Крупный Выигрыш В Казино От Скольки Тысяч Долларов Ответы
Что? Где? Когда?
Эта статья&#;— о&#;телеигре с участием одной команды. О&#;родственной игре для многих команд одновременно см.&#;Что? Где? Когда? (спортивная версия).
Запрос «ЧГК» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
«Что? Где? Когда?»&#;— советская и российскаяинтеллектуальнаятелевизионная игра[3], телевизионный интеллектуальный клуб «знатоков».
Используя метод мозгового штурма, команда из шести игроков («знатоков») ищет в течение одной минуты правильный ответ на специально подобранный вопрос телезрителя. За правильный ответ очко получает команда знатоков, за неправильный же очко получают их противники&#;— команда телезрителей. Побеждает команда, первой набравшая шесть очков.
Телеигра была создана режиссёром Владимиром Ворошиловым и редактором Наталией Стеценко в СССР. Первый выпуск передачи вышел в эфир 4 сентября &#;года[4]. Правила игры в первые годы существенно отличались от нынешних. «Что? Где? Когда?» очень быстро стала настолько популярной, что кроме оригинальной телевизионной игры, появилась её спортивная версия. Наибольшую популярность игра получила в русскоязычной среде. Выходит на «Первом канале» (ранее выходила на Первой программе ЦТ, 1-м канале Останкино и НТВ).
История[править «Наблюдаю, как люди падают вниз». Честный рассказ крупье о лудоманах, VIP-гостях и секретах казино
Премиум-залы и самый большой выигрыш
— Минимальная ставка в VIP-зале выше в 20 раз. Также там активнее подходят к пожеланиям игроков: открыть, закрыть стол, поменять. Естественно, у них есть привилегии, им подают машину, полностью обслуживание: еда, отель. Ведут себя ВИПы по-разному, кто-то карты разгадывает, внимательно продумывает ход, потому что играют на большие деньги, кто-то кричит и всю злость спускает на дилера, грубо говоря, материт.
Ты ставишь маленькую фишку на бонус, если тебе с первых карт приходит крупная комбинация, то тебе выплачивают в соответствии с коэффициентами. Если ты собираешь в покере самую высокую комбинацию «роял флэш», то тебе выплачивают %-й джекпот, и весной у нас общая сумма джекпота доходила почти до тысяч долларов. Игрок премиум-зала, который никогда не ставил на бонусы, поставил. Так получилось, что ему дали мелкие фишки, и он не знал, куда их деть, и ему выпадает «роял флэш». Это была самая большая выплата за год.
править код]
«Наблюдаю, как люди падают вниз». Честный рассказ крупье о лудоманах, VIP-гостях и секретах казино
Премиум-залы и самый большой выигрыш
— Минимальная ставка в VIP-зале выше в 20 раз. Также там активнее подходят к пожеланиям игроков: открыть, закрыть стол, поменять. Естественно, у них есть привилегии, им подают машину, полностью обслуживание: еда, отель. Ведут себя ВИПы по-разному, кто-то карты разгадывает, внимательно продумывает ход, потому что играют на большие деньги, кто-то кричит и всю злость спускает на дилера, грубо говоря, материт.
Ты ставишь маленькую фишку на бонус, если тебе с первых карт приходит крупная комбинация, то тебе выплачивают в соответствии с коэффициентами. Если ты собираешь в покере самую высокую комбинацию «роял флэш», то тебе выплачивают %-й джекпот, и весной у нас общая сумма джекпота доходила почти до тысяч долларов. Игрок премиум-зала, который никогда не ставил на бонусы, поставил. Так получилось, что ему дали мелкие фишки, и он не знал, куда их деть, и ему выпадает «роял флэш». Это была самая большая выплата за год.
Первоначальный вариант «Что? Где? Когда?» включал в себя всего по одной игре в год. Таким образом, после первой телеигры, проведённой в сентябре &#;года, вторая состоялась уже в апреле &#;года, а третья&#;— лишь в декабре &#;года. В &#;году состоялось уже две игры, в &#;— восемь. Полноценное разделение на летнюю и зимнюю серии произошло в &#;году, где также появился финал года; начиная с &#;года, ведущий приглашал все команды в клуб и перед игрой объявлял команду, которая должна была сесть за игровой стол. Поскольку игра не велась на деньги (и даже первый настоящий приз&#;— «Хрустальную сову»&#;— ввели лишь в &#;году), команды часто переформировывались посреди сезона, знатоки заменялись ведущим или же менялись сами. К середине х каждая команда пыталась достойно представить свой игровой клуб, как правило, сформировавшийся вокруг школьной или студенческой деятельности. Стали проводиться турниры между клубами СССР за звание почёта (и книжные награды). Тем не менее, чёткого регламента с утверждением числа игр и команд в каждом сезоне до сих пор не существовало.
С [38] года игра проводится в Охотничьем домике Нескучного Сада в Москве. После переименования клуба в «интеллектуальное казино» игра обретает индивидуальный характер и проводится на деньги, а самую крупную сумму, как правило, приобретает к концу года один знаток, давший больше всего правильных ответов (формально приз делился между всей командой). Команды с таким количеством знатоков представляли наибольший «коэффициент интеллекта» и могли сыграть более одного, а то и более двух раз в одном сезоне. Нововведение также подчёркивало и то, что проигравшая команда могла (по воле крупье и спонсоров) навсегда покинуть клуб, за редкими исключениями.
Нынешний четырёхсерийный формат сезона утвердился лишь в &#;году, начиная с которого игровой сезон состоит из четырёх серий&#;— весенней, летней, осенней и зимней. До &#;года все серии состояли из четырёх игр, кроме зимней из пяти игр (включая финал года). Весеннюю серию стала открывать команда, победившая в предыдущем финале года. В случае, если победителями до этого оказывались телезрители, новый сезон открывала следующая по рейтингу команда либо команда дебютантов клуба. Выигрыш в каждой серии давал команде право сыграть в следующей, при условии, что не обыграет другая команда с лучшим счётом (до &#;года выигрыш с тем же счётом не давал другой команде преимущества). Проигрыш лишал команду выступлений на три сезона: поражение в летней серии означало, что команда вернётся только весной следующего года, а поражение в весенней давало шанс сыграть лишь в зимней серии. В финал года же попадала команда, выигравшая с лучшим счётом в зимней серии.
В —&#;годах в каждом из сезонов проводился финал: общее количество игр в году было доведено до Рейтинг команд конкретизировался и перестал опираться исключительно на сезоны. Появилась таблица, рассчитанная на 10 команд, в которой есть место так называемым «фаворитам клуба», а также ещё девяти другим командам. Фаворитами всё так же являются финалисты предыдущего года, но, в зависимости от разницы в счёте между ними и другими командами, фавориты не «пролетают» серию после первого своего проигрыша. Остальные команды перемещаются по рейтингу как раньше и соперничают в обходе счёта до финала года, в котором могут стать новыми фаворитами при том условии, что не потерпели ни единого поражения за весь сезон.
Более того, игрок, зарекомендовавший себя как лучший за весь сезон, в конце года получает особый приз:
- Последний знаток, одержавший победу в секторе «Суперблиц», получит приз от генерального спонсора.
- Лучший игрок каждой игры получит приз от генерального спонсора.
- Лучшие игроки команд, не вошедших в зимнюю серию, могут принять участие в ней в составе сборной команды.
- В случае победы знатоков в финале серии игр (кроме зимней серии) лучший игрок получал «Хрустальную сову» и сертификат на сумму тысяч рублей, а также право собрать в следующем году команду знатоков-обладателей «Хрустальных сов» (если же побеждают телезрители, автор лучшего вопроса&#;получал «Хрустальную сову» и пластиковую карту на сумму тысяч рублей). В &#;году сумма составляла тысяч рублей. Начиная с &#;года денежные призы для знатоков не предусмотрены[39].
- В случае победы знатоков в финале года лучший игрок получает «Бриллиантовую сову» и сертификат на сумму 1 миллион рублей (если же побеждают телезрители, автор лучшего вопроса получает «Бриллиантовую сову» и пластиковую карту на сумму 1 миллион рублей)[40]. Начиная с &#;года денежные призы для знатоков не предусмотрены. Каждый пятый год считается юбилейным, в юбилейном сезоне выигравшей команде знатоков присваивается «Хрустальное гнездо» (набор из шести «Хрустальных сов»).
Матч-реванш[править Глава 9 Шанс — дело тонкое
Автор вспоминает королей «hasard»&#;а и играет на деньги в Рено. Прогуливаясь по миру случайности, он попадает в офисный квартал в Ньюпорт-Бич, откуда, взглянув из окна, можно разглядеть победителя лотерей на уединенном острове в южных морях.
Раньше говорили, что в Лас-Вегас отправляются, чтобы пожениться, а в Рено — чтобы развестись. В наши дни и в тот и в другой город штата Невада едут ради игровых автоматов. В казино «Перечница» в Рено их , хотя это казино вовсе не самое большое в городе. Когда я пробирался через его главный зал, то заметил, что столы для игры в рулетку и блекджек освещены мягким, приглушенным светом, — в отличие от сияющих, вращающихся, гудящих рядов игровых автоматов. Технологическая эволюция избавила большинство из них от рычажных «конечностей» и механических внутренностей. Игроки теперь делают ставки, нажимая на подсвеченные кнопки или тыкая в тачскрин-дисплеи. Время от времени до меня доносился возбуждающий азарт звук сыплющейся мелочи, но звуки эти ныне — заготовленные записи, поскольку монеты уступили место электронным кредитам. Игровые автоматы — передний край индустрии казино. Они зарабатывают в Соединенных Штатах 25 миллиардов долларов в год (это после того, как выплачены все выигрыши), что примерно в два с половиной раза больше, чем суммарная стоимость всех билетов в кино, ежегодно продаваемых в стране. В штате Невада — главном центре индустрии казино — автоматы приносят почти 70 процентов доходов от всего игорного бизнеса, причем с каждым годом эта цифра становится больше.
* * *
Теория вероятностей занимается изучением шансов. Подбрасывая монету, мы не знаем заранее, как она упадет, а сидя перед игровым автоматом — не знаем, в каком именно положении остановятся вращающиеся барабаны. Теория вероятностей дает нам язык для описания того, каковы шансы, что монета упадет орлом вверх или что мы сорвем банк. В рамках математического подхода непредсказуемость становится предсказуемой. В обыденной жизни мы воспринимаем эту мысль как само собой разумеющуюся — интересуясь, например, прогнозом погоды, — но осознание того факта, что математика способна сообщить нечто о будущем, — очень глубокая — и сравнительно недавно появившаяся — идея в истории человеческой мысли.
В Рено я приехал, чтобы встретиться с математиком, который определяет вероятность выигрыша для более чем половины всех игровых автоматов в мире. Его профессия освящена веками традиций — теория вероятностей возникла в XVI столетии стараниями математика и азартного игрока Джероламо Кардано (–). Редко когда научный прорыв возникал из такого глубокого презрения к самому себе. «Сколь сильно меня привлекали излишества шахматной доски и игорного стола, столь же твердо я знаю, что в глазах людей заслуживаю самого сурового порицания», — писал он. Его пагубная привычка привела к появлению трактата под названием «Книга об игре в кости», представлявшего собой первый научный анализ вероятности. Однако эта книга, написанная в году, настолько опережала свое время, что была опубликована спустя почти столетие после смерти автора, в году.
Кардано заметил, что если случайное событие имеет несколько равновероятных исходов, то вероятность какого-либо конкретного исхода равна доле, которую он занимает среди всех возможных. Это означает, что если имеется один шанс из шести, что некое событие случится, то вероятность наступления этого события равна одной шестой. Так что, когда вы бросаете игральную кость, шанс, что выпадет шестерка, равен 1/6. Шанс выпадения четного числа равен 3/6, то есть попросту 1/2. Вероятность можно определить как правдоподобие наступления события, выраженное в виде дроби. Невозможность имеет вероятность 0; полная определенность — вероятность 1; а все остальное расположено между ними.
Кажется, все просто, но в действительности это не так. В древние времена и греки, и римляне, и индийцы увлекались азартными играми. Но ни один из этих народов не попытался понять, как математические законы управляют случайностью. В Риме, например, подбрасывание монеты использовали как средство разрешения споров: выпадение стороны с изображением Юлия Цезаря означало, что император поддерживал предлагаемое решение. Случайность воспринималась не как случайность, а как выражение божественной воли. На протяжении всей своей истории человечество демонстрировало недюжинное воображение, изобретая различные способы анализа случайных событий. Например, предсказание по книгам представляло собой испрошение о наставлении посредством случайного выбора отрывка из некоторого литературного произведения. Точно так же, согласно Библии, вытягивание более короткой соломинки было объективным способом выбора, коль скоро Господь уже определил, чему должно случиться: «В полу бросается жребий, но все решение его — от Господа» (Притч., ).
Предрассудки представляли собой мощный тормоз на пути научного подхода к вероятности, но не прошло и тысячи лет, в течение которых люди бросали кости, как мистицизм все-таки удалось преодолеть, чему во многом поспособствовала одна из самых сильных человеческих страстей — стремление к финансовой выгоде. И Джероламо Кардано был первым, кто сумел обуздать фортуну. Существует мнение, что открытие теории вероятностей даже оказало определяющее влияние на упадок религии и затухание предрассудков в течение нескольких последних столетий. Если непредсказуемые события подчиняются математическим законам, то нет нужды в их божественном объяснении. Наступление секуляризации в мире обычно связывают с мыслителями, подобными Чарльзу Дарвину и Фридриху Ницше, однако вполне возможно, что первым, кто толкнул камень и привел в движение всю лавину, был Джероламо Кардано.
* * *
Как я уже говорил, вероятность получить шестерку при бросании одной кости равна 1/6. Бросим вторую кость; шанс получить шестерку снова равен 1/6. Каковы шансы получить пару шестерок при бросании пары костей? Самое основное правило теории вероятностей состоит в том, что вероятность наступления двух независимых событий равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго. При бросании пары костей исходы, относящиеся к первой кости, не зависят от исходов, относящихся ко второй кости, и наоборот. Таким образом, шанс появления двух шестерок равен 1/6 ? 1/6, что есть 1/36. Это можно увидеть, перебирая все возможные комбинации выпадения двух костей: имеется 36 равновероятных исходов, лишь один из которых представляет собой две шестерки.
Если посмотреть на это с другой стороны, то из 36 возможных исходов 35 не представляют собой выпадание двух шестерок. Таким образом, вероятность невыпадания двух шестерок равна 35/36. Вместо того чтобы перебирать 35 примеров, можно с равным успехом начать с полного набора исходов, а затем вычесть случаи, когда выпадают две шестерки. В нашем примере это вычисление выглядит как 1 - 1/36 = 35/36. Итак, вероятность того, что некоторое событие не случится, равна 1 минус вероятность, что это случится.
В давние времена стол для игры в кости заменял собой игровые автоматы, и игроки делали ставки на исход бросания костей. Одна классическая азартная игра состояла в том, чтобы бросить четыре кости и поставить на выпадение по крайней мере одной шестерки. Получался славный источник скромного дохода для всякого, кто желал поставить на это, и наших математических познаний уже достаточно, чтобы увидеть почему:
Шаг 1
Вероятность выпадения одной шестерки при бросании четырех костей равна 1 минус вероятность невыпадения шестерки ни на одной из четырех костей.
Шаг 2
Вероятность невыпадения шестерки на одной кости есть 5/6, так что при наличии четырех костей вероятность равна 5/6 ? 5/6 ? 5/6 ? 5/6 = / что есть 0,
Шаг 3
Итак, вероятность выпадения шестерки равна 1 - 0, = 0,
Вероятность 0, означает, что если вы бросите четыре кости тысячу раз, то можно ожидать получения по крайней мере одной шестерки около раз, а отсутствия шестерок около раз. Если вы поставили деньги на выпадение по крайней мере одной шестерки, то в среднем вы будете выигрывать больше, чем проигрывать, так что к окончанию игры немного разбогатеете.
Живший в XVII веке писатель шевалье де Мэрэ был завсегдатаем как игральных заведений, так и самых модных салонов Парижа. Шевалье интересовался математической стороной происходящего за игорным столом не менее, чем своим выигрышем. В связи с этим у него возник целый ряд вопросов, на которые сам он был не в состоянии ответить. Поэтому в году он обратился к прославленному математику Блезу Паскалю. Его обращение было случайным событием, которое положило начало систематическому исследованию случайности.
Блезу Паскалю в то время был всего 31 год, но он пользовался известностью в интеллектуальных кругах уже почти два десятилетия. Уже в детстве Паскаль выказывал такие способности, что к 13 годам отец позволил ему посещать научный салон, организованный уже известным нам монахом и любителем простых чисел Мареном Мерсенном. Туда захаживали многие знаменитые математики, включая Рене Декарта и Пьера де Ферма. (Кстати, еще подростком Паскаль доказал важные теоремы из геометрии и изобрел нечто вроде механической вычислительной машины, которую назвал паскалиной.)
Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная 1/36 вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.
Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?
Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.
Короткая переписка между Паскалем и Ферма по поводу шансов — которые они называли словом «hasard»[53] — ознаменовала переломный момент в истории науки. В ходе переписки эти господа нашли ответы на большую часть вопросов, поставленных азартным шевалье, а в процессе решения заложили основы современной теории вероятностей.
* * *
Первый вопрос шевалье де Мэрэ касался выпадения двух шестерок. Сколько раз надо бросать пару костей, чтобы появление двух шестерок стало более вероятным, чем их непоявление? При одном бросании двух костей шанс выпадения двух шестерок равен 1/36, что есть 0, Шанс получить две шестерки за два бросания пары костей есть 1 минус вероятность невыпадения двух шестерок за два бросания, то есть 1 - (35/36 ? 35/36). Это равно 71/, или 0, (Заметим, что шанс получить две шестерки за два бросания не равен 1/36 ? 1/36. Это число выражает шанс появления двух шестерок в обоих бросаниях. Вероятность же, которая нас интересует, — это шанс выпадения двух шестерок по крайней мере один раз, с учетом исходов, когда две шестерки выпадают или при первом бросании, или при втором, или при обоих. Игроку для выигрыша требуется, чтобы две шестерки выпали только один раз, а не при каждом бросании.) Шанс выпадения двух шестерок при трех бросаниях двух костей равен 1 минус вероятность их невыпадения, что в данном случае равно 1 - (35/36 ? 35/36 ? 35/36) = /, или 0,
Как видим, чем большее число раз бросаются кости, тем выше вероятность выпадения двух шестерок: 0, при одном бросании, 0, при двух и 0, при трех. Поэтому исходный вопрос можно перефразировать так: «После скольких бросаний эта дробь превысит 0,5?» — ведь вероятность, превосходящая половину, означает, что событие скорее произойдет, чем нет. Паскаль получил правильный ответ: требуется 25 бросаний. Если шевалье ставил на выпадение двух шестерок за 24 бросания, то следовало ожидать, что он потеряет деньги, но после 25 бросаний шансы начинают склоняться в его сторону, и он может рассчитывать на выигрыш.
Второй вопрос де Мэрэ — о разделении денег, стоящих на кону, — часто называют задачей о разделе ставки, и вопрос этот ставился и до того, как за него взялись Ферма и Паскаль, но правильного решения никто не нашел. Переформулируем сначала этот вопрос в терминах орлов и решек. Жан выигрывает каждый раунд, когда монета падает орлом, а Жак — когда решкой. Первый из игроков, победивший в трех раундах, забирает стоящие на кону деньги в размере 64 франков. Пусть теперь в тот момент, когда счет в пользу Жана (два орла и одна решка), игру приходится внезапно прервать. Если такое случилось, то как самым справедливым образом поделить банк? Один возможный ответ такой: деньги должен забрать Жан, потому что он лидирует; однако при этом не учитывается, что и у Жака есть шанс выиграть. А вот другой возможный ответ: Жан должен получить вдвое больше, чем Жак; но и это не вполне справедливо, потому что счет отражает лишь прошлые события и никоим образом не говорит о том, что случится в будущем. Способности Жана к угадыванию ничем не превосходят способности Жака. Каждый раз, когда они бросают кости, имеются шансы , что монета ляжет орлом или решкой. Наилучший — и самый справедливый — анализ состоит в том, чтобы рассмотреть, что может произойти в будущем. Если монету бросают еще два раза, то вероятные исходы таковы:
орел, орел орел, решка решка, орел решка, решка После этих двух подбрасываний монеты игра непременно закончится чьей-то победой. В первых трех случаях побеждает Жан, а в четвертом — Жак. Самый справедливый способ поделить банк — это отдать 3/4 Жану и 1/4 Жаку, то есть 48 франков — Жану, и 16 — Жаку. Теперь это кажется простым, но в XVII столетии сама мысль о том, что случайные события, которые еще не произошли, можно анализировать математически, представляла собой мощный концептуальный прорыв. Именно эта концепция лежит в основе нашего научного понимания значительной части современного мира, от физики до финансов и от медицины до маркетинговых исследований.
* * *
Через несколько месяцев после того, как он отправил письмо Ферма, Паскаль пережил мистический транс. Придя в себя, он записал свои мысли на листке бумаги, который затем постоянно носил с собой в специальном кармашке, вшитом в подкладку камзола[54]. Быть может, это была реакция на страх близкой смерти — после случая, когда его карета лишь чудом удержалась на мосту, в то время как передние лошади уже сорвались за парапет, — а может, это была эмоциональная реакция на упадок игорных заведений в предреволюционной Франции — но, как бы то ни было, в Паскале ожила его тяга к идеям янсенизма[55], строгому варианту католицизма, и он забросил математику, сосредоточившись на теологии и философии.
Несмотря на благочестивые намерения Паскаля, его наследие оказалось в большей степени мирским, чем духовным. Теория вероятностей — основа невероятно доходной игорной индустрии. Некоторые историки даже приписывают Паскалю изобретение рулетки. Правда это или нет, но колесо рулетки, несомненно, имеет французское происхождение[56]. К концу XVIII века рулетка стала одним из самых популярных развлечений парижан. Правила игры таковы: шарик запускается по внешнему ободу рулетки в сторону, противоположную вращению внутреннего колеса. Он должен свалиться в одну из 38 ячеек, расположенных на колесе. Ячейки пронумерованы от 1 до 36 и окрашены в чередующиеся красный и черный цвета. Есть также две дополнительные ячейки 0 и 00, они зеленого цвета. Игрокам предлагается делать ставки, предсказывая, куда попадет шарик. Самая простая ставка — на то, что шарик остановится на некотором определенном числе. Если число это угадано правильно, заведение платит игроку выигрыш, в 35 раз превышающий его ставку. Так, ставка в 10 долларов принесет вам долларов (и вам еще вернут и вашу поставленную на кон десятку).
Рулетка — очень эффективная машина по производству денег, и, чтобы увидеть, почему это так, нам следует познакомиться с новой концепцией — математического ожидания. Это то, чего вы можете ожидать в качестве исхода сделанной ставки. Например, какой выигрыш я могу ожидать, если я поставил на определенное число? Математическое ожидание вычисляется путем умножения вероятности каждого исхода на цену этого исхода и суммирования всех полученных произведений. При ставке на конкретное число вероятность выигрыша равна 1/38, поскольку имеется 38 потенциально возможных исходов. Поэтому, ставя 10 долларов на любое конкретное число, я предполагаю выиграть следующую сумму (деньги, которые на самом деле выигрываются, берутся со знаком плюс, а те, что оказываются проигранными, — со знаком минус):
(вероятность остановки на данном числе) ? (соотв. выигрыш) + (вероятность остановки на другом числе) ? (соотв. выигрыш),
что есть
(1/38 ? $) + (37/38 ? -$10) = ,6 цента.
Другими словами, я ничего не выигрываю. Ожидаемым результатом является проигрыш в 52,6 цента на каждые 10 поставленных долларов. Разумеется, сделав одну ставку, я никогда не проиграю 52,6 цента. Я или выиграю долларов, или проиграю Значение ,6 цента — теоретическое, но в среднем, если я буду продолжать делать ставки, мои потери будут близки к 52,6 цента на ставку. Иногда я буду выигрывать, а иногда проигрывать, но если играть в рулетку долго, продолжая ставить на число, то гарантировано, что в результате у меня окажется меньше, а у заведения, наоборот, больше денег, чем вначале.
У всех других ставок при игре в рулетку — на два числа или более, на сектора, цвета или комбинации — ожидаемый выигрыш равен ,6 цента, за исключением ставки на «пять чисел», то есть на остановку шарика в 0, 00, 1, 2 или 3, для которой шансы еще хуже: ожидаемая потеря составляет 78,9 цента.
Несмотря на постоянные проигрыши, рулетка была — и остается — любимым развлечением огромного множества людей. Они полагают, что 52,6 цента — разумная плата за то, чтобы пощекотать себе нервы потенциальным выигрышем в долларов. В XIX веке после повсеместного распространения казино для повышения конкурентоспособности стали применяться колеса без ячейки 00, из-за чего вероятность выигрыша при ставке на число оказывалась равной 1/37, а ожидаемые потери уменьшались до 27 центов на каждые поставленные 10 долларов. Такое изменение означало, что скорость, с которой игроки теряли деньги, уменьшилась в два раза. В европейских казино чаще встречаются колеса только с ячейкой 0, тогда как в Америке предпочитают исходный вариант, где присутствуют и 0, и
Во всех играх с казино ожидаемый выигрыш отрицателен; другими словами, ожидается, что игроки будут проигрывать деньги. Если бы дело обстояло каким-то по-другому, то казино бы быстро разорились. Впрочем, ошибки иногда случаются. Как-то раз владельцы одного казино на речном пароходике в Иллинойсе в рекламных целях изменили выигрыш, выплачиваемый при определенной сдаче при игре в блек-джек, не учтя, что ожидаемый выигрыш из отрицательного стал положительным. Вместо проигрыша у игрока появился ожидаемый выигрыш в 20 центов на ставку в 10 долларов. По некоторым данным, это казино теряло долларов в день.
Взглянуть на ожидаемые потери можно и другим способом — рассмотрев процент возврата. Если вы играете в рулетку и ставите 10 долларов, то можете ожидать, что к вам вернется около 9,47 доллара. Другими словами, в американских рулетках процент возврата равен 94,7 %. Хотя это и не выглядит слишком выгодным для игроков, но так все-таки лучше, чем в случае игровых автоматов.
* * *
В году газета «San Francisco Chronicle» известила читателей, что в городе появились полторы тысячи «слот-машин[57], которые могут принести вам колоссальный доход. Их становится все больше и больше, хотя о первых мы узнали всего-то несколько месяцев назад». У тех машин было много различных вариаций, но рождение современных игровых автоматов состоялось только на рубеже столетий, когда немецкий иммигрант Чарльз Фей предложил идею трех вращающихся барабанов. На барабанах автомата «Колокол Свободы» были изображены подкова, звезда, карточные черва, бубна и пика, а также треснувший колокол Свободы из Филадельфии. Различные комбинации этих символов приносили различные выигрыши, а джекпот выплачивался, когда выпадали три колокола. Этот игровой автомат — известный как «однорукий бандит» из-за имеющегося сбоку рычага и своей способности к грабежу играющих, — отличался от конкурирующих моделей тем, что привносил элемент интриги: вращающиеся колеса останавливались по очереди. Другие компании быстро переняли сей опыт, и вскоре машины такого типа распространились за пределы Сан Франциско, а к м годам игровые автоматы с тремя барабанами стали неотъемлемой частью американской индустрии развлечений.
У «Колокола Свободы» средний возврат был равен 75 процентам. В наши дни игровые автоматы гораздо щедрее.
— Правило очень простое: если бросить в машину доллар, то в большинстве случаев вы получите обратно 95 процентов, — говорит об игровых автоматах, где ставки производятся в долларах, Энтони Бэрлокер, директор по разработке игр в компании «International Game Technology» (IGT), на счету которой — 60 процентов из около миллиона действующих игровых автоматов. — Если это 5 центов, то возврат около 90 процентов, на четвертак — 92 процента, а там, где принимаются одноцентовики, возврат может составлять всего 88 процентов.
Компьютерные технологии позволяют машинам принимать ставки без ограничений по достоинству монет, так что одна и та же машина может выплачивать различный процент возврата в зависимости от сделанной ставки. Я спросил Бэрлокера, имеется ли некий ограничительный процент, ниже которого игроки просто перестанут играть из-за того, что будут слишком много проигрывать.
— Мне лично кажется, что если мы опустимся ниже 85 процентов, то будет исключительно сложно придумать увлекательную игру. Там уже потребуется настоящее везение. Выигрываемых денег окажется недостаточно для поддержания в игроке настоящего азарта. Неплохие результаты получаются уже на уровне 87,5 или 88 процентов. Но когда мы довели процент возврата до 95–97, народ просто валом повалил.
Мы встретились с Бэрлокером в центральном офисе IGT, расположенном в бизнес-парке в Рино, от него до казино «Перечница» ехать всего минут двадцать. Он провел меня по залу, где выставлены различные образцы их изделий — каждый год их выпускается десятки тысяч, — и мимо зала, где хранятся расставленные аккуратными рядами сотни игровых автоматов. Бэрлокер гладко выбрит, одет стильно, но строго; у него короткие темные волосы и ямочка на подбородке. Сам он живет в Карсон-Сити, в получасе езды. Он начал работать в IGТ после окончания математического факультета в Университете Нотр-Дам. Для человека, которому с детства нравилось изобретать игры и который еще будучи студентом увлекался теорией вероятностей, эта работа подходит просто идеально.
* * *
Математическое ожидание — одно из двух фундаментальных математических понятий, скрывающихся в природе азартных игр. Второе — это закон больших чисел. Вы можете выиграть, сделав всего несколько ставок при игре в рулетку или на игровом автомате. Однако чем дольше вы будете играть в рулетку, тем более вероятно, что в целом вы проиграете. Процент возврата действительно начинает работать только на относительно длинном отрезке времени.
Закон больших чисел утверждает, что если монету подбросить три раза, орел может не выпасть ни разу, но стоит подбросить ее три миллиарда раз, то наверняка выпадение орлов составит почти в точности 50 процентов. Во время Второй мировой войны математик Джон Керрик оказался в Дании. Немцы арестовали его и интернировали. Имея в своем распоряжении много свободного времени, он решил проверить закон больших чисел. Сидя в тюремной камере, он подбросил монетку 10 раз. Результат был таким: орлов, что составляет 50,67 процента от полного числа. Около года специалист по статистике Карл Пирсон проделал то же самое 24 раз. При заметно большем числе испытаний можно ожидать, что и процент будет ближе к 50 — и правда, у него выпало 12 орлов, то есть 50,05 процента.
Все эти результаты, по всей видимости, подтверждают то, что мы принимаем за само собой разумеющееся: если подбрасывать монету много раз, то орел и решетка выпадают с одинаковой вероятностью. Однако недавно группа исследователей из Стэнфордского университета во главе со специалистом по статистике Перси Диаконисом более глубоко исследовала этот вопрос — действительно ли эти события равновероятны. Для этого они соорудили машинку для подбрасывания монеты и провели замедленную съемку полета монеты по воздуху. Результаты анализа данных, полученных группой Диакониса — с учетом того, что монета может приземлиться на ребро примерно один раз за подбрасываний, — оказались захватывающе неожиданными: примерно в 51 проценте случаев монета падает на ту же сторону, с которой ее подбросили. Так что если в момент подбрасывания вверх смотрит орел, то орел будет выпадать немного чаще, чем решка. Диаконис заключил, впрочем, что его исследование на самом деле демонстрирует, насколько трудно изучать случайные явления, и что «для подбрасываемых монет классические предположения о независимости с вероятностью достаточно твердо обоснованы».
Казино, без сомнения, имеют дело с большими числами. Как пояснил Бэрлокер, «вместо одной машины казино желают иметь тысячи, потому что они знают, что когда их много, то даже если одна какая-нибудь машина ведет себя неправильно, „наоборот“ — то есть проигрывает, — все равно для казино в целом имеется очень большая вероятность оказаться в плюсе». Игровые автоматы IGT сделаны так, что значение процента возврата поддерживается с точностью 0,5 процента после 10 миллионов проведенных игр. В «Перечнице», где я побывал во время моего посещения Рино, каждая машина разыгрывает около игр в день. При наличии почти машин получается около 4 миллионов игр за день. Так что уже через два с половиной дня хозяева «Перечницы» могут быть практически уверены, что значение процента возврата поддерживается с точностью в полпроцента. Если средняя ставка — доллар, а процент возврата равен 95 процентам, то за каждые 60 часов получается доход в долларов, плюс-минус 50 долларов. Неудивительно, что хозяева казино так любят игровые автоматы.
Правила игры в рулетку не менялись со времен ее изобретения. Напротив, работа Бэрлокера нетривиальна отчасти и по той причине, что от него постоянно требуется придумывать новые расклады вероятностей всякий раз, когда его компания выпускает новый игровой автомат. Сначала он решает, какие символы использовать на барабане. Традиционно это вишни и надпись «bar», но в наши дни это вполне могут быть персонажи мультфильмов, художники эпохи Возрождения или животные. Далее он прикидывает, как часто эти символы будут встречаться на барабане, какие комбинации будут означать выигрыш и сколько машина будет платить за каждую выигрышную комбинацию.
Бэрлокер набросал для меня простенькую игру, описываемую ниже как Игра А — в ней имеются три барабана, на каждом из них 82 положения: вишни, bar’ы, красные семерки, джекпот и пустое место. Изучив таблицу, вы увидите, что имеется вероятность 9/82, или 10, процента, выпадения вишни на первом барабане, и в этом случае ставка в 1 доллар приносит выигрыш в 4 доллара. Вероятность выигрывающей комбинации, умноженная на выплату, называется ожидаемым вкладом. Ожидаемый вклад от комбинации вишни — любое — любое составляет 10, ? 4 = 43, процента. Другими словами, на каждый доллар, опущенный в машину, 43, цента будет выплачено за комбинацию вишни — любое — любое. Проектируя игры, Бэрлокер должен обеспечить, чтобы сумма ожидаемых вкладов по всем выплатам равнялась установленному проценту возврата для автомата в целом.
Гибкость в проектировании игрового автомата означает, что за счет варьирования используемых символов, выигрышных комбинаций и установленных выплат можно получать очень различные игры. Игра А — это «дриблинг на вишне», сие означает, что машина платит часто, но помалу. Почти половина всех выплачиваемых денег приходится на суммы всего в 4 доллара. Наоборот, в Игре Б только треть выигрышей приходится на выплаты в 4 доллара, тогда как гораздо большая часть денег отведена на более крупные выигрыши. Игра А — это так называемая игра с низкой волатильностью, а Игра Б — с высокой волатильностью; в ней вы будете попадать на выигрышные комбинации не так часто, зато растут шансы на больший выигрыш. Чем больше волатильность, тем выше риск для владельца игрового автомата на коротких отрезках времени.
Некоторые игроки предпочитают игровые автоматы с низкой волатильностью, тогда как другие — с высокой. Основная задача проектировщика игр — обеспечить достаточные выплаты для того, чтобы поддерживать в играющем желание продолжать игру, ведь чем дольше данный игрок играет, тем больше он в среднем проигрывает. Игры с высокой волатильностью вызывают большой азарт — особенно в казино, где машины, на которых выпал джекпот, привлекают всеобщее внимание, разражаясь вызывающими мурашки трезвоном и вспышками света. Однако создание хорошей игры не ограничивается разработкой изощренных графических элементов, насыщенных звуков и завлекательных видеороликов. Хорошая игра предполагает еще и создание правильного баланса вероятностей. Я спросил Бэрлокера, можно ли, по-разному настраивая волатильность, придумать машину с низким процентом возврата, которая для игроков была бы более привлекательной, чем машины с высоким возвратом.
— Мы с коллегами провели больше года, пытаясь в этом разобраться и выписывая всякие формулы, и нам удалось придумать метод, позволяющий скрывать, каков же в машине настоящий процент возврата, — сказал он. — Из некоторых казино до нас теперь доходят сведения, что там запускают машины с более низким процентом возврата, но игроки не вполне это осознают. То была непростая задача.
Я поинтересовался, как тут обстоит дело с этикой.
— Это — необходимость, — ответил он. — Нам нужно, чтобы игроки не теряли азарта, но при этом требуется, чтобы и те, кто покупает у нас автоматы, не оставались в убытке.
* * *
Составленные Бэрлокером таблицы выигрышей полезны не только для понимания внутреннего устройства одноруких бандитов, но и в качестве наглядного пособия на тему о том, как работает индустрия страхования. Работа страховой компании во многом очень похожа на работу игровых автоматов. Обе системы построены на основе теории вероятностей, когда потери, приходящиеся почти на каждого, используются для выплат лишь немногим. При этом обе эти системы могут приносить фантастический доход тем, в чьих руках находится контроль величины процента возврата.
Покупка страхового полиса ничем не отличается от азартной игры. Вы делаете ставку, например, на то, что ваш дом обворуют. Если вас действительно ограбили, вы получаете выплату — возмещение того, что было украдено. Если же ограбления не случилось — к счастью, вы, конечно, не получаете ничего. Актуарии, специалисты по страховой математике, ведут себя в точности как Энтони Бэрлокер из IGT. Им известно, каковы в целом должны быть выплаты клиентам, знают они и вероятности каждого события, предполагающего выигрыш (грабеж, пожар, серьезная болезнь и т. д.), так что они вычисляют, какие выплаты должны приходиться на одно такое событие, да так, чтобы сумма ожидаемых вкладов равнялась полной сумме выплат. Хотя составление страховочных таблиц представляет собой дело куда более сложное, чем проектирование игровых автоматов, принцип там тот же. Страховые компании выплачивают меньше, чем они получают в виде взносов, то есть процент возврата у них меньше ста. Покупка страхового полиса — это ставка с отрицательным ожиданием, и потому предприятие это весьма невыгодное.
Так почему же люди страхуются, несмотря на то что это невыгодно? Отличие страхования от игры в казино состоит в том, что в казино вы (будем надеяться) играете на деньги, проигрыш которых можете себе позволить. Но в страховании вы делаете ставку, чтобы защититься от потери, которую вы позволить себе не можете. Да, страхуясь, вы неизбежно будете терять небольшие суммы денег (взносы), зато вы предохраните себя от потерь катастрофического масштаба (например, всех ценностей в вашем доме). Страховщики обеспечивают нам душевный покой за очень неплохую цену.
Отсюда следует, однако, что страхование чего-то, что вам не очень дорого, — занятие бессмысленное. В качестве примера рассмотрим страхование мобильного телефона. Мобильные телефоны относительно дешевы (скажем, по цене долларов), но их страхование дорогое (скажем, 7 долларов в месяц). В этом случае выгоднее не приобретать страховку, а просто при потере старого мобильника покупать новый. Таким способом вы оставляете себе прибыль, которая иначе пошла бы страховой компании.
* * *
Одна из причин наблюдающегося в последнее время роста рынка игровых автоматов состоит во введении «прогрессивных» машин. Прогрессивные игровые автоматы предлагают большие джекпоты, чем обычные, потому что они объединены в сеть, где каждая машина вносит свой вклад в общий джекпот, величина которого постоянно растет. В «Перечнице» меня поразили ряды связанных друг с другом автоматов, предлагающих призы в десятки тысяч долларов.
Прогрессивные машины обладают высокой волатильностью, то есть на коротких периодах времени казино могут проигрывать заметные деньги. «Если мы выпускаем игру с прогрессивным джекпотом, то примерно один из каждых двадцати владельцев казино принимается писать нам письма, утверждая, что наша игра — неправильная. Дело в том, что там выпадают два или три джекпота за первую неделю, и эти автоматы залетают на 10 долларов в минус, — сказал Бэрлокер, усматривая горькую иронию в том, что люди, старающиеся заработать на вероятностях, не вполне разбираются в теории вероятностей на базисном уровне. — Тогда мы проводим анализ и видим, что вероятность подобного события составляет, скажем, 1 к Им достался расклад, который должен выпадать лишь в полпроцента случаев, — но должен же он кому-то достаться. И мы говорим им: не беспокойтесь, все нормально».
Самые популярные из производимых в IGT прогрессивных игровых машин — «Мегабакс», сотни связанных друг с другом игровых автоматов по всей Неваде. Когда компания только предложила «Мегабакс» лет десять тому назад, минимальный джекпот составлял 1 миллион долларов. Исходно казино не желали брать на себя обязательства по выплате столь крупной суммы, поэтому IGT застраховала всю сеть целиком за некоторый процент с каждого автомата и взяла на себя обязательство по выплате джекпотов. Несмотря на то что компания уже выплатила сотни миллионов долларов призовых денег, «Мегабаксы» остаются прибыльным делом. Закон больших чисел на редкость надежен: чем больший кусок вы схватите, тем лучше все получится.
Сейчас джекпот на «Мегабаксах» начинается с 10 миллионов долларов. Если никто его не выигрывает к тому времени, как размер джекпота достигает 20 миллионов долларов, в казино выстраиваются очереди у «Мегабаксов», а IGT заваливают заявками на установку дополнительных автоматов. «Люди полагают, что раз джекпот так долго не выпадал, то он должен вот-вот выпасть и уж тут-то им точно должно повезти», — объясняет Бэрлокер.
Но это рассуждение ошибочно. Каждая отдельная игра — случайное событие. Имеется одна и та же вероятность выиграть, когда джекпот составляет 10 долларов, 20 долларов или даже миллионов долларов, хотя инстинкт, казалось бы, говорит, что если в течение столь долгого периода никто не выигрывал, то вероятность того, что автоматы в казино раскошелятся, повышается. Вера в то, что джекпот «назрел», известна как «заблуждение игрока».
«Заблуждение игрока» — побудительный мотив невероятной силы. С его помощью игровые автоматы манипулируют человеком с особой жестокостью, из-за чего, возможно, люди попадают в сильнейшую зависимость от них — гораздо более сильную, чем от других азартных игр. Если вы играете много игр, одну за другой, то представляется совершенно естественным полагать, что после долгого периода потерь «в следующий раз мне обязательно повезет». Игроки в азартные игры нередко говорят, что машина «горяча» или «холодна» — имея в виду, что она сейчас выплачивает много или, наоборот, мало. Но и это, опять же, — ерунда, потому что вероятности выигрыша всегда одни и те же. Тем не менее понятно, почему механизму из пластика и металла размером примерно с человека и иногда называемому «одноруким бандитом» можно приписать даже наличие некоторых человеческих черт. Игра с игровым автоматом — напряженное, глубоко лично переживание: вы устраиваетесь в непосредственной близости от него, тыкаете в него пальцами и отключаетесь от всего остального мира.
* * *
Поскольку наши мозги плохо приспособлены к восприятию случайности, теория вероятностей — это область математики, полная парадоксов и неожиданностей. Мы инстинктивно усматриваем закономерность даже в тех ситуациях, про которые мы знаем, что никаких закономерностей там нет. Легко посматривать свысока на игрока, полагающего, что после полосы проигрышей он вскоре начнет выигрывать, но на самом деле психология заблуждения игрока не обошла стороной и тех, кто в азартные игры не играет.
Рассмотрим следующий фокус, который можно показывать в компании. Пригласим двух людей поучаствовать в этом мероприятии, а затем объясним им, что один из них должен подбросить монету 30 раз и записать последовательность орлов и решек, а второй должен подбросить монету 30 раз, но только в своем воображении, и также записать последовательность орлов и решек, исходя из того, что он или она себе вообразит. Не сообщая вам о своем выборе, два игрока решают между собой, кто из них что будет делать; потом вы получаете от них два списка. Я попросил свою маму и отчима проделать это и получил от них такое:
Список 1
ОРРОРОРРРООРООРООООРОРРОРОРРОО
Список 2:
РРООРРРРРООРРРОРРОРООООРООРОРО
Смысл забавы в том, что очень легко понять, какой список — результат подбрасывания настоящей монеты, а какой — воображаемой. В приведенном выше примере мне было ясно, что второй список — настоящий, и я не ошибся. Во-первых, я выяснил, какова максимальная серия выпадающих подряд одних орлов или одних решеток. Во втором списке максимальная серия — 5 решек. В первом списке максимальная серия — 4 орла. Вероятность серии из 5 одинаковых исходов в 30 подбрасываниях составляет почти две трети, так что намного более вероятно, что за 30 бросаний серия из 5 одинаковых результатов действительно наступит. Исходя уже из этого, второй список оказывается подходящим кандидатом на то, чтобы отражать результаты подбрасывания настоящей монеты. Во-вторых, мне было известно, что большинство людей никогда не напишут серию из 5 одинаковых исходов при 30 подбрасываниях, потому что это кажется им недостаточно случайным. Для проверки того, что я не ошибся, отнеся второй список к реальному эксперименту, я решил проверить, сколь часто в этих списках происходят переходы между орлами и решками. Из-за того, что каждый раз при подбрасывании монеты шансы выпадения орла и решки одинаковы, следует ожидать, что за каждым данным исходом примерно в половине случаев следует противоположный исход, а в половине случаев — тот же самый исход. Во втором списке переходы совершаются 15 раз, а в первом — 19, что свидетельствует о человеческом вмешательстве. Представляя себе подбрасывание монеты, наш мозг склонен чередовать исходы гораздо чаще, чем это происходит на самом деле в истинно случайной последовательности: после пары орлов наш инстинкт хочет внести компенсацию и воображает исход в виде решки, несмотря на то что шансы выпадения орла остаются равными Здесь-то и проявляется заблуждение игрока. Истинная случайность не помнит, что было раньше.
Для человеческого ума оказывается невероятно сложно, если не невозможно, имитировать случайность. А при столкновении со случайностью мы часто интерпретируем ее как неслучайную. Например, на айподе есть опция воспроизведения песен «вразброс». При этом песни проигрываются в случайном порядке. Но когда компания «Apple» поставила эту программу, пользователи стали жаловаться, что она предпочитает определенных исполнителей, потому что их песни часто следовали одна за другой. Слушатели здесь впадают в заблуждение игрока. Если опция «вразброс» на айподе по-настоящему случайна, то выбор каждой следующей песни не зависит от предыдущей. Как показывает эксперимент с подбрасыванием монеты, противоречащие интуиции длинные последовательности одного и того же исхода являются скорее нормой. Если композиции выбираются случайно, то вполне возможно, или даже весьма вероятно, что будут появляться кластеры песен одного и того же исполнителя. Генеральный директор компании «Apple» Стив Джобс говорил абсолютно всерьез, когда комментировал высказывания недовольных пользователей: «Мы сейчас делаем опцию „вразброс“ менее случайной, чтобы она воспринималась как более случайная».
Почему же заблуждение игрока — столь сильный мотив? Все дело в контроле. Нам нравится ощущение контроля за тем, что вокруг нас происходит. Если события совершаются случайно, мы не можем их контролировать. Наоборот, если нам удается контролировать события, то они не случайны. Именно поэтому мы предпочитаем усматривать закономерности даже там, где никаких закономерностей нет. Тем самым мы пытаемся восстановить чувство контроля. Потребность осуществления контроля представляет собой глубокий человеческий инстинкт, связанный с выживанием. В х годах в весьма впечатляющем (если не сказать жестоком) эксперименте исследовалось, насколько ощущение контроля важно для пожилых пациентов, живущих в интернатах для престарелых. Некоторым пациентам предоставили возможность самим решать, как будут обставлены их комнаты, а также выбрать растение, за которым они будут ухаживать. Других же просто поселили в уже готовые комнаты и выделили комнатное растение. По прошествии 18 месяцев результат оказался просто устрашающим. У тех пациентов, кому была предоставлена возможность принятия решений, смертность составляла 15 процентов, а у тех, кто был этого лишен, — 30 процентов. Ощущение, что мы контролируем ситуацию, поддерживает в нас жизнь.
* * *
Случайность — нечто очень далекое от плавности и спокойствия. Она создает области пустоты и области сгущений.
Случайность позволяет объяснить, почему в некоторых небольших деревнях процент врожденных заболеваний выше нормального, почему на некоторых дорогах происходит больше несчастных случаев и почему в некоторых баскетбольных матчах оказываются забитыми все штрафные. А также почему в 7 из 10 последних финалов чемпионата мира по футболу по крайней мере у двух игроков совпадали дни рождения:
Патрик Виера, Зинедин Зидан (Франция), 23 июня Никого Эммануэль Пети (Франция), Рональдо (Бразилия), 22 сентября Франко Барези (Италия), Клаудио Таффарель (Бразилия), 8 мая Никого Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября Никого Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраля С первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения. В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.
Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.
Шаг 1
Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.
Шаг 2
Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна / ? /. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день ( возможностей из полного числа ), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый ( возможности из полного числа ). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.
Шаг 3
Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна / ? / ? /. В группе из четырех человек она оказывается равной / ? / ? / ? / и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,).
Шаг 4
Если вероятность того, что ни у каких двух человек даты рождения не попадут на один и тот же день, меньше чем 0,5, то вероятность того, что по крайней мере у двух дни рождения совпадут, оказывается больше 0,5 (из шага 1). Так что в группе из 23 человек скорее окажется, что какие-то два человека родились в один и тот же день, чем наоборот.
Футбольные матчи предоставляют нам идеальную выборку, демонстрирующую, что реальные факты отвечают предсказаниям теории, потому что на поле всегда имеется 23 человека — две команды из и игроков и судья. Впрочем, рассмотрение с этой точки зрения финалов чемпионата мира показывает, что парадокс дней рождения работает чуть-чуть слишком хорошо. Вероятность, что у двух людей в группе из 23 человек окажется один и тот же день рождения, равна 0,, что лишь едва больше 50 процентов. Однако же, судя по нашему списку, такое случилось в семи из десяти случаев (даже если исключить близнецов ван де Керкхоф), что дает 70 процентов[58].
Частично это следует отнести на счет закона больших чисел. Если бы я анализировал все матчи, сыгранные на чемпионатах мира, то можно было бы пребывать практически в полной уверенности, что результат окажется близким к 50,7 процента. Однако имеется и еще одна переменная. Равномерно ли распределены дни рождения футболистов на протяжении всего года? Возможно, нет. Исследования показывают, что для футболистов выше вероятность рождения в определенные времена года — вероятностное предпочтение оказывается у тех, кто родился сразу после даты, которая разделяет тех, кого записывают в школу на текущий год или на следующий. Дело в том, что родившиеся вскоре после этой даты будут самыми старшими в своем классе, а потому и самыми крупными, и будут показывать лучшие результаты в спорте. А если в распределение дат рождения вносится какая-то систематическая поправка, то можно ожидать более высокой вероятности совпадения дней рождения. Например, в наше время значительное число детей появляются на свет посредством кесарева сечения или искусственных родов. Это чаще случается по рабочим дням (поскольку сотрудники родильных отделений предпочитают отдыхать по выходным), и в результате оказывается, что дни рождения распределены по календарным датам не самым случайным образом. Если взять выборку из 23 людей, рожденных за один и тот же месячный период, — скажем, детей в классе начальной школы, — то окажется, что вероятность одного и того же дня рождения у двух из них существенно превосходит 50,7 процента.
Если у вас под рукой нет группы из 23 человек, чтобы проверить это, займитесь своими ближайшими родственниками. При наличии четырех человек имеется процентная вероятность, что у двух из них дни рождения придутся на один и тот же месяц. Всего лишь семь человек требуется, чтобы вероятным оказался факт рождения двоих из них в одну и ту же неделю, а в группе из 14 человек имеется пятидесятипроцентная вероятность, что два дня рождения отстоят друг от друга не более чем на один день. По мере роста группы вероятность растет на удивление быстро. В группе из 35 человек шансы на наличие совпадающего дня рождения составляют 85 процентов, а в группе из 60 — уже более 99 процентов.
А вот другой вопрос по поводу дней рождения, ответ на который настолько же противоречит интуиции, как и парадокс дней рождения: сколько людей должно быть в группе, чтобы с более чем процентной вероятностью чей-нибудь день рождения совпадал с вашим? Это совсем не то же самое, что парадокс дней рождения, потому что вы задаете конкретную дату. При рассмотрении парадокса дней рождения нас не волнует, у кого именно и с кем совпадут дни рождения; надо найти всего лишь совпадающий день рождения. А наш новый вопрос можно переформулировать так: при заданной фиксированной дате сколько раз надо бросать нашу кость с сторонами, чтобы выпала указанная дата? Ответ: раза! Другими словами, придется собрать группу из человек всего лишь для того, чтобы с вероятностью больше 50 процентов у кого-то из них день рождения совпал с вашим. Это число кажется абсурдно большим — заметим, что оно обитает заметно дальше середины отрезка между единицей и числом И тем не менее именно случайность обеспечивает появление этих совпадений — такой размер группы необходим потому, что дни рождения людей не распределены регулярным образом. Среди этих человек окажется много тех, у кого дни рождения совпадают (не совпадая при этом с вашим!), и все это тоже надо учесть.
Урок, извлекаемый из парадокса дней рождения, состоит в том, что совпадения происходят намного чаще, чем нам кажется. В немецкой лотерее «Lotto» у каждой комбинации чисел имеется один из 14 миллионов шанс на выигрыш. И однако же, в и в годах выиграла одна и та же комбинация: Насколько невероятно такое совпадение? Не слишком, если разобраться. Между двумя появлениями одной и той же выигрышной комбинации лотерея разыгрывалась раз. Вычисление, позволяющее найти, сколько раз в розыгрыше должна появляться одна и та же комбинация, эквивалентно вычислению шанса на то, что найдутся совпадающие дни рождения в группе из человек, если всего имеется 14 миллионов возможных дней рождения. Искомая вероятность получается равной 0, Другими словами, имеется более чем процентная вероятность того, что две выигрышные комбинации за этот период окажутся одинаковыми, так что произошедшее «совпадение» — не слишком нереалистичное событие.
Вот еще один случай. В – годах некая дама из Нью-Джерси дважды за четыре месяца стала победительницей лотереи, проводимой в ее родном штате. Повсюду говорили, что шансы такого исхода — один из 17 триллионов. Однако хотя вероятность купить выигрышный билет в каждой из двух лотерей и оба раза сорвать джекпот действительно равна единице на 17 триллионов, это не означает, что вероятность того, что кто-то где-то победит в двух лотереях, столь же мала. На самом деле такое вполне вероятно. Стивен Сэмюелс и Джордж Маккейб из Университета Пэрдью вычислили, что за период в семь лет вероятность двойного выигрыша в лотерею в Соединенных Штатах превосходит 50 процентов. Даже за период в четыре месяца имеется более одного шанса из 30 на появление двойного выигрыша в пределах страны. Перси Диаконис и Фредерик Мостеллер назвали это законом очень больших чисел: «При достаточно большой выборке может произойти любая сколь угодно несуразная вещь».
* * *
С математической точки зрения лотереи — без сомнения наихудший вариант из всех ставок во всех азартных играх, дозволяемых законом. Даже самый наискупой игровой автомат предлагает вам процент возврата около 85 процентов. А в лотерее «Мега-Миллионс» процент возврата равен примерно Лотереи — занятие, не представляющее никакого риска для организаторов, поскольку призовые деньги — это просто перераспределенные деньги, уже полученные ими. Или, как в случае лотереи «Мега-Миллионс», это распределение половины полученного.
В редких случаях, однако, лотереи могут оказаться наилучшим способом получить хороший выигрыш. Такое происходит, когда из-за «переходящего» джекпота заявленный выигрыш становится больше, чем цена покупки всех возможных комбинаций чисел. В таких случаях вы можете быть уверены, что получите выигрышную комбинацию. Риск состоит только в том, что могут найтись люди, у которых уже есть выигрышная комбинация, — и тогда вам придется разделить главный выигрыш с ними. Впрочем, подход «купи-все-комбинации» подразумевает способность сделать именно это, что может оказаться делом нелегким как с теоретической, так и с логистической точки зрения.
Игроки в «Мега-Миллионс» должны выбрать пять чисел от 1 до 56 и одно от 1 до Имеется около миллионов возможных комбинаций. Как перечислить все эти комбинации таким образом, чтобы каждая из них встречалась только один раз, без дублирования? В начале х годов румынский математик Стефан Мандел задался этим вопросом относительно румынской лотереи, которая по масштабу гораздо меньше американских. Получить ответ оказалось совсем непросто. Мандел, однако, в конце концов решил задачу, правда потратив на нее несколько лет, и стал победителем в румынской лотерее года. (Он не скупил все комбинации, потому что это было бы слишком дорого, а применил вспомогательный метод, называемый «уплотнением», который гарантирует, что по крайней мере 5 из 6 чисел будут правильными. Обычно за угадывание 5 чисел полагается второй приз, но ему повезло, и он сразу же выиграл главный.) Записанный на бумаге алгоритм Мандела, позволяющий определить те комбинации, которые надо покупать, занял страниц. Вскоре после получения выигрыша он эмигрировал в Израиль, а затем в Австралию.
Уже в Мельбурне Мандел основал международный синдикат по лотерейным ставкам, собрав с его участников достаточно денег для того, чтобы при желании иметь возможность скупить все комбинации в лотерее. Он следил за проводимыми по всему миру лотереями с переходящими джекпотами, как минимум в три раза превышающими суммарную цену покупки всех комбинаций. В году в поле его зрения попала лотерея штата Виргиния, в которой было семь миллионов комбинаций, а каждый билет стоил 1 доллар, при том что джекпот достиг почти 28 миллионов долларов. Тогда Мандел принялся за дело. Он печатал купоны в Австралии, заполнял их на компьютере так, чтобы они охватили все семь миллионов комбинаций, а затем отправлял самолетом в Соединенные Штаты. И — получил главный приз, а заодно и вторых призов!
Лотерея в Виргинии была самым большим из сорванных Манделом джекпотов, доведя счет его побед, одержанных после отъезда из Румынии, до Служба внутренних доходов США (The U.S. Internal Revenue Service), ФБР, и ЦРУ проявили интерес к синдикату Мандела и попытались расследовать его методы участия в лотерее, но ничего противоправного эти уважаемые организации не нашли. Ведь нет ничего незаконного в том, чтобы скупить все комбинации, хотя это и слегка отдает аферой. Мандел в настоящее время отошел от дел, связанных с лотереями, и наслаждается жизнью на одном из тропических островов южной части Тихого океана[59].
* * *
Особенно выразительное и наглядное представление случайности изобрел в году Джон Венн (–). Венн, быть может, — наименее яркий из всех математиков, имя которых постоянно на слуху. Он был кембриджским профессором и англиканским клириком и провел большую часть жизни, занимаясь составлением сборника биографий выпускников Кембриджа, получивших дипломы до года. Никаких революционных прорывов в своей науке он не совершил, но тем не менее разработал замечательный способ для объяснения логических рассуждений с помощью пересекающихся окружностей. Хотя в предшествующие столетия и Лейбниц, и Эйлер рассматривали нечто очень похожее, диаграммы были названы в честь Венна[60]. Гораздо меньше известно, что Венн придумал блестящий способ для иллюстрации случайности.
Представим себе точку, поставленную в центре белого листа бумаги. Из этой точки выходят восемь возможных направлений: на север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад и северо-запад. Припишем этим направлениям числа от 0 до 7. Случайным образом выберем число от 0 до 7 и проведем отрезок прямой в направлении, отвечающем полученному числу. Будем делать так снова и снова, в результате чего на бумаге появится некая кривая. Венн проделал такое для самой непредсказуемой из известных ему числовых последовательностей — десятичного разложения числа ? (откуда исключил восьмерки и девятки)[61]. Результат, писал он, представлял собой «очень правильное наглядное представление случайности».
Построенный Венном чертеж стал, по-видимому, самой первой диаграммой «случайного блуждания». То же самое нередко называют «блужданием пьяницы», апеллируя к более выразительной картинке, на которой вместо исходной точки — фонарный столб, а вместо числа ? — человек в состоянии сильного опьянения, совершающий неуверенные движения. Один из самых очевидных вопросов, которые здесь напрашиваются, — насколько далеко пьяница сумеет отойти от столба, пока еще стоит на ногах? В среднем, чем дольше он будет блуждать, тем дальше от столба окажется. Выяснилось, что расстояние между пьяницей и фонарем растет как квадратный корень из времени прогулки. Итак, если за один час наш пьянчужка в среднем проходит один квартал, то, если дать ему четыре часа, он пройдет два квартала, а через девять часов — три.
Во время своего случайного блуждания наш подвыпивший герой будет иногда ходить кругами, повторяя собственные шаги. Какова вероятность, что он в конце концов снова набредет на фонарный столб? Как ни странно, ответ таков: процентов! Он может блуждать годами в самых отдаленных уголках, но будьте уверены — если дать ему достаточно времени, он в конце концов обязательно вернется в исходную точку.
Представим себе, что пьяница блуждает в трех измерениях. Назовем это «полетом одурелого шмеля». Шмель стартует из некоторой точки в трехмерном пространстве и летит в случайном направлении на фиксированное расстояние по прямой. Затем он останавливается, переводит дух и снова, жужжа, срывается с места в другом случайном направлении, пролетая то же самое расстояние. И так далее. Какова вероятность, что в конце концов он вернется в точку своего старта? Ответ: всего 0,34, то есть около трети. Не правда ли, довольно странно, что в двух измерениях возвращение пьяницы к фонарному столбу представляло собой абсолютную определенность, но еще более странно то, что шмель, жужжащий в воздухе неограниченно долго, с высокой вероятностью никогда не вернется домой.
Первый в мире пример случайного блуждания. Из книги Джона Венна «Логика шанса» (). Траектория задается цифрами из разложения числа ?, начиная с
Главный герой романа-бестселлера Люка Рейнхарта «Дайсмен» («Человек — Игральная кость») принимает жизненно важные решения, бросая игральную кость. Представим себе «Человека-монету», который принимает решения, подбрасывая монету. Если, скажем, у него выпадает орел, он передвигается на один шаг вверх по странице, а если решка — то вниз. Путь нашего Человека-монеты подобен блужданиям уже знакомого нам пьяницы, но в одном измерении, ведь он может смещаться только вдоль одной и той же прямой. Изобразим на графике случайные блуждания, описываемые вторым из двух отчетов о 30 бросаниях монеты, приведенных ранее. Получается вот что:
Блуждание изображается изломанной линией, состоящей из пиков и провалов. Если продолжить упражнение и бросать монету все большее число раз, то проявится тенденция. Линия будет «раскачиваться» вверх и вниз, причем все сильнее и сильнее. Человек-монета будет двигаться, удаляясь все дальше и дальше от начальной точки в обоих направлениях. Ниже приведены графики, которые я составил для путешествий шести Человек-монет, каждый для бросаний монеты.
Если мы вообразим себе, что в одном направлении на определенном расстоянии от начальной точки стоит барьер, то окажется, что в конце концов Человек-монета уткнется в него со процентной вероятностью. Неизбежность этого столкновения весьма поучительна при анализе закономерностей, связанных с играми.
Вместо того чтобы отправлять Человека-монету в путешествие в пространстве, можно использовать траекторию его движения как иллюстрацию состояния его банковского счета. А подбрасывание монеты пусть будет азартной игрой, в которую он играет. При выпадении орла он выигрывает долларов, а решка означает проигрыш долларов. Сумма на его счете будет колебаться — то есть вести себя подобно волнам все большей величины. Установим барьер: Человек-монета не может продолжать игру, если на его счете о долларов. Оказывается, он гарантированно наткнется на этот барьер! Другими словами, в любом случае его ждет банкротство. Этот феномен известен под экспрессивным названием разорение игрока.
Конечно, ни одно казино не расщедрится до такой степени, чтобы ваши шансы были такими же, как при подбрасывании монеты (где процент возврата равен ). Если шансы на проигрыш выше, чем шансы на выигрыш, график случайных блужданий будет смещаться вниз, вместо того чтобы следовать за ходом горизонтальной оси. Другими словами, банкротство наступит еще быстрее.
Случайные блуждания объясняют, почему преимущество в игре имеют очень богатые. Дело не только в том, что они дольше не становятся банкротами, но и в том, что вероятность того, что их случайные блуждания будут время от времени устремляться вверх, у них выше. Впрочем, секрет выигрыша — что для богатых, что для бедных — это знать, когда остановиться.
Математика случайных блужданий содержит некоторые головоломные парадоксы. Рассматривая приведенные выше графики, где Человек-монета движется вверх или вниз в зависимости от результатов подбрасывания монеты, мы могли бы предположить, что кривая случайных блужданий нашего героя будет с достаточным постоянством пересекать горизонтальную ось. Монета дает шансы выпадения орла или решки, так что логично ожидать, что Человек-монета будет проводить одинаковое время с каждой стороны от начальной точки. На самом же деле верно противоположное утверждение. Если монета подбрасывается бесконечно много раз, то наиболее вероятное число переходов с одной стороны на другую равно нулю. Следующее наиболее вероятное число — единица, затем два, три и т. д.
Даже для конечного числа бросаний монеты получаются достаточно странные результаты. Уильям Феллер вычислил, что если монету подбрасывать раз в секунду на протяжении целого года, то имеется один шанс против 20, что Человек-монета будет находиться на одной и той же стороне графика в течение более чем дней и 10 часов. «Мало кто верит, что честная монета породит нелепую последовательность, в которой для миллионов попыток подряд не будет происходить смены стороны; а тем не менее честная монета будет совершать такое с известной регулярностью, — писал он в книге „Введение в теорию вероятностей и ее применения“. — Если бы современному педагогу или психологу пришлось описывать сюжеты, возникающие на достаточно долгом отрезке времени в какой-либо отдельно взятой игре с подбрасыванием монеты, то он наверняка бы зачислил большинство монет в разряд неправильных».
* * *
Чудесная способность случайности опровергать прогнозы, диктуемые нашей интуицей, приводит в восторг чистых математиков, но она же прельщает нечистых на руку. Недостаточное понимание основ теории вероятностей означает, что вас легко надуть. Если, например, вы когда-либо подумывали о том, чтобы обратиться в компанию, служащие которой утверждают, что способны предсказать пол вашего ребенка, значит, вы чуть не стали жертвой старого как мир трюка. Представим себе, что я открыл фирму под названием «Узнай-Пол-Ребенка», и заявляю, что обладаю некой научной формулой для предсказания, родится у вас мальчик или девочка. «Узнай-Пол-Ребенка» берет с матерей установленную плату за предсказание. Из-за колоссальной уверенности в точности своей формулы, а также вследствие филантропической щедрости ее генерального директора (то есть меня) фирма также предлагает полное возмещение расходов, если предсказание окажется неверным. Приобретение у фирмы предсказания выглядит как выгодная сделка: или компания «Узнай-Пол-Ребенка» окажется права — и тогда все останутся довольны, или она ошибется — и вы получите назад свои деньги. Увы, на самом деле тайная научная метода, которой пользуются в «Узнай-Пол-Ребенка», состоит в подбрасывании монеты. Если выпадает орел, я говорю, что родится мальчик, а если решка — девочка. Теория вероятностей говорит, что я буду прав примерно в половине случаев, потому что число рождающихся мальчиков примерно равно числу рождающихся девочек. Конечно, в половине случаев я верну деньги, зато кое-что мне все-таки останется!
Эта афера работает, потому что женщины не задумываются о проблеме в целом. Каждая из них воспринимает себя как выборку в количестве одного лица, а не как часть большой группы. Удивительное дело, но фирмы, предсказывающие пол младенца, продолжают существовать, и довольно неплохо, в чем несложно убедиться с помощью Интернета. Дети на нашей планете рождаются ежеминутно, и всегда есть кто-то, кто хочет немного заработать на наивности будущих мамаш.
* * *
Устраивать аферы — аморально, а нередко и незаконно. Попытка же одолеть казино, наоборот, часто воспринимается как дело правое. Для математиков возможность бросить вызов случайности — все равно что красная тряпка для быка, и имеется почетный список тех, кто в этом преуспел.
Первый метод борьбы со случайностью заключается в осознании того, что наш мир не совершенен. Джозеф Джаггер (–) был самым обычным механиком на ткацкой фабрике в Ланкашире, однако он достаточно преуспел в инженерных науках, дабы понять, что колесо рулетки не может крутиться абсолютно идеально. Однажды его осенило, что если колесо сбалансировано не идеально, то оно обязательно будет предпочитать некоторые числа. В году, в возрасте 43 лет, он отправился в Монте-Карло, чтобы проверить свою теорию. Джаггер нанял шестерых помощников, закрепил за каждым из них один стол в казино (всего столов было шесть) и поручил записывать все числа, которые выпадают в течение недели. Проанализировав полученные данные, он увидел, что колесо одной рулетки и в самом деле демонстрировало некоторую закономерность — девять чисел выигрывали чаще других. Это отклонение было столь малым, что становилось заметным только при записи результатов сотен сыгранных конов.
Джаггер тут же облюбовал эту рулетку и принялся делать ставки. За день он выиграл сумму, эквивалентную 70 нынешних долларов.
Хозяева казино, однако, проследили, что Джаггер играет только на одном столе. Чтобы запутать его, они поменяли рулеточные колеса местами. Начав проигрывать, Джаггер догадался, в чем дело, и перебрался к столу с заветным колесом — он узнал его по характерной царапине. И снова начал выигрывать! Джаггер сдался, только когда в казино снова предприняли защитные действия, — поменяли местами ободы рулеток, из-за чего балансировка изменилась, и номера, которые раньше выигрывали, перестали быть «счастливыми». Но к этому времени Джаггер уже был обладателем долларов, что по тем временам было миллионным состоянием. Вернувшись домой, он уволился и вложил деньги в недвижимость. Метод Джаггера повторили в Неваде в – годах два молодых ученых — Эл Хиббс и Рой Уолфорд. Взяв в долг долларов, они превратили эту сумму в 42 долларов, что позволило им купить роскошную яхту и отправиться на 18 месяцев в плавание по Карибскому морю, устроив неплохой перерыв в научных занятиях. В наши дни владельцы казино, учтя прошлый опыт, меняют колеса с гораздо большей регулярностью, чем это делалось раньше.
Второй способ заставить удачу работать на вас — это задаться вопросом, что вообще такое случайность. События, случайные при одних условиях, вполне могут оказаться неслучайными в свете других. Это означает превращение математической задачи в физическую. Подбрасывание монеты случайно потому, что мы не знаем, как именно она приземлится, но подброшенные монеты подчиняются ньютоновским законам движения. Зная в точности скорость и угол подбрасывания, плотность воздуха и все остальные существенные физические параметры процесса, мы могли бы точно вычислить, какой стороной монетка упадет. В середине х годов молодой математик по имени Эд Торп задумался, а какого типа информация требуется, чтобы предсказать, где именно остановится шарик на рулетке.
Торпу помогал его коллега по Массачусетскому технологическому институту Клод Шеннон. И тут лучшего сообщника, пожалуй, не найти! Шеннон был талантливым изобретателем, и в его гараже хранились самые разнообразные электрические и механические приспособления. Кроме того, он — один из самых знаменитых математиков, создатель теории информации, важнейшего научного направления, приведшего к появлению компьютера. И вот Торп и Шеннон, приобретя рулеточное колесо, принялись экспериментировать в подвале шенноновского дома. После нескольких опытов они установили, что, зная скорость шарика, когда он катится по неподвижному внешнему ободу, а также скорость внутреннего колеса (которое крутится в сторону, противоположную движению шарика), можно довольно точно предсказать, в каком секторе колеса шарик остановится. Поскольку казино позволяют делать ставки после того, как вброшен шарик, все, что было нужно Торпу и Шеннону, — это придумать, как измерить эти скорости и обработать их значения в течение нескольких секунд, пока крупье не объявит, что ставок больше нет.
И снова азартные игры послужили прогрессу науки. Чтобы предсказывать исход игры, наши математики построили первый в мире компьютер, который можно надеть на себя. Машина помещалась в кармане, откуда шли провода в ботинок, где находилась кнопка, а еще один провод шел к миниатюрному наушнику. От обладателя всего этого требовалось нажать на кнопку четыре раза: когда выбранная точка на колесе проходила через определенную отметку, когда колесо делало один полный оборот, когда шарик проходил через ту же точку и когда шарик совершал полный оборот. Этой информации было достаточно, чтобы оценить скорости колеса и шарика.
Торп и Шеннон разбили колесо на восемь секторов по пять чисел в каждом (некоторые секторы, впрочем, перекрывались, поскольку всего имеется 38 ячеек). Карманного размера компьютер исполнял в наушнике гамму из восьми нот — октаву — и та нота, на которой он останавливался, определяла сектор, где должен был остановиться шарик. Компьютер не мог сказать, в какую точно ячейку попадет шарик, но этого и не требовалось. Все, чего хотели Торп и Шеннон, — это чтобы их предсказания были лучше, чем случайное угадывание. Прослушав ноты, обладатель компьютера ставил фишки на все пять чисел в соответствующем секторе. Метод оказался на удивление точным — по оценкам Торпа и Шарпа, можно было ожидать выигрыша в 4,4 доллара на каждую ставку в 10 долларов.
И вот Торп и Шеннон отправились в Лас-Вегас, на полевые испытания. Компьютер работал, пусть даже и не слишком надежно. Заговорщики старались привлекать как можно меньше внимания, но наушник все время выпадал, а провода постоянно обрывались. Тем не менее система работала, и изобретатели смогли превратить небольшую стопку фишек достоинством в десять центов в несколько кучек. Торп вполне удовлетворился практическим подтверждением теоретической возможности победить рулетку. Однако его атака на другую азартную игру принесла ему гораздо более громкий успех.
Блек-джек, или двадцать одно, — карточная игра, цель которой состоит в том, чтобы набрать «руку», то есть набор карт, так, чтобы суммарное значение очков было как можно ближе к верхнему пределу, равному Дилер — сдающий — сдает карты всем участникам игры и самому себе тоже. Чтобы выиграть, вы должны набрать сумму старше, чем у дилера, но не выше
Подобно всем классическим играм, присутствующим в казино, блек-джек предоставляет небольшое преимущество заведению. Если вы играете в блек-джек достаточно долго, то в конце концов проиграете все свои деньги. В году в малоизвестном журнале по статистике появилась забавная статья. Ее авторы утверждали, что изобрели стратегию, при которой преимущество заведения составляет лишь 0,62 процента. Проштудировав статью, Торп освоил эту стратегию и решил протестировать ее в реальном казино. Он взял отпуск и отправился в Вегас. Испытания показали, что он теряет деньги намного медленнее других игроков. Тогда Торп решил разобраться в блек-джеке поглубже. Это решение изменило его жизнь.
* * *
Эду Торпу сейчас 75 лет, но я подозреваю, что он не сильно изменился за полвека. Худощавый, с длинной шеей и выразительным лицом, аккуратная, как у школьника, прическа, недорогие, без претензий, очки, но уверенная прямая осанка. Тогда, вернувшись из Вегаса, Торп еще раз перечитал ту журнальную статью.
— Я сразу — буквально через пару минут — понял, как можно почти наверняка выиграть у казино, если следить за картами, которые уже вышли, — вспоминает он. — Блек-джек отличается, скажем, от рулетки тем, что вероятности исхода изменяются, как только сдана очередная карта. При игре в рулетку вероятность, что шарик попадет на 7, — , и она не меняется, пока колесо крутится. При игре в блек-джек вероятность, что первая сданная карта будет тузом, равна 1/13. Вероятность, что вторая карта будет тузом, однако, не равна 1/13 — она уже равна 1/51, потому что в колоде осталась 51 карта, из которых всего лишь три туза.
Торп полагал, что должна быть система, позволяющая повысить шансы игрока. Оставалось только ее найти.
В колоде из 52 карт имеется 52 ? 51 ? 50 ? 49 ? … ? 3 ? 2 ? 1 способов упорядочения карт. Это число равно примерно 8 ? 1067, что есть 8 с 67 нулями — число столь огромное, что крайне маловероятно, что за всю историю мироздания карты в двух случайно перетасованных колодах окажутся лежащими в одном и том же порядке — даже если все население Земли непрерывно играло бы в карты от момента Большого взрыва и до наших дней. Торп рассудил, что возможных перестановок карт слишком много для того, чтобы человеческий мозг был в состоянии пользоваться какой-либо системой запоминания перестановок. Вместо этого он решил выяснить, каким образом шансы меняются в зависимости от того, какие карты уже сданы. Используя один из первых компьютеров, он узнал, что, следя за пятерками в каждой масти — пятерками червей, пик, бубен и треф, — игрок может сделать вывод о том, благоприятен ли для него расклад колоды. В разработанной Торпом системе блек-джек становился игрой, в которой возможен выигрыш с ожидаемым возвратом до 5 процентов в зависимости от расклада в колоде. Торп изобрел метод «счета карт».
Изложение своей теории он направил для публикации в журнал Американского математического общества.
— Когда в журнале появилась аннотация статьи, все решили, что это просто розыгрыш, — вспоминает он. — Тогда в научном мире считалось, что ни одну из основных азартных игр нельзя одолеть с помощью математики. Это была непререкаемая истина, причем весомо подтвержденная исследованиями, проводившимися на протяжении пары сотен лет.
Доказательства, утверждающие возможность выигрыша в казино вопреки теории вероятностей, смахивают на доказательства квадратуры круга, которые, в свою очередь, гарантируют, что у человека не все в порядке с головой. По счастью, один из членов комиссии Американского математического общества, рассматривавшей статьи на предмет возможной публикации, был одноклассником Торпа, и аннотация его статьи была напечатана.
В январе года Торп представил свою работу на зимнем собрании Американского математического общества в Вашингтоне. Новость быстро распространилась по всей стране. Ученого завалили письмами и оборвали ему телефон. Все наперебой предлагали ему профинансировать кампанию по разорению казино, а затем поделить прибыль. Один нью-йоркский синдикат предложил Торпу долларов. Он позвонил по телефону, указанному в письме, и спустя некоторое время перед его домом остановился «кадиллак». Оттуда вылез пожилой коротышка в сопровождении двух очаровательных блондинок в норковых шубах.
Этот человек оказался Манни Киммелом — известным нью-йоркским гангстером, а по совместительству любителем математики и заядлым игроком в азартные игры по-крупному. Киммел нахватался азов теории вероятностей и знал о парадоксе дней рождения — одним из его любимых развлечений было держать пари на совпадающие дни рождения в группе людей. Киммел представился и сообщил, что является владельцем 64 нью-йоркских парковок (что было истинной правдой). Он также представил девушек как своих племянниц (что, скорее всего, правдой не было). Я спросил Торпа, заподозрил ли он, что Киммел связан с мафией.
— В то время я очень мало что знал о мире игорного бизнеса, если не считать моих теоретических изысканий. И конечно же я никогда не занимался устройством преступного мира. Киммел держался как богатый бизнесмен, и тому имелось немало видимых подтверждений.
Киммел пригласил Торпа заехать к нему на следующей неделе в его роскошную квартиру на Манхэттене и сыграть в блек-джек. После нескольких раундов Киммел убедился, что метод счета карт работает. Вдвоем они полетели в Рено, дабы испытать систему в деле. Начав с 10 долларов, к концу путешествия они имели уже 21 долларов.
* * *
Когда вы играете в казино, два фактора существенно влияют на то, сколько денег вы выиграете или проиграете. Стратегия игры — это то, как выиграть игру. Стратегия ставок — это как управлять деньгами: сколько и когда ставить. Стоит ли, например, ставить все деньги на одну-единственную ставку? Или разумно разбить их на возможно меньшие порции? Разные стратегии могут приводить к поразительно разным результатам.
Самая известная стратегия ставок называется «мартингал», или удвоение; она была популярна среди французских игроков в XVIII столетии. Принцип состоит в том, чтобы удваивать ставку, если вы проигрываете. Пусть, скажем, вы поставили на подбрасывание монеты. Орел означает, что вы получаете 1 доллар, а решка — что проигрываете 1 доллар. Пусть при первом подбрасывании выпадает решка. Вы проиграли 1 доллар. В следующий раз ставьте 2 доллара. Победа во втором раунде принесет вам 2 доллара, что компенсирует вашу потерю в 1 доллар в первом раунде, и вы останетесь с доходом в 1 доллар. Предположим теперь, что вы проиграли первые пять подбрасываний: ваши потери тогда будут равны 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 доллару, так что шестая ставка должна составлять 32 доллара. Если вы выигрываете, вы компенсируете все свои потери и даже останетесь в выигрыше. Правда, несмотря на то, что вам пришлось рисковать столь большими деньгами, вы в плюсе всего на 1 доллар — размер вашей исходной ставки.
Мартингал обладает несомненной привлекательностью. В игре, где шансы выиграть или проиграть составляют почти (как, например, при ставках на красное в рулетку, где вероятность успеха — 47 процентов), вероятность, что вы выиграете достаточную часть раундов, не так уж мала, так что у вас неплохой шанс остаться в плюсе. Но система мартингала не защищена от сбоев. Вначале вы выигрываете только малыми порциями. А мы знаем, что в последовательности из 30 бросаний монеты полоса в пять орлов или пять решеток скорее случится, чем нет. Если вы начали со ставки в 40 долларов и проиграли пять игр подряд, то после этого вам придется поставить уже долларов. В казино «Перечница» вам просто не дадут такого сделать: максимальная ставка там равна долларов. Одна из причин, почему казино вводят максимальный размер ставки, состоит в желании противодействовать системам, подобным мартингалу. Экспоненциальный рост ставок при мартингале в случае проигрыша нескольких игр подряд часто ускоряет банкротство, а не служит гарантией против него. Самый знаменитый пропагандист этой системы жил в XVIII столетии — то был венецианский плейбой Джакомо Казанова, и он убедился в этом на горьком опыте. «Я продолжал играть на мартингал, — сказал он однажды, — но мне сопутствовало такое невезение, что я вскоре остался без единого цехина».
Если тем не менее, встав у рулеточного стола в «Перечнице», вы будете играть на мартингал, то вам должно страшно не повезти, если, начав со ставки в 10 долларов на красное, в конце концов вы не выиграете 10 долларов. Система откажет, только если вы проиграете шесть раз подряд, а шансы на это — один из Однако как только вы окажетесь в плюсе, весьма благоразумно будет получить свой выигрыш и покинуть заведение[62]. Если вы будете продолжать игру, шансы на несчастливую полосу в конце концов пробьют себе дорогу.
Рассмотрим иную систему ставок. Представьте себе, что вы играете в рулетку в казино, вам дали 20 долларов и сказали, что надо ставить на красное. Какова наилучшая стратегия удвоить имеющиеся деньги? Надо ли проявить отвагу и поставить все за один раз, или же следует быть осторожным и делать наименьшие возможные ставки, то есть по 1 доллару? Хотя с первого взгляда это кажется безрассудным, ваши шансы на успех заметно выше, если вы поставите всю сумму в один присест. Выражаясь математически, смелая игра здесь оптимальна. И после небольшого размышления становится понятно, почему это так: закон больших чисел говорит, что в долгой перспективе вы проиграете. Ваш самый лучший шанс — сократить игру насколько возможно.
В году этому принципу последовал летний англичанин Эшли Ревел. Он продал все, что у него было, включая одежду, и в одном из казино Лас-Вегаса поставил вырученную сумму — долларов — на красное. В случае проигрыша он по крайней мере стал бы телезвездой, поскольку весь процесс снимался для телевизионного реалити-шоу. Но шарик застыл на красной семерке — и Ревел отправился домой с долларов в кармане!
* * *
Что же касается игры в блек-джек, то тут перед Эдом Торпом стояла другая проблема. Его система, основанная на счете карт, позволяла в определенные моменты игры с уверенностью сказать, имеет ли игрок преимущество перед дилером. Торп задался вопросом: какова наилучшая стратегия ставок, чтобы шансы склонились в вашу пользу?
Представим себе, что имеется ставка, когда шанс выиграть составляет 55 процентов, а шанс проиграть — 45 процентов. Для простоты будем считать, что процент возврата равен и мы играем раз. Наше преимущество — шансы на выигрыш — 10 процентов. При продолжительной игре наш выигрыш будет в среднем составлять 10 долларов на каждые поставленные долларов. Чтобы максимизировать полный доход, нам, очевидно, необходимо максимизировать полную сумму всех ставок. Как именно это сделать, ясно не сразу, поскольку максимизация капитала требует минимизации риска потерять его целиком. Рассмотрим, как работают следующие четыре стратегии ставок.
Стратегия 1. Ва-банк.
В точности как Эшли Ревел, поставьте все, чем вы располагаете, на первую же ставку. Если выиграете, удвоите свои деньги. Если проиграете, будете банкротом. В случае выигрыша в следующей игре снова ставьте все целиком. Единственный шанс избежать потери всего — это выиграть все игр. Вероятность, что такое случится, — с учетом того, что вероятность выигрыша в каждой игре по отдельности равна 0,55, — составляет около одного шанса из 10 (что есть 1 со нулями). Другими словами, можно быть вполне уверенным, что к й игре вы будете банкротом. Очевидно, что это не очень удачная долгосрочная стратегия.
Стратегия 2: Фиксированная ставка.
Ставьте каждый раз фиксированную сумму. Если вы выиграете, то ваше благосостояние возрастет на это фиксированное число. Если проиграете, то оно на столько же уменьшится. Поскольку вы выигрываете больше раз, чем проигрываете, ваш капитал будет в целом возрастать — но будет возрастать только ступеньками заданной величины. Как показывает график, объем ваших денег будет расти не очень быстро.
Стратегия 3: Мартингал.
Эта стратегия обеспечивает более быстрый рост, чем стратегия фиксированной ставки, потому что потери компенсируются удвоением вслед за потерей, однако с этим же сопряжен и заметно больший риск. Всего лишь несколько проигрышей могут сделать вас банкротом. Опять же, это не слишком удачная долгосрочная стратегия.
Стратегия 4: Пропорциональные ставки.
В этом случае размер ставки равен некоторой части от имеющихся у вас денежных средств (банка). Эта часть определяется вашим шансом на выигрыш. Имеется несколько вариантов пропорциональных ставок. Система, по которой ваши капиталы растут быстрее всего, называется стратегией Келли. Она предписывает ставить долю вашего банка, определяемую отношением (преимущество игрока) / (шансы в игре). В нашем случае преимущество равно 10 процентам, а шансы в игре — равные (или ), так что искомое отношение равно 10 процентам. Итак, ставьте каждый раз 10 процентов от имеющихся у вас денег. Если вы выиграете, ваш капитал увеличится на 10 процентов, так что следующая ставка тоже будет на 10 процентов больше. Если вы проиграете, то капитал уменьшится на 10 процентов, и следующая ставка будет на 10 процентов меньше. Это очень безопасная стратегия: если вы попали в полосу проигрышей, абсолютное значение ставки уменьшается, а потому ваши потери ограничены. Эта стратегия сулит большой выигрыш, потому что — как в случае со сложными процентами — при попадании в полосу выигрышей ваше богатство растет экспоненциально. Вы оказываетесь в лучшем из миров, где царят низкий риск и высокая отдача. Достаточно взглянуть на график, чтобы увидеть, как работает эта стратегия: сначала медленно, но в конце концов, после примерно сделанных ставок, вы оставляете всех партнеров по игре далеко позади.
Компьютерное моделирование сыгранных ставок, в каждой из которых вероятность выигрыша равна 55 процентам. Исходно имеется 1 доллар. В стратегиях «фиксированная ставка», «мартингал» и «Келли» первая ставка равна 10 центам. В стратегии «ва-банк» на кон каждый раз ставится все, что имеется
Ту статью года, где была приведена ставшая позже знаменитой формула игры, что так впечатлила Эда Торпа, написал техасский математик Джон Келли-младший. Когда Эд Торп применил ее на практике во время игры в блек-джек, результаты оказались просто поразительными. «Как выразился один генерал, вы приходите к цели „самым первейшим в виде самом лучшейшем“». Даже с небольшими шансами на выигрыш, но при осмотрительном управлении деньгами можно добиться колоссальной прибыльности. Я спросил Торпа, с помощью какой стратегии можно больше выиграть в блек-джек — метода счета карт или использования формулы Келли.
— Мне кажется, что после десятилетнего исследования этого вопроса, — ответил он, — достигнутый консенсус состоит в том, что доля стратегии Келли — приносит две трети или три четверти того, что вы хотите получить, а стратегия счета карт — что-то от четверти до трети. Так что стратегия Келли эффективней.
С помощью метода Келли Торп выиграл более 80 миллиардов долларов на финансовых рынках.
* * *
В году Эд Торп выпустил книгу «Обыграй дилера», в которой описал свою систему счета карт. Во втором издании, вышедшем в году, он внес в нее уточнения, предложив считать также карты достоинством в 10 очков (валет, дама, король и десятка). Хотя они влияют на шансы на проигрыш в меньшей степени, чем пятерки, таких карт в колоде больше, поэтому легче оценить шансы на выигрыш. В мире было продано более миллиона экземпляров книги «Обыграй дилера». Она воодушевляла — и продолжает воодушевлять — легионы любителей азартных игр.
Чтобы помешать игрокам использовать метод счета карт, казино пробовали применять различные способы. Самый распространенный — игра многими колодами. В этом случае в игре участвует большее число карт, и считать их становится труднее, в результате игроки чаще проигрывают. «Останови профессора» — приспособление, которое перетасовывает много колод одновременно, — получило такое название по сути дела в честь Торпа. Кроме того, владельцам казино пришлось запретить использование компьютера для составления прогнозов при игре в рулетку.
Торп последний раз играл в блек-джек в году.
— Мы с семьей поехали на Всемирную выставку в Спокан. По дороге остановились в отеле «Harrah’s», и я сказал детям, что мне нужна пара часов, чтобы заработать денег на поездку, — что и было исполнено.
«Обыграй дилера» — это не просто классика жанра. Эта книга не осталась незамеченной и в мире экономики и финансов. Целое поколение математиков, вдохновленных книгой Торпа, принялось разрабатывать модели финансовых рынков, применяя к ним различные стратегии ставок. Двое из этих математиков — Фишер Блэк и Майрон Скоулз — вывели формулу Блэка — Скоулза для оценки финансовых деривативов. Это самое знаменитое — и самое скандальное — из уолл-стритовских уравнений.
Торп возвестил начало новой эры — эры господства специалистов по количественному анализу, «числовиков», математиков, которые находят для банков какие-то хитрые, наиболее прибыльные способы инвестирования.
«Обыграй дилера» была первой «числовой» книгой в этой области, и она в известной степени привела к чему-то вроде революции, — говорит Торп, который может — и не без оснований — сказать про себя, что он был самым-самым первым «числовиком».
Следующая его книга — «Обыграй рынок» — способствовала трансформации рынков ценных бумаг. В начале х годов, на пару со своим партнером по бизнесу, он основал первый «нейтральный по отношению к рынкам» хедж-фонд[63]. Идея состояла в том, чтобы избегать всякого рыночного риска. С тех пор Торп продолжал придумывать все более и более изощренные математические финансовые продукты, что сделало его невероятно богатым (во всяком случае, для профессора математики). Хотя он и управлял хорошо известным хедж-фондом, сейчас он сосредоточился на семейном предприятии, куда инвестирует только свои собственные деньги.
* * *
Я встретился с Торпом в сентябре года. Мы сидели в его офисе, расположенном в небоскребе в Ньюпорт-Бич. Из окна открывался вид на Тихий океан. То был один из восхитительных калифорнийских дней, когда небо приобретает удивительный, целомудренно-голубой свет. Среди разнообразных достоинств Торпа я бы назвал эрудицию, но без излишнего занудства, а также внимательность и осмотрительность. Кроме того, его отличает острый ум и чувство юмора. Прошла всего неделя, как банк «Leman Brothers» объявил о своем банкротстве. Я спросил Торпа, не испытывает ли он чего-то типа чувства вины за то, что способствовал созданию некоторых рыночных механизмов, которые внесли вклад в самый большой за последние десятилетия финансовый кризис.
— Проблема была не в самих деривативах, а в отсутствии их регулирования, — ответил он вполне ожидаемо.
Тогда я спросил, не обращалось ли правительство хоть раз к нему за рекомендацией, ведь сегодня математика, лежащая в основе мировых финансов, невероятно усложнилась.
— Лично мне ничего об этом не известно! — сказал он с улыбкой. — Если они вдруг заявятся, то рекомендаций у меня хоть отбавляй! Но все это страшно политизировано, и при этом они не хотят выносить сор из избы.
Если вы желаете, чтобы к вашему голосу прислушались, — продолжает он, — вам надо жить на Восточном побережье, играть в гольф и обедать с банкирами и политиками. Но я-то живу в Калифорнии, у меня тут из окна чудесный вид. Я просто развлекаюсь, поигрывая в математические игры. Здесь нужных людей не встретишь, разве что случайно.
При этом Торп явно наслаждается своим положением «в сторонке». Он даже не воспринимает себя как представителя финансового мира, хотя и прожил в нем четыре десятилетия.
— Я считаю себя ученым, который применил свои знания к анализу финансовых рынков, — говорит он.
На самом деле бросать вызов стандартной мудрости — лейтмотив всей его жизни, это именно то, что он с успехом делает вновь и вновь. И он полагает, что у сообразительных математиков шансов на выигрыш всегда больше, чем шансов на проигрыш.
Я поинтересовался также, помогло ли ему то, что он так хорошо умеет оценивать вероятности, в тех ситуациях, когда руководствоваться интуицией противопоказано. Например, становился ли он когда-либо жертвой «заблуждения игрока»?
— Я считаю, что довольно неплохо научился говорить «нет» — хотя это и потребовало кое-какого времени. Вначале, когда я только начинал разбираться в акциях, мое обучение оказалось довольно дорогостоящим. Я был склонен принимать решения, действуя не вполне рационально.
Я спросил его, играл ли он когда-либо в лотерею.
— Вы хотите спросить, делал ли я когда-нибудь невыгодные ставки?
— Наверное, — сказал я, — вы никогда такого не делали.
— Всякое бывало. Знаете, иногда, время от времени, подобные вещи делать приходится. Представьте себе, что все ценное, что у вас есть, — это ваш дом. Страховать свой дом — невыгодно в смысле математического ожидания, но, по всей видимости, весьма благоразумно в смысле долгосрочного выживания.
— Так что, — спросил я, — вы все-таки застраховали свой дом?
Торп ненадолго замолчал.
— Да. — Он замялся, потому что прикидывал величину своего состояния. — Если вы достаточно богаты, вам нет необходимости страховать несущественное имущество, — объяснил он. — Например, если вы миллиардер, а ваш дом стоит миллион долларов, то не важно, застрахуете вы его или нет, по крайней мере с точки зрения критерия Келли. Вам нет нужды защищать себя от этой сравнительно небольшой потери. Выгоднее оставить эти деньги себе и самому вложить их во что-нибудь получше. Кстати, кажется, я все-таки застраховал свои дома.
Я когда-то видел статью, где упоминалось, что Торп собирается заморозить свое тело после смерти. Я сказал ему, что это смахивает на азартную игру — и к тому же выглядит очень по-калифорнийски.
— Ну, как говорит один мой друг-фантаст, «Другой игры у нас для вас нет».
править код]
Глава 9 Шанс — дело тонкое
Автор вспоминает королей «hasard»&#;а и играет на деньги в Рено. Прогуливаясь по миру случайности, он попадает в офисный квартал в Ньюпорт-Бич, откуда, взглянув из окна, можно разглядеть победителя лотерей на уединенном острове в южных морях.
Раньше говорили, что в Лас-Вегас отправляются, чтобы пожениться, а в Рено — чтобы развестись. В наши дни и в тот и в другой город штата Невада едут ради игровых автоматов. В казино «Перечница» в Рено их , хотя это казино вовсе не самое большое в городе. Когда я пробирался через его главный зал, то заметил, что столы для игры в рулетку и блекджек освещены мягким, приглушенным светом, — в отличие от сияющих, вращающихся, гудящих рядов игровых автоматов. Технологическая эволюция избавила большинство из них от рычажных «конечностей» и механических внутренностей. Игроки теперь делают ставки, нажимая на подсвеченные кнопки или тыкая в тачскрин-дисплеи. Время от времени до меня доносился возбуждающий азарт звук сыплющейся мелочи, но звуки эти ныне — заготовленные записи, поскольку монеты уступили место электронным кредитам. Игровые автоматы — передний край индустрии казино. Они зарабатывают в Соединенных Штатах 25 миллиардов долларов в год (это после того, как выплачены все выигрыши), что примерно в два с половиной раза больше, чем суммарная стоимость всех билетов в кино, ежегодно продаваемых в стране. В штате Невада — главном центре индустрии казино — автоматы приносят почти 70 процентов доходов от всего игорного бизнеса, причем с каждым годом эта цифра становится больше.
* * *
Теория вероятностей занимается изучением шансов. Подбрасывая монету, мы не знаем заранее, как она упадет, а сидя перед игровым автоматом — не знаем, в каком именно положении остановятся вращающиеся барабаны. Теория вероятностей дает нам язык для описания того, каковы шансы, что монета упадет орлом вверх или что мы сорвем банк. В рамках математического подхода непредсказуемость становится предсказуемой. В обыденной жизни мы воспринимаем эту мысль как само собой разумеющуюся — интересуясь, например, прогнозом погоды, — но осознание того факта, что математика способна сообщить нечто о будущем, — очень глубокая — и сравнительно недавно появившаяся — идея в истории человеческой мысли.
