Trigonometri 5 Ders

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 9\sin{x} - 6\cos{x} = 2\cos{x} + 2\sin{x} \)

\( 7\sin{x} = 8\cos{x} \)

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{8}{7} \)

Sinüs/kosinüs oranı tanjanta eşittir.

\( \tan{x} = \dfrac{8}{7} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen tanjant değerini bir üçgen üzerinde karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranı şeklinde gösterelim.

Hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile \( k \) ve \( t \) cinsinden bulalım.

\( \abs{BC} = \sqrt{k^2 + t^2} \)

Sinüs değeri karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.

\( \sin{x} = \dfrac{k}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)

Kosinüs değeri komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.

\( \cos{x} = \dfrac{t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)

Bu iki değeri istenen ifadede yerine koyalım.

\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{k}{\sqrt{k^2 + t^2}} - \dfrac{t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)

\( = \dfrac{k - t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \dfrac{1 + \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{1 + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 3 \)

\( \dfrac{\frac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x}}}{\frac{\cos{x + \sin{x}}}{\cos{x}}} = 3 \)

\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = 3 \)

\( \cot{x} = 3 \)

Bir açının kotanjantı 3 ise komşu kenara \( 3k \), karşı kenara \( k \) diyebiliriz.

Pisagor teoremi ile dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.

\( \abs{BC}^2 = k^2 + (3k)^2 \)

\( \abs{BC} = \sqrt{10}k \)

\( \cos{x} = \dfrac{3k}{\sqrt{10k}} \)

\( = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( \sin{x} + \cos{x} = m(\sin{x} - \cos{x}) \)

\( \sin{x} + \cos{x} = m\sin{x} - m\cos{x} \)

\( m\sin{x} - \sin{x} = m\cos{x} + \cos{x} \)

\( \sin{x}(m - 1) = \cos{x}(m + 1) \)

\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{m - 1}{m + 1} \)

\( \cot{x} = \dfrac{m - 1}{m + 1} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İfadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \dfrac{1}{\sin{x}}(\sin{x} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}) = -2 \)

Parantezi genişletelim.

\( 1 - \dfrac{1}{\cos{x}} = -2 \)

\( \dfrac{1}{\cos{x}} = 3 \)

Kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi sekant fonksiyonudur.

\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \sec{x} = 3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( A \) köşesinden tabana bir dik indirelim (mavi kesikli çizgi). Çizdiğimiz bu doğru parçası tabana ait yüksekliktir.

\( [AH] \perp [BC] \)

\( \overset{\triangle}{ABC} \) ikizkenar üçgen olduğu için bu yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

\( \abs{BH} = \abs{HC} = \dfrac{18 + 6}{2} = 12 \)

\( \abs{HD} = 6 \)

Kotanjant değeri komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına eşittir.

\( \cot{x} = \dfrac{\abs{HD}}{\abs{AH}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( C \) köşesinden \( [AB] \) kenarına bir dik çizelim (mavi kesikli çizgi).

\( [CH] \perp [AB] \)

\( [AH] = x \) ve \( [HB] = y \) diyelim.

\( \hat{A} \) ve \( \hat{B} \) açılarına ait kosinüs oranlarını yazalım.

\( \cos{\hat{A}} = \dfrac{x}{b} \Longrightarrow x = b \cdot \cos{\hat{A}} \)

\( \cos{\hat{B}} = \dfrac{y}{a} \Longrightarrow y = a \cdot \cos{\hat{B}} \)

\( x + y = c \)

\( x \) ve \( y \) değerlerini yerine koyalım.

\( b \cdot \cos{\hat{A}} + a \cdot \cos{\hat{B}} = c \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \abs{DA} = \abs{DF} = 20 \)

Pisagor Teoremi ile \( \abs{CF} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{DC}^2 + \abs{CF}^2 = \abs{DF}^2 \)

\( \abs{CF} = \sqrt{20^2 - 16^2} = 12 \)

\( \widehat{FEB} \) ve \( \widehat{EFB} \) açıları kendi aralarında, \( \widehat{EFB} \) ve \( \widehat{DFC} \) açıları da kendi aralarında tümler açılar oldukları için, \( \widehat{FEB} \) ve \( \widehat{DFC} \) açılarının ölçüleri eşittir.

\( m(\widehat{DFC}) = m(\widehat{FEB}) = x \)

\( \overset{\triangle}{DFC} \) üçgeni için:

Sekant değeri hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına eşittir.

\( \sec{x} = \dfrac{\abs{DF}}{\abs{CF}} \)

\( = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Merdivenin uzunluğuna \( a \) diyelim.

\( a \) uzunluğunu 1. konumu kullanarak Pisagor Teoremi ile bulalım.

\( ^2 + ^2 = a^2 \)

\( a = \) cm

Merdivenin uzunluğu 2. konumda da aynı olur. Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak 2. konumda merdivenin yerden yüksekliğini bulalım.

\( h^2 + ^2 = ^2 \)

\( h = \sqrt{^2 - ^2} = 70 \) cm

Oluşan üçgenlerin kenar uzunluklarını kullanarak istenen trigonometrik oranları bulalım.

\( \sin{x} = \dfrac{}{} = \dfrac{4}{5} \)

\( \tan{y} = \dfrac{70}{} = \dfrac{7}{24} \)

\( \sin{x} \cdot \tan{y} = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{7}{24} \)

\( = \dfrac{7}{30} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( (5^{\frac{1}{2}})^{\sin{x}} = (5^3)^{\cos{x}} \)

\( 5^{\frac{\sin{x}}{2}} = 5^{3\cos{x}} \)

Bir üslü eşitlikte tabanlar aynı ve 0, 1 ve -1'den farklıysa üsler birbirine eşittir.

\( \dfrac{\sin{x}}{2} = 3\cos{x} \)

\( \sin{x} = 6\cos{x} \)

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 6 \)

\( \tan{x} = 6 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafına alalım.

\( 34a^2 + 25b^2 + 41c^2 - 40ab - 24ac - 30bc = 0 \)

Terimlerin katsayılarını inceleyelim.

\( (9 + 25)a^2 + (9 + 16)b^2 + (16 + 25)c^2 - 40ab - 24ac - 30bc = 0 \)

\( (9 + 25)a^2 + (9 + 16)b^2 + (16 + 25)c^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5ab - 2 \cdot 3 \cdot 4ac - 2 \cdot 3 \cdot 5bc = 0 \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( (9a^2 - 24ac + 16c^2) + (25a^2 - 40ab + 16b^2) + (9b^2 - 30bc + 25c^2) = 0 \)

\( (3a - 4c)^2 + (5a - 4b)^2 + (3b - 5c)^2 = 0 \)

Reel sayı bir ifadenin karesi negatif olamayacağı için yukarıdaki toplamın sıfır olabilmesi için terimlerin tümü sıfır olmalıdır.

\( 3a - 4c = 0 \Longrightarrow 3a = 4c \)

\( 5a - 4b = 0 \Longrightarrow 5a = 4b \)

\( 3b - 5c = 0 \Longrightarrow 3b = 5c \)

\( c = 3k \) dersek \( a = 4k \) ve \( b = 5k \) olarak bulunur.

Bu dik üçgen çizerek bulduğumuz kenar uzunluklarını yazalım. \( 5k \) en uzun kenar olduğu için hipotenüse karşılık gelir.

İstenen trigonometrik oranları bulalım.

\( \tan{\hat{A}} = \dfrac{4k}{3k} = \dfrac{4}{3} \)

\( \sin{\hat{C}} = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5} \)

Bu değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.

\( \tan{\hat{A}} - \sin{\hat{C}} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{5} \)

\( = \dfrac{11}{15} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( [AD] \) kenarına paralel bir \( [EC] \) doğrusu çizelim.

\( AECD \) dörtgeni bir paralelkenar olur.

\( \abs{EC} = \abs{AD} = 8 \)

\( \abs{AE} = \abs{DC} = 2 \)

\( m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{CEB}) = x \)

Buna göre \( \abs{EB} = 10 \) olur.

Oluşan \( ECB \) üçgeni özel üçgeni olduğu için \( m(\widehat{ECB}) = 90° \) olur.

\( ECB \) dik üçgeninde \( \widehat{CEB} \) açısını kullanarak istenen sinüs ve kosinüs değerlerini bulalım.

\( \sin{x} + \cos{x} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{8}{10} \)

\( = \dfrac{7}{5} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin