Sayısal Analiz Örnek Sorular

Sayısal (nümerik) analizde Newton-Raphson yöntemi, çok sık kullanılan, hızlı (kuadratik) bir yakınsama sağlayan yerel yöntemlerden biridir. Bu sebeple çözüm yapabilen hesap makinelerinin önemli bir kısmı, yöntem olarak Newton Raphson yöntemini kullanır. Bilinen bir fonksiyonun kök değerini bulmak için, yalnızca tek bir keyfi x_i başlangıç değeri belirleyerek, bu değer ile fonksiyonun bu noktadaki değeri ve fonksiyonun türevinin bu noktadaki değerini kullanarak iterasyon yapar.

Farz edelim ki herhangi bir x_i keyfi değerini seçtik. Yapmamız gereken, bu noktaya karşılık gelen f(x_i) değerini hesaplamaktır. Bu noktadan sonra fonksiyona (x_i,f(x_i)) noktasından bir teğet çizilir. Çizilen teğetin x eksenini kestiği nokta, yeni x_i+1 değeri olarak ele alınır ve aynı işlem x_i+1 için uygulanır. İterasyon formu aşağıdaki gibi gösterilir.

Avantajları ve Dezavantajları

Newton-Raphson yönteminin en önemli avantajı, oldukça hızlı (kuadratik bir biçimde) yakınsıyor oluşudur. Bunun yanında ikiye bölme (bisection) yönteminde olduğu gibi bir aralık yerine yalnızca bir başlangıç değeri tahminine ihtiyaç duyar.

Fakat paydadaki bölü ifadesinden dolayı, bazen sıfıra bölme sorun yaratabilir. İspat videosunda da gösterdiğimiz üzere bu durum, teğetin x eksenine paralel hale gelmesinden ve herhangi bir noktada x eksenini kesemeyip, yeni x değeri belirleyememesinden kaynaklanır. Bunun yanında videoda da açıkladığımız, fonksiyonun kökünün etrafında salınım (osilasyon) yapma problemi ve kökü yanlışlıkla kaçırma gibi problemleri de bulunur. Fakat tüm bunlara rağmen, işlem verimliliği sayesinde sıklıkla tercih edilir.

Newton Raphson Yönteminin İspatı

Newton Raphson Yöntemi Örnek Soru Çözümü

Ögetay Kayalı

Referanslar
1. Turgut Öziş, Ege Üniversitesi Matematik Bölümü, Nümerik Analiz ders notları
2. <seafoodplus.info>
3. <seafoodplus.info~anstee/math/seafoodplus.info>

SAYISAL ANALZ YAZ OKULU FNAL SINAV SORULARI-

(01/08/)

Soru 1)

Vc (0) 2V , iL1 (0) 1A

R1=1 ohm, L1= H, C=1 F

L1

R2=1 ohm, L2= H, i L2 (0) A

ri.
co

R2

i k (t ) 2 A

ekil 1

ekil 1'de verilen devreye ilikin durum denklemleri aada verilmitir. Devreye ilikin x(t) durum
deikenleri olan Vc (t ), i L1 (t ) ve i L2 ( t ) deiimlerini dsolve komutunu kullanarak (sembolik
ortamda) bulunuz.
1
1
1

C
C Vc
Vc C * R1
Vc 1 1 1 Vc 1

C
d
1
d

i L1
0
0 i L1 0 * 2
i L1 2 0
0 i L1 0 * 2

dt L1
dt

i L 2 1
i L 2 2 0 2 i L 2 0
R 2 i L 2 0
0

L2
L2

b) ezplot komutunu yardm ile t:[0 10] saniye aralnda ve yan yana olacak ekilde Vc (t ), i L1 (t ) ve
i L2 ( t ) deiimlerini izdirecek program satrlarn yaznz. (subplot komutunu kullann)
c) ekil 1'de verilen devrede i k ( t ) deiimi ekil 2'de gsterildii gibi olursa lsim komutunu kullanarak
Vc (t ), i L1 (t ) ve i L2 ( t ) deiimlerini bulunuz ve [0 10] saniye aralnda izdiriniz .

sn
o

tla

a)

m
de
r

i k (t)

4A

4*sint

2A
t(sn)

ekil 2

.e
e

zm

a)>>[y x z]=dsolve('Dy+y+x+z=-2','Dx-2*y=0','Dz-2*y+2*z=0','y(0)=2',
'x(0)=1','z(0)=) ('enter')
y =
/2*exp(-t)*(/3*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)) % vc(t)
x =
exp(-t)*(-3//6*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)+7/2*cos(3^(1/2)*t)) %iL1(t)
z =
1/2*exp(-t)*(-6+7/3*sin(3^(1/2)*t)*3^(1/2)+7*cos(3^(1/2)*t)) %iL2(t)

b)>>subplot(3,1,1),ezplot(y,[0 10]),subplot(3,1,2),ezplot(x,[0 10]),

tla

ri.
co

Uur Arifolu

.e
e

m
de
r

sn
o

c) a = [-1 -1 -1;2 0 0;2 0 -2];b = [1;0;0];

Uur Arifolu
Soru 2)
ekil 3'de f1 erisi 4. dereceden bir polinom olup katsay vektr [1 ] eklindedir. f2

tla

ri.
co

erisi ise y= x 2 fonksiyonu ile verilmektedir. Her iki eriyi [-3 3] aralnda izdiren ve ekil 'da
gsterilen taral alan hesaplayan program yaznz.

sn
o

ekil 3

zm

.e
e

m
de
r

a=;
y=[1 ];
f1=polyval(y,a);
f2=a.^2;
plot(a,f1,a,f2) % her iki egri de cizdiriliyor
%solve('f1-f2') hesabi yapiliyor ve iki erinin kesim noktalar
% bulunuyor(sembolik ortamda)
t=solve('t^4+*t^*t^2 *t+t^2=0')
% kokler sembolik karakterden saysal deere dntrlyor
deger=double(t)
alan=quad('t.^4+*t.^*t.^*t+t.^2',deger(2),deger(3))
% d(3)st snr,d(2) alt snr
Yukarda verilen program satrlarnn altrlmas sonunda aadaki deerler elde edilir:
>>
t =


.9

deger =




alan =

Aklama:solve komutu ile elde edilen kklerin soldan saa doru sralandna (,..,) dikkat
edilmelidir. ekil 3'e bakldnda soldan 2. ve 3. kkler arasnda kalan alann arand
seafoodplus.info solve komutunda t'den sonra nokta konulmad (sembolik komut) fakat
quad komutunda ise t'den sonra nokta konulduuna dikkat edilmelidir.
Soru 3) Soru 2'de verilen f2 erisinin () aralndaki tm kritik noktalar (t deerlerini) bulan program
yaznz.

Uur Arifolu
zm

ri.
co

t=;
f1=t.^2;
y=[1 ];
f2=polyval(y,t)
df=diff(f2)./diff(t); % boyutu (n-1) dir
xd=t(2:length(t));
% boyutu (n-1) dir
carpim=df(1:length(df)-1).*df(2:length(df));
kritik=xd(find(carpim<0))% iki erinin carpimnn iaret deistirdigi
% yerler bulunuyor
Yukarda verilen programn altrlmas sonunda elde edilen deerler aada gsterilmitir:
>>kritik =

m
de
r

sn
o

zm
syms t
pay1=3*t^*t;
pay11=diff(pay1);
pay2=4*t^;
payda1=6*t^*t+2;
pay3=int(3*t^2+5*t-3);
payda2=8*t^2+5;
kesir1=(pay11+pay2)/payda1;
kesir2=pay3/payda2;
kesir=kesir1+kesir2;
[A B]=numden(kesir)

tla

d
(3t 2 3t )) 4t 3 3
( (3t 2 5t 3)dt A( t )
dt
Soru 4)
Yanda verilen ifadede A(t) ve B(t) polinomlarn

B( t )
6t 2 3t 2
8t 2 5
yalnzca sembolik ara kutusu komutlar kullanarak bulan MATLAB program yaznz
(

.e
e

Yukarda verilen program satrlarnn uygulanmas sonunda elde edilen deerler aada verilmitir:
>>
A =
89*t^3+48*t*t^+76*t^5+24*t^4
B =
2*(6*t^*t+2)*(8*t^2+5)

Soru 5) yle bir program yaznz ki Soru 1'de verilen A matrisi iin sistemin zdeerleri bulunsun,
zdeerlerden birisi kompleks ise ekrana kkn deeri ve 'bu kok kompleks' ifadesi, reel ise kkn
deeri ve ekrana 'bu kok reel' ifadesi yazlsn. Eer kok katl ise kkn deeri ve ekrana 'bu kok katl'
ifadesi yazlsn.

zm
A=[-1 -1 -1;2 0 0;2 0 -2];
kokler=eig(A);
koksayisi=length(kokler);
for say=1:koksayisi
if imag(kokler(say))~=0
disp('bu kok kompleks')
else
disp('bu kok reel')
end
end
%koklerin katliligi kontrol ediliyor
for a=1:koksayisi
for b=a+1:koksayisi
if kokler(a)==kokler(b)

Uur Arifolu
kokler(a)
disp('bu kok katl')
else
end

end
end

1 wt 22 2
i ( wt )dwt
2 wt10
forml ile hesaplanr. Aada verilen;
I etkin

ri.
co

Soru 6) Bir elektrik devresinden akan akma ilikin etkin akm deeri (i(t) ani akm deeri olmak zere);

i(t)= * sin(wt ) * e wt / w Amper

tla

zm

.e
e

m
de
r

sn
o

>> syms a
>> w=2*pi*50;
>> akim=*sin(a)+*exp(*a/w);
>> b=akim^2; % akimin karesi aliniyor
>> d = sqrt((1/2*pi)*int(b,0,2*pi)) % etkin akim degeri bulunuyor
d =
3/*pi*((*exp(-4)*pi^2++*pi^*pi*exp(-2)*
cos(/)*exp(-4)+*exp(-2)*sin(/)*sin(/)+*pi*cos(/))/(1+pi^2))^(1/2)
>> akim_etkin=double(d)
akim_etkin =

