgen ikizkenar dik üçgen olur. Bütün bu üçgenlerin alanları toplamı oluşan tüm şeklin yani yamuğun alanına eşit olur ki bu da piasagor teoreminin ispatını verir.
Bir dik üçgen içerisinde hipotenüs ait bir dikme çizildiğinde oluşan iki küçük üçgen ve en baştaki büyük üçgen arasında açısal olarak bir benzerlik söz konusudur. Ayrı ayrı iki küçük üçgen büyük üçgenle benzer olduğundan benzerlik bağıntıları yazılırsa buradan da pisagor teoreminin ispatına ulaşılır.
Yine bir ABC üçgeni için aşağıdaki şekildeki gibi A noktasının karenin merkezine göre simetriği alınırsa ortaya çıkan şekildeki alanların arasındaki ilişkiden pisagor teoreminin ispatına ulaşılabilir.
Eş parçalama tekniklerine göre pisagor teoremi farklı yollardan da ispatlanabilir. Bunun için aşağıda diğer yöntemlerden farklı olarak bir başka ispat yöntemi daha sunulmuştur. Mantık yine aynı kareleri parçala alanlar arasındaki ilişkiyi incele ve sonuçta teoremin ispatına ulaşılır.
En son olarak pisagor teoreminin materyal geliştirme derslerinden bir model olarak tasarlanmış ispatını da sizlere video olarak sunuyoruz.
Pisagor Teoreminin ayrıca vektörel olarak da ispatı yapılabilir. Bu ispat için vektörlerin iç çarpım özelliğini ve dik üçgenin taşıyıcı vektörlerini bilmek yeterli olacaktır. (Bkz. Pisagor Teoremi vektörel ispatı)
Kaynakça: Sinan Sertöz, Pisagor Teoreminin İspatı, Bilkent Üniversitesi, http://sertoz.bilkent.edu.tr/turk/pisagor.pdf
Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.
