Lityum Elektron Dizilimi

Atomun yapısına ve doğasına yönelik bilgilerimiz, daha önceden detaylıca anlattığımız gibi, son birkaç asırda köklü bir şekilde değişti. Bunlardan Bohr Atom Modeli, her ne kadar en günceli olmasa da, günümüzde en aşina olunan ve okullarda öğretilmeye devam edilen modellerden birisi; biz de Evrim Ağacı olarak daha önceden Bohr atom modelinin fiziği ile ilgili çok kapsamlı bir analiz yazısı yayınlamıştık.

Ancak lisede kimya dersi görmüş olanların yakından bileceği bir tekerleme vardır: "si si pisi pisi de pisi de pisi" şeklinde devam eder. Tabii "es es pi es pi es dö pi es" gibi tekerlemeler de görmek mümkündür. Veya "Seda Sayan, paraları saydı, paraları saydı, durmadan paraları saydı, durmadan paraları saydı, Fatma da paraları saydı, Fatma da paraları saydı" gibi versiyonları da vardır. Tabii parayı sayanların ismi değişebilir: "Sakıp Sabancı para sayar, para sayar, daima para sayar, fani dünyada para sayar." gibi Tüm bunlar, atomların etrafında dönen elektronların işgal edebilecekleri orbitalleri, yani yörüngeleri ve her bir orbitalin yer aldığı alt kabukların ve kabukların taşıyabileceği maksimum elektron sayılarını ve bunların sıralarını ezberlemekte kullanılan tekerlemelerdir. Gelin bu yazıda, dümdüz ezberlemeye çalışmaktan ziyade, anlamaya çalışalım.

Atom Çekirdeği ve Elektronlar

Atom çekirdeği, doğadaki 4 temel kuvvetten en güçlüsü olan güçlü nükleer kuvvet ile bir arada tutulan proton ve nötronlardan oluşan bir yapıdır. Bu yapının doğasına dair birçok teori geliştirilmiştir; ancak bu yazıda atom çekirdeğine değil, onun etrafında dolanan elektronlara odaklanacağız. Yine de, merak edenler için, atom çekirdeğinin yapısını ve dinamiğini belirleyen şeyin ne olduğuna bağlı olarak geliştirilmiş farklı teorilerden bir tanesinin detayları, aşağıdaki görselde özetleniyor.

Wikimedia

Elektron Nedir?

Elektronlar, atom çekirdeği etrafında dönen negatif yüklü atom altı parçacıklardır.^[1]Lepton adını verdiğimiz parçacık ailesine ait olan elektronların daha alt hiçbir birimi bulunmadığı düşünülmektedir.^[2] Bir elektronun kütlesi, bir protonun kütlesinden yaklaşık kat küçüktür.^[3]

Elektronlar, bir fermiyon oldukları için, iki ayrı elektron birebir aynı kuantum durumunu işgal edememektedir (buna Pauli'nin Dışlama İlkesi diyoruz).^[4] Biraz açacak olursak: Bir elektronun kuantum durumunu 4 kuantum numarası ile belirleyebiliriz: temel kuantum numarası olarak bilinen nnn sayısı, azimutal kuantum numarası olarak bilinen lll sayısı, manyetik kuantum numarası olarak bilinen mlm_lml​ sayısı ve spin kuantum numarası olarak bilinen msm_sms​ sayısı.^[5]

Bunların ne anlama geldiğini yazının ilerleyen kısımlarında çok iyi bir şekilde öğreneceksiniz; ancak o kısma gelene kadar aklınızda bulundurmanızı tavsiye ettiğimiz, bir atomun etrafındaki 2 farklı elektron için bu 4 sayının hepsinin eşit olamayacağıdır. İki elektronun 3 kuantum numarası eşitse (örneğin nnn, lll ve mlm_lml​ sayıları eşitse), 4. kuantum numarası (yani msm_sms​ sayısı) farklı olmak zorundadır. Bu bilgi, elektronların atom etrafında bulundukları yeri tespit etmemizde büyük bir rol oynamaktadır. Bunu, bir evin adresi gibi düşünebilirsiniz: 2 ayrı evin adresi birebir aynı olamaz; mutlaka belirli adres belirleyicileri (il, ilçe, site adı, blok adı, kat numarası, kapı numarası, vs.) farklı olacaktır; o fark ufacık olsa bile Aynı şey, elektronlar için de geçerlidir; buna döneceğiz.

Elektronlar da, diğer tüm temel parçacıklar gibi hem dalga hem de parçacık gibi davranırlar. Yani hem bir "bilardo topu" gibi birbirlerine çarpabilirler, hem de su yüzeyinde yayılan dalgalar gibi birbirleriyle girişim yapabilirler (mesela tepe noktalarının denk geldiği yerlerde daha güçlü dalgalar oluşturabilirler). Elektronların kütlesi, atomu oluşturan diğer parçacıklara göre (örneğin proton ve nötronlara göre) daha küçük olduğu için, elektronlara eşlik eden de Broglie dalgaboyu herhangi bir enerji seviyesi için daha büyük olmaktadır; bu nedenle bir elektronun dalga özelliklerini deneysel olarak gözlemek, proton veya nötrona göre daha kolaydır.

Elektronların dalga-benzeri özellikleri arasında şunlar vardır:

1. Elektronlar, atom çekirdeğinin etrafında dolanan bir uydu gibi yörüngelere sahip değillerdir. Daha ziyade duran dalga şeklindedirler. Duran dalgalar, zamana göre salınım yapmasına rağmen belli bir bölgede sabit duran dalgalardır. Dolayısıyla bir elektronun alabileceği en düşük enerji seviyesi, o dalganın bir tel üzerindeki temel frekansına benzerdir. Daha yüksek enerji seviyeleri, o temel frekansın harmonilerine benzer.
2. Elektronlar hiçbir zaman tekil bir noktada yer almazlar. Buna rağmen, bir elektronun tek bir nokta ile etkileşime geçme ihtimali, o elektronun dalga fonksiyonu ile belirlenebilir. Elektronun yükü, sanki uzaya sürülerek yayılmış gibi bir süreğen dağılım gösterir. Dolayısıyla herhangi bir noktadaki değeri, o elektronun dalga fonksiyonun o noktadaki değerinin karesine eşittir.

Elektronların parçacık-benzeri özellikleri arasında şunlar vardır:

1. Atom etrafında dönen elektronların sayısı bir tam sayı olmak zorundadır.
2. Elektronlar, tıpkı parçacıklar gibi orbitaller arasında sıçrama yapabilirler. Örneğin bir foton, bir elektrona çarpacak olursa, o fotona sadece 1 adet elektron sıçrama yaparak cevap verir.
3. Dalga-benzeri özellikler sergileyen elektronlar, parçacık-benzeri özelliklerini korurlar. Örneğin her bir dalga durumunun elektrik yükü, o elektronun parçacık yüküyle eşittir. Her bir dalga durumunun bariz bir spini vardır (yukarı veya aşağı yönlü).

Elektronlar, Atomun Etrafında Nerelerde Bulunurlar?

Günümüzde terk edilmiş atom modellerinde elektronlar, atomun çevresinde belirli yörüngelerde dönen parçacıklar olarak hayal edilmişlerdir. Tıpkı Ay'ın Dünya'nın etrafında dönmesi gibi, elektronların da atomun etrafında çok net bir şekilde hesaplanabilir yörüngelerde bulunduğu düşünülmüştür. Ancak Heisenberg'in Belirsizlik İlkesi'nin keşfedilmesiyle, elektronların hızının ve konumunun aynı anda tespit edilmesinin mümkün olmadığı anlaşılmıştır.

Bu nedenle yeni atom modellerinde, sabit yörünge fikri terk edilmiş, bunun yerine bir elektronun atom çevresinde bulunmasını beklediğimiz yerlere ait bir olasılık dağılımı kullanılmaya başlanmıştır. Elbette, birçok atom için bir elektronun bulunabileceği yerlere ait olasılık dağılımının büyük bir kısmı (yaklaşık %90'ı), tek bir yörüngeye işaret etmektedir. Dolayısıyla eski modeller, elektronların konumunu hesaplarken çok da büyük bir hata yapmıştır denemez. Nihayetinde o modellerde hesaplanan elektron lokasyonları, modern modellerde elektronların en sık bulunmasını beklediğimiz yerlere denk gelmektedir. Bir nevi, beklentilerimizin ortalamasıdır.

Ancak bir elektron, hassas ve tekil bir yörüngede bulunmak zorunda değildir; dolayısıyla eski modellerle bir elektronu bulmayı beklediğiniz yere baktığınızda, en azından belli bir olasılık dahilinde, elektronu orada bulamayabilirsiniz. Bu olasılıkçı yaklaşım, Ay ve Dünya gibi yörünge davranışı sergileyen büyük nesnelerden beklemediğimiz bir durumdur; Ay'ın yörüngesini mutlak bir isabetle tahmin edebiliriz ve her baktığımızda orada olmasını bekleriz. Olmaması halinde, bir şeyler bir yerde çok ters gitmiş demektir!

Bunu, Dünya etrafındaki Ay'dan ziyade, Dünya etrafındaki atmosfere benzetebilirsiniz. Atmosfer, Ay gibi tekil bir yere sahip değildir; gezegenin etrafına yayılmış haldedir. Çekirdekten uzaklaştıkça, elektron bulma ihtimaliniz azalır; aynı şekilde, gezegenden uzaklaştıkça atmosfer bulma ihtimaliniz de azalacaktır. Bu nedenle elektronların atom etrafındaki şekline kimi zaman elektron bulutu adı verilir.^[6]

Elektronların, bir atom çevresindeki konumunu ve dalga-benzeri davranışını tanımlayan matematiksel fonksiyonun çizdiği grafiklere atomik orbital (atom yörüngesi) adı verilir. Bu fonksiyonu kullanarak, herhangi bir elektronun bir atomun etrafındaki belirli bir bölgede bulunma ihtimalini hesaplamanız mümkündür. Bunu hidrojen atomu için yapacak ve grafikleştirecek olursak, karşımıza şu şekilde bir tablo çıkar:

Wikimedia

Elektronların Atom Etrafındaki Konumları

Ancak her atomu bu şekilde ifade etmek zordur; bu nedenle bazı basitleştirmeler yaparak, daha kolay bir anlatıma erişmeyi hedefleriz. Gelin, bunu yapalım:

Kabuk Nedir?

Atomun etrafında elektronların bulunduğu bölgelere kabuk (İng: "shell") adını veriyoruz. Bunları atom çekirdeğine en yakından en uzağa doğru 1. kabuk, 2. kabuk, 3. kabuk diye isimlendirmek mümkündür; ancak daha resmi isimleri sırasıyla K, L, M, N, O şeklinde harflerle isimlendirmektir. En içteki kabuğa K diyoruz; bir sonrakine L, sonrakine M ve bu böyle devam ediyor.

Quora

Görebileceğiniz gibi, bu gösterimde de kabuklar sanki Ay'ın Dünya etrafındaki yörüngesi gibi bir çizgiyle gösterilmiş. Bu, sadece bir basitleştirmedir. Aslında her bir çizgi, o çizgi etrafındaki olasılık dağılımının merkezi (veya en yüksek ihtimali barındıran bölgeyi) temsil etmektedir. Ki bu anlatım bile, fazlasıyla bir basitleştirmedir; çünkü yörüngeler, atom etrafında bu şekilde düzgün dağılmış değildir. Bir üstteki görselden hatırlayabileceğiniz gibi, her bir yörüngenin oldukça ilginç simetrilere ve geometrilere sahip şekilleri vardır. Ama bu basitleştirme, iletişim ve anlatım kolaylığı sağlamaktadır.

Alt Kabuk Nedir?

Bu basitleştirilmiş anlatımdaki kabukların her birinin altında daha alt birimler yer alır. Bunlara alt kabuk (İng: subshell) adı verilmektedir. Alt kabuklar, keşfedildiklerinde verilen tarihi isimlere göre şöyle anılırlar:

• sss alt kabuğu, en fazla 2 adet elektron barındırabilen bir alt kabuktur. İsmi, "keskin" (İng: "sharp") sözcüğünden gelmektedir.
• pppalt kabuğu, en fazla 6 adet elektron barındırabilen bir alt kabuktur. İsmi, "ilke, prensip, temel" (İng: "principle") sözcüğünden gelmektedir.
• dddalt kabuğu, en fazla 10 adet elektron barındırabilen bir alt kabuktur. İsmi, "nüfuz etmiş" (İng: "diffuse") sözcüğünden gelmektedir.
• fffalt kabuğu, en fazla 14 adet elektron barındırabilen bir alt kabuktur. İsmi, "temel (İng: "fundamental") sözcüğünden gelmektedir.
• gggalt kabuğu, en fazla 18 adet elektron barındırabilen bir alt kabuktur. İsmi, herhangi bir sözcükten gelmemektedir; sadece alfabeyi takip etmektedir.
• Bundan daha fazlası da mümkündür; ancak bu kadarı yeterli olacaktır. Hatta ilk alt kabuktan daha fazlası, çok büyük atom numaralarına sahip elementler haricinde, genellikle karşımıza çıkmaz. Bu nedenle f alt kabuğuna kadar bilmeniz yeterli olacaktır. Ancak devam ettirmek isterseniz, i ve j harflerini atlayarak alfabeyi takip edebilirsiniz. i ve j harfleri, bazı dillerde ayırt edilmediği için atlanmaktadır.

Bu alt kabukların taşıyabildikleri maksimum elektron sayısı, bu alt kabuklara denk gelen enerji seviyeleri ile belirlenir. Daha dış kabukların enerjisi daha yüksektir ve bu sayede daha fazla elektron barındırabilirler. Kabuklar ve alt kabukları bir arada gösteren, basitleştirilmiş bir çizimi aşağıdan inceleyebilirsiniz.

Quora

Görebileceğiniz gibi her kabuğun farklı sayıda alt kabukları bulunmaktadır. Yani her alt kabuk, her kabukta bulunmayabilir. Bunun sebebi, bazı alt kabukların enerji seviyesinin, bazı kabukların enerji seviyesinden daha yüksek olmasıdır. Yani bir kabuk altında bir alt kabuk bulunabilmesi için, o alt kabuğun enerjisinin, kabuğun kendi enerjisinden düşük olması gerekmektedir. Buna göre, her bir kabukta bulunan alt kabukları şöyle sıralayabiliriz:

Peki Ama Neden? – İnsan Vücudu

Neden kanımız kırmızı?
Neden hapşırırken gözlerimizi kaparız?
Neden ayaklarımız kokar?

SEN YETER Kİ MERAK ET!

PEKİ AMA NEDEN? serisi dev bir bilgi kasesi. İster avuç avuç hüplet, ister eğlenceli bir oyuna çevirmek için arkadaşlarına da ikram et.
Ne dersin, vücudun hakkında inanılmaz şeyler duymaya hazır mısın?

Devamını Göster

₺

Satın AlTüm Ürünler

• 1. kabukta (K kabuğunda) sadece 1 adet s alt kabuğu bulunur.
• 2. kabukta (L kabuğunda) birer adet s ve p alt kabukları bulunur.
• 3. kabukta (M kabuğunda) birer adet s, p ve d alt kabukları bulunur.
• 4. kabukta (N kabuğunda) birer adet s, p, d ve f alt kabukları bulunur.
• 5. kabukta (O kabuğunda) birer adet s, p, d, f ve g alt kabukları bulunur.

Orbital Nedir?

Son olarak, orbital kavramından da söz ederek, genel çerçeveyi tamamlayabiliriz. Orbitaller, elektronların bulundukları yerlere karşılık gelen en spesifik bölgedirler. Her bir alt kabukta çeşitli sayılarda orbital bulunur. Aslında bir alt kabuğun orbital sayısı ile maksimum elektron taşıma kapasitesi birebir ilişkilidir: Maksimum elektron taşıma kapasitesi, orbital sayısının her zaman 2 katıdır; çünkü bir orbital, en fazla 2 elektron barındırabilen bir ünitedir. Bunun nedenine az sonra geleceğiz. Ancak bu bilgiler ışığında, şöyle bir liste çıkarabiliriz:

• s alt kabuğunda 1 adet orbital vardır ve bu nedenle en fazla 2 elektron taşıyabilir.
• p alt kabuğunda 3 adet orbital vardır ve bu nedenle en fazla 6 elektron taşıyabilir.
• d alt kabuğunda 5 adet orbital vardır ve bu nedenle en fazla 10 elektron taşıyabilir.
• f alt kabuğunda 7 adet orbital vardır ve bu nedenle en fazla 14 elektron taşıyabilir.
• g alt kabuğunda 9 adet orbital vardır ve bu nedenle en fazla 18 elektron taşıyabilir.

Şimdi bunun nedenine bir bakış atalım:

Pauli'nin Dışlama İlkesi: Kuantum Numaraları ve Ev Adresleri

Neden Bir Orbitalde Sadece 2 Elektron Bulunabilir?

Bir orbitalde en fazla 2 elektron bulunabilmesinin nedeni, yazımızın başında sözünü ettiğimiz Pauli'nin dışlama ilkesidir. Hatırlayacak olursanız, bir elektronun bulunduğu orbitalleri 4 farklı kuantum numarası ile tanımladığımızı söylemiştik (bunlar sırasıyla nnn, lll, mlm_lml​ ve msm_sms​ ile ifade edilir).

Bunu, bir evin adresini oluşturan 4 numara gibi düşünebilirsiniz. Hiçbir zaman iki ayrı evin adresi birebir aynı olmayacaktır. İlla ki kapı numarası, şehir, mahalle, vb. bir bilgide farklılık olması gerekir. İşte elektronlar için de durum budur.

Diyelim bir elektronun adresi:

• n=1n=1n=1
• l=0l=0l=0
• ml=−1m_l=-1ml​=−1
• ms=+1/2m_s=+1/2ms​=+1/2

olsun. Bunlardan ilki, kabuk sayısına karşılık geliyor. Yani bu elektron, 1. kabukta yer alıyor. İkincisi, alt kabuğa karşılık geliyor: Konvansiyonel (geleneksel) olarak s için 0, p için 1, d için 2, f için 3 kullanıyoruz; yani lll sayısı her zaman 0 ile (n−1)(n-1)(n−1) arasında değişen bir değer alıyor. Bu sayılar arttıkça, harf karşılıkları da sırayla artıyor; yukarıda anlatmıştık.

Dolayısıyla yukarıdaki adreste, 1. kabuğun s alt kabuğundan söz ediyoruz.

mlm_lml​, yani manyetik kuantum numarası, her bir alt kabuktaki orbitallere karşılık geliyor. Bir alt kabuktaki orbitallerin, her zaman alt kabuk numarasının 2 katı olduğunu yukarıda söylemiştik. Neden? Çünkü bir elektronun atom etrafında oluşturduğu bulut, yani spesifik orbital, belirli bir eksen üzerinde o elektronun açısal momentumuna karşılık geliyor. Bu momentumu L=ml∗ℏL=m_l*\hbarL=ml​∗ℏ ile hesaplıyoruz. Burada ℏ\hbarℏ, Planck sabitidir. Bu momentum hesabından ötürü, her bir orbital, −l-l−l ile +l+l+l sayısı arasında değişen tam sayı değerleri alabiliyor.^[7] Bu da, lll sayısının 2 katı bir aralığa karşılık geliyor. Bu nedenle her bir alt kabuğun 2 katı kadar orbital vardır diyoruz.

Son olarak, spin kuantum sayısı, yani msm_sms​, elektronun içsel açısal momentumuna karşılık geliyor. Bu da, bir elektronun belli bir eksen etrafındaki spin açısal momentumunu hesaplamakta kullanılıyor (S=ms∗ℏS=m_s*\hbarS=ms​∗ℏ). Tıpkı mlm_lml​ gibi, msm_sms​ de −s-s−s ile +s+s+s arasında değerler alabiliyor; ancak burada bir detay var: Eğer bir elektronun spini s=1/2s=1/2s=1/2 ise, o elektronun msm_sms​ değeri ±1/2\pm1/2±1/2 olmaktadır ve bunlardan +1/2+1/2+1/2 yukarı spin, −1//2−1/2 aşağı spin değerine karşılık gelmektedir.^[8] Bunlardan başka herhangi bir seçenek yoktur. İşte bu nedenle, her bir orbital içerisinde mutlaka en fazla 2 elektron bulunabilir. Yoksa aynı adreste 2 ev olurdu!

İşte bu nedenle, aynı alt kabukta bulunan diğer elektronun adresini net bir şekilde bulabiliriz:

• n=1n=1n=1
• l=0l=0l=0
• ml=−1m_l=-1ml​=−1
• ms=−1/2m_s=-1/2ms​=−1/2

Yukarıdaki elektronun aksine, bu elektronun msm_sms​ değerinin eksi olduğuna dikkat edin! Çünkü başka bir değer alamaz; diğer değer (+1/2+1/2+1/2) az önceki elektronumuzca işgal edilmiştir. Pauli'nin dışlama ilkesi tam olarak bunu söyler!

Artık bu "ev adresi" analojisini kullanarak, bir atom etrafındaki bütün elektronun bütün konumlarını tanımlayabilirsiniz. Bir örnek:

• n=2n=2n=2
• l=0l=0l=0
• ml=0m_l=0ml​=0
• ms=+1/2m_s=+1/2ms​=+1/2

Sizce bu elektron, aşağıdaki elektronla bir arada bulunabilir mi?

• n=1n=1n=1
• l=0l=0l=0
• ml=0m_l=0ml​=0
• ms=+1/2m_s=+1/2ms​=+1/2

Evet! Çünkü bu elektron farklı kabuklarda yer alır: biri 1. kabukta, diğeri 2. kabukta (nnn sayılarına dikkat edin!). Diğer tüm değerleri aynı olsa da, bu farklılık, iki elektronun apayrı iki elektron adresi olmasını sağlamaktadır. Bu, Pauli'nin dışlama ilkesi ile uyumludur. Bu 4 sayıdan en az 1 tanesi farklı olduğu sürece, farklı elektronlardan söz ediyorsunuz demektir.

Kısaca özetleyecek olursak: Sözünü ettiğimiz 4 kuantum numarasından, diğer üçünün aynı olduğu bir durumda sadece ve sadece spin kuantum numarası farklılık göstermektedir (ve göstermek zorundadır!). Bu sayı da, en fazla iki değer alabilir: +1/2 ve -1/2. Bu iki olasılıktan ötürü, bir orbitalde en fazla 2 elektron yer alabilir.^[9] Elbette bir orbitalde hiç elektron bulunmayabilir veya sadece 1 adet elektron da bulunabilir; ancak 2'den fazla elektron bulunamaz.

Yani şimdi, az önce öğrendiğimiz ve her bir alt kabuğun maksimum elektron sayısını gösteren listemizin nedenini de öğrenmiş oluyoruz: Pauli'nin dışlama ilkesi, her bir alt kabuğun maksimum elektron sayısını dikte etmektedir. Bu orbitalleri, şu şekilde gösterebiliriz:

Quora

Her Kabuktaki Elektron Sayısını Gösteren Basit Bir Formül

Bu durum, bizi liseden hatırlıyor olabileceğiniz "sihirli" bir formüle de ulaştırıyor. Eğer bir kabuğun taşıyabileceği elektron sayısını hesaplamak isterseniz, aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

2n2\LARGE{2n^2}2n2

Neden? Çünkü her biri nnn ile ifade edilen kabukların her birinde, o kabuktakinin karesi kadar alt kabuk var (n2n^2n2). Ve her bir alt kabuk, en fazla 2 adet elektron taşıyabilen orbitallere karşılık geliyor, dolayısıyla: 2n22n^22n2. Örneğin 3. kabuktaki (n=3n=3n=3) maksimum elektron sayısını merak ediyorsanız, 2(32)2(3^2)2(32) hesabından 18 adet elektron taşıyabileceğini bulabilirsiniz. Ama görebileceğiniz gibi, bir formülü ezberleyip geçmektense, o formülün tam olarak nereden geldiğini anlamak çok daha öğretici bir deneyim. Her şeyi tek bir tabloda özetleyecek olursak:

Bunların görsel bir karşılığını burada görebilirsiniz:

Encyclopedia Britannica

Yukarıdaki grafikte, bir neon atomunun 2 farklı kabuğunu görüyorsunuz. Bu kabukların şekilleri, doğrudan doğruya dalga fonksiyonunun çözümlerinden kaynaklanıyor ve elektronların bulunabilecekleri yerlere karşılık geliyor. Bu diyagramlar, bir elektronun bulunabileceği her yeri göstermiyorlar; çünkü en nihayetinde kuantum mekaniğine göre bir elektron teknik olarak uzayın herhangi bir yerinde sıfırdan büyük bir olasılıkla bulunabilir. Ancak bu diyagramlar, daha önce de söz ettiğimiz gibi, kabuğun %90 gibi büyük bir kısmını kapsayan bölgeyi göstermeyi hedefliyor. Bunu yapacak olursak, farklı kabukların ve alt kabukların şekillerini şu şekilde görebiliriz:

Wikipedia

Peki, şimdi sorduğunuzu duyar gibiyiz: İyi de bunlar gerçek hayatta ne işimize yarayacak? İzah edelim.

Peki, Tüm Bu Öğrendiklerimiz Ne İşe Yarar?

Schrödinger Denklemi ve Orbitallerin Matematiksel İfadesi

Kuantum mekaniğinde parçacıklar noktasal olarak ifade edilir ve bu noktasal parçacıkların uzayda bulunabilecekleri konumların ihtimal genliği dağılımı da dalga fonksiyonu ile bulunur. Dalga fonksiyonu da Schrödinger denkleminin çözülmesi ile elde edilir.

Elektron, boyutu nedeniyle belirli bir konumda bulunamayacaktır. Öyleyse bulunabileceği konumları bulmak için atom çekirdeğini merkez alan küresel bir yapıda Schrödinger denkleminin yazılması ve çözülmesi gerekir.

\psiψ dalga fonksiyonu, H Hamiltonyen işlemcisi olmak üzere zamana bağlı Schrödinger denklemi en basit haliyle aşağıdaki gibi yazılır:

iℏ∂ψ∂t=Hψi\hbar {\dfrac {\partial \psi}{\partial t} } = H\psiiℏ∂t∂ψ​=Hψ

Hamiltonyen, toplam potansiyel ve kinetik enerji işlemcisidir.

Hψ=p22mψ+VψH\psi={\dfrac {p^2}{2m} } \psi+V\psiHψ=2mp2​ψ+Vψ

Küresel koordinatlarda bir konum belirtmek istiyorsak üç tane temel bileşene ihtiyacımız olacaktır. Bu üç bileşen ile küre üzerinde herhangi bir konum belirlenebilir.

Bu üç bileşenden ilki yarıçaptır. Konumun çekirdekten ne kadar uzakta olduğunu gösterecektir. Yarıçapı rrr ile göstereceğiz. İkincisi kutup açısıdır. rrr yarıçaplı kürede kutuptan kaç derece açı yapıldığını gösterecektir. Kutup açısını θ\thetaθ  ile göstereceğiz. Üçüncüsü azimut açısıdır. Eğer küreyi Dünya gibi düşünecek olursak kutup açısı paraleller arasında geçişi gösterirken azimut açısı meridyenler arasında geçişi gösterir. Azimut açısını Ψ\PsiΨ  ile göstereceğiz.

Wolfram MathWorld

Yarıçapın bulunması için önce x, y ve z eksenlerindeki konum değerleri bilinmelidir. Bu bileşenleri vektör olarak düşünürsek neden böyle olduğunu kolayca anlayabiliriz. Bu üç eksen için vektörleri toplarsak yarıçap vektörünü bulabiliriz.

x⃗+y⃗+z⃗=r⃗\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{r}x+y​+z=r

x2+y2+z2=r2x^2 +y^2 +z^2 =r^2x2+y2+z2=r2

Küresel koordinatlar için Laplasyen işlemcisi yukarıda bahsedilen üç bileşene göre aşağıdaki gibi yazılır:

∇2=1r∂∂r(r2∂∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1r2sin⁡2θ(∂2∂ϕ2)\nabla^2={\dfrac {1}{r} }{\dfrac {\partial }{\partial r} }\bigg( r^2{\dfrac {\partial }{\partial r} }\bigg)+{\dfrac {1}{r^2 \sin\theta} }{\dfrac {\partial }{\partial \theta} }\bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial }{\partial \theta} }\bigg)+{\dfrac {1}{r^2 \sin^2\theta} }\bigg( {\dfrac {\partial^2 }{\partial \phi^2} }\bigg)∇2=r1​∂r∂​(r2∂r∂​)+r2sinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂​)+r2sin2θ1​(∂ϕ2∂2​)

Kuantum mekaniğinde momentum işlemcisi nabla işlemcisi üzerinden ifade edilebilir:

p=−iℏ∇p=-i\hbar\nablap=−iℏ∇

Öyleyse Laplasyen ile arasındaki bağlantı da anlaşılabilir:

p2=−ℏ2∇2p^2=-\hbar^2\nabla^2p2=−ℏ2∇2

Bu durumda Schrödinger denklemi küresel koordinatlar için aşağıdaki gibi yazılabilir:

Hψ=−ℏ22m∇2ψ+VψH\psi={-\dfrac {\hbar^2}{2m} }\nabla^2 \psi+V\psiHψ=−2mℏ2​∇2ψ+Vψ

Küresel koordinat bileşenler de eklenebilir. Ayrıca zamandan bağımsız Schrödinger denklemi (Hψ=EψH\psi=E\psiHψ=Eψ) nedeniyle biliyoruz ki Hamiltonyen işlemcisinin öz değeri enerjidir.

Hψ(r,θ,ϕ)=−ℏ22m[1r∂∂r(r2∂ψ(r,θ,ϕ)∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂ψ(r,θ,ϕ)∂θ)+1r2sin⁡2θ(∂2ψ(r,θ,ϕ)∂ϕ2)]+Vψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)H\psi(r,\theta,\phi)={-\dfrac {\hbar^2}{2m} }\bigg[{\dfrac {1}{r} }{\dfrac {\partial }{\partial r} }\bigg( r^2{\dfrac {\partial\psi(r,\theta,\phi) }{\partial r} }\bigg)+{\dfrac {1}{r^2 \sin\theta} }{\dfrac {\partial }{\partial \theta} }\bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial\psi(r,\theta,\phi) }{\partial \theta} }\bigg)+{\dfrac {1}{r^2 \sin^2\theta} }\bigg( {\dfrac {\partial^2 \psi(r,\theta,\phi)}{\partial \phi^2} }\bigg)\bigg] +V\psi(r,\theta,\phi) = E\psi(r,\theta,\phi)Hψ(r,θ,ϕ)=−2mℏ2​[r1​∂r∂​(r2∂r∂ψ(r,θ,ϕ)​)+r2sinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂ψ(r,θ,ϕ)​)+r2sin2θ1​(∂ϕ2∂2ψ(r,θ,ϕ)​)]+Vψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)

Anlayacağınız üzere dalga fonksiyonu da küresel koordinatlara göre düzenlenmiştir. Literatürde değişkenlere ayırma yöntemi olarak geçen yöntemi kullanalım. Bu amaçla

ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)

şeklinde bir çözüm arayalım.

Bu ifade Schrödinger denkleminde yerine yazılırsa

−ℏ22m[Yr∂∂r(r2∂R∂r)+Rr2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Y∂θ)+Rr2sin⁡2θ∂2Y∂ϕ2]+VRY=ERY{-\dfrac {\hbar^2}{2m} }\bigg[{\dfrac {Y}{r} }{\dfrac {\partial }{\partial r} }\bigg( r^2{\dfrac {\partial R }{\partial r} }\bigg)+{\dfrac {R}{r^2 \sin\theta} }{\dfrac {\partial }{\partial \theta} }\bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial Y }{\partial \theta} }\bigg)+{\dfrac {R}{r^2 \sin^2\theta} } {\dfrac {\partial^2Y}{\partial \phi^2} }\bigg] +VRY = ERY−2mℏ2​[rY​∂r∂​(r2∂r∂R​)+r2sinθR​∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)+r2sin2θR​∂ϕ2∂2Y​]+VRY=ERY

elde edilir. Denklemin her iki tarafı RY 'ye bölünür ve−2mr2/ℏmr^2/\hbar^2−2mr2/ℏ2  ile çarpılırsa elde edilen denklemdeki terimlerin yarıçap ve kutup açısı-azimut açısının fonksiyonu olması yönüyle iki gruba ayıracak olursak, bu eşitliğin sağlanabilmesinin tek yolu her birinin bir sabite eşit olmasıdır. Bu "ayrışma sabiti"ni l(l+1) olarak seçelim (nedenini ileride anlayacaksınız. Bu aşamada l herhangi bir karmaşık sayı olabilir ama daha sonra l'nin tamsayı olması gerektiğini göreceğiz. Bu sonucun beklentisi olarak "ayrışma sabiti" ni özel bir formda 'l(l+1)' olarak ifade ettik). Buradan yola çıkılarak elde edilecek açısal denklem aşağıdaki gibi yazılır.