В Рено я приехал, чтобы встретиться с математиком, который определяет вероятность выигрыша для более чем половины всех игровых автоматов в мире. Его профессия освящена веками традиций — теория вероятностей возникла в XVI столетии стараниями математика и азартного игрока Джероламо Кардано (–). Редко когда научный прорыв возникал из такого глубокого презрения к самому себе. «Сколь сильно меня привлекали излишества шахматной доски и игорного стола, столь же твердо я знаю, что в глазах людей заслуживаю самого сурового порицания», — писал он. Его пагубная привычка привела к появлению трактата под названием «Книга об игре в кости», представлявшего собой первый научный анализ вероятности. Однако эта книга, написанная в году, настолько опережала свое время, что была опубликована спустя почти столетие после смерти автора, в году.
Кардано заметил, что если случайное событие имеет несколько равновероятных исходов, то вероятность какого-либо конкретного исхода равна доле, которую он занимает среди всех возможных. Это означает, что если имеется один шанс из шести, что некое событие случится, то вероятность наступления этого события равна одной шестой. Так что, когда вы бросаете игральную кость, шанс, что выпадет шестерка, равен 1/6. Шанс выпадения четного числа равен 3/6, то есть попросту 1/2. Вероятность можно определить как правдоподобие наступления события, выраженное в виде дроби. Невозможность имеет вероятность 0; полная определенность — вероятность 1; а все остальное расположено между ними.
Кажется, все просто, но в действительности это не так. В древние времена и греки, и римляне, и индийцы увлекались азартными играми. Но ни один из этих народов не попытался понять, как математические законы управляют случайностью. В Риме, например, подбрасывание монеты использовали как средство разрешения споров: выпадение стороны с изображением Юлия Цезаря означало, что император поддерживал предлагаемое решение. Случайность воспринималась не как случайность, а как выражение божественной воли. На протяжении всей своей истории человечество демонстрировало недюжинное воображение, изобретая различные способы анализа случайных событий. Например, предсказание по книгам представляло собой испрошение о наставлении посредством случайного выбора отрывка из некоторого литературного произведения. Точно так же, согласно Библии, вытягивание более короткой соломинки было объективным способом выбора, коль скоро Господь уже определил, чему должно случиться: «В полу бросается жребий, но все решение его — от Господа» (Притч., ).
Предрассудки представляли собой мощный тормоз на пути научного подхода к вероятности, но не прошло и тысячи лет, в течение которых люди бросали кости, как мистицизм все-таки удалось преодолеть, чему во многом поспособствовала одна из самых сильных человеческих страстей — стремление к финансовой выгоде. И Джероламо Кардано был первым, кто сумел обуздать фортуну. Существует мнение, что открытие теории вероятностей даже оказало определяющее влияние на упадок религии и затухание предрассудков в течение нескольких последних столетий. Если непредсказуемые события подчиняются математическим законам, то нет нужды в их божественном объяснении. Наступление секуляризации в мире обычно связывают с мыслителями, подобными Чарльзу Дарвину и Фридриху Ницше, однако вполне возможно, что первым, кто толкнул камень и привел в движение всю лавину, был Джероламо Кардано.
* * *
Как я уже говорил, вероятность получить шестерку при бросании одной кости равна 1/6. Бросим вторую кость; шанс получить шестерку снова равен 1/6. Каковы шансы получить пару шестерок при бросании пары костей? Самое основное правило теории вероятностей состоит в том, что вероятность наступления двух независимых событий равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго. При бросании пары костей исходы, относящиеся к первой кости, не зависят от исходов, относящихся ко второй кости, и наоборот. Таким образом, шанс появления двух шестерок равен 1/6 ? 1/6, что есть 1/36. Это можно увидеть, перебирая все возможные комбинации выпадения двух костей: имеется 36 равновероятных исходов, лишь один из которых представляет собой две шестерки.
Если посмотреть на это с другой стороны, то из 36 возможных исходов 35 не представляют собой выпадание двух шестерок. Таким образом, вероятность невыпадания двух шестерок равна 35/36. Вместо того чтобы перебирать 35 примеров, можно с равным успехом начать с полного набора исходов, а затем вычесть случаи, когда выпадают две шестерки. В нашем примере это вычисление выглядит как 1 - 1/36 = 35/36. Итак, вероятность того, что некоторое событие не случится, равна 1 минус вероятность, что это случится.
В давние времена стол для игры в кости заменял собой игровые автоматы, и игроки делали ставки на исход бросания костей. Одна классическая азартная игра состояла в том, чтобы бросить четыре кости и поставить на выпадение по крайней мере одной шестерки. Получался славный источник скромного дохода для всякого, кто желал поставить на это, и наших математических познаний уже достаточно, чтобы увидеть почему:
Шаг 1
Вероятность выпадения одной шестерки при бросании четырех костей равна 1 минус вероятность невыпадения шестерки ни на одной из четырех костей.
Шаг 2
Вероятность невыпадения шестерки на одной кости есть 5/6, так что при наличии четырех костей вероятность равна 5/6 ? 5/6 ? 5/6 ? 5/6 = / что есть 0,
Шаг 3
Итак, вероятность выпадения шестерки равна 1 - 0, = 0,
Вероятность 0, означает, что если вы бросите четыре кости тысячу раз, то можно ожидать получения по крайней мере одной шестерки около раз, а отсутствия шестерок около раз. Если вы поставили деньги на выпадение по крайней мере одной шестерки, то в среднем вы будете выигрывать больше, чем проигрывать, так что к окончанию игры немного разбогатеете.
Живший в XVII веке писатель шевалье де Мэрэ был завсегдатаем как игральных заведений, так и самых модных салонов Парижа. Шевалье интересовался математической стороной происходящего за игорным столом не менее, чем своим выигрышем. В связи с этим у него возник целый ряд вопросов, на которые сам он был не в состоянии ответить. Поэтому в году он обратился к прославленному математику Блезу Паскалю. Его обращение было случайным событием, которое положило начало систематическому исследованию случайности.
Блезу Паскалю в то время был всего 31 год, но он пользовался известностью в интеллектуальных кругах уже почти два десятилетия. Уже в детстве Паскаль выказывал такие способности, что к 13 годам отец позволил ему посещать научный салон, организованный уже известным нам монахом и любителем простых чисел Мареном Мерсенном. Туда захаживали многие знаменитые математики, включая Рене Декарта и Пьера де Ферма. (Кстати, еще подростком Паскаль доказал важные теоремы из геометрии и изобрел нечто вроде механической вычислительной машины, которую назвал паскалиной.)
Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная 1/36 вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.
Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?
Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.
Короткая переписка между Паскалем и Ферма по поводу шансов — которые они называли словом «hasard»[53] — ознаменовала переломный момент в истории науки. В ходе переписки эти господа нашли ответы на большую часть вопросов, поставленных азартным шевалье, а в процессе решения заложили основы современной теории вероятностей.
* * *
Первый вопрос шевалье де Мэрэ касался выпадения двух шестерок. Сколько раз надо бросать пару костей, чтобы появление двух шестерок стало более вероятным, чем их непоявление? При одном бросании двух костей шанс выпадения двух шестерок равен 1/36, что есть 0, Шанс получить две шестерки за два бросания пары костей есть 1 минус вероятность невыпадения двух шестерок за два бросания, то есть 1 - (35/36 ? 35/36). Это равно 71/, или 0, (Заметим, что шанс получить две шестерки за два бросания не равен 1/36 ? 1/36. Это число выражает шанс появления двух шестерок в обоих бросаниях. Вероятность же, которая нас интересует, — это шанс выпадения двух шестерок по крайней мере один раз, с учетом исходов, когда две шестерки выпадают или при первом бросании, или при втором, или при обоих. Игроку для выигрыша требуется, чтобы две шестерки выпали только один раз, а не при каждом бросании.) Шанс выпадения двух шестерок при трех бросаниях двух костей равен 1 минус вероятность их невыпадения, что в данном случае равно 1 - (35/36 ? 35/36 ? 35/36) = /, или 0,
Как видим, чем большее число раз бросаются кости, тем выше вероятность выпадения двух шестерок: 0, при одном бросании, 0, при двух и 0, при трех. Поэтому исходный вопрос можно перефразировать так: «После скольких бросаний эта дробь превысит 0,5?» — ведь вероятность, превосходящая половину, означает, что событие скорее произойдет, чем нет. Паскаль получил правильный ответ: требуется 25 бросаний. Если шевалье ставил на выпадение двух шестерок за 24 бросания, то следовало ожидать, что он потеряет деньги, но после 25 бросаний шансы начинают склоняться в его сторону, и он может рассчитывать на выигрыш.
Второй вопрос де Мэрэ — о разделении денег, стоящих на кону, — часто называют задачей о разделе ставки, и вопрос этот ставился и до того, как за него взялись Ферма и Паскаль, но правильного решения никто не нашел. Переформулируем сначала этот вопрос в терминах орлов и решек. Жан выигрывает каждый раунд, когда монета падает орлом, а Жак — когда решкой. Первый из игроков, победивший в трех раундах, забирает стоящие на кону деньги в размере 64 франков. Пусть теперь в тот момент, когда счет в пользу Жана (два орла и одна решка), игру приходится внезапно прервать. Если такое случилось, то как самым справедливым образом поделить банк? Один возможный ответ такой: деньги должен забрать Жан, потому что он лидирует; однако при этом не учитывается, что и у Жака есть шанс выиграть. А вот другой возможный ответ: Жан должен получить вдвое больше, чем Жак; но и это не вполне справедливо, потому что счет отражает лишь прошлые события и никоим образом не говорит о том, что случится в будущем. Способности Жана к угадыванию ничем не превосходят способности Жака. Каждый раз, когда они бросают кости, имеются шансы , что монета ляжет орлом или решкой. Наилучший — и самый справедливый — анализ состоит в том, чтобы рассмотреть, что может произойти в будущем. Если монету бросают еще два раза, то вероятные исходы таковы:
орел, орел орел, решка решка, орел решка, решкаПосле этих двух подбрасываний монеты игра непременно закончится чьей-то победой. В первых трех случаях побеждает Жан, а в четвертом — Жак. Самый справедливый способ поделить банк — это отдать 3/4 Жану и 1/4 Жаку, то есть 48 франков — Жану, и 16 — Жаку. Теперь это кажется простым, но в XVII столетии сама мысль о том, что случайные события, которые еще не произошли, можно анализировать математически, представляла собой мощный концептуальный прорыв. Именно эта концепция лежит в основе нашего научного понимания значительной части современного мира, от физики до финансов и от медицины до маркетинговых исследований.
* * *
Через несколько месяцев после того, как он отправил письмо Ферма, Паскаль пережил мистический транс. Придя в себя, он записал свои мысли на листке бумаги, который затем постоянно носил с собой в специальном кармашке, вшитом в подкладку камзола[54]. Быть может, это была реакция на страх близкой смерти — после случая, когда его карета лишь чудом удержалась на мосту, в то время как передние лошади уже сорвались за парапет, — а может, это была эмоциональная реакция на упадок игорных заведений в предреволюционной Франции — но, как бы то ни было, в Паскале ожила его тяга к идеям янсенизма[55], строгому варианту католицизма, и он забросил математику, сосредоточившись на теологии и философии.
Несмотря на благочестивые намерения Паскаля, его наследие оказалось в большей степени мирским, чем духовным. Теория вероятностей — основа невероятно доходной игорной индустрии. Некоторые историки даже приписывают Паскалю изобретение рулетки. Правда это или нет, но колесо рулетки, несомненно, имеет французское происхождение[56]. К концу XVIII века рулетка стала одним из самых популярных развлечений парижан. Правила игры таковы: шарик запускается по внешнему ободу рулетки в сторону, противоположную вращению внутреннего колеса. Он должен свалиться в одну из 38 ячеек, расположенных на колесе. Ячейки пронумерованы от 1 до 36 и окрашены в чередующиеся красный и черный цвета. Есть также две дополнительные ячейки 0 и 00, они зеленого цвета. Игрокам предлагается делать ставки, предсказывая, куда попадет шарик. Самая простая ставка — на то, что шарик остановится на некотором определенном числе. Если число это угадано правильно, заведение платит игроку выигрыш, в 35 раз превышающий его ставку. Так, ставка в 10 долларов принесет вам долларов (и вам еще вернут и вашу поставленную на кон десятку).
Рулетка — очень эффективная машина по производству денег, и, чтобы увидеть, почему это так, нам следует познакомиться с новой концепцией — математического ожидания. Это то, чего вы можете ожидать в качестве исхода сделанной ставки. Например, какой выигрыш я могу ожидать, если я поставил на определенное число? Математическое ожидание вычисляется путем умножения вероятности каждого исхода на цену этого исхода и суммирования всех полученных произведений. При ставке на конкретное число вероятность выигрыша равна 1/38, поскольку имеется 38 потенциально возможных исходов. Поэтому, ставя 10 долларов на любое конкретное число, я предполагаю выиграть следующую сумму (деньги, которые на самом деле выигрываются, берутся со знаком плюс, а те, что оказываются проигранными, — со знаком минус):
(вероятность остановки на данном числе) ? (соотв. выигрыш) + (вероятность остановки на другом числе) ? (соотв. выигрыш),
что есть
(1/38 ? $) + (37/38 ? -$10) = ,6 цента.
Другими словами, я ничего не выигрываю. Ожидаемым результатом является проигрыш в 52,6 цента на каждые 10 поставленных долларов. Разумеется, сделав одну ставку, я никогда не проиграю 52,6 цента. Я или выиграю долларов, или проиграю Значение ,6 цента — теоретическое, но в среднем, если я буду продолжать делать ставки, мои потери будут близки к 52,6 цента на ставку. Иногда я буду выигрывать, а иногда проигрывать, но если играть в рулетку долго, продолжая ставить на число, то гарантировано, что в результате у меня окажется меньше, а у заведения, наоборот, больше денег, чем вначале.
У всех других ставок при игре в рулетку — на два числа или более, на сектора, цвета или комбинации — ожидаемый выигрыш равен ,6 цента, за исключением ставки на «пять чисел», то есть на остановку шарика в 0, 00, 1, 2 или 3, для которой шансы еще хуже: ожидаемая потеря составляет 78,9 цента.
Несмотря на постоянные проигрыши, рулетка была — и остается — любимым развлечением огромного множества людей. Они полагают, что 52,6 цента — разумная плата за то, чтобы пощекотать себе нервы потенциальным выигрышем в долларов. В XIX веке после повсеместного распространения казино для повышения конкурентоспособности стали применяться колеса без ячейки 00, из-за чего вероятность выигрыша при ставке на число оказывалась равной 1/37, а ожидаемые потери уменьшались до 27 центов на каждые поставленные 10 долларов. Такое изменение означало, что скорость, с которой игроки теряли деньги, уменьшилась в два раза. В европейских казино чаще встречаются колеса только с ячейкой 0, тогда как в Америке предпочитают исходный вариант, где присутствуют и 0, и
Во всех играх с казино ожидаемый выигрыш отрицателен; другими словами, ожидается, что игроки будут проигрывать деньги. Если бы дело обстояло каким-то по-другому, то казино бы быстро разорились. Впрочем, ошибки иногда случаются. Как-то раз владельцы одного казино на речном пароходике в Иллинойсе в рекламных целях изменили выигрыш, выплачиваемый при определенной сдаче при игре в блек-джек, не учтя, что ожидаемый выигрыш из отрицательного стал положительным. Вместо проигрыша у игрока появился ожидаемый выигрыш в 20 центов на ставку в 10 долларов. По некоторым данным, это казино теряло долларов в день.
Взглянуть на ожидаемые потери можно и другим способом — рассмотрев процент возврата. Если вы играете в рулетку и ставите 10 долларов, то можете ожидать, что к вам вернется около 9,47 доллара. Другими словами, в американских рулетках процент возврата равен 94,7 %. Хотя это и не выглядит слишком выгодным для игроков, но так все-таки лучше, чем в случае игровых автоматов.
* * *
В году газета «San Francisco Chronicle» известила читателей, что в городе появились полторы тысячи «слот-машин[57], которые могут принести вам колоссальный доход. Их становится все больше и больше, хотя о первых мы узнали всего-то несколько месяцев назад». У тех машин было много различных вариаций, но рождение современных игровых автоматов состоялось только на рубеже столетий, когда немецкий иммигрант Чарльз Фей предложил идею трех вращающихся барабанов. На барабанах автомата «Колокол Свободы» были изображены подкова, звезда, карточные черва, бубна и пика, а также треснувший колокол Свободы из Филадельфии. Различные комбинации этих символов приносили различные выигрыши, а джекпот выплачивался, когда выпадали три колокола. Этот игровой автомат — известный как «однорукий бандит» из-за имеющегося сбоку рычага и своей способности к грабежу играющих, — отличался от конкурирующих моделей тем, что привносил элемент интриги: вращающиеся колеса останавливались по очереди. Другие компании быстро переняли сей опыт, и вскоре машины такого типа распространились за пределы Сан Франциско, а к м годам игровые автоматы с тремя барабанами стали неотъемлемой частью американской индустрии развлечений.
У «Колокола Свободы» средний возврат был равен 75 процентам. В наши дни игровые автоматы гораздо щедрее.
— Правило очень простое: если бросить в машину доллар, то в большинстве случаев вы получите обратно 95 процентов, — говорит об игровых автоматах, где ставки производятся в долларах, Энтони Бэрлокер, директор по разработке игр в компании «International Game Technology» (IGT), на счету которой — 60 процентов из около миллиона действующих игровых автоматов. — Если это 5 центов, то возврат около 90 процентов, на четвертак — 92 процента, а там, где принимаются одноцентовики, возврат может составлять всего 88 процентов.
Компьютерные технологии позволяют машинам принимать ставки без ограничений по достоинству монет, так что одна и та же машина может выплачивать различный процент возврата в зависимости от сделанной ставки. Я спросил Бэрлокера, имеется ли некий ограничительный процент, ниже которого игроки просто перестанут играть из-за того, что будут слишком много проигрывать.
— Мне лично кажется, что если мы опустимся ниже 85 процентов, то будет исключительно сложно придумать увлекательную игру. Там уже потребуется настоящее везение. Выигрываемых денег окажется недостаточно для поддержания в игроке настоящего азарта. Неплохие результаты получаются уже на уровне 87,5 или 88 процентов. Но когда мы довели процент возврата до 95–97, народ просто валом повалил.
Мы встретились с Бэрлокером в центральном офисе IGT, расположенном в бизнес-парке в Рино, от него до казино «Перечница» ехать всего минут двадцать. Он провел меня по залу, где выставлены различные образцы их изделий — каждый год их выпускается десятки тысяч, — и мимо зала, где хранятся расставленные аккуратными рядами сотни игровых автоматов. Бэрлокер гладко выбрит, одет стильно, но строго; у него короткие темные волосы и ямочка на подбородке. Сам он живет в Карсон-Сити, в получасе езды. Он начал работать в IGТ после окончания математического факультета в Университете Нотр-Дам. Для человека, которому с детства нравилось изобретать игры и который еще будучи студентом увлекался теорией вероятностей, эта работа подходит просто идеально.
* * *
Математическое ожидание — одно из двух фундаментальных математических понятий, скрывающихся в природе азартных игр. Второе — это закон больших чисел. Вы можете выиграть, сделав всего несколько ставок при игре в рулетку или на игровом автомате. Однако чем дольше вы будете играть в рулетку, тем более вероятно, что в целом вы проиграете. Процент возврата действительно начинает работать только на относительно длинном отрезке времени.
Закон больших чисел утверждает, что если монету подбросить три раза, орел может не выпасть ни разу, но стоит подбросить ее три миллиарда раз, то наверняка выпадение орлов составит почти в точности 50 процентов. Во время Второй мировой войны математик Джон Керрик оказался в Дании. Немцы арестовали его и интернировали. Имея в своем распоряжении много свободного времени, он решил проверить закон больших чисел. Сидя в тюремной камере, он подбросил монетку 10 раз. Результат был таким: орлов, что составляет 50,67 процента от полного числа. Около года специалист по статистике Карл Пирсон проделал то же самое 24 раз. При заметно большем числе испытаний можно ожидать, что и процент будет ближе к 50 — и правда, у него выпало 12 орлов, то есть 50,05 процента.
Все эти результаты, по всей видимости, подтверждают то, что мы принимаем за само собой разумеющееся: если подбрасывать монету много раз, то орел и решетка выпадают с одинаковой вероятностью. Однако недавно группа исследователей из Стэнфордского университета во главе со специалистом по статистике Перси Диаконисом более глубоко исследовала этот вопрос — действительно ли эти события равновероятны. Для этого они соорудили машинку для подбрасывания монеты и провели замедленную съемку полета монеты по воздуху. Результаты анализа данных, полученных группой Диакониса — с учетом того, что монета может приземлиться на ребро примерно один раз за подбрасываний, — оказались захватывающе неожиданными: примерно в 51 проценте случаев монета падает на ту же сторону, с которой ее подбросили. Так что если в момент подбрасывания вверх смотрит орел, то орел будет выпадать немного чаще, чем решка. Диаконис заключил, впрочем, что его исследование на самом деле демонстрирует, насколько трудно изучать случайные явления, и что «для подбрасываемых монет классические предположения о независимости с вероятностью достаточно твердо обоснованы».
Казино, без сомнения, имеют дело с большими числами. Как пояснил Бэрлокер, «вместо одной машины казино желают иметь тысячи, потому что они знают, что когда их много, то даже если одна какая-нибудь машина ведет себя неправильно, „наоборот“ — то есть проигрывает, — все равно для казино в целом имеется очень большая вероятность оказаться в плюсе». Игровые автоматы IGT сделаны так, что значение процента возврата поддерживается с точностью 0,5 процента после 10 миллионов проведенных игр. В «Перечнице», где я побывал во время моего посещения Рино, каждая машина разыгрывает около игр в день. При наличии почти машин получается около 4 миллионов игр за день. Так что уже через два с половиной дня хозяева «Перечницы» могут быть практически уверены, что значение процента возврата поддерживается с точностью в полпроцента. Если средняя ставка — доллар, а процент возврата равен 95 процентам, то за каждые 60 часов получается доход в долларов, плюс-минус 50 долларов. Неудивительно, что хозяева казино так любят игровые автоматы.
Правила игры в рулетку не менялись со времен ее изобретения. Напротив, работа Бэрлокера нетривиальна отчасти и по той причине, что от него постоянно требуется придумывать новые расклады вероятностей всякий раз, когда его компания выпускает новый игровой автомат. Сначала он решает, какие символы использовать на барабане. Традиционно это вишни и надпись «bar», но в наши дни это вполне могут быть персонажи мультфильмов, художники эпохи Возрождения или животные. Далее он прикидывает, как часто эти символы будут встречаться на барабане, какие комбинации будут означать выигрыш и сколько машина будет платить за каждую выигрышную комбинацию.
Бэрлокер набросал для меня простенькую игру, описываемую ниже как Игра А — в ней имеются три барабана, на каждом из них 82 положения: вишни, bar’ы, красные семерки, джекпот и пустое место. Изучив таблицу, вы увидите, что имеется вероятность 9/82, или 10, процента, выпадения вишни на первом барабане, и в этом случае ставка в 1 доллар приносит выигрыш в 4 доллара. Вероятность выигрывающей комбинации, умноженная на выплату, называется ожидаемым вкладом. Ожидаемый вклад от комбинации вишни — любое — любое составляет 10, ? 4 = 43, процента. Другими словами, на каждый доллар, опущенный в машину, 43, цента будет выплачено за комбинацию вишни — любое — любое. Проектируя игры, Бэрлокер должен обеспечить, чтобы сумма ожидаемых вкладов по всем выплатам равнялась установленному проценту возврата для автомата в целом.
Гибкость в проектировании игрового автомата означает, что за счет варьирования используемых символов, выигрышных комбинаций и установленных выплат можно получать очень различные игры. Игра А — это «дриблинг на вишне», сие означает, что машина платит часто, но помалу. Почти половина всех выплачиваемых денег приходится на суммы всего в 4 доллара. Наоборот, в Игре Б только треть выигрышей приходится на выплаты в 4 доллара, тогда как гораздо большая часть денег отведена на более крупные выигрыши. Игра А — это так называемая игра с низкой волатильностью, а Игра Б — с высокой волатильностью; в ней вы будете попадать на выигрышные комбинации не так часто, зато растут шансы на больший выигрыш. Чем больше волатильность, тем выше риск для владельца игрового автомата на коротких отрезках времени.
Некоторые игроки предпочитают игровые автоматы с низкой волатильностью, тогда как другие — с высокой. Основная задача проектировщика игр — обеспечить достаточные выплаты для того, чтобы поддерживать в играющем желание продолжать игру, ведь чем дольше данный игрок играет, тем больше он в среднем проигрывает. Игры с высокой волатильностью вызывают большой азарт — особенно в казино, где машины, на которых выпал джекпот, привлекают всеобщее внимание, разражаясь вызывающими мурашки трезвоном и вспышками света. Однако создание хорошей игры не ограничивается разработкой изощренных графических элементов, насыщенных звуков и завлекательных видеороликов. Хорошая игра предполагает еще и создание правильного баланса вероятностей. Я спросил Бэрлокера, можно ли, по-разному настраивая волатильность, придумать машину с низким процентом возврата, которая для игроков была бы более привлекательной, чем машины с высоким возвратом.
— Мы с коллегами провели больше года, пытаясь в этом разобраться и выписывая всякие формулы, и нам удалось придумать метод, позволяющий скрывать, каков же в машине настоящий процент возврата, — сказал он. — Из некоторых казино до нас теперь доходят сведения, что там запускают машины с более низким процентом возврата, но игроки не вполне это осознают. То была непростая задача.
Я поинтересовался, как тут обстоит дело с этикой.
— Это — необходимость, — ответил он. — Нам нужно, чтобы игроки не теряли азарта, но при этом требуется, чтобы и те, кто покупает у нас автоматы, не оставались в убытке.
* * *
Составленные Бэрлокером таблицы выигрышей полезны не только для понимания внутреннего устройства одноруких бандитов, но и в качестве наглядного пособия на тему о том, как работает индустрия страхования. Работа страховой компании во многом очень похожа на работу игровых автоматов. Обе системы построены на основе теории вероятностей, когда потери, приходящиеся почти на каждого, используются для выплат лишь немногим. При этом обе эти системы могут приносить фантастический доход тем, в чьих руках находится контроль величины процента возврата.
Покупка страхового полиса ничем не отличается от азартной игры. Вы делаете ставку, например, на то, что ваш дом обворуют. Если вас действительно ограбили, вы получаете выплату — возмещение того, что было украдено. Если же ограбления не случилось — к счастью, вы, конечно, не получаете ничего. Актуарии, специалисты по страховой математике, ведут себя в точности как Энтони Бэрлокер из IGT. Им известно, каковы в целом должны быть выплаты клиентам, знают они и вероятности каждого события, предполагающего выигрыш (грабеж, пожар, серьезная болезнь и т. д.), так что они вычисляют, какие выплаты должны приходиться на одно такое событие, да так, чтобы сумма ожидаемых вкладов равнялась полной сумме выплат. Хотя составление страховочных таблиц представляет собой дело куда более сложное, чем проектирование игровых автоматов, принцип там тот же. Страховые компании выплачивают меньше, чем они получают в виде взносов, то есть процент возврата у них меньше ста. Покупка страхового полиса — это ставка с отрицательным ожиданием, и потому предприятие это весьма невыгодное.
Так почему же люди страхуются, несмотря на то что это невыгодно? Отличие страхования от игры в казино состоит в том, что в казино вы (будем надеяться) играете на деньги, проигрыш которых можете себе позволить. Но в страховании вы делаете ставку, чтобы защититься от потери, которую вы позволить себе не можете. Да, страхуясь, вы неизбежно будете терять небольшие суммы денег (взносы), зато вы предохраните себя от потерь катастрофического масштаба (например, всех ценностей в вашем доме). Страховщики обеспечивают нам душевный покой за очень неплохую цену.
Отсюда следует, однако, что страхование чего-то, что вам не очень дорого, — занятие бессмысленное. В качестве примера рассмотрим страхование мобильного телефона. Мобильные телефоны относительно дешевы (скажем, по цене долларов), но их страхование дорогое (скажем, 7 долларов в месяц). В этом случае выгоднее не приобретать страховку, а просто при потере старого мобильника покупать новый. Таким способом вы оставляете себе прибыль, которая иначе пошла бы страховой компании.
* * *
Одна из причин наблюдающегося в последнее время роста рынка игровых автоматов состоит во введении «прогрессивных» машин. Прогрессивные игровые автоматы предлагают большие джекпоты, чем обычные, потому что они объединены в сеть, где каждая машина вносит свой вклад в общий джекпот, величина которого постоянно растет. В «Перечнице» меня поразили ряды связанных друг с другом автоматов, предлагающих призы в десятки тысяч долларов.
Прогрессивные машины обладают высокой волатильностью, то есть на коротких периодах времени казино могут проигрывать заметные деньги. «Если мы выпускаем игру с прогрессивным джекпотом, то примерно один из каждых двадцати владельцев казино принимается писать нам письма, утверждая, что наша игра — неправильная. Дело в том, что там выпадают два или три джекпота за первую неделю, и эти автоматы залетают на 10 долларов в минус, — сказал Бэрлокер, усматривая горькую иронию в том, что люди, старающиеся заработать на вероятностях, не вполне разбираются в теории вероятностей на базисном уровне. — Тогда мы проводим анализ и видим, что вероятность подобного события составляет, скажем, 1 к Им достался расклад, который должен выпадать лишь в полпроцента случаев, — но должен же он кому-то достаться. И мы говорим им: не беспокойтесь, все нормально».
Самые популярные из производимых в IGT прогрессивных игровых машин — «Мегабакс», сотни связанных друг с другом игровых автоматов по всей Неваде. Когда компания только предложила «Мегабакс» лет десять тому назад, минимальный джекпот составлял 1 миллион долларов. Исходно казино не желали брать на себя обязательства по выплате столь крупной суммы, поэтому IGT застраховала всю сеть целиком за некоторый процент с каждого автомата и взяла на себя обязательство по выплате джекпотов. Несмотря на то что компания уже выплатила сотни миллионов долларов призовых денег, «Мегабаксы» остаются прибыльным делом. Закон больших чисел на редкость надежен: чем больший кусок вы схватите, тем лучше все получится.
Сейчас джекпот на «Мегабаксах» начинается с 10 миллионов долларов. Если никто его не выигрывает к тому времени, как размер джекпота достигает 20 миллионов долларов, в казино выстраиваются очереди у «Мегабаксов», а IGT заваливают заявками на установку дополнительных автоматов. «Люди полагают, что раз джекпот так долго не выпадал, то он должен вот-вот выпасть и уж тут-то им точно должно повезти», — объясняет Бэрлокер.
Но это рассуждение ошибочно. Каждая отдельная игра — случайное событие. Имеется одна и та же вероятность выиграть, когда джекпот составляет 10 долларов, 20 долларов или даже миллионов долларов, хотя инстинкт, казалось бы, говорит, что если в течение столь долгого периода никто не выигрывал, то вероятность того, что автоматы в казино раскошелятся, повышается. Вера в то, что джекпот «назрел», известна как «заблуждение игрока».
«Заблуждение игрока» — побудительный мотив невероятной силы. С его помощью игровые автоматы манипулируют человеком с особой жестокостью, из-за чего, возможно, люди попадают в сильнейшую зависимость от них — гораздо более сильную, чем от других азартных игр. Если вы играете много игр, одну за другой, то представляется совершенно естественным полагать, что после долгого периода потерь «в следующий раз мне обязательно повезет». Игроки в азартные игры нередко говорят, что машина «горяча» или «холодна» — имея в виду, что она сейчас выплачивает много или, наоборот, мало. Но и это, опять же, — ерунда, потому что вероятности выигрыша всегда одни и те же. Тем не менее понятно, почему механизму из пластика и металла размером примерно с человека и иногда называемому «одноруким бандитом» можно приписать даже наличие некоторых человеческих черт. Игра с игровым автоматом — напряженное, глубоко лично переживание: вы устраиваетесь в непосредственной близости от него, тыкаете в него пальцами и отключаетесь от всего остального мира.
* * *
Поскольку наши мозги плохо приспособлены к восприятию случайности, теория вероятностей — это область математики, полная парадоксов и неожиданностей. Мы инстинктивно усматриваем закономерность даже в тех ситуациях, про которые мы знаем, что никаких закономерностей там нет. Легко посматривать свысока на игрока, полагающего, что после полосы проигрышей он вскоре начнет выигрывать, но на самом деле психология заблуждения игрока не обошла стороной и тех, кто в азартные игры не играет.
Рассмотрим следующий фокус, который можно показывать в компании. Пригласим двух людей поучаствовать в этом мероприятии, а затем объясним им, что один из них должен подбросить монету 30 раз и записать последовательность орлов и решек, а второй должен подбросить монету 30 раз, но только в своем воображении, и также записать последовательность орлов и решек, исходя из того, что он или она себе вообразит. Не сообщая вам о своем выборе, два игрока решают между собой, кто из них что будет делать; потом вы получаете от них два списка. Я попросил свою маму и отчима проделать это и получил от них такое:
Список 1
ОРРОРОРРРООРООРООООРОРРОРОРРОО
Список 2:
РРООРРРРРООРРРОРРОРООООРООРОРО
Смысл забавы в том, что очень легко понять, какой список — результат подбрасывания настоящей монеты, а какой — воображаемой. В приведенном выше примере мне было ясно, что второй список — настоящий, и я не ошибся. Во-первых, я выяснил, какова максимальная серия выпадающих подряд одних орлов или одних решеток. Во втором списке максимальная серия — 5 решек. В первом списке максимальная серия — 4 орла. Вероятность серии из 5 одинаковых исходов в 30 подбрасываниях составляет почти две трети, так что намного более вероятно, что за 30 бросаний серия из 5 одинаковых результатов действительно наступит. Исходя уже из этого, второй список оказывается подходящим кандидатом на то, чтобы отражать результаты подбрасывания настоящей монеты. Во-вторых, мне было известно, что большинство людей никогда не напишут серию из 5 одинаковых исходов при 30 подбрасываниях, потому что это кажется им недостаточно случайным. Для проверки того, что я не ошибся, отнеся второй список к реальному эксперименту, я решил проверить, сколь часто в этих списках происходят переходы между орлами и решками. Из-за того, что каждый раз при подбрасывании монеты шансы выпадения орла и решки одинаковы, следует ожидать, что за каждым данным исходом примерно в половине случаев следует противоположный исход, а в половине случаев — тот же самый исход. Во втором списке переходы совершаются 15 раз, а в первом — 19, что свидетельствует о человеческом вмешательстве. Представляя себе подбрасывание монеты, наш мозг склонен чередовать исходы гораздо чаще, чем это происходит на самом деле в истинно случайной последовательности: после пары орлов наш инстинкт хочет внести компенсацию и воображает исход в виде решки, несмотря на то что шансы выпадения орла остаются равными Здесь-то и проявляется заблуждение игрока. Истинная случайность не помнит, что было раньше.
Для человеческого ума оказывается невероятно сложно, если не невозможно, имитировать случайность. А при столкновении со случайностью мы часто интерпретируем ее как неслучайную. Например, на айподе есть опция воспроизведения песен «вразброс». При этом песни проигрываются в случайном порядке. Но когда компания «Apple» поставила эту программу, пользователи стали жаловаться, что она предпочитает определенных исполнителей, потому что их песни часто следовали одна за другой. Слушатели здесь впадают в заблуждение игрока. Если опция «вразброс» на айподе по-настоящему случайна, то выбор каждой следующей песни не зависит от предыдущей. Как показывает эксперимент с подбрасыванием монеты, противоречащие интуиции длинные последовательности одного и того же исхода являются скорее нормой. Если композиции выбираются случайно, то вполне возможно, или даже весьма вероятно, что будут появляться кластеры песен одного и того же исполнителя. Генеральный директор компании «Apple» Стив Джобс говорил абсолютно всерьез, когда комментировал высказывания недовольных пользователей: «Мы сейчас делаем опцию „вразброс“ менее случайной, чтобы она воспринималась как более случайная».
Почему же заблуждение игрока — столь сильный мотив? Все дело в контроле. Нам нравится ощущение контроля за тем, что вокруг нас происходит. Если события совершаются случайно, мы не можем их контролировать. Наоборот, если нам удается контролировать события, то они не случайны. Именно поэтому мы предпочитаем усматривать закономерности даже там, где никаких закономерностей нет. Тем самым мы пытаемся восстановить чувство контроля. Потребность осуществления контроля представляет собой глубокий человеческий инстинкт, связанный с выживанием. В х годах в весьма впечатляющем (если не сказать жестоком) эксперименте исследовалось, насколько ощущение контроля важно для пожилых пациентов, живущих в интернатах для престарелых. Некоторым пациентам предоставили возможность самим решать, как будут обставлены их комнаты, а также выбрать растение, за которым они будут ухаживать. Других же просто поселили в уже готовые комнаты и выделили комнатное растение. По прошествии 18 месяцев результат оказался просто устрашающим. У тех пациентов, кому была предоставлена возможность принятия решений, смертность составляла 15 процентов, а у тех, кто был этого лишен, — 30 процентов. Ощущение, что мы контролируем ситуацию, поддерживает в нас жизнь.
* * *
Случайность — нечто очень далекое от плавности и спокойствия. Она создает области пустоты и области сгущений.
Случайность позволяет объяснить, почему в некоторых небольших деревнях процент врожденных заболеваний выше нормального, почему на некоторых дорогах происходит больше несчастных случаев и почему в некоторых баскетбольных матчах оказываются забитыми все штрафные. А также почему в 7 из 10 последних финалов чемпионата мира по футболу по крайней мере у двух игроков совпадали дни рождения:
Патрик Виера, Зинедин Зидан (Франция), 23 июня Никого Эммануэль Пети (Франция), Рональдо (Бразилия), 22 сентября Франко Барези (Италия), Клаудио Таффарель (Бразилия), 8 мая Никого Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября Никого Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраляС первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения. В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.
Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.
Шаг 1
Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.
Шаг 2
Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна / ? /. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день ( возможностей из полного числа ), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый ( возможности из полного числа ). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.
Шаг 3
Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна / ? / ? /. В группе из четырех человек она оказывается равной / ? / ? / ? / и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,).
Шаг 4
Если вероятность того, что ни у каких двух человек даты рождения не попадут на один и тот же день, меньше чем 0,5, то вероятность того, что по крайней мере у двух дни рождения совпадут, оказывается больше 0,5 (из шага 1). Так что в группе из 23 человек скорее окажется, что какие-то два человека родились в один и тот же день, чем наоборот.
Футбольные матчи предоставляют нам идеальную выборку, демонстрирующую, что реальные факты отвечают предсказаниям теории, потому что на поле всегда имеется 23 человека — две команды из и игроков и судья. Впрочем, рассмотрение с этой точки зрения финалов чемпионата мира показывает, что парадокс дней рождения работает чуть-чуть слишком хорошо. Вероятность, что у двух людей в группе из 23 человек окажется один и тот же день рождения, равна 0,, что лишь едва больше 50 процентов. Однако же, судя по нашему списку, такое случилось в семи из десяти случаев (даже если исключить близнецов ван де Керкхоф), что дает 70 процентов[58].
Частично это следует отнести на счет закона больших чисел. Если бы я анализировал все матчи, сыгранные на чемпионатах мира, то можно было бы пребывать практически в полной уверенности, что результат окажется близким к 50,7 процента. Однако имеется и еще одна переменная. Равномерно ли распределены дни рождения футболистов на протяжении всего года? Возможно, нет. Исследования показывают, что для футболистов выше вероятность рождения в определенные времена года — вероятностное предпочтение оказывается у тех, кто родился сразу после даты, которая разделяет тех, кого записывают в школу на текущий год или на следующий. Дело в том, что родившиеся вскоре после этой даты будут самыми старшими в своем классе, а потому и самыми крупными, и будут показывать лучшие результаты в спорте. А если в распределение дат рождения вносится какая-то систематическая поправка, то можно ожидать более высокой вероятности совпадения дней рождения. Например, в наше время значительное число детей появляются на свет посредством кесарева сечения или искусственных родов. Это чаще случается по рабочим дням (поскольку сотрудники родильных отделений предпочитают отдыхать по выходным), и в результате оказывается, что дни рождения распределены по календарным датам не самым случайным образом. Если взять выборку из 23 людей, рожденных за один и тот же месячный период, — скажем, детей в классе начальной школы, — то окажется, что вероятность одного и того же дня рождения у двух из них существенно превосходит 50,7 процента.
Если у вас под рукой нет группы из 23 человек, чтобы проверить это, займитесь своими ближайшими родственниками. При наличии четырех человек имеется процентная вероятность, что у двух из них дни рождения придутся на один и тот же месяц. Всего лишь семь человек требуется, чтобы вероятным оказался факт рождения двоих из них в одну и ту же неделю, а в группе из 14 человек имеется пятидесятипроцентная вероятность, что два дня рождения отстоят друг от друга не более чем на один день. По мере роста группы вероятность растет на удивление быстро. В группе из 35 человек шансы на наличие совпадающего дня рождения составляют 85 процентов, а в группе из 60 — уже более 99 процентов.
А вот другой вопрос по поводу дней рождения, ответ на который настолько же противоречит интуиции, как и парадокс дней рождения: сколько людей должно быть в группе, чтобы с более чем процентной вероятностью чей-нибудь день рождения совпадал с вашим? Это совсем не то же самое, что парадокс дней рождения, потому что вы задаете конкретную дату. При рассмотрении парадокса дней рождения нас не волнует, у кого именно и с кем совпадут дни рождения; надо найти всего лишь совпадающий день рождения. А наш новый вопрос можно переформулировать так: при заданной фиксированной дате сколько раз надо бросать нашу кость с сторонами, чтобы выпала указанная дата? Ответ: раза! Другими словами, придется собрать группу из человек всего лишь для того, чтобы с вероятностью больше 50 процентов у кого-то из них день рождения совпал с вашим. Это число кажется абсурдно большим — заметим, что оно обитает заметно дальше середины отрезка между единицей и числом И тем не менее именно случайность обеспечивает появление этих совпадений — такой размер группы необходим потому, что дни рождения людей не распределены регулярным образом. Среди этих человек окажется много тех, у кого дни рождения совпадают (не совпадая при этом с вашим!), и все это тоже надо учесть.
Урок, извлекаемый из парадокса дней рождения, состоит в том, что совпадения происходят намного чаще, чем нам кажется. В немецкой лотерее «Lotto» у каждой комбинации чисел имеется один из 14 миллионов шанс на выигрыш. И однако же, в и в годах выиграла одна и та же комбинация: Насколько невероятно такое совпадение? Не слишком, если разобраться. Между двумя появлениями одной и той же выигрышной комбинации лотерея разыгрывалась раз. Вычисление, позволяющее найти, сколько раз в розыгрыше должна появляться одна и та же комбинация, эквивалентно вычислению шанса на то, что найдутся совпадающие дни рождения в группе из человек, если всего имеется 14 миллионов возможных дней рождения. Искомая вероятность получается равной 0, Другими словами, имеется более чем процентная вероятность того, что две выигрышные комбинации за этот период окажутся одинаковыми, так что произошедшее «совпадение» — не слишком нереалистичное событие.
Вот еще один случай. В – годах некая дама из Нью-Джерси дважды за четыре месяца стала победительницей лотереи, проводимой в ее родном штате. Повсюду говорили, что шансы такого исхода — один из 17 триллионов. Однако хотя вероятность купить выигрышный билет в каждой из двух лотерей и оба раза сорвать джекпот действительно равна единице на 17 триллионов, это не означает, что вероятность того, что кто-то где-то победит в двух лотереях, столь же мала. На самом деле такое вполне вероятно. Стивен Сэмюелс и Джордж Маккейб из Университета Пэрдью вычислили, что за период в семь лет вероятность двойного выигрыша в лотерею в Соединенных Штатах превосходит 50 процентов. Даже за период в четыре месяца имеется более одного шанса из 30 на появление двойного выигрыша в пределах страны. Перси Диаконис и Фредерик Мостеллер назвали это законом очень больших чисел: «При достаточно большой выборке может произойти любая сколь угодно несуразная вещь».
* * *
С математической точки зрения лотереи — без сомнения наихудший вариант из всех ставок во всех азартных играх, дозволяемых законом. Даже самый наискупой игровой автомат предлагает вам процент возврата около 85 процентов. А в лотерее «Мега-Миллионс» процент возврата равен примерно Лотереи — занятие, не представляющее никакого риска для организаторов, поскольку призовые деньги — это просто перераспределенные деньги, уже полученные ими. Или, как в случае лотереи «Мега-Миллионс», это распределение половины полученного.
В редких случаях, однако, лотереи могут оказаться наилучшим способом получить хороший выигрыш. Такое происходит, когда из-за «переходящего» джекпота заявленный выигрыш становится больше, чем цена покупки всех возможных комбинаций чисел. В таких случаях вы можете быть уверены, что получите выигрышную комбинацию. Риск состоит только в том, что могут найтись люди, у которых уже есть выигрышная комбинация, — и тогда вам придется разделить главный выигрыш с ними. Впрочем, подход «купи-все-комбинации» подразумевает способность сделать именно это, что может оказаться делом нелегким как с теоретической, так и с логистической точки зрения.
Игроки в «Мега-Миллионс» должны выбрать пять чисел от 1 до 56 и одно от 1 до Имеется около миллионов возможных комбинаций. Как перечислить все эти комбинации таким образом, чтобы каждая из них встречалась только один раз, без дублирования? В начале х годов румынский математик Стефан Мандел задался этим вопросом относительно румынской лотереи, которая по масштабу гораздо меньше американских. Получить ответ оказалось совсем непросто. Мандел, однако, в конце концов решил задачу, правда потратив на нее несколько лет, и стал победителем в румынской лотерее года. (Он не скупил все комбинации, потому что это было бы слишком дорого, а применил вспомогательный метод, называемый «уплотнением», который гарантирует, что по крайней мере 5 из 6 чисел будут правильными. Обычно за угадывание 5 чисел полагается второй приз, но ему повезло, и он сразу же выиграл главный.) Записанный на бумаге алгоритм Мандела, позволяющий определить те комбинации, которые надо покупать, занял страниц. Вскоре после получения выигрыша он эмигрировал в Израиль, а затем в Австралию.
Уже в Мельбурне Мандел основал международный синдикат по лотерейным ставкам, собрав с его участников достаточно денег для того, чтобы при желании иметь возможность скупить все комбинации в лотерее. Он следил за проводимыми по всему миру лотереями с переходящими джекпотами, как минимум в три раза превышающими суммарную цену покупки всех комбинаций. В году в поле его зрения попала лотерея штата Виргиния, в которой было семь миллионов комбинаций, а каждый билет стоил 1 доллар, при том что джекпот достиг почти 28 миллионов долларов. Тогда Мандел принялся за дело. Он печатал купоны в Австралии, заполнял их на компьютере так, чтобы они охватили все семь миллионов комбинаций, а затем отправлял самолетом в Соединенные Штаты. И — получил главный приз, а заодно и вторых призов!
Лотерея в Виргинии была самым большим из сорванных Манделом джекпотов, доведя счет его побед, одержанных после отъезда из Румынии, до Служба внутренних доходов США (The U.S. Internal Revenue Service), ФБР, и ЦРУ проявили интерес к синдикату Мандела и попытались расследовать его методы участия в лотерее, но ничего противоправного эти уважаемые организации не нашли. Ведь нет ничего незаконного в том, чтобы скупить все комбинации, хотя это и слегка отдает аферой. Мандел в настоящее время отошел от дел, связанных с лотереями, и наслаждается жизнью на одном из тропических островов южной части Тихого океана[59].
* * *
Особенно выразительное и наглядное представление случайности изобрел в году Джон Венн (–). Венн, быть может, — наименее яркий из всех математиков, имя которых постоянно на слуху. Он был кембриджским профессором и англиканским клириком и провел большую часть жизни, занимаясь составлением сборника биографий выпускников Кембриджа, получивших дипломы до года. Никаких революционных прорывов в своей науке он не совершил, но тем не менее разработал замечательный способ для объяснения логических рассуждений с помощью пересекающихся окружностей. Хотя в предшествующие столетия и Лейбниц, и Эйлер рассматривали нечто очень похожее, диаграммы были названы в честь Венна[60]. Гораздо меньше известно, что Венн придумал блестящий способ для иллюстрации случайности.
Представим себе точку, поставленную в центре белого листа бумаги. Из этой точки выходят восемь возможных направлений: на север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад и северо-запад. Припишем этим направлениям числа от 0 до 7. Случайным образом выберем число от 0 до 7 и проведем отрезок прямой в направлении, отвечающем полученному числу. Будем делать так снова и снова, в результате чего на бумаге появится некая кривая. Венн проделал такое для самой непредсказуемой из известных ему числовых последовательностей — десятичного разложения числа ? (откуда исключил восьмерки и девятки)[61]. Результат, писал он, представлял собой «очень правильное наглядное представление случайности».
Построенный Венном чертеж стал, по-видимому, самой первой диаграммой «случайного блуждания». То же самое нередко называют «блужданием пьяницы», апеллируя к более выразительной картинке, на которой вместо исходной точки — фонарный столб, а вместо числа ? — человек в состоянии сильного опьянения, совершающий неуверенные движения. Один из самых очевидных вопросов, которые здесь напрашиваются, — насколько далеко пьяница сумеет отойти от столба, пока еще стоит на ногах? В среднем, чем дольше он будет блуждать, тем дальше от столба окажется. Выяснилось, что расстояние между пьяницей и фонарем растет как квадратный корень из времени прогулки. Итак, если за один час наш пьянчужка в среднем проходит один квартал, то, если дать ему четыре часа, он пройдет два квартала, а через девять часов — три.
Во время своего случайного блуждания наш подвыпивший герой будет иногда ходить кругами, повторяя собственные шаги. Какова вероятность, что он в конце концов снова набредет на фонарный столб? Как ни странно, ответ таков: процентов! Он может блуждать годами в самых отдаленных уголках, но будьте уверены — если дать ему достаточно времени, он в конце концов обязательно вернется в исходную точку.
Представим себе, что пьяница блуждает в трех измерениях. Назовем это «полетом одурелого шмеля». Шмель стартует из некоторой точки в трехмерном пространстве и летит в случайном направлении на фиксированное расстояние по прямой. Затем он останавливается, переводит дух и снова, жужжа, срывается с места в другом случайном направлении, пролетая то же самое расстояние. И так далее. Какова вероятность, что в конце концов он вернется в точку своего старта? Ответ: всего 0,34, то есть около трети. Не правда ли, довольно странно, что в двух измерениях возвращение пьяницы к фонарному столбу представляло собой абсолютную определенность, но еще более странно то, что шмель, жужжащий в воздухе неограниченно долго, с высокой вероятностью никогда не вернется домой.
Первый в мире пример случайного блуждания. Из книги Джона Венна «Логика шанса» (). Траектория задается цифрами из разложения числа ?, начиная с
Главный герой романа-бестселлера Люка Рейнхарта «Дайсмен» («Человек — Игральная кость») принимает жизненно важные решения, бросая игральную кость. Представим себе «Человека-монету», который принимает решения, подбрасывая монету. Если, скажем, у него выпадает орел, он передвигается на один шаг вверх по странице, а если решка — то вниз. Путь нашего Человека-монеты подобен блужданиям уже знакомого нам пьяницы, но в одном измерении, ведь он может смещаться только вдоль одной и той же прямой. Изобразим на графике случайные блуждания, описываемые вторым из двух отчетов о 30 бросаниях монеты, приведенных ранее. Получается вот что:
Блуждание изображается изломанной линией, состоящей из пиков и провалов. Если продолжить упражнение и бросать монету все большее число раз, то проявится тенденция. Линия будет «раскачиваться» вверх и вниз, причем все сильнее и сильнее. Человек-монета будет двигаться, удаляясь все дальше и дальше от начальной точки в обоих направлениях. Ниже приведены графики, которые я составил для путешествий шести Человек-монет, каждый для бросаний монеты.
Если мы вообразим себе, что в одном направлении на определенном расстоянии от начальной точки стоит барьер, то окажется, что в конце концов Человек-монета уткнется в него со процентной вероятностью. Неизбежность этого столкновения весьма поучительна при анализе закономерностей, связанных с играми.
Вместо того чтобы отправлять Человека-монету в путешествие в пространстве, можно использовать траекторию его движения как иллюстрацию состояния его банковского счета. А подбрасывание монеты пусть будет азартной игрой, в которую он играет. При выпадении орла он выигрывает долларов, а решка означает проигрыш долларов. Сумма на его счете будет колебаться — то есть вести себя подобно волнам все большей величины. Установим барьер: Человек-монета не может продолжать игру, если на его счете о долларов. Оказывается, он гарантированно наткнется на этот барьер! Другими словами, в любом случае его ждет банкротство. Этот феномен известен под экспрессивным названием разорение игрока.
Конечно, ни одно казино не расщедрится до такой степени, чтобы ваши шансы были такими же, как при подбрасывании монеты (где процент возврата равен ). Если шансы на проигрыш выше, чем шансы на выигрыш, график случайных блужданий будет смещаться вниз, вместо того чтобы следовать за ходом горизонтальной оси. Другими словами, банкротство наступит еще быстрее.
Случайные блуждания объясняют, почему преимущество в игре имеют очень богатые. Дело не только в том, что они дольше не становятся банкротами, но и в том, что вероятность того, что их случайные блуждания будут время от времени устремляться вверх, у них выше. Впрочем, секрет выигрыша — что для богатых, что для бедных — это знать, когда остановиться.
Математика случайных блужданий содержит некоторые головоломные парадоксы. Рассматривая приведенные выше графики, где Человек-монета движется вверх или вниз в зависимости от результатов подбрасывания монеты, мы могли бы предположить, что кривая случайных блужданий нашего героя будет с достаточным постоянством пересекать горизонтальную ось. Монета дает шансы выпадения орла или решки, так что логично ожидать, что Человек-монета будет проводить одинаковое время с каждой стороны от начальной точки. На самом же деле верно противоположное утверждение. Если монета подбрасывается бесконечно много раз, то наиболее вероятное число переходов с одной стороны на другую равно нулю. Следующее наиболее вероятное число — единица, затем два, три и т. д.
Даже для конечного числа бросаний монеты получаются достаточно странные результаты. Уильям Феллер вычислил, что если монету подбрасывать раз в секунду на протяжении целого года, то имеется один шанс против 20, что Человек-монета будет находиться на одной и той же стороне графика в течение более чем дней и 10 часов. «Мало кто верит, что честная монета породит нелепую последовательность, в которой для миллионов попыток подряд не будет происходить смены стороны; а тем не менее честная монета будет совершать такое с известной регулярностью, — писал он в книге „Введение в теорию вероятностей и ее применения“. — Если бы современному педагогу или психологу пришлось описывать сюжеты, возникающие на достаточно долгом отрезке времени в какой-либо отдельно взятой игре с подбрасыванием монеты, то он наверняка бы зачислил большинство монет в разряд неправильных».
* * *
Чудесная способность случайности опровергать прогнозы, диктуемые нашей интуицей, приводит в восторг чистых математиков, но она же прельщает нечистых на руку. Недостаточное понимание основ теории вероятностей означает, что вас легко надуть. Если, например, вы когда-либо подумывали о том, чтобы обратиться в компанию, служащие которой утверждают, что способны предсказать пол вашего ребенка, значит, вы чуть не стали жертвой старого как мир трюка. Представим себе, что я открыл фирму под названием «Узнай-Пол-Ребенка», и заявляю, что обладаю некой научной формулой для предсказания, родится у вас мальчик или девочка. «Узнай-Пол-Ребенка» берет с матерей установленную плату за предсказание. Из-за колоссальной уверенности в точности своей формулы, а также вследствие филантропической щедрости ее генерального директора (то есть меня) фирма также предлагает полное возмещение расходов, если предсказание окажется неверным. Приобретение у фирмы предсказания выглядит как выгодная сделка: или компания «Узнай-Пол-Ребенка» окажется права — и тогда все останутся довольны, или она ошибется — и вы получите назад свои деньги. Увы, на самом деле тайная научная метода, которой пользуются в «Узнай-Пол-Ребенка», состоит в подбрасывании монеты. Если выпадает орел, я говорю, что родится мальчик, а если решка — девочка. Теория вероятностей говорит, что я буду прав примерно в половине случаев, потому что число рождающихся мальчиков примерно равно числу рождающихся девочек. Конечно, в половине случаев я верну деньги, зато кое-что мне все-таки останется!
Эта афера работает, потому что женщины не задумываются о проблеме в целом. Каждая из них воспринимает себя как выборку в количестве одного лица, а не как часть большой группы. Удивительное дело, но фирмы, предсказывающие пол младенца, продолжают существовать, и довольно неплохо, в чем несложно убедиться с помощью Интернета. Дети на нашей планете рождаются ежеминутно, и всегда есть кто-то, кто хочет немного заработать на наивности будущих мамаш.
* * *
Устраивать аферы — аморально, а нередко и незаконно. Попытка же одолеть казино, наоборот, часто воспринимается как дело правое. Для математиков возможность бросить вызов случайности — все равно что красная тряпка для быка, и имеется почетный список тех, кто в этом преуспел.
Первый метод борьбы со случайностью заключается в осознании того, что наш мир не совершенен. Джозеф Джаггер (–) был самым обычным механиком на ткацкой фабрике в Ланкашире, однако он достаточно преуспел в инженерных науках, дабы понять, что колесо рулетки не может крутиться абсолютно идеально. Однажды его осенило, что если колесо сбалансировано не идеально, то оно обязательно будет предпочитать некоторые числа. В году, в возрасте 43 лет, он отправился в Монте-Карло, чтобы проверить свою теорию. Джаггер нанял шестерых помощников, закрепил за каждым из них один стол в казино (всего столов было шесть) и поручил записывать все числа, которые выпадают в течение недели. Проанализировав полученные данные, он увидел, что колесо одной рулетки и в самом деле демонстрировало некоторую закономерность — девять чисел выигрывали чаще других. Это отклонение было столь малым, что становилось заметным только при записи результатов сотен сыгранных конов.
Джаггер тут же облюбовал эту рулетку и принялся делать ставки. За день он выиграл сумму, эквивалентную 70 нынешних долларов.
Хозяева казино, однако, проследили, что Джаггер играет только на одном столе. Чтобы запутать его, они поменяли рулеточные колеса местами. Начав проигрывать, Джаггер догадался, в чем дело, и перебрался к столу с заветным колесом — он узнал его по характерной царапине. И снова начал выигрывать! Джаггер сдался, только когда в казино снова предприняли защитные действия, — поменяли местами ободы рулеток, из-за чего балансировка изменилась, и номера, которые раньше выигрывали, перестали быть «счастливыми». Но к этому времени Джаггер уже был обладателем долларов, что по тем временам было миллионным состоянием. Вернувшись домой, он уволился и вложил деньги в недвижимость. Метод Джаггера повторили в Неваде в – годах два молодых ученых — Эл Хиббс и Рой Уолфорд. Взяв в долг долларов, они превратили эту сумму в 42 долларов, что позволило им купить роскошную яхту и отправиться на 18 месяцев в плавание по Карибскому морю, устроив неплохой перерыв в научных занятиях. В наши дни владельцы казино, учтя прошлый опыт, меняют колеса с гораздо большей регулярностью, чем это делалось раньше.
Второй способ заставить удачу работать на вас — это задаться вопросом, что вообще такое случайность. События, случайные при одних условиях, вполне могут оказаться неслучайными в свете других. Это означает превращение математической задачи в физическую. Подбрасывание монеты случайно потому, что мы не знаем, как именно она приземлится, но подброшенные монеты подчиняются ньютоновским законам движения. Зная в точности скорость и угол подбрасывания, плотность воздуха и все остальные существенные физические параметры процесса, мы могли бы точно вычислить, какой стороной монетка упадет. В середине х годов молодой математик по имени Эд Торп задумался, а какого типа информация требуется, чтобы предсказать, где именно остановится шарик на рулетке.
Торпу помогал его коллега по Массачусетскому технологическому институту Клод Шеннон. И тут лучшего сообщника, пожалуй, не найти! Шеннон был талантливым изобретателем, и в его гараже хранились самые разнообразные электрические и механические приспособления. Кроме того, он — один из самых знаменитых математиков, создатель теории информации, важнейшего научного направления, приведшего к появлению компьютера. И вот Торп и Шеннон, приобретя рулеточное колесо, принялись экспериментировать в подвале шенноновского дома. После нескольких опытов они установили, что, зная скорость шарика, когда он катится по неподвижному внешнему ободу, а также скорость внутреннего колеса (которое крутится в сторону, противоположную движению шарика), можно довольно точно предсказать, в каком секторе колеса шарик остановится. Поскольку казино позволяют делать ставки после того, как вброшен шарик, все, что было нужно Торпу и Шеннону, — это придумать, как измерить эти скорости и обработать их значения в течение нескольких секунд, пока крупье не объявит, что ставок больше нет.
И снова азартные игры послужили прогрессу науки. Чтобы предсказывать исход игры, наши математики построили первый в мире компьютер, который можно надеть на себя. Машина помещалась в кармане, откуда шли провода в ботинок, где находилась кнопка, а еще один провод шел к миниатюрному наушнику. От обладателя всего этого требовалось нажать на кнопку четыре раза: когда выбранная точка на колесе проходила через определенную отметку, когда колесо делало один полный оборот, когда шарик проходил через ту же точку и когда шарик совершал полный оборот. Этой информации было достаточно, чтобы оценить скорости колеса и шарика.
Торп и Шеннон разбили колесо на восемь секторов по пять чисел в каждом (некоторые секторы, впрочем, перекрывались, поскольку всего имеется 38 ячеек). Карманного размера компьютер исполнял в наушнике гамму из восьми нот — октаву — и та нота, на которой он останавливался, определяла сектор, где должен был остановиться шарик. Компьютер не мог сказать, в какую точно ячейку попадет шарик, но этого и не требовалось. Все, чего хотели Торп и Шеннон, — это чтобы их предсказания были лучше, чем случайное угадывание. Прослушав ноты, обладатель компьютера ставил фишки на все пять чисел в соответствующем секторе. Метод оказался на удивление точным — по оценкам Торпа и Шарпа, можно было ожидать выигрыша в 4,4 доллара на каждую ставку в 10 долларов.
И вот Торп и Шеннон отправились в Лас-Вегас, на полевые испытания. Компьютер работал, пусть даже и не слишком надежно. Заговорщики старались привлекать как можно меньше внимания, но наушник все время выпадал, а провода постоянно обрывались. Тем не менее система работала, и изобретатели смогли превратить небольшую стопку фишек достоинством в десять центов в несколько кучек. Торп вполне удовлетворился практическим подтверждением теоретической возможности победить рулетку. Однако его атака на другую азартную игру принесла ему гораздо более громкий успех.
Блек-джек, или двадцать одно, — карточная игра, цель которой состоит в том, чтобы набрать «руку», то есть набор карт, так, чтобы суммарное значение очков было как можно ближе к верхнему пределу, равному Дилер — сдающий — сдает карты всем участникам игры и самому себе тоже. Чтобы выиграть, вы должны набрать сумму старше, чем у дилера, но не выше
Подобно всем классическим играм, присутствующим в казино, блек-джек предоставляет небольшое преимущество заведению. Если вы играете в блек-джек достаточно долго, то в конце концов проиграете все свои деньги. В году в малоизвестном журнале по статистике появилась забавная статья. Ее авторы утверждали, что изобрели стратегию, при которой преимущество заведения составляет лишь 0,62 процента. Проштудировав статью, Торп освоил эту стратегию и решил протестировать ее в реальном казино. Он взял отпуск и отправился в Вегас. Испытания показали, что он теряет деньги намного медленнее других игроков. Тогда Торп решил разобраться в блек-джеке поглубже. Это решение изменило его жизнь.
* * *
Эду Торпу сейчас 75 лет, но я подозреваю, что он не сильно изменился за полвека. Худощавый, с длинной шеей и выразительным лицом, аккуратная, как у школьника, прическа, недорогие, без претензий, очки, но уверенная прямая осанка. Тогда, вернувшись из Вегаса, Торп еще раз перечитал ту журнальную статью.
— Я сразу — буквально через пару минут — понял, как можно почти наверняка выиграть у казино, если следить за картами, которые уже вышли, — вспоминает он. — Блек-джек отличается, скажем, от рулетки тем, что вероятности исхода изменяются, как только сдана очередная карта. При игре в рулетку вероятность, что шарик попадет на 7, — , и она не меняется, пока колесо крутится. При игре в блек-джек вероятность, что первая сданная карта будет тузом, равна 1/13. Вероятность, что вторая карта будет тузом, однако, не равна 1/13 — она уже равна 1/51, потому что в колоде осталась 51 карта, из которых всего лишь три туза.
Торп полагал, что должна быть система, позволяющая повысить шансы игрока. Оставалось только ее найти.
В колоде из 52 карт имеется 52 ? 51 ? 50 ? 49 ? … ? 3 ? 2 ? 1 способов упорядочения карт. Это число равно примерно 8 ? 1067, что есть 8 с 67 нулями — число столь огромное, что крайне маловероятно, что за всю историю мироздания карты в двух случайно перетасованных колодах окажутся лежащими в одном и том же порядке — даже если все население Земли непрерывно играло бы в карты от момента Большого взрыва и до наших дней. Торп рассудил, что возможных перестановок карт слишком много для того, чтобы человеческий мозг был в состоянии пользоваться какой-либо системой запоминания перестановок. Вместо этого он решил выяснить, каким образом шансы меняются в зависимости от того, какие карты уже сданы. Используя один из первых компьютеров, он узнал, что, следя за пятерками в каждой масти — пятерками червей, пик, бубен и треф, — игрок может сделать вывод о том, благоприятен ли для него расклад колоды. В разработанной Торпом системе блек-джек становился игрой, в которой возможен выигрыш с ожидаемым возвратом до 5 процентов в зависимости от расклада в колоде. Торп изобрел метод «счета карт».
Изложение своей теории он направил для публикации в журнал Американского математического общества.
— Когда в журнале появилась аннотация статьи, все решили, что это просто розыгрыш, — вспоминает он. — Тогда в научном мире считалось, что ни одну из основных азартных игр нельзя одолеть с помощью математики. Это была непререкаемая истина, причем весомо подтвержденная исследованиями, проводившимися на протяжении пары сотен лет.
Доказательства, утверждающие возможность выигрыша в казино вопреки теории вероятностей, смахивают на доказательства квадратуры круга, которые, в свою очередь, гарантируют, что у человека не все в порядке с головой. По счастью, один из членов комиссии Американского математического общества, рассматривавшей статьи на предмет возможной публикации, был одноклассником Торпа, и аннотация его статьи была напечатана.
В январе года Торп представил свою работу на зимнем собрании Американского математического общества в Вашингтоне. Новость быстро распространилась по всей стране. Ученого завалили письмами и оборвали ему телефон. Все наперебой предлагали ему профинансировать кампанию по разорению казино, а затем поделить прибыль. Один нью-йоркский синдикат предложил Торпу долларов. Он позвонил по телефону, указанному в письме, и спустя некоторое время перед его домом остановился «кадиллак». Оттуда вылез пожилой коротышка в сопровождении двух очаровательных блондинок в норковых шубах.
Этот человек оказался Манни Киммелом — известным нью-йоркским гангстером, а по совместительству любителем математики и заядлым игроком в азартные игры по-крупному. Киммел нахватался азов теории вероятностей и знал о парадоксе дней рождения — одним из его любимых развлечений было держать пари на совпадающие дни рождения в группе людей. Киммел представился и сообщил, что является владельцем 64 нью-йоркских парковок (что было истинной правдой). Он также представил девушек как своих племянниц (что, скорее всего, правдой не было). Я спросил Торпа, заподозрил ли он, что Киммел связан с мафией.
— В то время я очень мало что знал о мире игорного бизнеса, если не считать моих теоретических изысканий. И конечно же я никогда не занимался устройством преступного мира. Киммел держался как богатый бизнесмен, и тому имелось немало видимых подтверждений.
Киммел пригласил Торпа заехать к нему на следующей неделе в его роскошную квартиру на Манхэттене и сыграть в блек-джек. После нескольких раундов Киммел убедился, что метод счета карт работает. Вдвоем они полетели в Рено, дабы испытать систему в деле. Начав с 10 долларов, к концу путешествия они имели уже 21 долларов.
* * *
Когда вы играете в казино, два фактора существенно влияют на то, сколько денег вы выиграете или проиграете. Стратегия игры — это то, как выиграть игру. Стратегия ставок — это как управлять деньгами: сколько и когда ставить. Стоит ли, например, ставить все деньги на одну-единственную ставку? Или разумно разбить их на возможно меньшие порции? Разные стратегии могут приводить к поразительно разным результатам.
Самая известная стратегия ставок называется «мартингал», или удвоение; она была популярна среди французских игроков в XVIII столетии. Принцип состоит в том, чтобы удваивать ставку, если вы проигрываете. Пусть, скажем, вы поставили на подбрасывание монеты. Орел означает, что вы получаете 1 доллар, а решка — что проигрываете 1 доллар. Пусть при первом подбрасывании выпадает решка. Вы проиграли 1 доллар. В следующий раз ставьте 2 доллара. Победа во втором раунде принесет вам 2 доллара, что компенсирует вашу потерю в 1 доллар в первом раунде, и вы останетесь с доходом в 1 доллар. Предположим теперь, что вы проиграли первые пять подбрасываний: ваши потери тогда будут равны 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 доллару, так что шестая ставка должна составлять 32 доллара. Если вы выигрываете, вы компенсируете все свои потери и даже останетесь в выигрыше. Правда, несмотря на то, что вам пришлось рисковать столь большими деньгами, вы в плюсе всего на 1 доллар — размер вашей исходной ставки.
Мартингал обладает несомненной привлекательностью. В игре, где шансы выиграть или проиграть составляют почти (как, например, при ставках на красное в рулетку, где вероятность успеха — 47 процентов), вероятность, что вы выиграете достаточную часть раундов, не так уж мала, так что у вас неплохой шанс остаться в плюсе. Но система мартингала не защищена от сбоев. Вначале вы выигрываете только малыми порциями. А мы знаем, что в последовательности из 30 бросаний монеты полоса в пять орлов или пять решеток скорее случится, чем нет. Если вы начали со ставки в 40 долларов и проиграли пять игр подряд, то после этого вам придется поставить уже долларов. В казино «Перечница» вам просто не дадут такого сделать: максимальная ставка там равна долларов. Одна из причин, почему казино вводят максимальный размер ставки, состоит в желании противодействовать системам, подобным мартингалу. Экспоненциальный рост ставок при мартингале в случае проигрыша нескольких игр подряд часто ускоряет банкротство, а не служит гарантией против него. Самый знаменитый пропагандист этой системы жил в XVIII столетии — то был венецианский плейбой Джакомо Казанова, и он убедился в этом на горьком опыте. «Я продолжал играть на мартингал, — сказал он однажды, — но мне сопутствовало такое невезение, что я вскоре остался без единого цехина».
Если тем не менее, встав у рулеточного стола в «Перечнице», вы будете играть на мартингал, то вам должно страшно не повезти, если, начав со ставки в 10 долларов на красное, в конце концов вы не выиграете 10 долларов. Система откажет, только если вы проиграете шесть раз подряд, а шансы на это — один из Однако как только вы окажетесь в плюсе, весьма благоразумно будет получить свой выигрыш и покинуть заведение[62]. Если вы будете продолжать игру, шансы на несчастливую полосу в конце концов пробьют себе дорогу.
Рассмотрим иную систему ставок. Представьте себе, что вы играете в рулетку в казино, вам дали 20 долларов и сказали, что надо ставить на красное. Какова наилучшая стратегия удвоить имеющиеся деньги? Надо ли проявить отвагу и поставить все за один раз, или же следует быть осторожным и делать наименьшие возможные ставки, то есть по 1 доллару? Хотя с первого взгляда это кажется безрассудным, ваши шансы на успех заметно выше, если вы поставите всю сумму в один присест. Выражаясь математически, смелая игра здесь оптимальна. И после небольшого размышления становится понятно, почему это так: закон больших чисел говорит, что в долгой перспективе вы проиграете. Ваш самый лучший шанс — сократить игру насколько возможно.
В году этому принципу последовал летний англичанин Эшли Ревел. Он продал все, что у него было, включая одежду, и в одном из казино Лас-Вегаса поставил вырученную сумму — долларов — на красное. В случае проигрыша он по крайней мере стал бы телезвездой, поскольку весь процесс снимался для телевизионного реалити-шоу. Но шарик застыл на красной семерке — и Ревел отправился домой с долларов в кармане!