Uur Arifolu

17/05/

SA seafoodplus.info ELK.-ELN. seafoodplus.info SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

ri.
co

Soru 1)

sn
o

tla

ekil 1
ekil 1'de verilen devreye ilikin gerilim ve akm denklemleri aada gsterilmitir (devreye ilikin tm ilk koul
deerleri 0 alnacaktr). Devrede her iki anahtar ak durumdadr ve t=0 annda her iki anahtar da kapatlmaktadr. Bu
durumda elde edilen devre eitlikleri aada verilmitir:
di ( t )
(1)
E1 ii ( t )R1 i 2 ( t )R 2 L2 2
dt
di ( t )
di ( t )
(2)
E 2 i 2 ( t ) R 2 L 2 2 L3 3
dt
dt
(3)
i1(t ) i3 (t ) i 2 (t )
a) Yukarda verilen 3 adet denklemi ayr ayr s domenine eviriniz. i1( t ) 'nin laplace transformunu I1, i2 (t ) 'nin

.e
e

m
de
r

laplace transformunu I2, i3 ( t ) 'nin laplace transformunu I3 alnz.

Uur Arifolu

17/05/

Soru 2) y '' 5y ' 6y 2e 3t , y ' 1 ; y(0)=2

b) Yazacanz bir program ile ve lsim komutunu kullanarak, y(t) ve y ' (t) erilerini [0 6] saniye
aralnda alt alta izdiriniz. izim penceresinde stte, y(t) altta ise trevi izdirilecektir.

ekil 2

sn
o

tla

ri.
co

Soru 3)

ekil 3

m
de
r

ekil 2de gsterilen eriyi izdiren bir program yaznz. Bu programa yle program satrlar ilave edin ki, ekil 2
de grlen eri, ekil 3de gsterilen forma dnsn.

.e
e

Soru 4) 3x1 4x 2 5x 3 8
x1 2x 2 x 3 3
2x1 7x 2 4x 3 16
lineer denklem sistemini x1 (0) 1; x 2 (0) 2; x 3 (0) 3 ilk koullar altnda, Gauss-Seidal iterasyon
yntemini kullanarak (hesaplamalar elle yaparak) aada verilen tabloyu doldurunuz.
terasyon
x1
x2
x3
says
1
. . .
2
.. . ..

Soru 5)

3a*f-2d*b+5f= 9
3b-8f+d*a= 4
c2+6d*c-7e=14
a) Yukarda verilen lineer denklem sisteminde d,e,f deikenlerini, a,b,c deikenleri cinsinden
bulacak matlab program satr yaznz (sembolik ortam kullanlaca hatrlanmaldr).
b) Yukarda verilen denklem sistemine ilikin Jacobian matrisi a,b,c deikenlerine gre bulan
(sembolik ortamda) program satrlarn yaznz.

Snav sresi 80 dakikadr. Notlar dank olmamak zere aktr.

Uur Arifolu

17/05/
ZM

.e
e

m
de
r

sn
o

tla

ri.
co

1) a) 10/s=I1+2*I2+s*I2
20/s=I2*2+s*I2+2*s*I3
I1+I3=I2
b) >>syms I1 I2 I3 s;
>>C=solve('10/s=I1+2*I2+s*I2','20/s=I2*2+s*I2+2*s*I3','I1+I3=I2',I1,I2,I3);
>>I1=C.I1
I1 =
10*(-2+s)/s/(2+7*s+2*s^2)
>>I2=C.I2
I2 =
20*(1+s)/s/(2+7*s+2*s^2)
>>I3=C.I3
I3 =
10/s*(4+s)/(2+7*s+2*s^2)
>>I1_t=vpa(ilaplace(I1),2)
I1_t=
+*exp(*t)*(cosh(*t)+*sinh(*t))
>>I2_t=vpa(ilaplace(I2),3)
I2_t =
+*exp(*t)*(*cosh(*t)*sinh(*t))
>>I3_t=vpa(ilaplace(I3),3)
I3_t =
+*exp(*t)*(*cosh(*t)*sinh(*t))
>>figure(1)
>>ezplot(I1_t,[0 10])
>>figure(2)
>>ezplot(I2_t,[0 10])
>>figure(3)
>>ezplot(I3_t,[0 10])

2) a) x '2 5x 2 6x1 2e 3t
x1' x 2 ; y x1
x ' 0 1 x 1 0 3t
1'
e
x 2 6 5 x 2 2

x
y 1 0 1 0e 3t
x 2
b) a=[0 1;6 -5]; b=[0;-2]; c=[1 0]; d = 0;
x0 = [2 1]; t = ; u = -2*exp(-3*t);
[cikis x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0);
subplot(2,1,1),plot(t,x(:,1)),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),grid
subplot(2,1,2),plot(t,x(:,2)),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),grid;

Uur Arifolu

4)

t=;
for k=1:length(t);
A(k)=sin(2*pi*50*t(k));
A1(k)=A(k);
plot(k,A(k),'k')
if A(k)<=0
A1(k)=0;
elseif A(k)>=
A1(k)=;
end
end
plot(t,A1,'k')

m
de
r

3)

sn
o

tla

ri.
co

17/05/

(0)
(0)
(1) 8 4x 2 5x 3
;
x1
3

(1)
(1)
(2) 8 4x 2 5x 3
x1
;
3

(1)
(1)
(2) 3 x 1 x 3
;
x2
2

(1)
(1)
(2) 16 2x 1 7 x 2
x3
4

8 4 * 5 *
(2) 3
; x 2

3
2
(2) 16 2 * 7 *
x3

4

(2)

x1

(0)
(0)
(1) 16 2x1 7 x 2
x3
4

8 4* 2 5*3
(1) 3 5 3
(1) 16 2 * 5 7 *
= ; x 3
= (birinci seafoodplus.info)
5 ; x2
3
2
4

.e
e

(1)

x1

(0)
(0)
(1) 3 x 1 x 3
;
x2
2

terasyon
says
1
2

x1

x2

x3

5

5) a) >>A=solve('3*a*f-2*d*b+5*f=9','3*b-8*f+d*a=4','c*2+6*d*c-7*e=14','d, e, f');
>> A.d
ans =
-(+15*b+9*a*b*a)/(*b+3*a^2+5*a)
>> A.e

Uur Arifolu

17/05/

.e
e

m
de
r

ri.
co

sn
o

tla

b) >> syms a b c d e f A B C
>> A=3*a*f-2*d+5*f-9;
>> B=3*b-8*f+d*a-4;
>> C=2*c+6*c*d-7*e;
>> J=jacobian([A;B;C],[a b c])
J =
[
3*f,
0,
0]
[
d,
3,
0]
[
0,
0, 2+6*d]

ans =
2/7*(*c*b+3*c*a^2+41*c*a+*c*c*a*b+*b*a^*a)/
(*b+3*a^2+5*a)
>> A.f
ans =
(-6*b^2+9*a+8*b)/(*b+3*a^2+5*a)

SAYISAL ANALZ YAZ OKULU FNAL SINAV SORULARI-

(01/08/)

Soru 1)

4A

4*sint

ri.
co

2A

i k (t)

m
de
r

sn
o

zm
t=;
uzun=length(t);
for k=1:uzun
if t(k)<
akim(k)=4*sin(t(k));
else
akim(k)=2;
end
end
b=polyfit(t,akim,14);
a=polyval(b,t);
plot(t,a)

tla

t(sn)

ekil 1
ekil 1'de verilen i(t) erisini t= saniye aralnda dereceden bir polinom ile tekrar
izdirmek istiyoruz. Bu polinomun katsaylarn bulduran matlab program yaznz. (20 p)

Soru 2) ekil 1de verilen i(t) erisinin t= saniye aralnda;

.e
e

zm
t=;
uzun=length(t);
for k=1:uzun
if t(k)<
akim(k)=4*sin(t(k));
else
akim(k)=2;
end
end
ortalama=(1/5)*trapz(t,akim)
ortalama=mean(akim)
etkin=sqrt(mean(akim.^2))

% a kk
% b kk
% c kk

Soru 3) ekil 1de verilen i(t) akmnn genliinin 3Aden byk olduu zaman araln bulunuz. (10 p)
zm

bul=find(akim>3);
baslangic=t(bul(1))
son=t(bul(end))

Soru 4) ekil 2de verilen devrede A anahtar t=0 annda kapatlmaktadr. Devreye ilikin KAY (1 adet) ve
KGY (2 adet) denklemlerini kullanarak dsolve komutu ile i 3 ( t ) akmnn t'ye bal ifadesini (sembolik
ortamda) bulan ve ezplot komutu ile [0,] aralnda izdiren MATLAB programn yaznz.
Akmlara ilikin ilk koullar sfr alnacaktr. (20 p)

m
ri.
co

sn
o

tla

ekil 2
zm
% x=i1(t), y=i2(t), z=i3(t)
>>A=dsolve('10+y*2+z+Dz*(10^(-3))=0','3*x+Dx*(10^(-3))*y=0',
'Dz=Dx+Dy','x(0)=0','y(0)','z(0)=0');
>>i3_t=A.z;
>>ezplot(i3_t,[0 ])

m
de
r

Soru 5) y '' 3y ' 2y 3 sin t ;

y ' (t ) x1' x 2

y '' ( t ) x 2 '

x '2 3x 2 2x1 3 sin(t ) x '2 3x 2 2x1 3 sin(t )

.e
e

x ' 0 1 x1 0
1'
sin(t ) ;
x 2 2 3 x 2 3

x
y( t ) 1 0 1 0 * sin(t )
x 2

>>A=[0 1;-2 3]; B=[0 ;3];C=[1

0]; D=0; x0=[0 0];

Soru 6) 3x-4y-az=0; 2z-3b=2; -x+2y-z=c

seafoodplus.infou

15/05/

seafoodplus.info SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

ri.
co

C=1F, L=H
G=1/R=2 mho
i k (t ) 3A

tla

ekil 1
Soru 1) ekil 1de verilen devreye ilikin durum denklemleri aada verilmitir: Vc (0) 5V , i L (0) 0A
1 G
G
1
d v c ( t ) C C v c ( t )

i (t)

1 i L ( t k
dt i L ( t 1

0
L
L

m
de
r

sn
o

0
v c (t) 1
0
i ( t ) G G 1
1
c

v L (t) 1
0
L

1
i L (t) 0
0
v R (t) 1
1 v c ( t ) 0

i k ( t )
G i L ( t ) 0
i R (t) G
v ( t ) 0
0
1
gk

i gk ( t ) G 1 G
0

0
v ak ( t ) 1
0
i k ( t ) 0
1
0

a) lsim komutu yardm ile R direncine ilikin akm izdiriniz. (t= saniye alnz)
b) Sembolik toolbox komutlarn kullanarak i L ( t ) akmnn denklemini bulunuz.

.e
e

Soru 2) y ''' 2y '' 3y ' 5 r(t ) ;

y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )

y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2

diferansiyel denkleminde ode komutu yardm ile [0 6] saniye aralnda, x 2 ( t ) deiimini bulunuz ve izdiriniz.

r(t)
3
1

t
0

ekil 2 (kitaba atld)

w ' K
w
m K f w 0
J
J
4
2
a
i(0)=0;
w(0)=0 (t=0 annda motor duruyor demektir)
; b 0 ;
0
.
75

10

w(t); motorun asal hz (radyan/saniye)
i(t); motor akm (Amper)
ARKA sahifeye geiniz
t alnz.

seafoodplus.infou

15/05/

tla

ri.
co

ekil 3de verilen doru akm motorunun besleme gerilimi v a (t ) Volt olduuna gre, motor hznn [0 2]
saniye aralndaki deiimini izdirerek, hzn 3 (radyan/saniye)den 8 (radyan/saniye) hzna ulamas iin geen
zaman bulunuz.

A= x

sn
o

ekil 3

Soru 4) sin(x)in Taylor serisi alm;

x3 x5 x7 x9
x 2n 1
;

(1) n
3! 5! 7! 9!
(2n 1)!

x=3*pi/2 alnz

olduuna gre sin(x) A koulunu salayan terim saysn ve x deerini ayr ayr bulunuz.
x3
; ikinci terim,
3!

m
de
r

Not: A ifadesinde;

x; birinci terim,

x5
; nc terim..
5!

Soru 5) Aada verilen programn altrlmas sonunda elde edilen A matrisinin B ve Cye bal ifadesini belirleyiniz:

.e
e

B=[]; C=[]; % B ve C dikdrtgen matrislerdir

Snav sresi 90 dakikadr: Ders kitab ve ders notlar masa zerinde dank olmamak zere serbesttir.
Barem: 20/ 20/ 20/ 20/ 20

seafoodplus.infou

15/05/
ZMLER

m
de
r

sn
o

tla

ri.
co

Cevap 1)
a) a=[-2 1;2 -2]; b=[1;0]; c=[2 -2]; d=0
t=;
aa=length(t);
u=3*ones(1,aa);
x0=[5 0];
[cikis x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)
plot(t,cikis),xlabel('t'),ylabel('IR'),grid on

>> A=dsolve('Dx=-2*x+y+3','Dy=2*x-2*y','x(0)=5','y(0)=0');
>> iL=vpa(A.y,4)
iL =
e-1*exp(*t)*exp(*t)

Cevap 2) x 3' 2x 3 3x 2 5 r(t )

.e
e

x '2 x 3

x 1' x 2

>> x0=[-1 1 2];

seafoodplus.infou

a=[-4 ; ]; b=[2;0]; c=[0 1]; d=0;

m
de
r

sn
o

Cevap 3)

tla

ri.
co

15/05/

.e
e

Cevap 4) x=3*pi/2;
A=0;
for k=;
A=A+((-1)^k)*(x^(2*k+1))/prod(*k+1);
if abs(sin(x)-A)<=
x
% terim deeri
k
% terim sayisi
break
else
end
end

Cevap 5) Verilen program B*C ilemini yapar, dier bir ifade ile B ve C matrislerini arpar.

.e
e

w
m
de
r
ri.
co

tla

sn
o

seafoodplus.infou
15/05/

seafoodplus.infou

01/08/

seafoodplus.info
SAYISAL ANALZ YAZ OKULU FNAL SINAV SORULARI
renciye ilan edildi

u (t)
8
4
1

t (sn)

m
de
r

sn
o

tla

b) Ayn soruyu ode45 komutu ile yapnz.

ri.
co

Soru 1) a) Aada verilen diferaniyel denklemini lsim komutu kullanarak znz. Yalnzca
y(t) deiimini t= saniye aralnda izdiriniz.
y ' ' ' 5y '' 8y ' 4y u(t ) ;
y '' (0) 1 , y' (0) 1 , y(0) 0

.e
e

ekil 2
Soru 2) ekil 2de verilen taral yzeyi matlab komutlar kullanarak izdiren bir program
yaznz.(eksenlere dikkat ediniz). Kitaba attm
Soru 3) Aada verilen A matrisinin determinantnn olduu biliniyor. A matrisinde seafoodplus.info,
2. stun elemann deeri (x) ise bilinememektedir. Yazdnz bir program yardm ile
bilinmeyen bu elemann deerini bulunuz. x in deer aral olarak alnabilir.
x bir tamsaydr.
A=
1
-2
0
11

5
6
x
65

9
7
1
89

terim
1

terim
2
2

Soru 4) y 1 x

11
4
8
21
terim
3
3

terim
4
5

terim
5
7

terim
6
9

x
x
x
x
x

2!
3!
5!
7!
9!

serisine eklenen terimin deeri deerinden kk oluncaya kadar terim ekleyen bir
program yaznz. Bu art salandnda kanc terimin (terim ad altnda) bu art
salad ve bu durumda ynin ald deeri de (deger ad altnda) belirleyiniz. x=4
alnz.

seafoodplus.infou

01/08/

Soru 5) ekil 3de verilen devrede R 3 direnci lineer olmayan bir diren olup zerindeki gerilim

sn
o

tla

ri.
co

dm v 3 (t ) 2 * e i3 ( t ) deerini almaktadr. i 3 ( t ) ifadesini sembolik ilem komutlar

ekil 3

Barem:

m
de
r

Notlar aktr (masa zerinde dank olmayacaktr

.e
e

Snav sresi 90 dakikadr

Baarlar Dilerim
seafoodplus.info Arifolu

seafoodplus.infou

01/08/

Cevap 1 ) a)

x 1 y;

x 2 x 1' y '
x 3 x '2 x 1'' y ''

ri.
co

x 3' 5x 3 8x 2 4x1 u(t )

x '2 x 3

sn
o

0 x 1 0
x 1 0 1
d
x 2 0 0
1 x 2 0 u ( t )

dt
x 3 4 8 5 x 3 1
x1
y( t ) 1 0 0 x 2 0 * u ( t )
x 3

tla

x 1' x 2

.e
e

m
de
r

A=[0 1 0;0 0 1;4 -8 -5];

b)
>> x0=[0 -1 1]; t=;[t x]=ode45('yazokulu_final_',t,x0);
>>plot(t,x(1))
function dy=yazokulu_final_(t,x)
u=zeros(1,length(t));
for k=1:length(t)
if 0<=t(k) & t(k)<1
u(k)=4;
elseif 1<=t(k) & t(k)<1
u(k)=4;
elseif t(k)>2
u(k)=8;
end
end
dy=[x(2);x(3);-5*x(3)-8*x(2)+4*x(1)+u];

seafoodplus.infou

01/08/

4; 0

8; 11 65

89

21];

tla

sn
o

Cevap 3) x=;
for k=
A=[1 5 9 11; -2
C=det(A);
if C==
x
break
end
x=x+1;
end

ri.
co

Cevap 2) x=;y=2*ones(1,20); % ekildeki enine cizgileri temsil eden 20 sayisi

m
de
r

Cevap 4) deger=1+4-(4^2)/2;
terim=2;
top=1; % bu deger den buyuk bir sayi olmali
x=4;
n=3;
while abs(top)>
terim=terim+1;
top=-1*((-1)^terim)*(x^n)/prod(1:n)
n=n+2;
deger=deger+top;
end
deger
terim

.e
e

Cevap 5) digits(3);
A=solve('8*i1+8*i2+*sin(t)=0','2*exp(i3)*sin(t)-
i2*8=0','i1-i2-i3=0','i1,i2,i3');
A.i3
ezplot(A.i3,0,30)

seafoodplus.infou

5/06/
seafoodplus.info
SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

d vc ( t ) 3 1 vc ( t ) 1

h(t)

dt i L ( t 2 i L ( t 2

Soru 1)
; v c (0) 5V ,

ri.
co

di L ( t )
ise
dt
(h(t) deiimi ekil 1de verilmitir. (L=3 henry)
bobin akmnn t= saniye aralnda
deiimini izdiren bir matlab programn lsim
komutu yardm ile oluturunuz.
bobin geriliminin t= saniye aralnda
deiimini izdiren bir matlab programn lsim
komutu yardm ile oluturunuz. (Kitaba atld b kk)

i L (0) 0A , bobin gerilimi v L ( t ) L

tla

b)

'''

''

Soru 2) y 5y y 3 h(t ) ;

sn
o

(h(t) ekil 1de verilmitir)

y=y(t)= x1 ( t ) ,

y ' x (t) ,
2

ekil 1
''

y x 3 (t )

y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2 koular altnda

diferansiyel denkleminde;

m
de
r

a) birinci mertebeden adet diferansiyel denkleme dntrerek lsim komutu yardm ile x 3 ( t ) deiimini izdiriniz.
t=
b) Yukarda verilen nc mertebeden diferansiyel denkleminde ode45 komutu yardm ile x 3 ( t ) deiimini izdirin.
t=

(kitaba atld)

pi
x 3 1* 3 x 5 1* 3 * 5 x 7
x *

*
( 1 x 1 )
2
3 2*4 5 2*4*6 7
olduuna gre hesap makinasinda arcos ilemi bulunmayan bir rencinin yukardaki eitlii kullanarak arcos()
deerini bulmak iin (hesap hatasn abs(1e-8) den kk tutmak art ile) yukardaki eitlikte xin kanc kuvvetine
kadar hesaplamas gerektiini bulan bir matlab program oluturunuz.

.e
e

Soru 3) arcos(x) =

Soru 4) for x=1:m

Soru 5) a) ekil 1de verilen h(t) erisinin t= saniye arasnda integralini hesaplaynz. (5 puan)
b ekil 1deki h(t) erisinin t= saniye iin geri fark yaklam ile trevini hesaplaynz ve iziniz (5 puan)
c) seri RLC devresini besleyen bir gerilim kayna V(t)= 3 * e *t olduuna gre, R=1 ohm,C=1F,L=1H iin bu devreye
seri bal bir ampermetrenin ka amper gstereceini bulan bir matlab program yaznz. Devredeki tm ilk koullar
sfr alnacaktr. T=2 saniye alnacaktr. (10 puan)

Snav sresi 90 dakikadr: Ders kitab ve ders notlar masa zerinde dank olmamak zere serbesttir.
Barem: 30/

20/

15/

15/

20

(cevaplar web sitemde ilan edilecektir)

seafoodplus.infou

5/06/

Cevap 2) a) x 3' 5x 3 x1 3 h(t )

x1' x 2

sn
o

tla

ri.
co

Cevap 1) L=5;
a=[-3 -1;-2 ]; b=[1;2]; c=[0 1]; d=0; L=3;
x0=[5 0];
t=;
h=zeros(1,length(t));
for k=1:length(t)
if t(k)<=
h(k)=10*sin(pi*t(k));
else
h(k)=7;
end
end
[cikis x]=lsim(a,b,c,d,h,t,x0);
figure(1)
plot(t,x(:,2)),xlabel('t'),ylabel('bobin akimi'),grid on % a kk bitti
figure(2)
VL=L*(-2*x(:,1)+*x(:,2)+2*h');
% bobin gerilimi denklemi-b kk
plot(t,VL),xlabel('t'),ylabel('bobin gerilimi'),grid on % b kk bitti
veya
c=[-6 ]; d=[6];
y=lsim(a,b,c,d,h,t,x0);
figure(3)
plot(t,y),xlabel('t'),ylabel('bobin gerilimi'),grid on % b kk bitti

y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )

m
de
r

x 1 ( t ) 0 1 0 x 1 ( t ) 0
d
x 2 ( t ) 0 0 1 x 2 ( t ) 0 (h ( t ) 3)

dt
x 3 ( t ) 1 0 5 x 3 ( t ) 1

.e
e

A=[ 0 1 0;0 0 1;1 0 -5];

b) >> x0=[-1 1 2];

seafoodplus.infou

5/06/

end

tla

ri.
co

Cevap 3) k=1;
x=;
A=pi/2-x;
fark=1;
while fark>=1e-8
k=k+2;
A1= -prod(k-2)*(x^k)/(k*prod(k-1));
A=A+A1
fark=abs(acos(x)-A)
end
k % x in kuvveti

Cevap 4)

sn
o

BALA

m
de
r

n ve m deerini giriniz

B(x,y)= x*(2^y)

.e
e

y=y+1

x=1 ; y=1

y<n

y=1

x=x+1

x<m
H

DUR

seafoodplus.infou

ri.
co

turevh=diff(h)./diff(t);
zaman=t(2:length(t));
plot(zaman,turevh); % b kk bitti

tla

Cevap 5) clc
t=;
h=zeros(1,length(t));
for k=1:length(t)
if t(k)<=
h(k)=10*sin(pi*t(k));
else
h(k)=7;
end
end
integral=trapz(t,h) % a kk bitti

5/06/

.e
e

m
de
r

sn
o

akim=dsolve('*exp(*t)=Dx+D2x+x','x(0)=0, Dx(0)');
akim_ort=double(*int(akim,0,2))
% c kk bitti
akim_ort =

seafoodplus.infou

28/07/
seafoodplus.info
YAZ OKULU SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

d
dt

v C 1 2 v C 2 0 sin(t )
i

; v C (0) 1 ; i L (0) 0
L 4 8 i L 0 8 cos( t )

Soru 1)

ri.
co

Yukarda verilen durum denkleminde subplot yardm ile v C ( t ) ve i L ( t ) deiimlerini t= sn

h(t)
4

y2 t 6

Soru 2) y ''' 6y '' 11y ' 6y h(t ) ;

ekil 1

t(sn)
6

sn
o

tla

y1 4 sin(* t )

(h(t) ekil 1de verilmitir)

y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )

y=y(0)= x1 (0) 1 , y ' (0) x 2 (0) 1 , y '' (0) x 3 (0) 2 koullar altnda;

a) Verilen seafoodplus.infomi birinci mertebeden adet diferansiyel denkleme dntrerek lsim komutu yardm ile
k(t)= x1(t ) 2x 3 (t ) deiimini izdiriniz. t= (15 puan)

m
de
r

b) Yukarda verilen nc mertebeden diferansiyel denkleminde ode45 komutu yardm ile k(t)= x1(t ) 2x 3 (t )

.e
e

deiimini izdirin. t= (15 puan)

ekil 2
Soru 4) ekil 2de bir merdivenin yandan grn verilmitir. Bu merdivenin size bakan yan yzeyi tahta ile kaplanacaktr. Bu
merdivenin yandan grnn izdiren ve ka birim kare tahta harcanacan bulan bir matlab program yaznz.
(15 puan)-alan hesab elle yaplmayacak matlab komutlar ile yaplacaktr
Snav sresi 90 dakikadr: Ders kitab ve ders notlar masa zerinde dank olmamak zere serbesttir.
(cevaplar web sitemde ilan edilecektir)

seafoodplus.infou

28/07/
zm

Cevap 1)
>> A=dsolve('Dx=-x-2*y+2*sin(t)','Dy=4*x-8*y-8*cos(t)','x(0)=1','y(0)=0')
>> subplot(),ezplot(A.x,[1 2]),title(Vc(t) deiimi),grid
>> subplot(),ezplot(A.y,[1 2]),title(iL(t) deiimi),grid
x3' 6x3 11x 2 6x1 h(t )

y=y(t)= x1 ( t ) , y ' x 2 ( t ) , y '' x 3 ( t )

x '2 x 3

ri.
co

x 1' x 2

Cevap 2) a) y ''' 6y '' 11y ' 6y h(t )

1
0 x1( t ) 0
x1( t ) 0
d

x 2 ( t ) 0
0
1 x 2 ( t ) 0 h ( t )
dt
x 3 ( t ) 6 11 6 x 3 ( t ) 1

m
de
r

sn
o

tla

A=[ 0 1 0;0 0 1;-6 -6];

b) >> x0=[-1 1 2];

Alt program dosyas aada verilmitir;

.e
e

function dx=cevap_yaz(t,x)
t=;
uzun=length(t);
h=zeros(uzun,1);
for k=1:uzun
if t(k)<=2
h(k)=2*sin(*t(k));
else
h(k)=-t(k)+6;
end
dx=[x(2);x(3);-6*x(1)*x(2)-6*x(3)+h(k)];
end

t=;
for k=1:length(t);
if t(k)<=2
h(k)=4*sin(*t(k));
else
h(k)=-t(k)+6;
end
end
dc_ort=mean(h); % d.a. ampermetresinin gsterdii deer
b) ac_etkin=sqrt(mean(h.^2)); % a.a. ampermetresinin gsterdii deer
c) A=polyfit(t,h,3);

Cevap 3) a)

d) vk (t ) R * i( t )

16
i( t )dt
C0

>> Vk=3*h+(1/2)*cumtrapz(t,h); plot(t,Vk)

seafoodplus.infou

28/07/
% B yatay ekseni, A ise dey ekseni gstermektedir
for k=1:length(B)
if B(k)>=0 & B(k)<1
A(k)=1;
elseif B(k)>=1 & B(k)<2
A(k)=2;
elseif B(k)>=2 & B(k)<3
A(k)=3;
elseif B(k)>=3 & B(k)<4
A(k)=4;
elseif B(k)>=4 & B(k)<
A(k)=5;
elseif B(k)>= & B(k)<=
A(k)=6;
end
end
plot(B,A) % merdivenin yandan grn izdiriliyor
trapz(B,A) % kullanlacak tahta yzeyi

.e
e

m
de
r

sn
o

tla

ri.
co

Cevap 4) B=;

seafoodplus.infou

5/08/
SA MH. FAK. ELK-ELN. MH. BL.
SAYISAL ANALZ YAZ OKULU FNAL SINAV SORULARI

Soru 2) A= [

5;

