Polinom Sabit Terim Çözümlü Sorular

seafoodplus.info 3 2 P x 3 3x 4x k 1 polinomunun katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, P 2x 1 polinomunun katsayıla       r toplamı kaçtır? A) 14 B) 52 C) 96 D) E) 3 2 3 P(x 3) 3x 4x k 1 katsayılar toplamı için x 1 yazılır. 3 4 k 1 5 ise, k 5 t : ir. P(x 3) 3x 4               Çözüm 2 3 2 3 2 3 2 4 x 5 1 P(x 3) 3x 4x 6 dır. P(2x 1)&#;in katsayılar toplamı için x 1 yazılır. P(2 1) P(1) i bulmalıyız. Aşağıdaki polinomda x 4 yazarsak, P(1) i bulabiliriz. P(x 3) 3x 4x 6 6 6                      64 6 6 buluruz.       23
2 3 2 P x 3 x 2x m . x m P 2x 1 in katsayılar toplamı olduğuna göre, m kaçtır?        seafoodplus.info Katsayılar toplamını bulmak için x 1 yazılır. P 2x 1 in katsayılar toplamı ise P 2. : 1 1 2       Çözüm 2 3 2 2 3 2 3 2 5 5 43 P 3 tür. P x 3 x 2x m x m eşitliğinde x yerine 0 yazarsak; P 0 3 0 0 m 0 m P 3 m .m m m m 3 buluruz.                     80
3 P x x 7x 2 olduğuna göre, P x 1 polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6          3 P(x 1) polinomunun sabit terimi için x 0 yazılır. P(0 1) P(1) değerini bulalım. P(x) x x P( : 7 2        Çözüm 3 1) 1 2 P(1) 1 7 2 4 buluruz.         seafoodplus.info
m 3 3 P x x 4x 5x m 3 polinomunun sabit terimi 4 olduğuna göre, dere &#; cesi kaçtır?        seafoodplus.info m 3 3 sabit terim P(x) x 4x 5x m 3 m 3 4 m 7 m 7 dir. Şimdi m değerini yerine yazalım. P(x : )                 Çözüm   7 3 3 4 3 x 4x 5x 7 3 P(x) x 4x 5x 4 derP(x) 4 buluruz.           
seafoodplus.info n 1 2 n Katsayıları birbirinden farklı pozitif tam sayılar olan P x a .x a .x &#; a x polinomunun     Katsayılar toplamı 2A A Katsayılarının aritmetik ortalaması 2 olduğuna göre, P 2 nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 52 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n Katsayılar toplamı a a a a &#; a 2A A Ortalaması ise, 2 a a a a &#; a : A n 2 2A              Çözüm A n  2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 1 2 n 4 tür. 2 Demek ki; P(x) a x a x a x a x tür. Katsayılar birbirinden farklı pozitif tam sayı ise, a 1, a 2, a 3 , a 4 seçelim ki en küçük değeri elde edelim. P(x) 4x 3x 2               3 4 2 3 4 x x olur. P(2) 2 8 12 16 16 52 buluruz.           seafoodplus.info 69
2 2 P x 4x 5x 20x 8 eşitliğini sağlayan P x polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D      ) 8 E) 11 seafoodplus.info 2 2 2 2 k k P(x 4x) 5x 20x 8 P(x 4x) 5 x 4x 8 P(k) 5k 8 dir. O halde; P(x) 5x 8 ya : zabi                 Çözüm liriz. Katsayılar toplamı için x 1 yazalım. P(1) 5 8 3 buluruz.      60
6 3 2 2 P x x 7x 8 Q x x x 2 x x 1 polinomları veriliyor. P x Q x .H x olduğuna göre, H x polinomunun katsayılar          top &#; lamı kaçtır? A) 9 B) 6 C) 3 D) 2 E) 1 3 3 2 2 2 3 6 3 3 3 x 8 x 1 Q(x) x x 2 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 tir. P(x) x 7x 8 : x 8 x 1 P(x) Q(x)H(x) i                       Çözüm 3 3 se; P(x) x 8 x 1 H(x) Q(x)     3 x 2 x 1 3 3 x 8 dir. x 2 Katsayılar toplamı x 8 1 8 9 H(1) 3 buluruz. x 2 1 2 3            seafoodplus.info 43
2 P x polinomunun sabit terimi 2 ve Q x 2 4x 2x 8 P x 2 olduğuna göre Q x 3 polinomunun katsayılar toplam       ı kaçtır? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 seafoodplus.info Sabit terimi 2 ise P(0) 2 dir. Q(x 3)&#;ün katsayılar toplamı x 1 verilerek bulunur. x 1 içi : n      Çözüm 2 2 Q(1 3) Q(4)&#;ü bulmalıyız. Buna göre; Q(x 2) 4x 2x 8 eşitliğinde x 2 yazarsak P(x 2) Q(4)&#;ü bulabiliriz. Q(2 2) 8 P(2 2) Q(4) 16 4 P(0)                Q(4) 8 20 2 Q(4) 40 buluruz.      9
2 Başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden P x polino &#; mu x x 2 ile tam bölünebilmektedir. P x 2 polinomunu    n sabit terimi 20 olduğuna göre, P x 1 polinomunun 2x 4 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? A) 48 B) 40 C) 36 D) 32 E) 24   seafoodplus.info 2 P x x a x x 2 şeklinde bir polinom olmalıdır. P x 2 nin sabit terimi 20 ise, x 0 yazı ca : n P       Çözüm 2 2 x 2 20 çıkıyor, demektir. Yani; P 2 20 dir. P x x a x x 2 eşitliğinde x 2 yazalım. P 2 2 a 4 2 2 20 2 a .4 a 3 tür. P x x 3 x x 2 olur. P x 1 in 2x 4 ile bölümünden kalanı bulmak için; 2x 4 0 x                           2 2 yazarız. P 2 1 P 3 ü bulmalıyız. P x x 3 x x 2 eşitliğinde x 3 yazalım. P 3 6. 9 3 2 48 buluruz.              86
4 2 P(x) (x 1) .(mx 7x) 2(mx 1)(x 1) 4 polinomunun katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, m kaçtır? A)        2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4 seafoodplus.info 4 2 4 Polinomun katsayılar toplamı 0 ise; P(1) 0 dır. P(x) (x 1) .(mx 7x) 2(mx 1)(x 1) 4 P(1) ( 1 : 1 )           Çözüm 2 0 2 .(m.1 ) 2(m.1 1)(1 1) 4 0 4(m 1) 4 4 m 1 1 4 m 1 1 m 2 buluruz.                     
2 P(2x 1) x m 1 x 7 polinomu veriliyor. P x in sabit terimi 14 olduğuna göre, m kaçtır? 25 A) 7 B) 8 C) D 2      27 ) E) 14 2 seafoodplus.info 2 0 P(x) polinomunun sabit terimi 14 ise P(0) 14 tür. P(2x 1) x (m 1)x 7 1 2x 1 0 x dir. 2 1 P(2 1 2 :             Çözüm 2 1 1 ) (m 1) 7 2 2 1 m 1 P(0) 7 14 4 2 m 1 1 7 2 4 m 1 2                       27 4  2 27 27 2 25 m 1 buluruz. 2 2 2      
P x polinomunun katsayılar toplamı 3, Q x 1 P x 1 olduğuna göre, Q x polinomunun sabit terim    i kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1 P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1) 3 Q(x) polinomunun sabit terimi Q(0) dır. Q(x 1 x) : ) P(    Çözüm 1 x 1 yazalım. Q(1 1) P(1) 1 Q(0) P(1) 1 Q(0) 3 1 2 buluruz.            

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(4x - 7) \) polinomunda \( x \) yerine yazmamız gereken değeri bulalım.

\( 4x - 7 = 1 \Longrightarrow x = 2 \)

\( P(4x - 7) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.

\( P(4(2) - 7) = 2^3 - 6(2)^2 + 3(2) - 1 \)

\( P(1) = \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 ise \( P(1) = 10 \) demektir.

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( x = 0 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(0) \) değeridir.

Verilen eşitlikte \( P(1) \) değerini kullanarak \( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.

\( P(3 - 2) - P(3 - 3)= 6(3)^2 - 4 \)

\( P(1) - P(0) = 54 - 4 \)

\( 10 - P(0) = 50 \)

\( P(0) = \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Polinomun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulmak için \( P(1) \) ve \( P(-1) \) değerlerini bulalım.

\( P(1) = (1^3 - 3(1) + 1)^2 - 2 = -1 \)

\( P(-1) = ((-1)^3 - 3(-1) + 1)^2 - 2 = 7 \)

Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

\( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \)

Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

\( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \)

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(2(0) + 1) = P(1) \) değerine eşittir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = 1^5 - 3(1)^3 - a(1) + 3 \)

\( = 1 - a \)

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(3(1) - 1) = P(2) \) değerine eşittir.

\( P(2) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.

\( P(2) = 2^5 - 3(2)^3 - a(2) + 3 \)

\( = 11 - 2a \)

Bu iki değerin birbirine eşit olduğu bilgisi veriliyor.

\( 1 - a = 11 - 2a \)

\( a = 10 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Polinomlarda tanım gereği değişkenleri üssü sadece doğal sayı olabilir.

Verilen polinom \( P(x^2) \) formunda olduğu için \( P(x) \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için \( P(x^2) \) tanımında derecesi tek sayı olan terim bulunmaması gerekir.

Buna göre \( P(x^2) \) tanımındaki \( a \) ve \( c \) katsayıları sıfır olmalıdır.

\( P(x^2) = - bx^4 - dx^2 + b + d - 3 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1^2) = -b(1)^4 - d(1)^2 + b + d - 3 \)

\( = -b - d + b + d - 3 = -3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( P(x) \) polinomunda katsayılar toplamı için \( x = 1 \), sabit terim için \( x = 0 \) yazılır.

\( P(0) = s = (0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + \ldots + (0 - n)^2 \)

\( = (-1)^2 + (-2)^2 + \ldots + (-n)^2 \)

\( P(1) = k = (1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)

\( = (0)^2 + (-1)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( s - k = 25 = (-n)^2 - 0^2 = n^2 \)

\( n = 5 \) ya da \( n = -5 \) olabilir.

Polinom tanımında \( n \) sayısı \( (1, 2, 3, \ldots) \) şeklindeki bir dizinin son terimi olduğu için değeri pozitiftir.

Buna göre \( n = 5 \) olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Tanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.

\( 2 - a \ge 0 \Longrightarrow a \le 2 \)

\( a - 2 \ge 0 \Longrightarrow a \ge 2 \)

Bu iki eşitsizlik sadece \( a = 2 \) olduğunda sağlanır.

\( P(x) = x^{2 - 2} - x^{2 - 2} - \)

\( = - - = 1 \)

Buna göre \( P(x) \) sabit polinomdur ve üç öncül de doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( P(4x + 3) \) polinomunun sabit terimini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.

\( P(4(0) + 3) = P(3) = P(P(2)) \)

\( P(2x + 5) \) polinomunun katsayılar toplamını bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(2(1) + 5) = P(7) = P(P(3)) \)

Sorulan ifadeyi bulalım ve yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( P(P(P(2))) = P(P(3)) = P(7) \)

\( P(7) = 4 \) olarak verildiği için \( P(P(P(2))) = 4 \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( x = 0 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(0) \) değeridir.

\( P(0) = 0^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = 2 \)

\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 2 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) = 1^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + 2 = 8 \)

\( b + c + d = 5 \)

Katsayılar doğal sayı olduğu için, problemi 5 adet özdeş 1 sayısının birbirinden farklı 3 \( b \), \( c \) ve \( d \) kutusuna farklı dağıtım sayısı şeklinde kurgulayabiliriz.

Katsayılardan bazıları sıfır olabilir, dolayısıyla özdeş \( n \) nesnenin \( k \) farklı kutuya her kutuda herhangi bir sayıda nesne olacak şekilde dağıtımı için ayraç yöntemi kullanılır.

Farklı dağıtım sayısı \( = C(n + k - 1, k - 1) \)

\( = C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2) \)

\( = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = 21 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sabit polinomlarda sadece sabit terim bulunur.

Buna göre \( P(x) \) tanımında \( x \) değişkeninin katsayısı \( a + P(4) = 0 \) olmalıdır.

\( a + P(4) = 0 \)

\( P(4) = -a \)

\( P(x) = 9 + 2a \)

\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.

\( P(4) = 9 + 2a = -a \)

\( a = -3 \)

Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = 9 + 2(-3) = 3 \)

\( P(0) = 3 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Bir polinomun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı formülü:

\( = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} \)

\( P(1) = (1 + 1 + 1^2)^5 = 3^5 = \)

\( P(-1) = (1 + (-1) + (-1)^2)^5 = 1 \)

Buna göre çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı \( \frac{ + 1}{2} = \) olarak bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( P(x) = (9 - 3x)^5 \) polinomunun açılımındaki katsayıların mutlak değerlerinin toplamı, \( Q(x) = (9 + 3x)^5 \) polinomunun açılımındaki katsayıların toplamına eşittir.

\( Q(x) \) polinomunda \( x = 1 \) yazarak katsayılar toplamını bulalım.

\( Q(1) = (9 + 3(1))^5 = 12^5 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin