Üçün Katları
3’ün Katları Nelerdir? ’e Kadar 3’ün Katı Olan Sayılar Kaç Tane ve Nasıl Bulunur?
3 ün katları esasında çarpım tablosu ile başlayan bir konudur. 3 ün katı olan sayılar, bölme-bölünebilme konusunda da işinize yarayacaktır. 3 ün katları nasıl bulunur araştırmasında matematik konu anlatımı kaynaklarından istifade edebilirsiniz. Okullarda da direkt olarak öğretilmese de çarpım tablosu konusunda bu konu üzerinde durulacaktır. 3 sayısının den küçük kaç tane katı vardır sorusunun cevabı yazımızın devamında.
3 ün Katları
3 sayısının katları, ilkokul sıralarından itibaren öğrencilere öğretilir. Çarpım tablosu öğrenildiğinde doğal olarak 3 sayısının katları da öğrenilmiş olacaktır. Bu sayılar 3, 6, 9, 12 gibi 3'er 3'er artarak devam eder. Belli bir öğrenme sürecinden sonra sayının 3'ün katı olup olmadığı anında anlaşılacaktır.
Herhangi bir sayının 3'ün katı olup olmadığı çok kolay bir şekilde anlaşılabilir. Sayı kaç basamaklı olursa olsun bir sayının rakamlarının toplamı, 3 sayısının katı ise o sayı da 3'ün katıdır. Bu konuyu bir örnek ile açıklayabiliriz. Örneğin sayısının rakamlarının toplamı 6'dır. 6 sayısı da 3'ün katı olduğundan doğal olarak sayısı da 3'ün katıdır. Bu konu aslında 3 ile bölünebilme konusunda da işlenir. Aynı şekilde bir sayının rakamları toplamının 3'e bölümünden kalan, sayının 3'e bölümünden kalan ile aynıdır. sayısını ele alalım. Bu sayının rakamları toplamı 8'dir. 8'in 3'e bölümünden kalan 2 olduğundan sayısının 3'e bölümünden kalan da 2'dir.
3 Sayısının den Küçük Kaç Tane Katı Vardır?
3 sayısının katı olan sayılar sonsuza kadar devam eder. 'den küçük olan 3'ün katları da toplam 33 adettir. Matematikte her bir sayının bölünebilme kuralı vardır. 3 ile bölünebilme kuralı, en basit bölünebilme kurallarından biridir. Bu sayede herhangi bir sayının 3'ün katı olup olmadığını kolay bir şekilde öğrenebilirsiniz.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
SORU 1:
24, 36 ve 51 ile tam bölünen en büyük 4 basamaklı sayı kaçtır?
Çözümü GösterBu üç sayıya da tam bölünen en küçük sayı sayıların EKOK'udur.
Sayıların EKOK'unu bulalım.
\( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
\( 51 = 3 \cdot 17 \)
\( EKOK(24, 36, 51) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 17 = \)
Bu üç sayıya tam bölünen sayılar 'ün tam sayı katı olan sayılardır.
5 basamaklı en küçük sayı olan 'i 'e bölerek kalanı bulalım.
\( = \cdot 8 + \)
'den 'i çıkardığımızda 'e tam bölünen en büyük 4 basamaklı sayıyı buluruz.
\( - = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( EKOK(20, 32, 36) = EKOK(, x, 48) \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( EKOK(20, 32, 36) = \)
, ve 48 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
\( = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( 48 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \)
\( x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \)
\( EKOK(, x, 48) = \) olduğu için sayısının bu üç sayının asal çarpanlarının en yüksek dereceli kuvvetlerinden oluşması gerekir.
'ın asal çarpanlarından 2'nin kuvveti olan 5 ve 48'de bulunmadığı için bu kuvvet \( x \)'ten gelmelidir. 3'ün ve 5'in kuvvetleri ise 'de bulunduğu için \( x \)'in en küçük değerinde bu çarpanların kuvveti 0 olmalıdır.
Buna göre \( x \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri en az \( a = 5 \), \( b = 0 \) ve \( c = 0 \) olabilir.
