Parabol Denklemi Formülü

Verilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = \) noktasında kesmektedir.

Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \)'dır.

\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, ) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 4)^2 = \)

\( a = -2 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)

Parantez içindeki ifadeyi açalım.

\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)

\( f(x) = -2x^2 - 16x - 32 \)

Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)

\( 3 - 2k = 2k + 2 \)

\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Verilen denklem tepe noktası bilinen parabolün denklemi formunda olduğu için \( r = 2 \) ve \( k = 5 \) olur.

Buna göre \( r \cdot k = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise simetri ekseni tepe noktasından geçen \( x = r \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = 4 \)

\( m = 4 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 2(4)x + 4 + 5 = x^2 - 8x + 9 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta \( f(0) \) değeri yani parabol denkleminin sabit terimidir.

\( f(0) = 9 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabol \( x \) eksenini -3 ve 1 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x + 3)(x - 1) \)

Parabolün başkatsayısını bulmak için \( y \) eksenini kestiği noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 3)(0 - 1) = -3 \)

\( a = 1 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \)

Kolları yukarı yönlü olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)

\( k = f(r) = f(-1) \)

\( = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n - 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( m = 6 \)

Tepe noktasının koordinatlarını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(3) = -5 \)

\( 3^2 - 6(3) + n - 5 = -5 \)

\( n = 9 \)

\( m + n = 6 + 9 = 15 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) noktalarında kesmektedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktasının apsis değeri köklerin apsis değerlerinin ortalamasıdır.

\( r = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( b = -2a \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = ax^2 - 2ax \)

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(1) = a(1)^2 - 2a(1) = -1 \)

\( a - 2a = -1 \)

\( a = 1 \)

\( b = -2a = -2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklinde verilen bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olur.

Verilen parabol denklemini düzenleyelim.

\( f(x) = a(x - (3 - b))^2 + b - 2 \)

Buna göre tepe noktasının koordinatları \( r = 3 - b \) ve \( k = b - 2 \) olur.

Tepe noktasının koordinatlar toplamı \( r + k = 3 - b + b - 2 = 1 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün tepe noktasının koordinatlarına \( T(r, k) \) diyelim.

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - k \)

Tepe noktasının apsisi köklerin apsis değerlerinin ortalamasına eşittir.

Buna göre \( A \) noktasının koordinatları \( A(2r, 0) \) olur.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğu için \( B \) noktasının koordinatları \( B(0, 2r) \) olur.

Dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, 2r) \) olur.

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - 2r \)

\( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(2r) = 8(2r - r)^2 - 2r = 0 \)

\( 8r^2 - 2r = 0 \)

\( 2r(4r - 1) = 0 \)

\( r \gt 0 \) olduğu için \( r = \frac{1}{4} \) bulunur.

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 8(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( f(\frac{3}{2}) = 8(\frac{3}{2} - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( = 12 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ve denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) olmak üzere,

Simetri ekseni \( x = 2 \) ise tepe noktasının apsis değeri \( r = 2 \) olur.

Parabolün aldığı en büyük değer varsa başkatsayı negatiftir, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve parabol en büyük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinat değeri \( k = -1 \) olur.

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ise \( f(0) = -3 \) olur.

\( f(0) = a(0 - 2)^2 - 1 = -3 \)

\( 4a - 1 = -3 \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \)

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1 \)

\( f(1) \) değerini bulalım.

\( f(1) = -\frac{1}{2}(1 - 2)^2 - 1 = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

funduszeue.info Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. 2 2 2 y a(x r) k Tepe noktasını T(r,k) ( 1,2) denkleme yazalım. y a(x ( 1)) 2 y a(x 1) 2 (0,0) n : o Çözüm 2 2 ktasından da parabol geçiyor. Bu noktayı da yazalım. 0 a(0 1) 2 0 a 2 a 2 dir. Buna göre parabol denklemi: y 2(x 1) 2 dir.   10
funduszeue.info Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. 1 2 y a(x x )(x x ) x noktalarını yazalım. y a(x ( 2))(x 3) y a(x 2)(x 3) (0, 4) noktasından da a : p Çözüm rabol geçiyor. Bu noktayı da yazalım. 2 4 a(0 2)(0 3) 4 6a a dir. 3 Buna göre parabol denklemi: 2 y (x 2)(x 3) dir. 3   11
Yukarıdaki parabolün d enklemini bu lu nuz. funduszeue.info x eksenini kesen noktalara göre parabolün denklemi: y a.(x ( 1)).(x ( 5)) y a.(x 1)(x 5) : Çözüm tir. (0, 2) noktasından da a&#; yı bulalım. 2 a.(0 1)(0 5) 2 5a 2 a tir. 5 Buna göre; parabolun denklemini 2 y (x 1)(x 5) buluruz. 5 14
funduszeue.info f 7 f 1 Buna göre, ifadesinin değeri kaçtır? f 8 f 2 1 9 1 13 27 A) B) C) D) E) 22 22 2 22 2 2 2 2 2 y a(x r) k r 2 olduğu soruda belli. y a(x 2) k dır. (0,0) noktası 0 a( 2) k k :   Çözüm 2 2 2 4a dır. Buna göre; f(x) a(x 2) 4a dır. f(7) a.5 4a 21a f( 1) a.3 4a 5a f(8) 36a 4a 32a f( 2) 16a 4a 12a f(7) f( 1) 21a 5a 26a 13 buluruz. f(8) f( 2) 32a 12a 44a 22 funduszeue.info 8
funduszeue.info Şekilde verilen f x parabolü ile g x doğrusu 0, 0 ve 4, 4 noktalarında kesişmektedir. f o Buna göre, g 5 kaçtır? f o f 2 3 5 A) 1 B) C) 2 D) E) 3 2 2 2 Parabolun denklemini bulalım. 3 r değeri 0 ile 3&#;ün ortası 2 3 f(x) a(x ) k 2 (0,0) nok :  Çözüm 2 2 2 3 9a tası için 0 a(0 ) k k 2 4 3 9a (4,4) noktası için 4 a(4 ) a 1 2 4 3 9 Buna göre f(x) (x ) dir. O halde; 2 4 (fog)(5) f(g(5)) f(5) 10 1 buluruz. (fof)(2) f(f(2)) f( 2) 10     20
funduszeue.info 2 f x ax bx c parabolü x eksenini A 5, 0 ve B 1, 0 noktalarında kesmektedir. Buna göre; f 2 f 1 2 f 2 5 f 6 i fadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 parabol a(x 5)(x 1) şeklinde bir denkleme sahiptir. Buna göre; f(2) f(1 2) f( 2 5) f( 6) a : .(2  Çözüm 5)(2 1) a.(1 2 5)(1 2 1) a.( 2 5 5)( 2 5 1) a.( 6 5)( 6 1) (2 5)(1) (6 2)( 2) ( 2)( 2 6) ( 1)( 7) 7 6 2 2 9 6 2 1 buluruz. 2 6 2 7 9 6 2 26
funduszeue.info parabolünün denklemini bulunuz? 2 Tepe noktası (1, 1) noktasıdır. y a(x 1) 1 şeklinde bir denkleme sahiptir. (0,0) noktası : nd Çözüm 2 2 an da geçiyor. 0 a(0 1) 1 0 a 1 a 1 dir. y (x 1) 1 buluruz.  43
funduszeue.info Parabolün tepe noktası T 1, 1 dir. Verilenlere göre, A noktasının ordinatı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 14 D) 24 E) 26 funduszeue.info 2 2 2 Tepe noktası bilinen doğru denklemi; y a x r k y a x 1 1 y a x 1 1 Parabol orjinden geçiy : funduszeue.info Çözüm 2 2 i 0,0 noktası denklemi sağlatır. 0 a 0 1 1 a 1 dir. y x 1 1 dir. Parabol y 4x doğrusuyla A noktasında kesişiyorsa A noktasının koordinatına x, 4x diyebiliriz. Bu nokta parabolün denklemince sağlatılır.   2 2 2 2 4x x 1 1 dir. 4x x 2x 1 1 4x x 2x x 6x 0 x x 6 0 x 0 ve x 6 dır. Negatif değeri almalıyız. A noktasının ordinatı y 4x 4. 6 24 bulunur.      50
funduszeue.info 2 Şekilde, denklemi y ax bx c olan parabol x eksenini A ve B noktalarında kesmekte ve 0, 6 noktasınd an geçmektedir. OA 1 olduğuna göre, AB 3 parabolünün tepe noktasının ordinatı kaçtır? 13 15 17 23 27 A) B) C) D) E) 5 7 4 9 8 OA 2k ve OB 6k şeklinde yazalım. A noktası 2k &#;da, B noktası 8k &#;da olur. y a( : x 2k) x 8k Çözüm 2 şeklinde bir polinomdur. 0, 6 noktasını yerine yazarsak; y a(0 2k) 0 8k 6 16k a 6 3 16 8 2 2 2 ak 3 ak dir. 8 2k 8k 10k Tepe noktasının apsisi r 5k dır. 2 2 r 5k&#;yı denklemde yazalım. y a(5k 2k) 5k 8k y 9ak 3 27 y 9 buluruz. 8 8  funduszeue.info 59
2 f x ax bx c parabolü Ox eksenini 4, 0 ve 2, 0 noktalarından kesiyor. Parabolünün tepe noktası y 2x 5 doğrusu üzerin &#; de olduğuna göre, a b c toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 funduszeue.info x eksenini 4 ve 2 noktasında kesen parabolun denklemi y a x 4 x 2 şeklindedir. : Parabolün  Çözüm tepe noktasının apsisi, x eksenini kesen noktaların orta noktasıdır. 2 4 2 Yani; r 1 dir. 2 2 Tepe noktası, aynı zamanda y 2x 5 üzerinde ise bu doğru denkleminden tepe noktasının ordinatını bulalım. y 2. 1 5 2 5 3 tür. O halde tepe noktası T(1, 3) tür. Bu noktayı parabol denkleminde yazalım. y a x 4 x 2 3 a 1 4 1 2 3   a 3 2 2 1 .3 a tür. 3 1 1 1 2 8 y x 4 x 2 x 2x 8 x x 3 3 3 3 3 1 2 8 9 a b c 3 buluruz. 3 3 3 3   64
funduszeue.info Şekilde y f x parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, f 3 f 2 toplamı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 34 E) 40 2 x eksenine teğet parabol denklemi f(x) a x r şeklindedir. x 2 değeri için fonksiyon 0 dır. : O Çözüm 2 2 2 0 2 2 2 halde r 2 olmalıdır. f(x) a x 2 olur. x 0 için fonksiyon 8 ise, f(0) a x 2 8 a 2 8 a 2 dir. f(x) 2 x 2 olur. f 3 2 3 2 2 f 2 2 2 2 32 dir. Toplamları 2 32 34 buluruz.         69
funduszeue.info Şekilde grafiği verilen f x ve g x için a c d f kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1 1 1 2 2 2 2 T (0,k ) r 0 b 0 b 0 dır. 2a T (0,k ) r 0 e 0 e 0 dır. 2d f(x) ax c f(1) 5 a c 5 tir. g( ) : x      Çözüm 2 dx f g(1) 3 d f 3 tür. a c d f 5 ( 3) 2 bulunur.  18