Frekans Tablosunda Aritmetik Ortalama

Benzer belgeler

Ü Ç Ü N C Ü    B Ö L Ü M

M E R K E Z I   E Ğ I L I M   Ö L Ç Ü L E R I

(O R T A L A M A L A R)

Önceki bölümde yaptığımız frekans tabloları, istatistik verilerin dağılımının bazı özelliklerini görmek için yeterlidir: Veriler, genellikle ortalarda bir yere doğru toplanma temayülü gösteriyor, adeta ortaya doğru çekiliyorlar. Ancak bir taraftan da bu merkezden farklılık (varyasyon) gösteriyorlar. Merkeze yaklaştıkça değerlerin frekansı artıyor; uzaklaştıkça azalıyor.

            Bu bölümden itibaren, 3,4 ve 5. Bölümlerde, istatistik verilerin bu ve başka özelliklerini gösteren ölçüleri göreceğiz. Bu ölçüler örnekten hesaplanan ve örneğimizi tanıtan, onun bir özelliğini ortaya koyan ölçülerdir. Bu yüzden bunlara Tanımlayıcı "descriptive" istatistikler denir.

            Bu bölümde Merkezi Eğilim Ölçülerini göreceğiz. Bunlara Ortalamalar da denir. Merkezi Eğilim Ölçüleri, örneğimizdeki verilerin nereye doğru toplanma temayülünde olduklarını gösteren ve dolayısı ile bu verilerin hepsini birden temsil eden tipik değerlerdir.

            III Tepe Değeri (Mode)

            Bir örnekte frekansı en yüksek olan, yani en çok tekrarlanan değere Tepe Değeri denir. Frekans tablosundan tepe değeri, en yüksek frekanslı sınıfın değeri olarak bulunur. Ancak daha duyarlı bir hesaplama için bir önceki ve sonraki sınıfların frekansı dikkate alınmalıdır. Çünkü hangi tarafın frekansı daha fazla ise, tepe değerinin sınıf değerinden o tarafa doğru sapmış olması beklenir. Bunun için;

T.D.=L₁ +  C

Burada: L₁   = en yüksek frekanslı sınfın alt gerçek sınırı,

              C   = sınıf genişliği

              d₁  = en yüksek frekansla bir önceki sınfın frekansının farkı

              d₂  = en yüksek frekansla bir sonraki sınfın frekansının farkı

            Misal II. 1’ de veriler için tepe değerini frekans tablosundan olarak alabiliriz. Çünkü en yüksek frekans bu sınıfın frekansı olup 15’tir. Ancak bir sonraki sınıfın frekansı, bir önceki sınıfın frekansından fazla olduğundan, esasında tepe değeri’ten biraz büyüktür:

                                               T.D. = + ()/(+)= + 4*(5/7)=

            III. 2- Ortanca Değer (Median)

             Küçükten büyüğe sıralanmış verilerin tam ortasındaki değere Ortanca Değer denir. Bir veri topluluğunda varyantların yarısı ortancadan küçük, yarısı ortancadan büyüktür. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış n adet varyantın n tek ise (n+1)/seafoodplus.info ortanca değerdir. Eğer n çift ise o zaman n/seafoodplus.info ile (n/2)+seafoodplus.info varyantın ortalaması ortanca değerdir. Ancak n gibi bir sayı ise o zaman tek mi çift mi olduğuna bakılmaksızın n/seafoodplus.info varyant ortanca değer olarak kabul edilir.

            Misal: II.1’deki veriler için ortancayı frekans tablosundan yaklaşık olarak bulabiliriz. Pratik maksatlar için n varyantın n/seafoodplus.info ortanca kabul edilir. 67 işçi olduğuna göre bunun yarısı ’inci varyantın bulunması gerekir. Bu veriler için yapılmış olan eklemeli frekans tablosundan bu varyantın alt gerçek sınırı ile üst gerçek sınırı arasındaki 4.sınıfta olduğu görülür. Çünkü den ya kadar 13 varyant bu sınıftadır. 4 birime 13 varyant eşit aralıkla dizilmiş kabul ederek varyant başına 4/13 birim düştüğü görülür.  inci varyant varyant olan ’tan bu durumda,

                        ()*4/13 = *4/13 = 2

kadar daha büyüktür; yani +2 = ’e eşittir. Bu anlatılanlar aşağıdaki gibi formüle edilir:

Burada

F_t: Ortanca değerin bulunduğu sınıftan önceki sınıfların frekanslarının toplamı; yani ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırından daha küçük eklemeli frekansı.

F_od: Ortanca değerin bulunduğu sınıfın frekansı

C: Sınıf Genişliği

N: Örnek Genişliği

L₁  ortanca değerin bulunduğu sınıfın alt gerçek sınırı (misalde ).

            III.3 – Aritmetik Ortalama (Arithmetic Mean)

            En çok bilinen ve kullanılan ortalama, aritmetik ortalamadır. Ortalama dendiği zaman bu aritmetik ortalama anlaşılır. N varyantın aritmetik ortalaması toplamlarının N’e bölünmesi ile bulunur:

            Aritmetik ortalama veri topluluğunun denge noktasıdır, ortalamadan sapmaların toplamı sıfırdır.  Bir veri topluluğundaki varyantlara bir sabit eklemek veya bir sabitle bunları çarpmak, ortalamayı da aynı şekilde etkiler:

                  1. Ortalama sistemin denge noktasıdır; ortalamadan saapmaların toplamı sıfırdır:

                   2.    k bir sabit olmak üzere y= k.x ise,

                   3.      A bir sabit olmak üzere y= x+A ise,

                     ve 3 numaralı özelliklerden y ve x arasında a ve c birer sabit olmak üzere y=a.x+c şeklinde bir ilişki varsa  

     Bugün artık bilgisayarlar sayesinde elli altmış rakamın toplamı, sonra bunların ortalaması gibi işlemler çabucak yapılabilmektedir. Fakat çoğu zaman bizim elimizde veriler frekans tablosu halinde bulunur. Bunların ortalamasını bulmak için aşağıdaki yol takip edilir:

            Misal: III 67 işçinin maaşlarına ait frekans tablosundan ortalamayı hesaplayalım.

     Sınıflar         x_i            f_i         f_i.x_i        b_i          f_i.b_i

    34                  2             -5         

    38                11            -4         

    42                14           -3                       

    46                13            -2          

    50                  8             -1             -8 

    54                  6              0              0             

    58                  4             1              4 

    62                  3              2             6 

    66                  4              3            12             

    70                  1               4              4 

                      1               5              5

 Toplam                         67                      

b=(x-A)/c olarak hesaplanır. Burada A ortalardaki bir sınıfın değeri, örneğimizde ; c ise sınıf genişliğidir. b ile x arasındaki ilişki ortalamaları arasında da olduğundan

                                              = + 4.(/67)= – =

            Doğrudan sınıf değerlerinin ortalamasını hesaplasaydık yine,

                                                = / 67 =

çıkacaktı.

            Aritmetik ortalama en çok tercih edilen merkezi eğilim ölçüsüdür. Ancak aşırı değerlerden çok etkilenir. Bu durumlarda aritmetik ortalama yerine ortanca değer tercih edilir. Simetrik dağılımlarda bu üç ortalama birbirine eşittir. Dağılım bir tarafa doğru yatıksa o taraftaki aşırı varyantlardan en çok ortalama etkilenir. Simetriden sapmalara karşı T.D. en dayanıklıdır, fazla etkilenmez. Ortanca değer daima bu ikisi arasındadır.

            III Harmonik Ortalama

Harmonik ortalama, varyantların terslerinin ortalamasının tersidir:

III Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, varyantların çarpımlarının seafoodplus.info köküdür:

burada Π,  çarpım sembolüdür.

III Alıştırma Soruları

1-       Aşağıdaki verilerin ortalaması kaçtır?

23 24 25 26 27 28 29

a)      =6, b) 26, c) 26² d) hiç biri

2-      Birinci sorudaki verilerin ortalamadan sapmalarının toplamı

a)      6, b) 0 , c) 12, d)-6

3-      Birinci sorudaki verilerin ortanca değeri

a)      23, b) 29, c) 26, d) 6.

4-      Birinci sorudaki verilerin tepe değeri

a)      Yoktur, b) 23, c) 29, d) 6.

5-      Birinci sorudaki verilerin her birinden 20 çıkarırsanız elde ettiğiniz değerlerin ortalaması

a)      Değişmez, 26’dır, b) 6, c) 20, d) hiçbiri

6-      Aşağıdaki frekans tablosundan b’lerin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?

Sınıfla X_i    f_i    b_i              a) ,  b) 0, c) 16/9, c) 10 

  33   2  -4

  36   4  -3

  39   5  -2

  42   7  -1

  45 10   0

  48   8   1

  51   6   2

  54   5   3

  57   3   4

7-      Altıncı sorudaki frekans tablosundan sınıf değerleri (X_i)’nin ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?

a)      *3+45=, b) 45, c) , d)

8-      Altıncı sorudaki b değerlerini 2 ile çarparak bulacağınız y değerlerinin ortalaması

a)      , b) , c) , d) 91

9-      n adet varyantın geometrik ortalaması

a)      En çok tekrarlanan değerdir,

b)      Çarpımlarının (1/n).ci üssüdür

c)      Terslerinin ortalamasının tersidir

d)     Logaritmalarının aritmetik ortalamasıdır.

  Bir tarafa aşırı sapan değerler

a)      En fazla ortalamayı etkiler

b)      En çok ortancayı etkiler

c)      En çok tepe değerini etkiler

d)     Harmonik ortalama bulunmasını gerektirir. 

MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ

Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz. Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn., Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir.

Aritmetik Ortalama

a) Aritmetik ortalamanın ham verilerden hesaplanması

Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir. Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir. Formülle gösterirsek;

ya da

En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır.

Örnek

Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış. Ortalamasını hesaplayınız.

Örnek

6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları , , , , , cm.’dir. Takımın boy ortalamasını bulalım:

b) Aritmetik ortalamanın tekrarlanan verilerden hesaplanması

c) Aritmetik ortalamanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması

Geometrik Ortalama

Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.

Geometrik ortalama

• Ölçümler arasındaki değişme oranı
• Gelişme ve büyüme hızı
• İndeks saptamada kullanılır.

ÖRNEK:

Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak yılında TL.; yılında TL.; yılında TL.; olarak gerçekleşmiştir. Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız.

Harmonik Ortalama

Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır.

ÖRNEK:

Bir koşucu koştuğu m’lik parkurun ilk m’sini 80 saniyede, ikinci m’lik mesafesini ise saniyede koşmuştur. Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız.

İlk m’de         5m/sn hız
İkinci m’de    4m/sn hız

Kısa yol (oranlama yöntemi)

Ortalamaların Ortalaması

ya da

Ortanca (Medyan)

a) Ortancanın ham verilerden hesaplanması

Ortanca (ortn., medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir. Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdir. Formülle gösterirsek:

a) veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se

&#;nci değer

b) veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se

&#;nci değer

Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur.

Örnek

Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım.

Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”

. değer (Ortn=93).

Örnek

Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar. Dağılımın ortancasını hesaplayalım.

(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)

Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”

. değer.

Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır. Bu durumda ortanca;

olarak bulunur.

b) Ortancanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması

L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)

• Grup kişi; o halde medyan /2= kişi.
• Toplam frekans (tf) sütununda kişinin aralığında olduğu anlaşılıyor.

(Ortanca aynı zamanda Y_⁵⁰ veya Q₂ olarak da isimlendirilir. Bir diğer deyişle medyan yüzdeliktir. )

Yüzdelikler

L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı

Mod (Tepedeğer)

Gözlem sonucunda elde edilen verilerin en çok tekrar edilenine “mod” denir. Mod oldukça kaba bir merkezî eğilim ölçüsüdür. Ortalama ve ortanca gibi değerlerin hesaplanma olanağı bulunmadığı durumlarda kullanılabilir. Bir başka ifade ile mod en yüksek frekansa sahip değerdir.

Örnek: 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,5,6,6,8 Mod: 3

MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ

Bir grubun belli bir özelliği yönünden yeterince tanıyabilmek ve gruplar arasında çok yönlü karşılaştırmalar yapabilmek için merkezî eğilim ölçüleri yanında yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Verilerin birbirlerinden ne kadar ayrıldıkları veya bir doğru üzerinde yayılmalarının nasıl olduğu da önemlidir. Örneğin iki ayrı sınıfta öğrencilerin ölçme ve değerlendirme dersi not ortalaması 40 olsun. Buna dayanarak her iki sınıfın başarı düzeyleri aynıdır diyebilir miyiz? İlk etapta bu soruya “evet” denilebilir. Ancak bir de şunları bilelim: Bir sınıfta notlar puan arasında iken, diğer sınıfta arasında olsun. Bu durumda her iki sınıfın düzeylerinin farklı olduğu; aritmetik ortalamaların da başarı düzeyini açıklamakta pek yeterli olmadığı anlaşılacaktır. Böyle durumlarda merkezî yığılma ölçülerinin yanı sıra merkezî yayılma ölçülerine de ihtiyaç duyulur. Bir merkezî yığılma (eğilim) ölçüsünün, bir grup ölçümü ne derece temsil ettiğini bir karara bağlamak ve her hangi bir ölçümün, grup ortalamasının ne kadar altında ve üstünde olduğunu (yani ölçümlerin grup içindeki yerini) göstermek için merkezî yayılma ölçüleri kullanılır.

Genişlik (ranj), standart sapma (ss), ortalama sapma ve çeyrek sapma merkezî yayılma ölçüleridir.

Genişlik (Ranj):

Yayılma ölçüleri içinde en kaba ve hesaplanışı en kolay olanıdır. Gözlenen ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark ya da açıklık bize ranjı verir. Ranj özellikle veri sayısının çok olduğu durumlarda güvenilir değildir.

Örnek:
Matematik sınavında bir grup öğrenci 23, 34, 37, 45, 50, 56, 57, 70, 77, 86 ve 91 puan almışlardır. Dağılımın ranjını bulalım:

Ranj==68’dir.

Standart Sapma

Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en güvenilir ölçüsü standart sapmadır. İstatistikte en çok kullanılan yayılma ölçüsüdür. Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmanın bir ölçüsünü verir. Formülle gösterirsek;

Örnek:

Aşağıda bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir. Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız.

==

=