1Y{1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Y∂θ)+1sin⁡2θ∂2Y∂ϕ2}=−l(l+1){\dfrac{1}{Y}}\bigg\{ {\dfrac {1}{\sin\theta} }{\dfrac {\partial }{\partial \theta} }\bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial Y }{\partial \theta} }\bigg)+{\dfrac {1}{ \sin^2\theta} } {\dfrac {\partial^2Y}{\partial \phi^2} }\bigg\}=-l(l+1)Y1​{sinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)+sin2θ1​∂ϕ2∂2Y​}=−l(l+1)

Bu denklem (yukarıdaki karmaşık ifadeyi basitleştirecek olursak) dalga fonksiyonunun azimut açısı ve kutup açısına nasıl bağımlı olduğunu ifade etmesi bakımından önemlidir. Bu denklemi Y ve kutup açsının sinüsünün karesi ile çarparsak, klasik elektrodinamikteki Laplace denkleminin çözümünde ortaya çıkar.

sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Y∂θ)+∂2Y∂ϕ2=−l(l+1)Ysin⁡2θ\sin\theta {\dfrac {\partial }{\partial \theta} \bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial Y }{\partial \theta} }\bigg) }+ {\dfrac {\partial^2Y}{\partial \phi^2} }=-l(l+1) Y\sin^2\thetasinθ∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)+∂ϕ2∂2Y​=−l(l+1)Ysin2θ

Daha önce psi dalga fonksiyonuna yaptığımız gibi Y dalga fonksiyonuna da değişkenlere ayırma yöntemini uygulayalım:

Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ)Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta)\Phi(\phi)Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ)

Daha önce yarıçap ve açısal değerlerin ayrıldığı gibi azimut açısı ve kutup açısı da ayrılır. Bu sefer de l(l+1) 'e benzer şekilde bir m2m^2m2 ayrıştırma sabiti kullanalım (yine l'de olduğu gibi şimdilik herhangi bir karmaşık sayı olarak düşünülebilir ama bir tamsayı olması gerektiğini göreceğiz. Bu arada dikkatli davranmalı ve bu sabiti kütle ile karıştırmamalıyız. Neyse ki yazının devamında kütleyi kullanmayacağımız için her m'yi buradaki ayrıştırma sabiti olarak düşünebilirsiniz). Böylece

1Θ[sin⁡θddθ(sin⁡θdΘdθ)]+l(l+1)sin⁡2θ=m2;{\dfrac{1}{\Theta}}\bigg[\sin\theta {\dfrac{d}{d\theta}}\bigg(\sin\theta{\dfrac{d\Theta}{d\theta}}\bigg)\bigg]+l(l+1)\sin^2\theta=m^2;Θ1​[sinθdθd​(sinθdθdΘ​)]+l(l+1)sin2θ=m2;

elde edilir. Son denklemden, azimut açısı için dalga fonksiyonu kolayca elde edilir:

Φ(ϕ)=eimϕ\Phi(\phi)=e^{im\phi}Φ(ϕ)=eimϕ

Şimdi önemli bir diğer nokta aydınlatılabilir: m'nin alabileceği değerler. Düşünün, kürede yönünüzü değiştirmeden derece hareket edilmesi durumunda nereye varılır? Tabii ki başlangıç noktasına. Öyleyse

Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ)\Phi(\phi+2\pi)=\Phi(\phi)Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ)

eimϕe2iπm=eimϕe^{im\phi}e^{2i\pi m}=e^{im\phi}eimϕe2iπm=eimϕ

Bunun sağlanabilmesi için

eiπ=−1,(eiπ)2=1e^{i\pi}=-1 ,(e^{i\pi})^2=1eiπ=−1,(eiπ)2=1

olduğundan m'nin tamsayı olması gerekir. Şimdi kutup açısının denklemine odaklanabiliriz.

sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Θ∂θ)+[l(l+1)sin⁡2θ−m2]Θ=0\sin\theta {\dfrac {\partial }{\partial \theta} \bigg( \sin\theta{\dfrac {\partial \Theta }{\partial \theta} }\bigg)}+[l(l+1)\sin^2\theta-m^2]\Theta=0sinθ