* * *
Что же касается игры в блек-джек, то тут перед Эдом Торпом стояла другая проблема. Его система, основанная на счете карт, позволяла в определенные моменты игры с уверенностью сказать, имеет ли игрок преимущество перед дилером. Торп задался вопросом: какова наилучшая стратегия ставок, чтобы шансы склонились в вашу пользу?
Представим себе, что имеется ставка, когда шанс выиграть составляет 55 процентов, а шанс проиграть — 45 процентов. Для простоты будем считать, что процент возврата равен и мы играем раз. Наше преимущество — шансы на выигрыш — 10 процентов. При продолжительной игре наш выигрыш будет в среднем составлять 10 долларов на каждые поставленные долларов. Чтобы максимизировать полный доход, нам, очевидно, необходимо максимизировать полную сумму всех ставок. Как именно это сделать, ясно не сразу, поскольку максимизация капитала требует минимизации риска потерять его целиком. Рассмотрим, как работают следующие четыре стратегии ставок.
Стратегия 1. Ва-банк.
В точности как Эшли Ревел, поставьте все, чем вы располагаете, на первую же ставку. Если выиграете, удвоите свои деньги. Если проиграете, будете банкротом. В случае выигрыша в следующей игре снова ставьте все целиком. Единственный шанс избежать потери всего — это выиграть все игр. Вероятность, что такое случится, — с учетом того, что вероятность выигрыша в каждой игре по отдельности равна 0,55, — составляет около одного шанса из 10 (что есть 1 со нулями). Другими словами, можно быть вполне уверенным, что к й игре вы будете банкротом. Очевидно, что это не очень удачная долгосрочная стратегия.
Стратегия 2: Фиксированная ставка.
Ставьте каждый раз фиксированную сумму. Если вы выиграете, то ваше благосостояние возрастет на это фиксированное число. Если проиграете, то оно на столько же уменьшится. Поскольку вы выигрываете больше раз, чем проигрываете, ваш капитал будет в целом возрастать — но будет возрастать только ступеньками заданной величины. Как показывает график, объем ваших денег будет расти не очень быстро.
Стратегия 3: Мартингал.
Эта стратегия обеспечивает более быстрый рост, чем стратегия фиксированной ставки, потому что потери компенсируются удвоением вслед за потерей, однако с этим же сопряжен и заметно больший риск. Всего лишь несколько проигрышей могут сделать вас банкротом. Опять же, это не слишком удачная долгосрочная стратегия.
Стратегия 4: Пропорциональные ставки.
В этом случае размер ставки равен некоторой части от имеющихся у вас денежных средств (банка). Эта часть определяется вашим шансом на выигрыш. Имеется несколько вариантов пропорциональных ставок. Система, по которой ваши капиталы растут быстрее всего, называется стратегией Келли. Она предписывает ставить долю вашего банка, определяемую отношением (преимущество игрока) / (шансы в игре). В нашем случае преимущество равно 10 процентам, а шансы в игре — равные (или ), так что искомое отношение равно 10 процентам. Итак, ставьте каждый раз 10 процентов от имеющихся у вас денег. Если вы выиграете, ваш капитал увеличится на 10 процентов, так что следующая ставка тоже будет на 10 процентов больше. Если вы проиграете, то капитал уменьшится на 10 процентов, и следующая ставка будет на 10 процентов меньше. Это очень безопасная стратегия: если вы попали в полосу проигрышей, абсолютное значение ставки уменьшается, а потому ваши потери ограничены. Эта стратегия сулит большой выигрыш, потому что — как в случае со сложными процентами — при попадании в полосу выигрышей ваше богатство растет экспоненциально. Вы оказываетесь в лучшем из миров, где царят низкий риск и высокая отдача. Достаточно взглянуть на график, чтобы увидеть, как работает эта стратегия: сначала медленно, но в конце концов, после примерно сделанных ставок, вы оставляете всех партнеров по игре далеко позади.
Компьютерное моделирование сыгранных ставок, в каждой из которых вероятность выигрыша равна 55 процентам. Исходно имеется 1 доллар. В стратегиях «фиксированная ставка», «мартингал» и «Келли» первая ставка равна 10 центам. В стратегии «ва-банк» на кон каждый раз ставится все, что имеется
Ту статью года, где была приведена ставшая позже знаменитой формула игры, что так впечатлила Эда Торпа, написал техасский математик Джон Келли-младший. Когда Эд Торп применил ее на практике во время игры в блек-джек, результаты оказались просто поразительными. «Как выразился один генерал, вы приходите к цели „самым первейшим в виде самом лучшейшем“». Даже с небольшими шансами на выигрыш, но при осмотрительном управлении деньгами можно добиться колоссальной прибыльности. Я спросил Торпа, с помощью какой стратегии можно больше выиграть в блек-джек — метода счета карт или использования формулы Келли.
— Мне кажется, что после десятилетнего исследования этого вопроса, — ответил он, — достигнутый консенсус состоит в том, что доля стратегии Келли — приносит две трети или три четверти того, что вы хотите получить, а стратегия счета карт — что-то от четверти до трети. Так что стратегия Келли эффективней.
С помощью метода Келли Торп выиграл более 80 миллиардов долларов на финансовых рынках.
* * *
В году Эд Торп выпустил книгу «Обыграй дилера», в которой описал свою систему счета карт. Во втором издании, вышедшем в году, он внес в нее уточнения, предложив считать также карты достоинством в 10 очков (валет, дама, король и десятка). Хотя они влияют на шансы на проигрыш в меньшей степени, чем пятерки, таких карт в колоде больше, поэтому легче оценить шансы на выигрыш. В мире было продано более миллиона экземпляров книги «Обыграй дилера». Она воодушевляла — и продолжает воодушевлять — легионы любителей азартных игр.
Чтобы помешать игрокам использовать метод счета карт, казино пробовали применять различные способы. Самый распространенный — игра многими колодами. В этом случае в игре участвует большее число карт, и считать их становится труднее, в результате игроки чаще проигрывают. «Останови профессора» — приспособление, которое перетасовывает много колод одновременно, — получило такое название по сути дела в честь Торпа. Кроме того, владельцам казино пришлось запретить использование компьютера для составления прогнозов при игре в рулетку.
Торп последний раз играл в блек-джек в году.
— Мы с семьей поехали на Всемирную выставку в Спокан. По дороге остановились в отеле «Harrah’s», и я сказал детям, что мне нужна пара часов, чтобы заработать денег на поездку, — что и было исполнено.
«Обыграй дилера» — это не просто классика жанра. Эта книга не осталась незамеченной и в мире экономики и финансов. Целое поколение математиков, вдохновленных книгой Торпа, принялось разрабатывать модели финансовых рынков, применяя к ним различные стратегии ставок. Двое из этих математиков — Фишер Блэк и Майрон Скоулз — вывели формулу Блэка — Скоулза для оценки финансовых деривативов. Это самое знаменитое — и самое скандальное — из уолл-стритовских уравнений.
Торп возвестил начало новой эры — эры господства специалистов по количественному анализу, «числовиков», математиков, которые находят для банков какие-то хитрые, наиболее прибыльные способы инвестирования.
«Обыграй дилера» была первой «числовой» книгой в этой области, и она в известной степени привела к чему-то вроде революции, — говорит Торп, который может — и не без оснований — сказать про себя, что он был самым-самым первым «числовиком».
Следующая его книга — «Обыграй рынок» — способствовала трансформации рынков ценных бумаг. В начале х годов, на пару со своим партнером по бизнесу, он основал первый «нейтральный по отношению к рынкам» хедж-фонд[63]. Идея состояла в том, чтобы избегать всякого рыночного риска. С тех пор Торп продолжал придумывать все более и более изощренные математические финансовые продукты, что сделало его невероятно богатым (во всяком случае, для профессора математики). Хотя он и управлял хорошо известным хедж-фондом, сейчас он сосредоточился на семейном предприятии, куда инвестирует только свои собственные деньги.
* * *
Я встретился с Торпом в сентябре года. Мы сидели в его офисе, расположенном в небоскребе в Ньюпорт-Бич. Из окна открывался вид на Тихий океан. То был один из восхитительных калифорнийских дней, когда небо приобретает удивительный, целомудренно-голубой свет. Среди разнообразных достоинств Торпа я бы назвал эрудицию, но без излишнего занудства, а также внимательность и осмотрительность. Кроме того, его отличает острый ум и чувство юмора. Прошла всего неделя, как банк «Leman Brothers» объявил о своем банкротстве. Я спросил Торпа, не испытывает ли он чего-то типа чувства вины за то, что способствовал созданию некоторых рыночных механизмов, которые внесли вклад в самый большой за последние десятилетия финансовый кризис.
— Проблема была не в самих деривативах, а в отсутствии их регулирования, — ответил он вполне ожидаемо.
Тогда я спросил, не обращалось ли правительство хоть раз к нему за рекомендацией, ведь сегодня математика, лежащая в основе мировых финансов, невероятно усложнилась.
— Лично мне ничего об этом не известно! — сказал он с улыбкой. — Если они вдруг заявятся, то рекомендаций у меня хоть отбавляй! Но все это страшно политизировано, и при этом они не хотят выносить сор из избы.
Если вы желаете, чтобы к вашему голосу прислушались, — продолжает он, — вам надо жить на Восточном побережье, играть в гольф и обедать с банкирами и политиками. Но я-то живу в Калифорнии, у меня тут из окна чудесный вид. Я просто развлекаюсь, поигрывая в математические игры. Здесь нужных людей не встретишь, разве что случайно.
При этом Торп явно наслаждается своим положением «в сторонке». Он даже не воспринимает себя как представителя финансового мира, хотя и прожил в нем четыре десятилетия.
— Я считаю себя ученым, который применил свои знания к анализу финансовых рынков, — говорит он.
На самом деле бросать вызов стандартной мудрости — лейтмотив всей его жизни, это именно то, что он с успехом делает вновь и вновь. И он полагает, что у сообразительных математиков шансов на выигрыш всегда больше, чем шансов на проигрыш.
Я поинтересовался также, помогло ли ему то, что он так хорошо умеет оценивать вероятности, в тех ситуациях, когда руководствоваться интуицией противопоказано. Например, становился ли он когда-либо жертвой «заблуждения игрока»?
— Я считаю, что довольно неплохо научился говорить «нет» — хотя это и потребовало кое-какого времени. Вначале, когда я только начинал разбираться в акциях, мое обучение оказалось довольно дорогостоящим. Я был склонен принимать решения, действуя не вполне рационально.
Я спросил его, играл ли он когда-либо в лотерею.
— Вы хотите спросить, делал ли я когда-нибудь невыгодные ставки?
— Наверное, — сказал я, — вы никогда такого не делали.
— Всякое бывало. Знаете, иногда, время от времени, подобные вещи делать приходится. Представьте себе, что все ценное, что у вас есть, — это ваш дом. Страховать свой дом — невыгодно в смысле математического ожидания, но, по всей видимости, весьма благоразумно в смысле долгосрочного выживания.
— Так что, — спросил я, — вы все-таки застраховали свой дом?
Торп ненадолго замолчал.
— Да. — Он замялся, потому что прикидывал величину своего состояния. — Если вы достаточно богаты, вам нет необходимости страховать несущественное имущество, — объяснил он. — Например, если вы миллиардер, а ваш дом стоит миллион долларов, то не важно, застрахуете вы его или нет, по крайней мере с точки зрения критерия Келли. Вам нет нужды защищать себя от этой сравнительно небольшой потери. Выгоднее оставить эти деньги себе и самому вложить их во что-нибудь получше. Кстати, кажется, я все-таки застраховал свои дома.
Я когда-то видел статью, где упоминалось, что Торп собирается заморозить свое тело после смерти. Я сказал ему, что это смахивает на азартную игру — и к тому же выглядит очень по-калифорнийски.
— Ну, как говорит один мой друг-фантаст, «Другой игры у нас для вас нет».
И Владимир Ворошилов, и Борис Крюк неоднократно подчёркивали, что, в отличие от многих других телевизионных интеллектуальных игр, таких как «Своя игра», «Брэйн ринг» и другие, «Что? Где? Когда?» является игрой не на знания и эрудицию, а на интеллект и умение рассуждать. Большая часть вопросов в игре составлена таким образом, что знать изначально правильный ответ не удаётся даже самым эрудированным знатокам, однако почти во всех вопросах до правильного ответа можно додуматься в рамках минуты обсуждения. Даже среди знатоков, которые дают досрочные ответы, как правило, сами знатоки приводят цепочку рассуждений, которую они быстро провели и сумели дать верный ответ.
Права играющей команды[править править код]
В зимней серии &#;года игра превратилась из «интеллектуального клуба» в «интеллектуальное казино»[17]. Девизом программы стала фраза «Интеллектуальное казино&#;— единственное место, где каждый может заработать деньги своим собственным умом»[17]. Игровой стол был разделён на красные и чёрные секторы, и каждый вопрос отныне имел свою стоимость в рублёвом эквиваленте. В &#;году появился новый сектор&#;— «Зеро», заменивший «зелёный сектор» с самой большой суммой, который зимой &#;года имел стоимость в 60 тысяч рублей. Изначально в секторе вопросы задавали спонсоры программы. Позже, с зимних игр &#;года, когда стрелка волчка останавливалась в этом секторе, ведущий&#;— крупье&#;— выходил в игровой зал, выбирал одну из трёх лежащих на столе карт «Зеро», на которых, как правило, были записаны собственные вопросы Владимира Ворошилова. Такой вариант игры Ворошилов называл «игрой интеллектуального казино против знатоков». Несколько раз в первых играх в раунде «Зеро» против знатоков играли приглашённые Ворошиловым гости. В этом раунде игра шла на собственные деньги, как гостя, так и «знатоков». В летних играх &#;года при выпадении сектора «Зеро» Борис Крюк зачитывал вопросы Владимира Ворошилова за кадром.
С &#;года и до смерти Владимира Ворошилова в игре получали возможность сыграть сначала команды, а потом отдельные знатоки, проявившие себя на игре «Брэйн-ринг», которую вёл сначала Ворошилов, а затем Андрей Козлов. Впервые право членства в клубе получила команда города Одессы, в которой выступали Борис Бурда и Анатолий Вассерман.
До конца &#;года в клубе также действовало правило «смерти» команды. Команда, потерпевшая хотя бы одно поражение, «навсегда» лишалась права выступления в клубе. Однако в начале х было введено правило «красных пиджаков», игрок получавший «Хрустальную сову» по итогам серии игр, получал также красный пиджак «бессмертного» и оставался в клубе даже в случае поражения своей команды. В &#;году разыгрывались также красные пиджаки для всей команды знатоков, команды Алексея Блинова и Михаила Смирнова добились красных пиджаков для целой команды. В то же время действовало два правила избежания «смерти» команды. В случае поражения команды с любым счётом капитан мог принять решение отдать казино все выигранные деньги, сыграть дополнительный раунд (в котором не было ставки, а все дополнительные минуты сгорали). В случае победы знатоков они теряли все заработанные в рамках этой игры деньги, но оставались в клубе (в то же время итоговое решение о том, давать ли знатокам право дополнительного раунда оставалось за крупье). В случае поражения знатоки теряли и деньги, и членство в клубе. По второму правилу, команда, проигравшая матч, могла запросить матч-реванш. В то же время данное правило до &#;года порождало неравноправие команд. Команда города Одессы, потерпевшая поражение в первой же игре в &#;году (до начала игры на деньги), не могла ни провести дополнительный раунд, ни запросить матч-реванш, в то же время ни сама команда, ни знатоки из этой команды не имели права играть в клубе вплоть до всеобщей амнистии &#;года. В &#;году в клуб вернулся только Борис Бурда. Кроме того были и случаи торговли знатоков с крупье, в том числе попытка сыграть второй дополнительный раунд (при поражении в первом) в обмен на красные пиджаки членов команды.
В &#;году в летней серии игр последний раз упоминалось звание «бессмертных» знатоков, однако знатоки уже не играли в красных пиджаках, поражение не приводило к лишению членства в клубе (ни формальной команды, ни каждого отдельного знатока), а с зимней серии игр &#;года вообще больше не упоминалось. Поражение тех или иных знатоков в рамках игры, как правило, приводило лишь к тому, что они лишались права сыграть в текущей серии игр (но иногда Ворошилов делал исключение), сохранилось это правило и после смерти Ворошилова.
До &#;года хрустальная сова и полагавшийся вместе с ней приз присуждался строго знатоку независимо от результата финального матча. В &#;году, несмотря на поражение команды в финале, «Хрустальную сову» и собственность на Канарских островах получил Фёдор Двинятин. C &#;года было решено, что «Хрустальную сову» в случае поражения знатоков в финале может получить вместо знатока телезритель, однако, по сути, это правило так и не было задействовано вплоть до смерти Владимира Ворошилова. Летом &#;года финал был проигран знатоками по дополнительным правилам, а телезритель, чей вопрос был признан лучшим, получил только крупный денежный приз. В проигранном финале &#;года (зима) «Хрустальная сова» не присуждалась, и лишь в юбилейных играх &#;года по «Хрустальной сове» получили все телезрители, выигравшие в финале у знатоков, в то же время звание магистра, бриллиантовую звезду и хрустальную сову среди знатоков все же получил Александр Друзь.
С по &#;год в игре позволялось делать ставки&#;— ставить фишки на сумму, равную стоимости сектора. При этом, если стрелка волчка указывала на сектор со ставкой, разыгрываемая сумма увеличивалась, как правило, в 10 раз (по усмотрению спонсоров иногда как в большее, так и в меньшее число раз). Если в — ставку делала играющая команда, то с по , когда команды в клубе были расформированы, каждый игрок ставил сам за себя. Появились спонсоры и защитник интересов «знатоков» (в разное время в качестве защитника выступали Михаил Барщевский, Александр Поповский, Сергей Новиков). Игроки садились за стол или по решению Владимира Ворошилова, или по результатам им же проведённой жеребьёвки (обе серии игр &#;года). С по &#;год в финале играли только знатоки, набравшие максимальный денежный рейтинг, то есть выигравшие больше денег на вопросах, что приводило к непредсказуемому составу команд в финале. В финале летней серии игр &#;года шестым игроком, несмотря на низкий рейтинг по решению спонсора был Борис Бурда из-за того, что два игрока (Рубин и Мартынов) набрали одинаковый рейтинг, право выбора перешло к казино, а Ворошилов передал право общего выбора генеральному спонсору. Кроме того, это была единственная игра в истории клуба, которую знатоки по общим правилам выиграли, однако по дополнительному решению Александры Марининой телезрителям прибавили одно очко и партия игралась до 7 очков, последний раунд «Зеро» знатоки проиграли. Также с по &#;год право ставок предоставлялось не только знатокам, сидящим за столом, но и также знатокам, находящимся в клубе. В случае если ставка такого знатока сыграла, знаток садился за стол седьмым и участвовал в обсуждении вопроса, он же и отвечал на вопрос. В финале летних игр &#;года знаток из зала, набиравший такой ставкой рейтинг, превышающий текущий рейтинг хотя бы одного сидящего за столом знатока (при чём не только рейтинг за первую игру, но и рейтинг с учётом выигранных в финале денег) садился за стол вместо обыгранного знатока. В случае если он превосходил по рейтингу нескольких знатоков&#;— садился в кресло превзойдённого знатока по личному выбору. Александру Друзю удалось выиграть такой вопрос и в финале он заменил другого знатока, Медведева. Формально данное правило действовало с по &#;год, однако других прецедентов в финалах зафиксировано не было. Кроме того, в нескольких играх в &#;году Ворошилов также использовал право штрафа команды за неверно сделанную ставку каким-либо из знатоков, давая очко телезрителям.
Также, в случае победы знатоков в рамках вопроса, сделанные ими ставки возвращались им, они могли далее ставить те же фишки в следующих раундах. Однако в —&#;годах, когда ставки делала команда, проигравшие ставки все уходили в доход казино, независимо от результата раунда и количества сделанных ставок, а также от того, сыграла ли хоть одна ставка команды.
Пики розыгрышей в отдельных секторах в твёрдой валюте были зафиксированы в (12 тысяч долларов выигрыш в секторе «Зеро» после того как сыграл один вопрос, а также возможность сыграть на все деньги игрового стола в самом секторе «Зеро» в первый раз) и &#;году (в финале Летней серии игр Георгий Жарков в одном вопросе играл на сумму около долларов США). Последний раз ставки знатоков в клубе использовались в зимней серии игр &#;года, но выигрыши из-за дефолта &#;года были сильно уменьшены (победитель серии игр Борис Бурда заработал 36 тысяч рублей за финальную и за предыдущую встречу в сумме, что по текущему курсу составляло около долларов США). В то же время фишка казино Голден Пэлес в конце &#;года также разыгрывалась и её стоимость в казино так же, как и ранее, равнялась 10 тысячам долларов США.
В &#;году вследствие кризиса летняя серия игр и зимняя серия игр были отменены и знатоки впервые сели за игровой стол лишь 28 декабря &#;года в так называемой Рождественской серии игр, которая продлилась до 12 января. Стоимости секторов увеличились, однако ставки были отменены, знатоки разыгрывали лишь номинальную стоимость вопроса, которую иногда в несколько раз увеличивал спонсор. Денежные рейтинги знатоков также были отменены. В серии приняли участие не команды знатоков, а все знатоки, как старожилы, так и молодое поколение. В финальной игре команды постоянно менялись и набирались лично различными знатоками. «Хрустальную сову» и «Золотую фишку дома „Корона“» получил игрок, принёсший команде победное очко, им стал Борис Бурда. Ещё одной отличительной чертой данной серии являлось то, что её телевизионный показ состоялся на телеканале НТВ: заказчик в лице ОАО «ОРТ» недоплачивал телекомпании «Игра» зарплату за съёмки программы, и после суда летний показ телеигры на канале был прекращён[18].
В &#;году летняя серия игр и зимняя серия игр также не состоялась, но вместо них состоялась экспериментальная серия игр, которая продлилась с начала сентября до 1 октября. В этой серии во всех играх участвовала также команда Интернета, за которую играли представители 89 стран мира, наиболее популярные ответы, присланные пользователями Интернета, выставлялись в качестве итогового ответа. Команда Интернета играла и против телезрителей, и против знатоков и дважды одержала победу, но не единолично, а вместе с командой знатоков. В этой серии игр снова участвовали команды знатоков, как и ранее: команда Максима Поташёва проиграла, а команды Александра Друзя и Бориса Бурды победили и играли в финале по очереди. Кроме того, в этой серии игр единственный раз сектор «Зеро» выпал 4 раза (в рамках одной игры), Владимир Ворошилов вышел к столу с дополнительной карточкой.
В ноябре-декабре &#;года состоялись Юбилейные игры, в которых приняли участие команды различных поколений&#;— х, х, х и х годов, а также команда Интернета и команда детей знатоков. К тому времени у ОРТ сменилось руководство и владельцы, поэтому телекомпания «Игра» наладила отношения с предыдущим заказчиком и вновь стала производить для него программы[19]. В финале игр участвовали команды по очереди (вместо детей знатоков играли их родители), а команда х выступала, несмотря на поражение ранее. На последних вопросах за столом играла сборная разных годов, которая одержала победу и решила судьбу клуба. Ворошилов изначально обозначил, что в случае победы телезрителей он завершит свою работу в клубе, и намекнул на возможность закрытия клуба знатоков, а в случае победы знатоков он обязан будет подчиниться их решению, каким бы оно ни было. В итоге победа знатоков позволила сохранить клуб, однако для Ворошилова финал 30 декабря &#;года&#;— всё же стал последней игрой, которую он вёл.
Всего в XX&#;веке состоялось игр.
Игра в XXI&#;веке[править nest...
казино с бесплатным фрибетом Игровой автомат Won Won Rich играть бесплатно ᐈ Игровой Автомат Big Panda Играть Онлайн Бесплатно Amatic™ играть онлайн бесплатно 3 лет Игровой автомат Yamato играть бесплатно рекламе казино vulkan игровые автоматы бесплатно игры онлайн казино на деньги Treasure Island игровой автомат Quickspin казино калигула гта са фото вабанк казино отзывы казино фрэнк синатра slottica казино бездепозитный бонус отзывы мопс казино большое казино монтекарло вкладка с реклама казино вулкан в хроме биткоин казино 999 вулкан россия казино гаминатор игровые автоматы бесплатно лицензионное казино как проверить подлинность CandyLicious игровой автомат Gameplay Interactive Безкоштовний ігровий автомат Just Jewels Deluxe как использовать на 888 poker ставку на казино почему закрывают онлайн казино Игровой автомат Prohibition играть бесплатно