8;

ri.
co

Soru 1) F(x)= 3x 3 2x 10 denkleminin kklerini, F(x) erisinin trevinin kklerini ve F(x) erisinin entegralinin
kklerini kk kabul eden M(x) erinin (sembolik) denklemini bulunuz (katl kk de olabilir). M(x)
denkleminde katsaylar rakaml olacak. El ile ilem yaplamaz. Matlab komutlar kullanlacaktr.
(10 puan)
-4

6; 3

-5

2];

tla

matrisi reel (pozitif+negatif) saylardan olumaktadr. yle bir program yaznz ki; A matrisi stn stun
taransn ve her yeni eleman okunduunda o ana kadar taranan tm saylarn ortalamas alnsn. Bulunan
ortalama saynn 7 kat, o ana kadar taranan en byk saydan byk olduunda program dursun ve en son
okunan say deeri ve bu saynn adresi ekrana yazdrlsn. (15 puan)

sn
o

Soru 3) x= 0:pi/*pi;
y= 2*sin(x);
z= (cos(x)).^3+sin(3*x);

olduuna gre boyutlu z=f(x,y) erisinin verilen aralkta tepe noktasnn (x,y,z) koordinatlarn bulan
matlab program yaznz. (10 puan)
Soru 4) 3y'' 6y' 9y 3e 2t , y' (0) 1 ; y(0)=2

m
de
r

z(t)=3* y' (t ) 2y(t ) 2e 2t

olduuna gre z(t) erisini [0 6] sn aralnda hassasiyetle izdiren matlab programn yaznz.
(25 puan)

.e
e

Soru 5 ) Seri bal RLC devresini v(t)= 2 * * sin(wt 30o ) volt deerinde bir kaynak beslemektedir.
L= 3 /(2 * pi * 50) Henry, C= 1 /(pi * ) Farad, R= 2 ohm deerindedir. Her bir elemana paralel olarak bir
voltmetre balanmtr. Voltmetrelerin lm aral V (etkin) olduuna gre bu voltmetrenin geici
hal koullar altnda devredeki hangi elemann gerilimlerini lp, hangilerinin lemeyeceini bulan
matlab program yaznz. f=50 Hz alnz. Srekli hal koullar altnda yaplan zmler kabul
edilmeyecektir. (25 puan)

Soru 6) Bir cihaz iinden geen periyodik ve alternatif bir akmn ald deerler, t= saniye aralnda ve sn
hassasiyetle A adl bir vektr iine kaydediliyor. yle bir program yaznz ki; bu program bu akmn
periyodunu bulsun ve sonra akmn etkin deerini hesaplasn. (Not: Akm dalga ekli sinzoidal olmak
zorunda deildir).
(15 puan)

Snav sresi 90 dakikadr

seafoodplus.infou

5/08/

ZMLER

tla

ri.
co

Cevap 1) 3x 3 2x 10
clc
Fkok=roots([3 0 -2 10]);
% F(x) in kkleri bulunuyor
fturev=polyder([3 0 -2 10]); % F(x)'in trevi bulunuyor
fturevkok=roots(fturev);
% trev in kkleri bulunuyor
fenteg=polyint([3 0 -2 10]); % F(x) in entegrali bulunuyor
fentegkok=roots(fenteg);
% entegral in kk bulunuyor
Mkok=[Fkok' fturevkok' fentegkok']; % M(x) in kkleri
A=poly(Mkok);
% M(x) denkleminin katsaylar bulunuyor
syms x
cozum=vpa(poly2sym(A,x),3)
% M(x) denklemi sembolik olarak elde edildi

.e
e

m
de
r

sn
o

Cevap 2) clc
A= [ 2 3 5; 7 8;
toplam=0;
n=0;
enbuy=0;
for k=
for m=
n=n+1;
if A(m,k) > enbuy
enbuy=A(m,k);
else
end
toplam=toplam+A(m,k);
ortalama=toplam/n;
if 7*ortalama > enbuy
disp('aranan say')
disp(A(m,k))
disp('aranan adres')
disp(m),disp('inci satr')
disp(k),disp('nc stun')
break
else
end
end
end

Cevap 3) clear all

-4

6; 3 -5 7 2];

seafoodplus.infou

5/08/

Cevap 4) y(t ) x1 ;
y' (t ) x 2
3x '2 6x 2 9x1 3e2t x '2 2x 2 3x1 e2t

x1' x 2
x '2 x 3

ri.
co

d x1 0 1 x1 0 2t

e
dt x 2 3 - 2 x 2 1
x
y(t)= - 2 3 1 2 e 2t
x 2

tla

Program aada verilmitir:

sn
o

a=[0 1 ;3 -2];
b=[0;1];
c=[-2 3];
d=[2];
t=;
x0=[2 1];
u=exp(-2*t);
[y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)
plot(t,y) ,xlabel('t'),ylabel('z(t)'),grid

m
de
r

Cevap 5) Li'' (1 / C)i Ri' 2 * * w * cos( wt pi / 6)

Lx '2 (1 / C) * x1 R * x 2 2 * * w * cos( wt pi / 6)

2 * * w
* cos( wt pi / 6)
L
0
1 x1 0
d x1


2 * * w * cos( wt pi / 6)
dt x 2 1 /(L * C) R / L x 2 1 / L

.e
e

x '2 (1 / LC) * x1 (R / L) * x 2

x
y(t ) i x1 1 0 1 0* 2 * * w * cos( wt pi / 6)
x 2

Program aada verilmitir:

t=;
T=;
L= 3/(2*pi*50);
C=1/(pi*);
R=2;
w=2*pi*50;
A=sqrt(2)**w;
u=A*cos(w*t-pi/6);
x0=[0 0];
a=[0 1;-1/(L*C) R/L]; b=[0;1/L]; c=[1 0]; d=0;
[akim x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); % akim ifadesi
Vselfani=L*diff(akim)./diff(t); % boyut t den 1 dt
Vdirencani=R*akim; % boyut t ile ayn
Vkapasiteani=(1/C)*cumtrapz(t,akim); % boyut t ile ayn
Vselfger=sqrt((1/T)*trapz(t(2:end),Vselfani.^2))
Vdirencger=sqrt((1/T)*trapz(t,Vdirencani.^2))

seafoodplus.infou

5/08/

ri.
co

if Vselfger>
disp(selfin gerilimi llemez)
else
end
if Vdirencger>
disp(direncin gerilimi llemez)
else
end
if Vkapasiteger>
disp(kapasitenin gerilimi llemez)
else
end

Vkapasiteger=sqrt((1/T)*trapz(t,Vkapasiteani.^2))

.e
e

m
de
r

sn
o

tla

Cevap 6)
t=;
uzun=length(t);
A=10*rand(1,uzun);
% akim iareti retiliyor
usttepe=max(A);
% akimin seafoodplus.info noktas hesaplanyor
alttepe= min(A);
% akimin seafoodplus.info noktas hesaplanyor
tusttepe=find(A==usttepe);
% akmn seafoodplus.info noktasn t nin kanc
% elemannda ald hesaplanyor
talttepe=find(A==alttepe);
% akmn min. noktasn t nin kanc
% elemannda ald hesaplanyor
t1=t(tusttepe); % akmn tepe noktasna ulalan t an bulunuyor
t2=t(talttepe); % akmn min noktasna ulalan t an bulunuyor
T=2*(t2-t1);
% akmn periyodu bulunuyor
C=T/;
% akm periyoduna ka lm saysnda ulald
% bulunuyor
B=A(1:C);
% akmn lm aral kadar olan elamanlar yeni vektre
% seafoodplus.info kalde entegralde boyut hatas olur.
akimetkin=sqrt((1/T)*trapz(t(1:C),B.^2)) % akmn etkin deeri bulunuyor

seafoodplus.infou

17/05/
SA MH. FAK. ELK-ELN. MH. BL.
SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

tla

ri.
co

Soru 1) S P2 Q2 D2 S2 P2 Q2 D2 aktif olmayan g . (D: Distorsiyon gc). ekil 1de bir

ekil 2

sn
o

ekil 1

Soru 2) Elinizde Devlet Meteoroloji Enstitsnden alnan iki stunlu bir matris olsun (r : A(,2). lk stn rakam
olarak rzgar iddetini, ikinci stun ise derece olarak rzgarn ynn gstersin. yle bir program yazn ki,
altnda ekranda en byk rzgar iddeti ve ynn gsteren (ekil 2dekine benzeyen) vektr olsun.
Soru 3) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olmak zere u x v y ve u y v x artlarnn ayn anda salanmas durumunda f(z)

m
de
r

fonksiyonunun Cauchy- Riemann koulunu salad sylenir. f(z)= x 2 2xy i(y2 x 2 ) ifadesinin CauchyRiemann koulunun salayp salamadn test eden bir program yaznz. Test sonucunu disp komutu ile
veriniz. Elle ilem yaplmayacaktr.

ekil 3

.e
e

Soru 4) ekil 3deki devreye ilikin durum denklemleri aada verilmitir. lk koular sfr alnacaktr. t= iin
her iki diren akmnn deiimi alt alta izdiren matlab dosyas oluturunuz. Problem iinde lsim komutu
da bulunan komut satrlar ile zlecektir.

Soru 5 )a) , orijin merkezli ve yarap 1den byk olan herhangi bir ember olsun. Aadaki entegral sonucunu
bulunuz. (Kompleks deikenli fonksiyonlar teorisi sorusu)
5z 2
z(z 1) dz ?

cos5x
dx
2
0 x 1

b) I

Not baremi: 1/10

2/ 30

3/10

4/ 30

5/ 20

Snav sresi 90 dakikadr.

seafoodplus.infou

17/05/

tla

ri.
co

ZMLER
Cevap 1) wt=*pi;
V_t=*sqrt(2)*sin(wt);
uzun=length(wt);
akim=zeros(1,uzun);
for k=1:uzun;
if wt(k)<= pi/3;
akim(k)=;
elseif pi/3< wt(k) & wt(k)< pi+pi/3;
akim(k)=;
elseif pi+pi/3<= wt(k) & wt(k)<=2*pi;
akim(k)=;
end
end
plot(wt,V_t),hold on,plot(wt,akim),grid
aniguc=V_t.*akim;
P=mean(aniguc)
V=sqrt(mean(V_t.^2))
I=sqrt(mean(akim.^2))
S=V*I
Aranan_guc=sqrt(S^2-P^2)

sn
o

Cevap 2)

m
de
r

clear all
clc
A=[














];
[a b]=max(A(:,1));
disp('en byk rzgar gc')
disp(a),disp('kuvvetinde')
disp(A(b,2)),disp('derece ynnde esmektedir')
z=a*cos(A(b,2)*pi/)+i*a*sin(A(b,2)*pi/);
compass(z,'k')

.e
e

Cevap 3) syms x y
u=x^2+2*x*y;
v=y^2-x^2;
ux=diff(u,x);
uy=diff(u,y);
vx=diff(v,x);
vy=diff(v,y);
if ux-vy==0 & uy+vx==0
disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmistir')
else
disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmamistir')
end

Cevap 4)

d vC 4 4 vC 2
E ; E=20 V


dt i L 1 0 i L 0
v
y(t)= 1 0 C [0]u(t)
iL

seafoodplus.infou

17/05/

Program aada verilmitir:

sn
o

tla

ri.
co

a=[-4 -4 ;1 0];
b=[2;0];
c=[1 0];
d=[0];
t=;
uzun=length(t);
x0=[0 0];
u=20*ones(uzun,1);
[y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0);
R2=2;
% x(:,1) kapasite gerilimi=direnc gerilimidir (devreye baknz)
R2_direnc_akimi=x(:,1)/R2;
% kapasite dirence paralel bal olduundan dolay gerilimleri eittir
% R1 direncinin gerilimi= E-bobin gerilimi dir
L=1;
bobin_gerilimi=L*(1*x(:,1)+0*x(:,2)+0*u);
R1=2;
R1_direnc_akimi=(u-bobin_gerilimi)/R1;
subplot(),plot(t,R2_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR2'),grid
subplot(),plot(t,R1_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR1'),grid

Cevap 5) a) g(z)=5z-2, h(z)=z(z-1) olmak zere fin aykrlklar h(z) = z-1= 0 denkleminin kkleri olan z=0 ve z=1
dir. Bu noktalar f iin birinci mertebeden kutuptur. Her iki kutup da erisinin iindedir. Ayrca;

I(, z1 ) I(, z2 ) 1 olduundan;

5z 2
g(0)
2
, 0) '
z(z 1)
h (0)
5z 2
g(1)
Res(f , z 2 ) Res(
,1) ' 3
z(z 1)
h (1)

m
de
r

Res(f , z1 ) Res(

5z 2
dz 2i(2 3) 10i
z(z 1)

elde edilir.

1 cos5x
1
1
1
e5
5x

dx
Re[
e
dx]
Re[2
i
] e5 =
2
2

2 x 1
2
2
2i
2
x 1

.e
e

b) I

seafoodplus.infou

17/05/
SA MH. FAK. ELK-ELN. MH. BL.
SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

tla

ri.
co

Soru 1) S P2 Q2 D2 S2 P2 Q2 D2 aktif olmayan g . (D: Distorsiyon gc). ekil 1de bir

ekil 2

sn
o

ekil 1

Soru 2) Elinizde Devlet Meteoroloji Enstitsnden alnan iki stunlu bir matris olsun (r : A(,2). lk stn rakam
olarak rzgar iddetini, ikinci stun ise derece olarak rzgarn ynn gstersin. yle bir program yazn ki,
altnda ekranda en byk rzgar iddeti ve ynn gsteren (ekil 2dekine benzeyen) vektr olsun.
Soru 3) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olmak zere u x v y ve u y v x artlarnn ayn anda salanmas durumunda f(z)

m
de
r

fonksiyonunun Cauchy- Riemann koulunu salad sylenir. f(z)= x 2 2xy i(y2 x 2 ) ifadesinin CauchyRiemann koulunun salayp salamadn test eden bir program yaznz. Test sonucunu disp komutu ile
veriniz. Elle ilem yaplmayacaktr.

ekil 3

.e
e

Soru 4) ekil 3deki devreye ilikin durum denklemleri aada verilmitir. lk koular sfr alnacaktr. t= iin
her iki diren akmnn deiimi alt alta izdiren matlab dosyas oluturunuz. Problem iinde lsim komutu
da bulunan komut satrlar ile zlecektir.

Soru 5 )a) , orijin merkezli ve yarap 1den byk olan herhangi bir ember olsun. Aadaki entegral sonucunu
bulunuz. (Kompleks deikenli fonksiyonlar teorisi sorusu)
5z 2
z(z 1) dz ?

cos5x
dx
2
0 x 1

b) I

Not baremi: 1/10

2/ 30

3/10

4/ 30

5/ 20

Snav sresi 90 dakikadr.

seafoodplus.infou

17/05/

tla

ri.
co

ZMLER
Cevap 1) wt=*pi;
V_t=*sqrt(2)*sin(wt);
uzun=length(wt);
akim=zeros(1,uzun);
for k=1:uzun;
if wt(k)<= pi/3;
akim(k)=;
elseif pi/3< wt(k) & wt(k)< pi+pi/3;
akim(k)=;
elseif pi+pi/3<= wt(k) & wt(k)<=2*pi;
akim(k)=;
end
end
plot(wt,V_t),hold on,plot(wt,akim),grid
aniguc=V_t.*akim;
P=mean(aniguc)
V=sqrt(mean(V_t.^2))
I=sqrt(mean(akim.^2))
S=V*I
Aranan_guc=sqrt(S^2-P^2)

sn
o

Cevap 2)

m
de
r

clear all
clc
A=[














];
[a b]=max(A(:,1));
disp('en byk rzgar gc')
disp(a),disp('kuvvetinde')
disp(A(b,2)),disp('derece ynnde esmektedir')
z=a*cos(A(b,2)*pi/)+i*a*sin(A(b,2)*pi/);
compass(z,'k')

.e
e

Cevap 3) syms x y
u=x^2+2*x*y;
v=y^2-x^2;
ux=diff(u,x);
uy=diff(u,y);
vx=diff(v,x);
vy=diff(v,y);
if ux-vy==0 & uy+vx==0
disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmistir')
else
disp('Cauchy- Riemann kosulu saglanmamistir')
end

Cevap 4)

d vC 4 4 vC 2
E ; E=20 V


dt i L 1 0 i L 0
v
y(t)= 1 0 C [0]u(t)
iL

seafoodplus.infou

17/05/

Program aada verilmitir:

sn
o

tla

ri.
co

a=[-4 -4 ;1 0];
b=[2;0];
c=[1 0];
d=[0];
t=;
uzun=length(t);
x0=[0 0];
u=20*ones(uzun,1);
[y x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0);
R2=2;
% x(:,1) kapasite gerilimi=direnc gerilimidir (devreye baknz)
R2_direnc_akimi=x(:,1)/R2;
% kapasite dirence paralel bal olduundan dolay gerilimleri eittir
% R1 direncinin gerilimi= E-bobin gerilimi dir
L=1;
bobin_gerilimi=L*(1*x(:,1)+0*x(:,2)+0*u);
R1=2;
R1_direnc_akimi=(u-bobin_gerilimi)/R1;
subplot(),plot(t,R2_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR2'),grid
subplot(),plot(t,R1_direnc_akimi),xlabel('t'),ylabel('iR1'),grid

Cevap 5) a) g(z)=5z-2, h(z)=z(z-1) olmak zere fin aykrlklar h(z) = z-1= 0 denkleminin kkleri olan z=0 ve z=1
dir. Bu noktalar f iin birinci mertebeden kutuptur. Her iki kutup da erisinin iindedir. Ayrca;

I(, z1 ) I(, z2 ) 1 olduundan;

5z 2
g(0)
2
, 0) '
z(z 1)
h (0)
5z 2
g(1)
Res(f , z 2 ) Res(
,1) ' 3
z(z 1)
h (1)

m
de
r

Res(f , z1 ) Res(

5z 2
dz 2i(2 3) 10i
z(z 1)

elde edilir.

1 cos5x
1
1
1
e5
5x

dx
Re[
e
dx]
Re[2
i
] e5 =
2
2

2 x 1
2
2
2i
2
x 1

.e
e

b) I

U. Arifolu - G. etinel
SA. MH. FAK. ELK-ELN. MH. BL.
SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI
S1)

a)Yukarda verilen diferansiyel denklem sistemine ilikin ilk koullar; x(0)=2, y(0)=0,
,
olduuna gre x(t) ve y(t)
deiimini t = [0 : 10] aralnda izdiren matlab programn lsim komutunu kullanarak yaznz. Trevler t'ye gredir.
b) Ayn problemi ode45 komutu ile znz.

x= iin,
deeri ile
n saysn bulan matlab programn yaznz.

ri.
co

(Laurent alm)

S2)

) alm arasndaki "farkn mutlak deerinin" 1e den kk kald

sn
o

tla

S3) ekil 1'de verilen OPAMP entegral alcdr. Bu tr bir opampn tanm bants, eklin hemen altnda verilmitir. Rs=3 ohm, C=F, R= 4
ohm, L=2 H, dr. t=0 annda kapasite gerilimi sfr volt, bobin akm sfr amper olduuna gre, bobin akmnn [0 : 5] sn aralnda deiimini
izen ve bobin akmnn ortalama deerini bulan bir matlab program yaznz.
volt alnacaktr.

ekil 1

em
de
r

S4) S4) a) 3x3 x 2 2 x 5 denkleminin x0= ilk koulu altnda kkn Newton yntemi ile elle adm adm bulmaya alrken, birinci ve
(gerek olursa) ikinci iterasyon sonunda epsilon= koulu altnda yaknsama salanp salanmadn kontrol ediniz, denklemin kkn
bulup bulmadnz yaznz, bulmusanz kk yaznz (hesap elle yaplacak, matlab komutu kullanlmayacaktr). (15 p)
b) a kknda verilen denklemi uygun bir matlab komutlar kullanarak zen bir program yaznz. (5p)
S5) Aada bir prizden farkl dakikalarda llen voltaj deerleri verilmektedir.
a) Verilen sekiz adet noktadan gemeye alan 5. ve 7. mertebeden iki farkl erinin katsaylarn bulunuz. (5p)
b) a kknda elde ettiiniz eriler arasndaki ortalama karesel hatay hesaplayan ve iki eri arasndaki farkn mutlak deerini izdiren bir
matlab program yaznz. (5p)
c) 8. ve dakikalara karlk gelen voltaj deerlerini matlab komutlar yardmyla hesaplatnz.(5p)
(t1,v1)=(1,)
(t2,v2)=(3,)
(t5,v5)=(9,) (t6,v6)=(11,)

w
.e

n btn aykr noktalarn bulunuz ve bu noktalardaki rezidlerini hesaplaynz. (10p)

S6)

Yalnzca kitap ve kompleks deikenli fonksiyonlar ders notlar aktr.

(t3,v3)=(5,) (t4,v4)=(7,)
(t7,v7)=(13,) (t8,v8)=(15, ,90)

U. Arifolu - G. etinel

ZMLER
1) a) x

Yukardaki eitlikler matrisel formda yazlrsa;

[ ]

][

][ ]

][

][

sn
o

ri.
co

(3t)

tla

Yukardaki eitlikler problemde verilen denklemlerde kullanlrsa;

] elde edilir.

b)

em
de
r

a=[0 1 0 0; -5 0 4 0; 0 0 0 1;1 0 -2 0];

;x(4);

(3*t)];

w
.e

turev=[x(2);

2)

3)

A=exp();
top=1;
x=;
for k=
top=top+(x^k)/factorial(k);
if abs(top-A)<1e
disp('aranlan n says')
disp(k)
break
else
end
end

OPAMP'n kna KGY uygulandnda;

t=; x0=0;
Vs=4*exp(t); L=2; R=4; Rs=3; C=;
Vo=-(1/(Rs*C))*cumtrapz(t,Vs); % OPAMP k gerilim deiimi
a=[-R/L]; b=[1/L]; c=[1]; d=[0];
[y x]=lsim(a,b,c,d,Vo,t,x0);
plot(t,x); xlabel('t'), ylabel('I1'),grid
% akm iziliyor
mean(x) % akmn ortalama deeri bulunuyor

U. Arifolu - G. etinel
4) a)

abs(x(0)-x(1))=> olduundan iterasyon devam eder.

i=2. iterasyon iin

abs(x(1)-x(2))=> olduundan kk bulunamamtr.

b) x=fzero(fsolve)(3*x^3+x^2+2*x-5,)

ri.
co

5) a) t=
V=[ ];
E5=polyfit(t,V,5);
E7=polyfit(t,V,7);
disp(E5), disp(E7)

tla

b) e5=polyval(E5,t);
e7=polyval(E7,t);
e=e5-e7;
okh=mean(e.^2)
plot(t,abs(e))

sn
o

c) 8. dakika iin ara deer hesab yaplr

em
de
r

6)

denkleminin kkleridir. Bu kkler

dir.

iin;

3/8

Basit kutup olduundan limit ayn zamanda rezid deeridir.

w
.e

elde edilir. O halde,

bulunur.

i=1. iterasyon iin

w
.e

em
de
r

sn
o

tla

ri.
co

U. Arifolu - G. etinel

U. Arifolu - G. etinel
SA. MH. FAK. ELK-ELN. MH. BL.
SAYISAL ANALZ FNAL SINAV SORULARI

S1) ekil 1de verilen deiim, C=5 mF deerindeki bir kapasitenin ular arasndaki gerilimin zamana bal deiimidir. Kapasitenin iinde
biriktirdii enerji (zamana bal); w c (t ) tt1 ic (t ) * vc (t ) * dt Joule ifadesi ile, kapasitenin ani gc ise; p c( t ) i c( t ) * v c ( t ) Watt
0

ri.
co

ifadesi ile elde edildiine gre, [0 5] sn aralnda bu kapasitenin akmnn, gcnn ve enerjisinin zaman bal deiimleri alta alta izdiren
(subplot ile) matlab programn yaznz. Not: t 0 =0 ve t1 = 5 sn alnz. Zaman artn sn alnz. (puan)

ekil 2

tla

ekil 1

S2) a)ekil 2de verilen devrede, lsim komutunu kullanarak, i(t) kaynak akmnn [0 5] sn aralnda deiimini iziniz. ekil 2de verilen
kaynak gerilimi deiimi ekil 1de verilmitir. Zaman artn sn ve tm self akmlarna ilikin ilk koullar sfr Amper alnz.
b) Ayn problemi ode45 komutunu kullanarak znz. ( puan). (Her iki zm de geici hal analizini ierecektir.)

m
de
r

sn
o

S3)

Deerler etkin fazrdr, Za, Zb, Zc: yk

ekil 3de verilen devrede Zhat 1 2 j , Za 2 3 j ; Z b 1 3 j ; Zc 2 2 j , Zntr 2 ohm olduuna gre, a) A1, A2 ve A3
ampermetrelerinin gsterecei etkin akm deerlerini bulan, b) compass komutu ile Ib ile Intr akmlarn etkin fazr olarak ayn eksene
izdiren matlab programlarn yaznz (bu iki akm vektrlerinin ularnda, bu akmlarn etkin deerleri yazacaktr).
S4) x=[

]; y=[1 2 3 4 5];

.e
e

z=[

deney sonulardr

Yukarda verilen deerler iin bir renci, matlabn (sftool) eri uydurma arayznden yararlanarak;
Z= + *x1 *y1 *x1^2 + *x1*y1 + *y1^2

erisini elde etmitir. x1= , y1= deerleri iin (size retilen) MATLAB imkanlarn kullanarak, rencinin hata yapp yapmadn,
eer yapm ise hata orann bulan bir matlab yazlm yapnz. Hata deeri %1 den byk ise ekrana renci hata yapmtr yazlacaktr.
Eer byle deil ise ekrana programda hata yoktur yazdrlacaktr.
hata oran = * (abs(rencinin bulduu deer-matlaba sizin hesaplattnz deer) ) / (matlaba sizin hesaplattnz deer)

S5) Aada verilen fonksiyonunun btn aykr noktalarn bulunuz ve bu noktalardaki tm rezidlerini hesaplaynz. (Kompleks sorusudur,
elle zlecek, matlab komutlar kullanlmayacaktr!)

( )

Yalnzca kitap ve kompleks deikenli fonksiyonlar ders notlar aktr.

U. Arifolu - G. etinel

ZMLER

1) C=5e-3; % kapasite deeri

(devre, evre akmlar yntemi ile matrisel forma getirilecektir)

(
(

][

( )
]

[ ]

[ ]

a=[-3
x0=[0

( )
[ ]

.e
e
[

()

()

( )

m
de
r

2) a)

sn
o

tla

ri.
co

t1=;
vc1=zeros(1,length(t1));
for k=1:length(t1)
if t1(k)<2
vc1(1,k)=50*t1(k);
elseif t1(k)>=2 && t1(k)<=3
vc1(1,k)=*(t1(k)-4);
elseif t1(k)>3
vc1(1,k)=50;
end
end
ic=C*diff(vc1)./diff(t1); % kapasite tanm bants ile akm bulunuyor
vc=vc1(1:end-1); % ic ve vc boyutlar eit hale getiriliyor
t=t1(1:end-1); % guc ve enerji hesaplamalar iin yatay eksen hazrlanyor
guc=vc.*ic;
enerji=cumtrapz(t,guc);
subplot(),plot(t,ic),xlabel('t'),ylabel('akm'),grid
subplot(),plot(t,guc),xlabel('t'),ylabel('guc'),grid
subplot(),plot(t,enerji),xlabel('t'),ylabel('enerji'),grid

1
0

2; 1/3 -8/3 4/3; 1

-3]; b=[1; 0; 0]; c=[1

% paral Vc(t) tantm aada balyor

0]; d=0;

U. Arifolu - G. etinel
b) [t x]=ode23('gcozturev',[0

5], [0 0 0]');
plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,1)), xlabel('t'), ylabel('i(t)')
title(ode komutu ile diferansiyel denklem zm);

ri.
co

function turev=gcozturev(t,x)
for k=1:length(t)
if t(k)<2
vc(1,k)=50*t(k);
elseif t(k)>=2 && t(k)<=3
vc(1,k)=*(t(k)-4);
elseif t(k)>3
vc(1,k)=50;
end

turev=[-3*x(1)+x(2)+2*x(3)+vc(1,k);(1/3)*x(1)-(8/3)*x(2)+(4/3)*x(3);x(1)+2*x(2)-3*x(3)];
end
3) clear all

4) clear all

m
de
r

sn
o

tla

clc
Vb=; Va=*exp(j*pi/3); Vc=*exp(-j*pi/3);
Zhat=1+2*j; Za=*j; Zb=1+3*j; Zc=2+2*j; Znotr=2;
syms x y z unreal % x=Ia, y=Ib, z=Ic alnmtr
A=Va-x*(Zhat+Za)-(x+y+z)*Znotr;
B=Vb-y*(Zhat+Zb)-(x+y+z)*Znotr;
C=Vc-z*(Zhat+Zc)-(x+y+z)*Znotr;
S=solve(A,B,C)
Ia=double(S.x) % a faz akm (fazr)
Ib=double(S.y) % a faz akm (fazr)
Ic=double(S.z) % a faz akm (fazr)
Inotr=Ia+Ib+Ic % ntr akm
A1=abs(Ia)
% A1 ampermetresi
A2=abs(Ic)
% A2 ampermetresi
A3=abs(Inotr) % A3 ampermetresi
hold on
compass(Ib),compass(Inotr)
text(real(Ib)+,imag(Ib),'A2')
text(real(Inotr)+,imag(Inotr),'A3'),grid

.e
e

clc
x=[ ];
y=[1 2 3 4 5];
z=[ ;
;
;
;

];
x1=; y1=;
z1 = + *x1 *y1 *x1^2 + *x1*y1 + *y1^2;
A=interp2(x,y,z,,);
disp(hata deeri)
hata=*abs(z1-A)/A
if hata>1
disp('renci hata yapmtr')
else
disp('programda hata yoktur')
end

5)
f(z)in aykr noktalar;

denkleminin kkleridir. Bu kkler

dir.

U. Arifolu - G. etinel

( )

lim

lim

lim

Basit kutup olduundan limit ayn zamanda rezid deeridir.

olur. Bylece

( )

lim (

lim

iin ;

( )

elde edilir. O halde,

( )

ri.
co

lim (

(
(

( )

.e
e

m
de
r

sn
o

tla

bulunur.

seafoodplus.infou

(10/08/)

SA. MH. FAK. ELK. ELN. MH. BL.

d2y
dt

11

dy
6 y z( t )
dt

Soru 1)

x
y 1 0 1 3e 3t
x 2

(20 puan)

tla

x ' 0 1 x 1 0 3 t
Soru 2) 1'
e ;
x 2 6 5 x 2 2

ri.
co

x 1 y; x 2 y ' ; x 3 y '' ve tm ilk koullar 1 alarak, t= iin, z(t)=6*u(t-3)

sn
o

y(t) erisini [0 6] saniye aralnda ode45 komutu ile izdiriniz. x1 (0) 1 ; x 2 (0) 2
Soru 3) F9=55; F12=10;
F10=F9+((2*(F9+))/(/(F11^2*F12)-1));
F11=((/F12)*ln((+F10)/(+F9)))^;

m
de
r

olduuna gre, 1 ile arasnda deien F10 deerini for dngs
kullanarak bulunuz. (not: ln; e tabannda logaritmadr). F10 deerinin aranmasn %
hassasiyetle yaptrnz. Dng durdurma toleransn alnz. (20 puan)

Soru 4) f (t ) 3 sin(t ) 4e 20 t 18e 3t

.e
e

yukarda verilen f(t) fonksiyonun trevinin, f(t)nin kmlatif entegraline orannn en

Soru 5)

d
dt

x 2 3 x 1 5t
y 3 2 y 2 e

; x(0)=1, y(0)= -1

(25 puan)

x(t) deerinin tam zmn s domeni yardm ile bulan matlab programn yaznz

Snav sresi 90 dakikadr.

seafoodplus.infou

(10/08/)

CEVAPLAR
d2y
dt 2

11

dy
6 y z( t )
dt

dt 3

x 3' 6x 3 11x 2 6x1 z(t )

1
0 x 1 0
x1 0
d
x2 0
0
1 x 2 0 z( t )

dt
x 3 6 11 6 x 3 1

sn
o

1
0
0
0

A= 0
0
1 ; B= 0 ; C= 1 1 0

1
6 11 6

ri.
co

d3y

tla

1)

.e
e

m
de
r

a=[0 1 0; 0 0 1; -6 -6];

x 1' 0 1 x 1 0 3t

e ;
'
x 2 6 5 x 2 2

2)

x 1' x 2

x
y 1 0 1 3e 3t
x 2

x'2 6x1 5x 2 2e 3t

>>
>>
>>
>>

x0=[1 2];
[t x]=ode45(cevap,0,6, x0)
plot(t,x(:,1)+3*exp(-3*t))
% y(t) deiimini izdiriliyor
xlabel(t),ylabel(y),grid on

Alt program dosyas aada verilmitir;

x1 (0) 1 ; x 2 (0) 2

seafoodplus.infou

4)

clear all, clc

.e
e

m
de
r

5)

sn
o

tla

clc
t=;
m=-4*exp(*t)+18*exp(-3*t)+3*sin(t);
tt=diff(m)./diff(t);
ss1=ss(1:end-1);
ss2=tt./ss1;
[a b]=max(ss2)
sonuc=t(b)

ri.
co

F9=55; F12=10;
for x=
F11=((/F12)*log10((+x)/(+F9)))^;
F10=F9+((2*(F9+))/(/(F11^2*F12)-1));
if abs(Fx)<
F10=x
break
end
end

3)

(10/08/)

seafoodplus.infou

(25/07/)

Soru 1) 4

d 3x
3

SA. MH. FAK. ELK. ELN. MH. BL.

ri.
co

dt
diferansiyel denkleminde; x1 x; x 2 x ' ; x 3 x ' ' alnacak ve tm ilk koullar 1 alnacaktr.

t= iin, r(t)=3*u(t-2)+ 5 * e 4t olarak verilmektedir. Sistemin y(t) k deeri;

e 3t
x
y 1 0 1 3 2

6u(t )
x2

tla

x ' 3 1 x1 1 2 e 3t
Soru 2) 1'
;

x2 2 7 x2 0 3 6u(t )

(20 puan)

sn
o

y(t) erisini [0 3] saniye aralnda ode45 komutu ile izdiriniz. x1 (0) 1 ; x2 (0) 0

Soru 3) t=;
P=[5 4,8 4,6 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 4] ;

em
de
r

Yukarda t zaman aralklarnda llen basn (P) deerleri verilmitir. nce 2. dereceden bir
eri uydurun ve daha sonra bu erinin t= saniye iin ald P deeri (deger1) bulun.
Daha sonra dorusal olmayan ara deer hesab yardm ile ile t = sn iin
basn deerini (deger2) bulun. Son olarak bu iki deer arasndaki farkn mutlak deeri
deerinden kk kalyor ise aranlan deer bu iki deerin ortalamas olarak ekrana
yazdrlsn, aksi halde ekrana "aranlan deere ulalamamtr" ifadesi yazlsn. ( 20 puan)

df (t )
3sin(t ) 4e 20t 18e 3t
(t=)
dt
yukarda verilen f(t) trev fonksiyon ifadesini kullanarak f(t) deiimini ve f(t)'nin ikinci
trevini bulan ve bunlar subplot komutu ile alt alta izdiren matlab programn yaznz.
Not: Saysal matlab ortamnda zm yaplacak, sembolik komutlar kullanlmayacaktr.
( 20 puan)

w
.e

Soru 4)

x * sin( x )

x2 1

Soru 5) I

dx entegralini bulunuz.

( 15 puan)

Snav sresi 90 dakikadr.

seafoodplus.infou

(25/07/)

CEVAPLAR
1)

d3y
3

dy
r (t )
dt

dt
4 x3' 2 x2 r(t )

ri.
co

x3' x2 (1/ 4) * r(t )

x 2 x1'

tla

x 3 x 2'
x1 0 1 0 x1 0
x1
d

x2 0 0 1 x2 0 r (t ) y 2 1 0 x2 4 r (t )

dt
x3 0 0 x3
x3

sn
o

0 1 0
0

A= 0 0 1 ; B= 0 ; C= 2 1 0

0 0

em
de
r

a=[0 1 0; 0 0 1; 0 0];

3 1 x1 1 2 e 3t

7 x2 0 3 6u(t )

w
.e

x'

2) 1
2
x'

e 3t
x
y 1 0 1 3 2

6u(t )
x2

x1' 3x1 x2 e 3t 12

x2' 2 x1 7 x2 18

>>
>>
>>
>>

x0=[-1 0];
[t x]=ode45(cevap,[0 3], x0)
plot(t,x(:,1)+3*exp(-3*t))
% y(t) deiimini izdiriyor
xlabel(t),ylabel(y),grid on

Alt program dosyas aada verilmitir;

seafoodplus.infou

(25/07/)

4];

ri.
co

3) clc
t=;
P=[5

a=polyfit(t,P,2);
deger1=polyval(a,);
deger2=spline(t,P,);
if abs(deger1-deger2)<
disp('aranlan deer'),disp((deger1+deger2)*)
else
disp('aranlan deere ulalamamtr')
end

clc
t=;
m=-4*exp(*t)+18*exp(-3*t)+3*sin(t);
tt=cumtrapz(m); % f(t) bulunuyor
fturev_2=diff(m)./diff(t); % f(t)'nin ikinci trevi bulunuyor
t1=t(1:end-1);
subplot(2,1,1), plot(t,tt), xlabel('t'), ylabel('f(t)')
subplot(2,1,2), plot(t1,fturev_2), xlabel('t'), ylabel('df2(t)/dt2')

5)

x2 1
x

dx

x2 1

em
de
r

f ( z)

x * sin( x )

sn
o

tla

4)

imz
sin(mx) f ( x )dx m2i Re s( e f ( z ), z j ) ; n: st yar dzlemdeki kutup says

j 1

Basit kutuplarn rezid hesabnda kullanlan;

Res(f, z o )= lim (z z o )f (z)

zellii burada kullanlacak olursa;

w
.e

Res(f, i)= lim ( x i )

1
1

( x i )( x i ) 2i

i *1*i
f ( z ), i ) e 1
sin( x ) f ( x )dx m2i Re s(e

j 1