\( x = 2^5 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 32 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) ve
\( A = 9x + 6 = 8y + 6 = 6z + 6 \) olduğuna göre, \( A \) en az kaç olabilir?
Çözümü GösterEşitliğin her tarafından 6 çıkaralım.
\( A - 6 = 9x = 8y = 6z \)
Buna göre \( A - 6 \) sayısı 9, 8 ve 6'nın bir ortak katıdır, dolayısıyla bu üç sayının EKOK'unun da bir ortak katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( \text{EKOK}(9, 8, 6) = 72 \)
Buna göre \( A - 6 \) en az 72, \( A \) en az 78 olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( A, x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 4x + 7 = 5y - 2 = 6z + 3 \)
koşulunu sağlayan en küçük \( A \) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) sayısını 4, 5 ve 6'nın bir ortak katı cinsinden ifade edebilmek için eşitliğin tüm taraflarından 3 çıkaralım.
\( A - 3 = 4x + 4 = 5y - 5 = 6z \)
\( A - 3 = 4(x + 1) = 5(y - 1) = 6z \)
Bu eşitlikten \( A - 3 \) sayısının 4, 5 ve 6'nin bir ortak katı olduğunu görüyoruz, bu yüzden \( A - 3 \) sayısını bu sayıların EKOK'u cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz (\( k \in \mathbb{Z^+} \)).
\( A - 3 = EKOK(4, 5, 6) \cdot k \)
\( EKOK(4, 5, 6) = 60 \)
\( A - 3 = 60k \)
\( A \)'nın en küçük değeri için \( k = 1 \) verelim.
\( A - 3 = 60 \)
\( A = 63 \) bulunur.
\( 63 \)'ün soruda verilen eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
\( A = 4x + 7 = 5y - 2 = 6z + 3 \)
\( 63 = 4 \cdot 14 + 7 = 5 \cdot 13 - 2 = 6 \cdot 10 + 3 \)
\( 63 = 63 = 63 = 63 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( A, x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 3x = 5y - 1 = 7z + 1 \)
koşulunu sağlayan en küçük \( A \) sayısı için \( x + y + z \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) sayısını 3, 5 ve 7'nin bir ortak katı cinsinden ifade edebilmek için eşitliğin tüm taraflarına 6 ekleyelim.
\( A + 6 = 3x + 6 = 5y + 5 = 7z + 7 \)
\( A + 6 = 3(x + 2) = 5(y + 1) = 7(z + 1) \)
Bu eşitlikten \( A + 6 \) sayısının 3, 5 ve 7'nin bir ortak katı olduğunu görüyoruz, bu yüzden \( A + 6 \) sayısını bu sayıların EKOK'u cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz (\( k \in \mathbb{Z^+} \)).
\( A + 6 = EKOK(3, 5, 7) \cdot k \)
\( EKOK(3, 5, 7) = \)
\( A + 6 = k \)
\( A \)'nın en küçük değeri için \( k = 1 \) verelim.
\( A + 6 = \)
\( A = 99 \) bulunur.
\( 99 \)'un soruda verilen eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim ve \( x + y + z \) değerini bulalım.
\( A = 3x = 5y - 1 = 7z + 1 \)
\( 99 = 3 \cdot 33 = 5 \cdot 20 - 1 = 7 \cdot 14 + 1 \)
\( 99 = 99 = 99 = 99 \)
\( x + y + z = 33 + 20 + 14 = 67 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = 3x + 2 = 5y + 5 = 7z + 4 \) olduğuna göre, en küçük pozitif \( A \) sayısı kaçtır?
Çözümü GösterEşitlikteki \( +2 \), \( +5 \) ve \( +4 \) terimlerini sırasıyla \( 3 \), \( 5 \) ve \( 7 \) katsayılarının birer tam sayı katı yapabilmek için eşitliğin tüm taraflarına 10 ekleyelim.
\( A + 10 = 3x + 12 = 5y + 15 = 7z + 14 \)
\( A + 10 = 3(x + 4) = 5(y + 3) = 7(z + 2) \)
Buna göre \( A + 10 \) sayısı 3, 5 ve 7'nin bir ortak katıdır, dolayısıyla bu sayıların EKOK'unun da bir katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( \text{EKOK}(3, 5, 7) = \)
Buna göre \( A + 10 \) sayısının alabileceği en küçük değer , \( A \) sayısının alabileceği en küçük değer 95 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = 72a \)
\( x = 96b \)
\( x = c \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği üç farklı değerin toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
\( 96 = 2^5 \cdot 3 \)
\( = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( x \) bu 3 sayının bir tam sayı katı ise sayıların EKOK'larının da bir tam sayı katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( \text{EKOK}(72, 96, ) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = \)
Buna göre \( x \) sayısı 'ın bir tam sayı katıdır.
\( x \)'in en küçük üç değeri , ve olur.
Bu değerlerin toplamı \( + + = \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
12'ye bölündüğünde 4, 15'e bölündüğünde 7, 40'a bölündüğünde 32 kalanını veren, aynı zamanda 11'in tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü GösterBu sayıya \( A \) dersek verilen bilgileri aşağıdaki gibi bir eşitliğe dönüştürebiliriz.
\( A = 12m + 4 = 15n + 7 = 40p + 32 = 11q \)
12, 15 ve 40 sayılarının EKOK'unu kullanabilmek için eşitliklerdeki sabit terimlerden kurtulmaya çalışalım.
Eşitliğin tüm taraflarına 8 ekleyelim.
\( A + 8 = 12m + 12 = 15n + 15 = 40p + 40 = 11q + 8 \)
\( A + 8 = 12(m + 1) = 15(n + 1) = 40(p + 1) = 11q + 8 \)
Buna göre \( A + 8 \) tam sayısı 12, 15, 40 sayılarının bir ortak katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 40 = 2^3 \cdot 5 \)
\( EKOK(12, 15, 40) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = \)
\( A + 8 \) sayısı 'nin bir katı olduğuna göre, \( A + 8 = k \) eşitliğini yazabiliriz.
\( k = 11q + 8 \)
\( k - 8 = 11p \)
\( k + 10k - 8 = 11p \)
\( k \) sayısı 11'in katı olduğu için \( 10k - 8 \) ifadesinin 11'in katı olması yeterlidir.
\( 10k - 8 \) ifadesini 11'in katı yapan en küçük \( k \) sayısı 3 olur.
\( 10 \cdot 3 - 8 = 22 \)
\( A + 8 = k = \)
\( A = \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
9, 14 ve 18 ile bölündüğünde 4 kalanını veren, aynı zamanda 17'nin tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü GösterBu sayıya \( A \) dersek verilen bilgileri aşağıdaki gibi bir eşitliğe dönüştürebiliriz.
\( A = 9m + 4 = 14n + 4 = 18p + 4 = 17q \)
9, 14 ve 18 sayılarının EKOK'unu kullanabilmek için eşitliklerdeki sabit terimlerden kurtulmaya çalışalım.
Eşitliğin tüm taraflarından 4 çıkaralım.
\( A - 4 = 9m = 14n = 18p = 17q - 4 \)
Buna göre \( A - 4 \) tam sayısı 9, 14, 18 sayılarının bir ortak katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( 9 = 3^2 \)
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( EKOK(9, 14, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = \)
\( A - 4 \) sayısı 'nın bir katı olduğuna göre, \( A - 4 = k \) eşitliğini yazabiliriz.
\( k = 17q - 4 \)
\( k + 4 = 17q \)
\( k + 7k + 4 = 17q \)
\( k \) sayısı 17'nin katı olduğu için \( 7k + 4 \) ifadesinin 17'nin katı olması yeterlidir.
\( 7k + 4 \) ifadesini 17'nin katı yapan en küçük \( k \) sayısı 14 olur.
\( 7 \cdot 14 + 4 = \)
\( A - 4 = k = \)
\( A = \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası