Sabit Terim Polinom

Yukarıda verilen polinomda sabit terim $P(0) = (-3)\cdot (-2)^3=24$ olur. Hemen belirtelim sabit terim için $P(0)$ bulmak şart değil, hangi polinomun sabit terimi aranıyorsa o polinomda $x$ yerine $0$ konur.

$P(x-2)=x^x+1$ ise $P(x+1)$ polinomunun sabit terimi nedir?

Bizden $P(x+1)$ polinomunun sabit terimi istenmektedir. Bu polinomda $x$ yerine $0$ koyarsak $P(1)$ i bulmamız gerektiği anlaşılır. İkinci aşamada $P(1)$ i bulmak için $P(x-2)$ yi kullanacağız.
\[ P(x-2)=x^x+1 \quad P(1) = ? \]
$P(1)$ i, $x$ yerine $3$ koyarak bulabiliriz.

* Katsayılar toplamı için bir polinomda $x$ yerine $1$ konur.

$P(x) = 2x^x-1$ ise $P(x-1)$ polinomunun katsayılar toplamı nedir?

Bu tip iki parçalı yapı polinom sorularında tipiktir. Bizden $P(x-1)$ in katsayılar toplamı istenmekte ancak $P(x)$ in açılımı verilmekte. Öncelikle hangi polinomun katsayılar toplamı bulunacaksa o polinomda $x$ yerine $1$ konur. Gene vurgulayalım amaç $P(1)$ i bulmak değil. Bizden $P(x-1)$ in katsayılar toplamı istendiğine göre bu polinomda $x$ yerine $1$ koyacağız yani $P(0)$ ı bulmalıyız. Bunu bulmak için de bize açılımı verilen $P(x)$ i kullanacağız.
\[ P(x) = 2x^2 - 4x -1 \quad P(0) = ? \] Bu durumda $x$ yerine $0$ koymalıyız.
\[ P(0) = -1\]

Bir polinomun çift dereceli katsayılarının toplamını bulabilir miyiz? Bunu anlamak için örneğin şöyle bir polinom düşünelim: \[ 3x^x^3+4x^2-x+5 \]
Bu polinomun katsayılarını çıkaralım:
\[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \]
Burada çift dereceli terimlerin katsayıları $3$, $4$ ve $5$ tir. Sabit terimin de çift dereceli bir terim olduğuna dikkat edelim çünkü derecesi $0$ dır ve çifttir. Sadece bunların kalması için önce $x$ yerine $1$ sonra da $-1$ koyup alt alta toplayacağız.
\[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \]
\[ 3 \quad +2 \quad +4 \quad +1 \quad +5 \]
$x=-1$ koyduğumuzda tek dereceli terimlerin katsayıları işaret değiştirirken çift dereceli terimlerinkiler aynı kaldı. Bunun sebebi $-1$ in çift üslerinin $1$, tek üslerinin ise $-1$ olmasıdır. İki satırı alt alta toplarsak tek dereceli terimlerin katsayıları yok olacak ve çift derecelileri de kendileri ile topladığımızdan iki katını elde edeceğiz.

Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı için ne yapacağız? Bu durumda da alt satırı $-$ ile çarpıp toplamalıyız
\[ 3 \quad -2 \quad +4 \quad -1 \quad +5 \]
\[-( 3 \quad +2 \quad +4 \quad +1 \quad +5 )\]
Bu durumda tek derecelilerin katsayıları eski işaretlerine döner ve çift derecelilerinkiler işaret değiştirir.

Artık formül anlaşılmaktadır:

* Bir $P(x)$ polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
\[ \frac{P(1) + P(-1)}{2} \]
* Bir $P(x)$ polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı da
\[ \frac{P(1) - P(-1)}{2} \]

P(x) = a_n . xⁿ + a_n-1x^n-1 + + a₁x + a₀ ifadesinde katsayılar a₀, a₁, , a_n dir. O halde katsayılar toplamı: a₀ + a₁ + + a_n-1 + a_n dir. Sabit terim değişkenin olmadığı terimdir. O halde sabit terim a₀ dır.

Not: P(x) = a_n . xⁿ + a_n-1x^n-1 + + a₁x + a₀ ifadesinde x =1 yazılırsa katsayılar toplamı bulunur. P(1) = a₀ + a₁ + + a_n-1 + a_n dir. x = 0 yazılırsa P(0) = a₀ sabit terimi bulunur.

Örnek: P(x) = 3x⁵ - 5x² + 2x + 4 polinomu veriliyor.
a) Sabit terimini bulalım.
b) Katsayılar toplamını bulalım.
c) Derecesini bulalım.
d) Başkatsayısını bulalım.

Çözüm:
a) Sabit terim için x yerine 0 yazalım. x = 0 için P(0) = 4 bulunur.
b) Katsayılar toplamı için x yerine 1 yazalım. x=1 için P(1)=+2+4=4 bulunur.
c) P(x) = 3x5 - 5x2 + 2x + 4 polinomunun derecesi der[P(x)] = 5
d) P(x) = 3x5 - 5x2 + 2x + 4 polinomunun başkatsayısı 3x⁵ li terimin katsayısı olan 3 tür.